《1 引言》
1 引言
作为灰色系统理论重要内容之一的GM (1, 1) 模型[1 ,2 ] , 其应用价值在越来越多的领域中得到体现[3 ,4 ] 。GM (1, 1) 模型的突出特点是: 建模过程简单, 模型表达式简洁, 便于求解, 应用广泛。在发展系数a 的绝对值较小时 (当时间间隔很小、序列数据变化平缓时, 如0<-a ≤0.3) , 模拟值精度较高。但当发展系数a 的绝对值较大 (如-a >0.5) 时, 模型偏差较大, 无法用于中长期预测, 甚至不宜作短期预测。一些学者对此进行了改进, 得到了比原GM (1, 1) 模型模拟精度高和适应性更强的新模型[5 ,6 ,7 ,8 ] 。笔者经过分析GM (1, 1) 模型产生模拟误差的原因, 从构造背景值公式入手, 优化GM (1, 1) 模型, 既保持了原GM (1, 1) 模型的优点, 又使优化GM (1, 1) 模型适用于各种发展系数的情形, 尤其是当发展系数绝对值较大时也可用于中长期预测, 并且精度较高。
《2 GM (1, 1) 模型背景值的优化》
2 GM (1, 1) 模型背景值的优化
设原始序列为X (0) ={x (0) (1) , x (0) (2) , …, x (0) (n ) }, 则X (0) 的1-AGO序列为X (1) ={x (1) (1) , x (1) (2) , …, x (1) (n ) }其中x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i ) x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i ) , k =1, 2, …, n 。
X (1) 的紧邻均值生成序列Z (1) ={z (1) (1) , z (1) (2) , …, z (1) (n ) }, 其中
z ( 1 ) ( k ) = [ x ( 1 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k − 1 ) ] / 2 , k = 2 , 3 , ⋯ , n 。 z ( 1 ) ( k ) = [ x ( 1 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k - 1 ) ] / 2 , k = 2 , 3 , ⋯ , n 。
d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b ( 1 ) d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b ( 1 )
为灰色微分方程 (即灰色GM (1, 1) 模型)
x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b ( 2 ) x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b ( 2 )
x ˆ ( 1 ) ( t ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) − b a ) e − a ( t − 1 ) + b a x ^ ( 1 ) ( t ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) - b a ) e - a ( t - 1 ) + b a
在t =k (k =1, 2, …, n ) 处的值来逼近或描述x (1) (k ) 。
式 (1) 中的系数a 与常数项b 是由式 (2) 用下述方法确定:
a ˆ = ( a b ) = ( B T B ) − 1 B T Y , ( 3 ) a ^ = ( a b ) = ( B Τ B ) - 1 B Τ Y , ( 3 )
Y = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , B = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − z ( 1 ) ( 2 ) − z ( 1 ) ( 3 ) ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 1 ⋮ 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 。 Y = ( x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ) , B = ( - z ( 1 ) ( 2 ) 1 - z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ ⋮ - z ( 1 ) ( n ) 1 ) 。
由此可知GM (1, 1) 模型的模拟与预测精度取决于常数a 和b , 而a 和b 的值依赖于原始序列和背景值的构造形式。即背景值z (1) (k ) 的构造公式是导致模拟误差ε ˆ ( 0 ) ( k ) = x ˆ ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k ) ε ^ ( 0 ) ( k ) = x ^ ( 1 ) ( k ) - x ( 1 ) ( k ) 及GM (1, 1) 模型的适应性的关键因素之一。
在[k -1, k ]上 (参见图1) 对式 (1) 两边求积分得
∫ k k − 1 d x ( 1 ) d t d t + a ∫ k − 1 k x ( 1 ) d t = b , ∫ k - 1 k d x ( 1 ) d t d t + a ∫ k - 1 k x ( 1 ) d t = b ,
