Application of Vague Sets and Vague Graphics in ITS Logistic

Abstract

This paper presents the basic concept of Vague sets and their operation based on fuzzy set theory. The Vague clustering method, Vague multi-criterion decision-making, Vague graphics and their applications in the contemporary logistic are discussed. At last an example of Vague sets in logistic alterative selection according to the positive and negative utility is presented.

Content

《1 现代物流急需智能化》

1 现代物流急需智能化

在社会飞速发展的今天, 物流在市场经济中越来越显示出其重要的地位。物流的主要作用就是充当生产和消费之间的桥梁, 其主要活动通常是运输、保管、仓储、包装、流通、加工等一系列过程, 它们构成了一个宏观复杂大系统。因而, 物流的管理便成了一个系统化工程。提高物流水平便成了人们越来越关注的问题。面对这样的复杂、动态的现代物流系统, 传统的基于运筹学规划的各种方法显得过于简化, 因此有必要寻找一种全新的方法。

智能交通系统 (ITS) 是利用人工智能、复杂系统、地理信息系统、空间数据的处理等科学技术针对交通的管理问题进行研究的一门学科。现代物流的智能化是与ITS的建设分不开的。而ITS本身就是一门不断变化、不断增加新内容的学科, 其中人工智能是其关键的技术之一。

人工智能作为一门融合了计算机科学、认知科学、心理学等学科的新理论已经发展了半个世纪, 它的一些理论方法和观点已为一些传统问题的解决提供全新的方法和观点。而现代物流的智能化必须依靠先进的理论。其中, 模糊集 (fuzzy set) ^[1] 作为人工智能数学基础之一, 在物流的智能化中起了相当重要的作用^[2]。但是, 模糊集近日已被Vague集包容^[3], 而Vague集即“双模糊”还没有用于物流系统, 笔者在文献[2]的基础上探讨Vague 集在物流中的应用。

《2 Fuzzy set与Vague set》

2 Fuzzy set与Vague set

《2.1 Fuzzy 集》

2.1 Fuzzy 集

Fuzzy集^[1] 是美国控制论专家L. A. Zadeh于1965年创立的, 它的核心是引用隶属度概念, 从而达到可以描述“是”与“非”的中间状态。例如:对某人评价“很好”、“较好”、“一般”、“不太好”、“很不好”等多种形态, 这是符合客观实际的。Fuzzy集1976年引入我国, 发展十分迅速, 现已在很多方面应用, 效果很好。当然, 在物流中它也应有一席之地, 参见文献[1,2]。

一个模糊集可表示为

$A = \sum_{i = 1}^{n} μ_{i} / x_{i},$ $A = \sum_{i = 1}^{n} μ_{i} / x_{i},$

在连续时,

$A = \int_{x \in u} μ (x) / x ‚$ $A = \int_{x \in u} μ (x) / x ‚$

如图1所示。

《图1》

图1 连续的模糊集

Fig.1 Continuous Fuzzy set

《2.2 Vague集》

2.2 Vague集

Vague 集^[3]的核心是描述一个集合中某一元素的“正”与“反”的特性。他同时描述了对象对于某个命题“正”与“反”两方面的隶属度, 比较全面地表达了对象的属性, 从而为宏观复杂大系统中的问题解决提供了有利的途径。

设正隶属度为t, 反隶属度为f, 则一个Vague集可表示为以下形式^[3], 为方便起见, 采用t和[1-f] 两个指标:

$V = \sum_{i = 1}^{n} [t, (1 - f)] / x,$ $V = \sum_{i = 1}^{n} [t, (1 - f)] / x,$

在连续时,

$V = \int_{x \in u} [t, (1 - f)] / x,$ $V = \int_{x \in u} [t, (1 - f)] / x,$

如图2所示。

《图2》

图2 连续的Vague集

Fig.2 Continuous Vague set

不难看出, Vague集是建立在Fuzzy集上的。当f=0时, Vague集就退化为Fuzzy集。它采用正反隶属度描述事物, 使描述更精确、更细致, 便于做出相应对策。因此, Vague集的应用很广泛。

给定了Vague集的基本形式, 不难定义Vague集的一些基本运算:

定义1 如果对于任意给定的论域U上的2个Vague集:

$\begin{array}{l} A = \sum [t, 1 - f] / u ‚ \\ A^{'} = \sum [t^{'}, 1 - f^{'}] / u 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} A = \sum [t, 1 - f] / u ‚ \\ A^{'} = \sum [t^{'}, 1 - f^{'}] / u 。 \end{array}$

当∀u∈U, t (u) ≤t′ (u) , f (u) ≥f′ (u) 同时满足时, 则称A包含于A′, 记成

$A \subseteq A^{'} 。$ $A \subseteq A^{'} 。$

定义2 给定论域U上的一个Vague子集

$A = \sum [t, 1 - f] / u ‚ U \times U ‚$ $A = \sum [t, 1 - f] / u ‚ U \times U ‚$

定义Vague集合

$A^{'} = \sum [t^{'}, 1 - f^{'}] / u ‚$ $A^{'} = \sum [t^{'}, 1 - f^{'}] / u ‚$

当∀u∈U, t′ (u) =f (u) , 1- f′ (u) =1-t (u) 时, 则称A′为A的补集。

定义3 给定2个论域U上的Vague集合A, B, 则定义 $C = A \cup B$ $C = A \cup B$ 为A与B的并集, 其中C的隶属函数满足

$\begin{array}{l} \forall u \in U, t_{C} (u) = t_{A} (u) \lor t_{B} (u), \\ 1 - f_{C} (u) = (1 - f_{A} (u)) \lor (1 - f_{B} (u)) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \forall u \in U, t_{C} (u) = t_{A} (u) \lor t_{B} (u), \\ 1 - f_{C} (u) = (1 - f_{A} (u)) \lor (1 - f_{B} (u)) 。 \end{array}$

定义4 给定2个U上的Vague集合A, B, 则定义 $C = A \cap B$ $C = A \cap B$ 为A与B的交集, 其中C的隶属函数满足

$\begin{array}{l} \forall u \in U, t_{C} (u) = t_{A} (u) \land t_{B} (u), \\ 1 - f_{C} (u) = (1 - f_{A} (u)) \land (1 - f_{B} (u)) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \forall u \in U, t_{C} (u) = t_{A} (u) \land t_{B} (u), \\ 1 - f_{C} (u) = (1 - f_{A} (u)) \land (1 - f_{B} (u)) 。 \end{array}$

其中∧表示求小运算, ∨表示求大运算, 把[t, 1-f]简记为v, 这样v₁∧v₂表示

$[t_{1} \land t_{2}, (1 - f_{1}) \land (1 - f_{2})] 。$ $[t_{1} \land t_{2}, (1 - f_{1}) \land (1 - f_{2})] 。$

同理, v₁∨v₂表示

$[t_{1} \land t_{2}, (1 - f_{1}) \lor (1 - f_{2})] 。$ $[t_{1} \land t_{2}, (1 - f_{1}) \lor (1 - f_{2})] 。$

定义5 论域U×U上的Vague集R称为一个U上的Vague关系, Vague关系的隶属度函数可以表示成矩阵的形式 (R) _ij, 其中元素 (u_i, u_j) 的隶属度为v_ij =[t (u_i, u_j) , 1-f (u_i, u_j) ]。

定义6 Vague关系的合成:设给定论域U×U上的2个Vague关系R₁, R₂, 则关系R₃是R₁与R₂的关系合成, 如果R₃的隶属度矩阵满足

$v_{3} (u_{i}, u_{j}) = \lor_{k = 1}^{n} [v_{1} (u_{i}, u_{k})] \land v_{2} (u_{k}, u_{j})] ‚$ $v_{3} (u_{i}, u_{j}) = \lor_{k = 1}^{n} [v_{1} (u_{i}, u_{k})] \land v_{2} (u_{k}, u_{j})] ‚$

记为

$R_{3} = R_{1} ˚ R_{2} 。$ $R_{3} = R_{1} ˚ R_{2} 。$

《3 Vague集在物流中的应用》

3 Vague集在物流中的应用

《3.1 Vague集与物流》

3.1 Vague集与物流

现代物流在市场经济中起着越来越重要的作用, 其主要活动有:运输、仓储、保管、包装、流通、加工等。运输管理工作愈来愈受到企业的重视, 因为物品的价格中, 来自运输部分的比重相当大, 若能通过有效的运作, 选择最佳运输方案, 则可以达到有效降低成本的目的。