x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + a ∫ k k − 1 x ( 1 ) d t = b , x ( 1 ) ( k ) - x ( 1 ) ( k - 1 ) + a ∫ k - 1 k x ( 1 ) d t = b ,
x ( 0 ) ( k ) + a ∫ k k − 1 x ( 1 ) d t = b 。 ( 4 ) x ( 0 ) ( k ) + a ∫ k - 1 k x ( 1 ) d t = b 。 ( 4 )
《图1》
图1 原GM (1, 1) 模型误差来源示意图Fig.1 A schematic diagram on reasons of error which from original model GM (1, 1)
将式 (4) 和式 (2) 比较可知, 用一阶线性微分式 (1) 解来逼近x (1) (k ) , (k =1, 2, …, n ) , 其误差来源于, 用
z ( 1 ) ( k ) = [ x ( 1 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k − 1 ) ] / 2 z ( 1 ) ( k ) = [ x ( 1 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k - 1 ) ] / 2
代替 ∫k k − 1 k - 1 k x (1) (t ) dt , (k =2, 3, …, n )
z ( 1 ) ( k ) = ∫ k k − 1 x ( 1 ) ( t ) d t 。 ( 5 ) z ( 1 ) ( k ) = ∫ k - 1 k x ( 1 ) ( t ) d t 。 ( 5 )
设x (1) (t ) =B eAt , 其中A , B 为待定常数, 且满足
x ( 1 ) ( k ) = B e A k , ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) 。 x ( 1 ) ( k ) = B e A k , ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) 。
将x (1) (t ) =B eAt 代入式 (5) 得
z ( 1 ) ( k ) = ∫ k − 1 k B e A t d t = 1 A [ B e A k − B e A ( k − 1 ) ] = 1 A [ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) ] 。 ( 6 ) z ( 1 ) ( k ) = ∫ k - 1 k B e A t d t = 1 A [ B e A k - B e A ( k - 1 ) ] = 1 A [ x ( 1 ) ( k ) - x ( 1 ) ( k - 1 ) ] 。 ( 6 )
又由x ( 1 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) = B e A k B e A ( k − 1 ) = e A x ( 1 ) ( k ) x ( 1 ) ( k - 1 ) = B e A k B e A ( k - 1 ) = e A 得
A = l n x ( 1 ) ( k ) − l n x ( 1 ) ( k − 1 ) 。 ( 7 ) A = l n x ( 1 ) ( k ) - l n x ( 1 ) ( k - 1 ) 。 ( 7 )
z ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) ln x ( 1 ) ( k ) − ln x ( 1 ) ( k − 1 ) , k = 2 , 3 , ⋯ , n 。 ( 8 ) z ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k ) - x ( 1 ) ( k - 1 ) ln x ( 1 ) ( k ) - ln x ( 1 ) ( k - 1 ) , k = 2 , 3 , ⋯ , n 。 ( 8 )
定理 设X (0) 为非负准光滑序列, X (0) ={x (0) (1) , x (0) (2) , …, x (0) (n ) }, X (1) ={x (1) (1) , x (1) (2) , …, x (1) (n ) }为X (0) 的1-AGO序列, 若a ˆ = ( a , b ) T a ^ = ( a , b ) Τ 为参数
z ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) ln x ( 1 ) ( k ) − ln x ( 1 ) ( k − 1 ) ‚ k = 2 , 3 , ⋯ , n ‚ z ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k ) - x ( 1 ) ( k - 1 ) ln x ( 1 ) ( k ) - ln x ( 1 ) ( k - 1 ) ‚ k = 2 , 3 , ⋯ , n ‚
其中当x (1) (k) =x (1) (k-1) 时, z (1) (k) =x (1) (k-1) ,
Y = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , B = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − z ( 1 ) ( 2 ) − z ( 1 ) ( 3 ) ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 1 ⋮ 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ‚ Y = ( x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ) , B = ( - z ( 1 ) ( 2 ) 1 - z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ ⋮ - z ( 1 ) ( n ) 1 ) ‚