运输路线的选择, 根据Vague集的思想, 可从正负两方面考虑, 运输物资的基本方式包括:铁路运输、公路运输、水路运输、管道运输及航空运输等。其优点对应Vague集中的正隶属度t, 缺点对应Vague集中的负隶属度f。各种运输方式的优缺点见表1。

表1 物流系统Vague指标

Table 1 Logistic system Vague index

《表1》

	优点 (t)	缺点 (f)
公路运输	1.使用空间小, 使用最具灵活性	1.运输量较小
	2.受地形, 气候影响较小	2.安全性比其他运输工具差
	3.短程距离的运输速度较快	3.人力成本较高
	4.运输时间较具弹性
	5.运输费用较低
铁路运输	1.运送量大	1.投资成本高
	2.受气候影响较小	2.无法提供小量运输
	3.运费较低廉	3.无法提高到用户服务
	4.行驶速度较为稳定
水路运输	1.运送量大	1.受气候及港湾地形的影响
	2.调度方便	2.速度慢
	3.费用低廉	3.可达到地点有限
	4.安全性颇高	4.无法提供到用户服务
	5.续航力大
航空运输	1.速度快	1.运费高
	2.不受地形影响	2.运送量有限
	3.航向较不受限制	3.可到达地点有限
	4.用途广泛	4.受气候影响颇大
		5.无法提供到用户服务
管道运输	1.运送量大	1.运送路线受到限制
	2.不受气候影响	2.运送速度不快
	3.对部分工厂可提供到用户服务	3.运送管路检查不易
	4.运费较低	4.只能运送液体、气体货物

《3.2 Vague聚类与物流》

3.2 Vague聚类与物流

有了交通运输的指标体系, 就不难对每个运输方案进行评价, 设有运输方案n个, 它们构成了方案的集合A={a₁, a₂, …, a_n}, 其中对每个方案都可以用m个指标进行评价也就是针对a_i, 选用C={c₁, c₂, …, c_m}对每个方案进行评价, 这样方案a_i的指标c_j的评价结果就是v_ij, 这样就能得到一个n×m的评价矩阵:

$V = \begin{array}{l} \begin{matrix} c_{1} & c_{2} & \dots & c_{m} \end{matrix} \\ (\begin{matrix} v_{11} & v_{12} & \dots & v_{1 m} \\ v_{21} & v_{22} & \dots & v_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ v_{n 1} & v_{n 2} & \dots & v_{n m} \end{matrix})_{n \times m} \end{array} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}$ $V = \begin{array}{l} \begin{matrix} c_{1} & c_{2} & \dots & c_{m} \end{matrix} \\ (\begin{matrix} v_{11} & v_{12} & \dots & v_{1 m} \\ v_{21} & v_{22} & \dots & v_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ v_{n 1} & v_{n 2} & \dots & v_{n m} \end{matrix})_{n \times m} \end{array} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}$

如果可行方案很多, 而且评价每个方案的指标过多的时候, 也就是m和n都是很大的数, 很难进行决策, 找出最满意的方案, 此时需要对现有的各种方案进行聚类分析。首先需要对A中的方案根据矩阵V进行两两对比, 得到一个对比矩阵 (S_ij) _n×n, 其中S_ij=[t_ij, 1-f_ij], 由专家评分给出任意一个方案的对比a_i和a_j的相似程度, 并且这个相似程度使用Vague值来表示的, 这样就可能对2个方案的相似程度进行正、反两方面评价, 可以把矩阵 (S_ij) _n×n写出来:

$\begin{array}{l} (S_{i j})_{n \times n} = \\ \begin{array}{l} \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{matrix} \\ (\begin{matrix} [t_{11}, 1 - f_{11}] & [t_{12}, 1 - f_{12}] & \dots & [t_{1 n}, 1 - f_{1 n}] \\ [t_{21}, 1 - f_{21}] & [t_{22}, 1 - f_{22}] & \dots & [t_{2 n}, 1 - f_{2 n}] \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ [t_{n 1}, 1 - f_{n 1}] & [t_{n 2}, 1 - f_{n 2}] & \dots & [t_{n n}, 1 - f_{n n}] \end{matrix})_{n \times n} \end{array} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix} \end{array}$ $\begin{array}{l} (S_{i j})_{n \times n} = \\ \begin{array}{l} \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{matrix} \\ (\begin{matrix} [t_{11}, 1 - f_{11}] & [t_{12}, 1 - f_{12}] & \dots & [t_{1 n}, 1 - f_{1 n}] \\ [t_{21}, 1 - f_{21}] & [t_{22}, 1 - f_{22}] & \dots & [t_{2 n}, 1 - f_{2 n}] \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ [t_{n 1}, 1 - f_{n 1}] & [t_{n 2}, 1 - f_{n 2}] & \dots & [t_{n n}, 1 - f_{n n}] \end{matrix})_{n \times n} \end{array} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix} \end{array}$

其中, t_ij=t_ji, f_ij=f_ji, 也就是 (S_ij) _n×n满足对称性, 并且t_ii=1, f_ii=0, 也就是对角线上的元素都为[1], 即相似矩阵具有自反性。但是一般的相似矩阵不满足传递性, 需构造传递闭包。首先需要定义Vague矩阵的传递闭包:

定义6 设给定论域为A×A的Vague关系R, 则R的传递闭包记为t (R) , 它满足t (R) =R。R。…。R, 即若干个R的关系合成, 并且t (R) ⊆R。

相似Vague关系矩阵 (S_ij) _n×n经过闭包运算之后得到了一个关系矩阵t (S) , 它满足自反、对称、传递的性质, 因此它是一个等价关系矩阵。如果选定一个小数λ在[0, 1]闭区间去截关系矩阵t (S) , 就可以得到一个布尔矩阵 (B) _n×n, 其中任意一个元素为:

$\begin{array}{l} \forall u \in U, t (u) \leq t^{'} (u), f (u) \geq f^{'} (u), \\ b_{i j} = {\begin{cases} 1, i f [t_{i j}, 1 - f_{i j}] \geq [λ, λ] \\ 0 ‚ i f [t_{i j}, 1 - f_{i j}] < [λ, λ] \end{cases} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} \forall u \in U, t (u) \leq t^{'} (u), f (u) \geq f^{'} (u), \\ b_{i j} = {\begin{cases} 1, i f [t_{i j}, 1 - f_{i j}] \geq [λ, λ] \\ 0 ‚ i f [t_{i j}, 1 - f_{i j}] < [λ, λ] \end{cases} ‚ \end{array}$

其中[t_ij, 1-f_ij] ≥[λ, λ]表示t_ij≥λ, 且1-f_ij ≥λ, [t_ij, 1-f_ij]<[λ, λ]表示t_ij<λ, 且1-f_ij<λ。

这样得到的布尔矩阵就是一个等价关系矩阵, 因此根据这个等价关系就能把论域A划分成l个等价类 {A₁, A₂, …, A_l}。这样就达到对多个运输方案进行聚类的目的。

λ的选取决定了后面等价类的个数, λ接近于0的时候, 得到的布尔矩阵B接近于全1元素, 因此所有的方案趋近于一个分类, λ越大则得到的分类数越多, 当λ=1时只有对角线上的元素为1, 其他都为0, 这也就是说所有的方案自己都独自归为一个类别, 因此得到了l=n个分类组。

应用聚类分析可以把不同的运输方案进行分组, 可以认为聚类操作是一个预处理的过程, 这样有利于下一步的评价。

《3.3 Vague集多准则综合评价》

3.3 Vague集多准则综合评价

假设存在多个运输的方案A={a₁, a₂, …, a_n}, 其中对每个方案都要满足多个决策的准则, 把决策准则的集合记为C={c₁, c₂, …, c_m}, 而把每个方案在每个准则c_j下的评价记为v_ij, 可以得到矩阵表2。在一般的评价中, v_ij都是一个实数值, 而为了能够客观真实的反映方案的优点和缺点, 把v_ij替换成一个Vague值[t_ij, 1-f_ij], 这样就能够对方案进行正反两方面的评价。其中t_ij和f_ij选择可以直接由专家打分得出, 也可以由WAS权重系统给出。这样就能把表1化成一个Vague矩阵V′。得到了Vague矩阵V′, 相当于针对每个指标c_j以方案集A为论域得到了一个Vague集合, 记为,

$S_{j} = \sum_{i = 1}^{n} v_{i j} / a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} [t_{i j}, 1 - f_{i j}] / a_{i},$ $S_{j} = \sum_{i = 1}^{n} v_{i j} / a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} [t_{i j}, 1 - f_{i j}] / a_{i},$

记t^*_ij =1-f_ij, 就能得到表2。

表2 Vague多准则决策表

Table 2 Vague multi-crition decision table

《表2》

	c₁	c₂	…	c_m
A₁	[t₁₁, t^*₁₁]	[t₁₂, t^*₁₂]	…	[t_1m, t^*_1m]
A₂	[t₂₁, t^*₂₁]	[t₂₂, t^*₂₂]	…	[t_2m, t^*_2m]
︙	︙	︙		︙
A_n	[t_n1, t^*_n1]	[t_n2, t^*_n2]	…	[t_nm, t^*_nm]

根据不同的决策标准, 由表2选出一个最满意的方案。假设m个准则的关系是并列重要的, 而且是必须满足的约束, 那么可以求m个Vague集的交集, 也就是求

$S = S_{1} \cap S_{2} \cap \dots \cap S_{m} = \sum_{i = 1}^{n} [t_{i}, 1 - f_{i}] / a_{i} 。$ $S = S_{1} \cap S_{2} \cap \dots \cap S_{m} = \sum_{i = 1}^{n} [t_{i}, 1 - f_{i}] / a_{i} 。$

这样得到了每一个方案都有一个Vague值对其进行评价, 那么哪个方案是最好的呢?很显然只需求得方案a_i, i满足 $\max_{i} {t_{i} + f_{i}}$ $\max_{i} {t_{i} + f_{i}}$ 。

如果m个准则之间的关系是并列重要的, 而且满足C₁或者满足C₂…?或者满足C_m, 可以求m个Vague集合的并集

$S = S_{1} \cup S_{2} \cup \dots \cup S_{m} = \sum_{i = 1}^{n} [t_{i}, 1 - f_{i}] / a_{i} 。$ $S = S_{1} \cup S_{2} \cup \dots \cup S_{m} = \sum_{i = 1}^{n} [t_{i}, 1 - f_{i}] / a_{i} 。$

然后, 用同样的准则求出最好的方案a_i, i满足 $\max_{i} {t_{i} + f_{i}}$ $\max_{i} {t_{i} + f_{i}}$ 。

如果各个准则之间的重要程度不一样, 设第j个准则的权重为w_j, 这样就可以给m个准则分配一个权重向量

$W = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m}), \sum_{j = 1}^{m} w_{j} = 1 。$ $W = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m}), \sum_{j = 1}^{m} w_{j} = 1 。$

设计2个函数把任意一个Vague值压缩成一个确定的实数。对于任意一个Vague值v=[t, 1-f], 定义为

$E (v) = t - f, Η (v) = t + f 。$ $E (v) = t - f, Η (v) = t + f 。$

显然这2个数值从两方面评价了Vague值, 其中E评价v的支持度的情况, E越大表明这个Vague值被支持的可能性越大。H评价Vague值的不确定情况, 可认为是风险度, H越大则表示不确定信息越少, 反之则越大。不难得出E (v) 在区间[-1, 1] 内取值, 而H (v) 在区间[0, 1]内取值。根据这2个函数可以把任意一个Vague集进行变换, 也就是对于S_j可以得到2个统一集 (论域都是方案集合, 描述域都在[-1, 1]上, 并且采用类似模糊集合的扎德记号方法) :

$S^{'}_{j} = \sum_{i = 1}^{n} E (v_{i j}) / a_{i}, S^{″}_{j} = \sum_{i = 1}^{n} Η (v_{i j}) / a_{i} 。$ $S^{'}_{j} = \sum_{i = 1}^{n} E (v_{i j}) / a_{i}, S^{″}_{j} = \sum_{i = 1}^{n} Η (v_{i j}) / a_{i} 。$

然后, 对m个变换后的Vague集 (可认为是一种广义的统一集) 求加权平均数, 得到每个方案总的评价 (也就是2个统一集) :

$\begin{array}{l} S^{'} = \sum_{i = 1}^{n} [\sum_{j = 1}^{m} w_{j} E (v_{i j})] / a_{i} ‚ \\ S^{″} = \sum_{i = 1}^{n} [\sum_{j = 1}^{m} w_{j} Η (v_{i j})] / a_{i} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} S^{'} = \sum_{i = 1}^{n} [\sum_{j = 1}^{m} w_{j} E (v_{i j})] / a_{i} ‚ \\ S^{″} = \sum_{i = 1}^{n} [\sum_{j = 1}^{m} w_{j} Η (v_{i j})] / a_{i} ‚ \end{array}$

其中[Σ* ]是数字的加法, 而[Σ* ]左边的Σ表示一种集合的记号 (扎德记号法) 。

针对任意一个方案a_i, 得到2个评价指标E和H分别评价该方案的支持度和风险度。由决策者的标准可以根据不同的目的选择方案。当决策者更看重支持度而不顾及风险时, 可以选择E最大的方案, 而如果决策者更看重风险性, 即认为风险越小越好, 可以选择H值最大的一个方案。当然, 决策者还可以根据不同的权重分配来权衡支持度和风险度。

《3.4 Vague图分析》

3.4 Vague图分析

在现代物流系统中, 经常要考虑运输线路的选择与评价。任意给定的运输线路都可以看成是一个抽象的图。在图论中, 任意一个图G可以表示为G=〈V, E〉, 其中V是顶点的集合, 而E是边的集合, 它可以看成是集合V上的一个关系。在经典的图论中, 边的集合是经典集, 也就是说v_i到v_j这条边仅仅表示顶点v_i到v_j有连接, 而连接的强度则表示不出来。

把图G中的边看成是一个V上的模糊关系, 也就是 $E = \sum_{v \in V} μ (v) / v$ $E = \sum_{v \in V} μ (v) / v$ , 也就是说图中每个节点之间都有连接, 并且连接的强度由模糊关系的隶属度给定。因此这样的图G就是模糊图。模糊图比经典图进步的地方就在于模糊图不仅表达出了图中节点之间是否联得上, 而且表达出了节点之间是否联得好。

然而在现实物流系统中, 评价某个运输线路时, 人们很难为每个边指定一个单独的隶属度, 而是给出这个边的支持程度和对立程度。比如有5个专家对运输线路v_i到v_j进行评价的时候, 很有可能有2个专家支持线路ij, 有1个专家反对线路ij, 而另外有2个专家弃权, 认为是否从ij走无关紧要。此时很难确定边ij的模糊隶属度, 取而代之的是一个Vague隶属度, 可用[2/5, 1-1/5]表示。这样图G中的每条边都可以确定一个Vague隶属度, 就得到Vague图的概念:

定义7 Vague图给定一个有穷的经典集合V, 以及V上的一个Vague关系E, 就相应地确定了一个Vague矩阵 ([t, I-f]) _n×n, 其中n为V的个数, 则得到一个Vague图, 记为

$G = 〈 V, E, t, f 〉 ‚$ $G = 〈 V, E, t, f 〉 ‚$

其中t和f分别为Vague关系E的正隶属度和反隶属度函数。

由Vague图的定义, 可以把经典图论中的一些问题推广到Vague图的情形。在物流系统中, 经常要考虑沿某个运输线路能够最小化的代价, 这个代价可能是费用, 也可能是时间等。但在复杂的运输系统网络内, 很难给定每一条路经的单一目标函数对其最小化, 因此借助专家的经验对每个线路进行评价打分, 从而得到Vague图, 然后在这个Vague图上考虑图的最优路径问题。

考虑从v₀出发到终点v_n的所有可能路径构成了路径的集合P, 而在这些路径中每一条都是由图G中的不同的边串联构成的, 而每一条边都有一个Vague值对这条边进行评价。这样一条路径p上的m条边就构成了限制路径p的条件或者准则。也就是说如果选择路径p, 就必须要经过m条边。P中的所有路径都可以看成是受若干所经过边的约束问题, 这样在P中选择一个最优的路径就相当于在P中求得一个方案来满足多个准则M, M为所有P中路径边数m的最大值。因此剩下的问题就转化成一个多准则的决策问题。

《4 运输实例分析——Vague图优化》

4 运输实例分析——Vague图优化

设要运一批货物, 有A, B, C, D, E五地, 要从A地运货到E地 (在各地停留) , 画出路线见图3。

《图3》

图3 A, B, C, D, E五地路线

Fig.3 The routes to A, B, C, D, E five places

假设:

1) 不在各地停留, r_ii=1;

2) 往返条件相同, r_ij=r_ji, 对应路线见图4。

《图4》

图4 r_ij=r_ji对应路线

Fig.4 The corresponding route of r_ij =r_ji

对应矩阵是满足自反性和对称性的相似矩阵, 故只列出上半部分。且设A→1, B→2, C→3, D→4, E→5。

正隶属度

$R_{f} = [\begin{matrix} f_{11} & f_{12} & f_{13} & f_{14} & f_{15} \\ f_{22} & f_{23} & f_{24} & f_{25} \\ f_{33} & f_{34} & f_{35} \\ f_{44} & f_{45} \\ f_{55} \end{matrix}]$ $R_{f} = [\begin{matrix} f_{11} & f_{12} & f_{13} & f_{14} & f_{15} \\ f_{22} & f_{23} & f_{24} & f_{25} \\ f_{33} & f_{34} & f_{35} \\ f_{44} & f_{45} \\ f_{55} \end{matrix}]$

负隶属度

$R_{t} = [\begin{matrix} t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} & t_{15} \\ t_{22} & t_{23} & t_{24} & t_{25} \\ t_{33} & t_{34} & t_{35} \\ t_{44} & t_{45} \\ t_{55} \end{matrix}]$ $R_{t} = [\begin{matrix} t_{11} & t_{12} & t_{13} & t_{14} & t_{15} \\ t_{22} & t_{23} & t_{24} & t_{25} \\ t_{33} & t_{34} & t_{35} \\ t_{44} & t_{45} \\ t_{55} \end{matrix}]$

各隶属度值可调用WAS系统分析确定^[4]。设数据如下:

$\begin{array}{l} R_{t} = [\begin{matrix} 1 & 0.5 & 0.7 & 0.8 & 0.9 \\ 1 & 0.7 & 0.8 & 0.8 \\ 1 & 0.5 & 0.6 \\ 1 & 0.7 \\ 1 \end{matrix}] \\ R_{f} = [\begin{matrix} 0 & 0.1 & 0.5 & 0.6 & 0.6 \\ 0 & 0.7 & 0.5 & 0.6 \\ 0 & 0.1 & 0.5 \\ 0 & 0.1 \\ 0 \end{matrix}] \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{t} = [\begin{matrix} 1 & 0.5 & 0.7 & 0.8 & 0.9 \\ 1 & 0.7 & 0.8 & 0.8 \\ 1 & 0.5 & 0.6 \\ 1 & 0.7 \\ 1 \end{matrix}] \\ R_{f} = [\begin{matrix} 0 & 0.1 & 0.5 & 0.6 & 0.6 \\ 0 & 0.7 & 0.5 & 0.6 \\ 0 & 0.1 & 0.5 \\ 0 & 0.1 \\ 0 \end{matrix}] \end{array}$

在调用WAS系统^[4] 中, 由专家群体确定来调整正负权重α。设α=0.8, r_ij=t_ij+αf_ij, 得到综合矩阵

$R_{f} = [\begin{matrix} 1 & 0.42 & 0.3 & 0.32 & 0.42 \\ 1 & 0.14 & 0.5 & 0.32 \\ 1 & 0.42 & 0.2 \\ 1 & 0.62 \\ 1 \end{matrix}]$ $R_{f} = [\begin{matrix} 1 & 0.42 & 0.3 & 0.32 & 0.42 \\ 1 & 0.14 & 0.5 & 0.32 \\ 1 & 0.42 & 0.2 \\ 1 & 0.62 \\ 1 \end{matrix}]$

从A到E (不在各地停留) 有如下路线:

A→E,

A→B→E,

A→C→E,

A→D→E,

A→B→C→E,

A→B→D→E,

A→C→D→E,

A→B→C→D→E。

根据Kauffman最强路算法^[2], 计算路值r_ij=t_ij-f_ij:

$1) A \overset{r_{15}}{\to} E ‚ r = 0.9 - 0.48 = 0.42$ $1) A \overset{r_{15}}{\to} E ‚ r = 0.9 - 0.48 = 0.42$ ;

$\begin{array}{l} 2) A \overset{r_{15}}{\to} B \overset{r_{25}}{\to} E, \\ r_{12} \land r_{25} = 0.42 \land 0.32 = 0.32 ； \end{array}$ $\begin{array}{l} 2) A \overset{r_{15}}{\to} B \overset{r_{25}}{\to} E, \\ r_{12} \land r_{25} = 0.42 \land 0.32 = 0.32 ； \end{array}$

$\begin{array}{l} 3) A \overset{r_{13}}{\to} C \overset{r_{35}}{\to} E ‚ \\ r_{13} \land r_{35} = 0.3 \land 0.2 = 0.2 ； \end{array}$ $\begin{array}{l} 3) A \overset{r_{13}}{\to} C \overset{r_{35}}{\to} E ‚ \\ r_{13} \land r_{35} = 0.3 \land 0.2 = 0.2 ； \end{array}$

$\begin{array}{l} 4) A \overset{r_{14}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{14} \land r_{45} = 0.32 \land 0.62 = 0.32 ； \end{array}$ $\begin{array}{l} 4) A \overset{r_{14}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{14} \land r_{45} = 0.32 \land 0.62 = 0.32 ； \end{array}$

$\begin{array}{l} 5) A \overset{r_{12}}{\to} B \overset{r_{23}}{\to} C \overset{r_{35}}{\to} E ‚ \\ r_{12} \land r_{23} \land r_{35} = 0.42 \land 0.62 \land 0.2 = 0.2 ； \end{array}$ $\begin{array}{l} 5) A \overset{r_{12}}{\to} B \overset{r_{23}}{\to} C \overset{r_{35}}{\to} E ‚ \\ r_{12} \land r_{23} \land r_{35} = 0.42 \land 0.62 \land 0.2 = 0.2 ； \end{array}$

$\begin{array}{l} 6) A \overset{r_{13}}{\to} C \overset{r_{34}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{13} \land r_{34} \land r_{45} = 0.3 \land 0.42 \land 0.62 = 0.3 ； \end{array}$ $\begin{array}{l} 6) A \overset{r_{13}}{\to} C \overset{r_{34}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{13} \land r_{34} \land r_{45} = 0.3 \land 0.42 \land 0.62 = 0.3 ； \end{array}$

$\begin{array}{l} 7) A \overset{r_{12}}{\to} B \overset{r_{24}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{12} \land r_{24} \land r_{45} = 0.42 \land 0.4 \land 0.62 = 0.4 ； \end{array}$ $\begin{array}{l} 7) A \overset{r_{12}}{\to} B \overset{r_{24}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{12} \land r_{24} \land r_{45} = 0.42 \land 0.4 \land 0.62 = 0.4 ； \end{array}$

$\begin{array}{l} 8) A \overset{r_{12}}{\to} B \overset{r_{23}}{\to} C \overset{r_{34}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{12} \land r_{23} \land r_{34} \land r_{45} = 0.42 \land 0.62 \land 0.42 \land 0.6 = 0.42 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} 8) A \overset{r_{12}}{\to} B \overset{r_{23}}{\to} C \overset{r_{34}}{\to} D \overset{r_{45}}{\to} E ‚ \\ r_{12} \land r_{23} \land r_{34} \land r_{45} = 0.42 \land 0.62 \land 0.42 \land 0.6 = 0.42 。 \end{array}$

路线选择:

$l_{i j}^{*} = \lor_{i = 1}^{5} (a_{i k} \land b_{k j}) ‚$ $l_{i j}^{*} = \lor_{i = 1}^{5} (a_{i k} \land b_{k j}) ‚$

其中i=1, j=5, l^*₁₅=0.42, 选择第8种路线, 见图5粗线。

《图5》

图5 优选的路线

Fig.5 The prior route

注:例中使用Zadeh算子“∧”“∨”, 也可采用其他广义算子。

《6 应用展望》

6 应用展望

物流在市场经济中已经显示出其重要地位, 现代物流渐渐地向全球化发展。Vague 集将是使物流走向智能化的重要途径, Vague集与物流密不可分。另外, 统一集论^[5]、VGES方法和VGES-DSS方法^[6] 也将在物流中显示出其重要的作用, 有待进一步研究。

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