1) 灰色微分方程x (0) (k) +az (1) (k) =b的最小二乘估计参数满足
a ˆ = ( a b ) = ( B T B ) − 1 B T Y ; a ^ = ( a b ) = ( B Τ B ) - 1 B Τ Y ;
2) 灰色微分方程x (0) (k) +az (1) (k) =b的白化方程d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b 的时间响应式为
x ˆ ( t ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) − b a ) e − a ( t − 1 ) + b a ; x ^ ( t ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) - b a ) e - a ( t - 1 ) + b a ;
3) 灰色微分方程 x (0) (k) +az (1) (k) =b时间响应式为
x ˆ ( 1 ) ( k + 1 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) − b a ) e − a k + b a ‚ k = 1 , 2 , ⋯ , n ; x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) - b a ) e - a k + b a ‚ k = 1 , 2 , ⋯ , n ;
x ˆ ( 0 ) ( k + 1 ) = x ˆ ( 1 ) ( k + 1 ) − x ˆ ( 1 ) ( k ) ‚ k = 1 , 2 , ⋯ , n 。 x ^ ( 0 ) ( k + 1 ) = x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) - x ^ ( 1 ) ( k ) ‚ k = 1 , 2 , ⋯ , n 。
如果在区间[k-1, k]上, x (1) (k) =x (1) (k-1) 则式 (8) 可以理解为z (1) (k) =x (1) (k-1) 。事实上,
z ( 1 ) ( k ) = lim x ( 1 ) ( k ) → x ( 1 ) ( k − 1 ) [ ( x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) ) / ( ln x ( 1 ) ( k ) − ln x ( 1 ) ( k − 1 ) ) ] = lim x ( 1 ) ( k ) → x ( 1 ) ( k − 1 ) ( x ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k − 1 ) 。 z ( 1 ) ( k ) = lim x ( 1 ) ( k ) → x ( 1 ) ( k - 1 ) [ ( x ( 1 ) ( k ) - x ( 1 ) ( k - 1 ) ) / ( ln x ( 1 ) ( k ) - ln x ( 1 ) ( k - 1 ) ) ] = lim x ( 1 ) ( k ) → x ( 1 ) ( k - 1 ) ( x ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k - 1 ) 。
此时, 式 (2) 中的背景值z (1) (k) =[x (1) (k) +x (1) (k-1) ]/2=x (1) (k-1) 。该事实从几何图形上也是显然的, 这也正是原创GM (1, 1) 模型对发展系数a的绝对值很小 (如0<-a≤0.3) , 即原始序列x (0) (k) , (k=1, 2, …, n) 变化平缓时, 模拟及预测精度较高的原因。
《3 数据模拟精度的比较》
3 数据模拟精度的比较
文献[1 ] 中对GM (1, 1) 模型的适用范围进行了讨论, 一般地, 当发展系数a的绝对值小于2时, GM (1, 1) 模型有意义, 并对发展系数0<-a<2的情形分别取-a=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 1.5, 1.8进行模拟分析。为叙述方便起见, 记文献[1 ] 中的GM (1, 1) 模型为原GM (1, 1) 模型。 笔者的优化GM (1, 1) 模型为新GM (1, 1) 模型。
以下分别就-a取上述若干值的情形用2种GM (1, 1) 模型进行数据模拟, 并对模拟及预测精度进行比较。
取k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 由x( 0 ) i i ( 0 ) (k+1) =e -ak 可得X( 0 ) i i ( 0 ) ={x( 0 ) i i ( 0 ) (1) , x( 0 ) i i ( 0 ) (2) , x( 0 ) i i ( 0 ) (3) , x( 0 ) i i ( 0 ) (4) , x (0) i (5) , x (0) (6) }的原始序列值, 见表1。
2) 以上述原始序列分别建立原GM (1, 1) 模型及新GM (1, 1) 模型, 并求出相应的时间响应式。
x ˆ ( 1 ) 1 ( k + 1 ) = 1 0 . 5 0 9 6 4 7 e 0 . 0 9 9 0 7 k − 9 . 5 0 9 6 4 7 ‚ x ˆ ( 1 ) 2 ( k + 1 ) = 5 . 5 1 6 4 3 1 e 0 . 1 9 9 3 4 0 1 k − 4 . 5 1 6 4 3 1 ‚ x ˆ ( 1 ) 3 ( k + 1 ) = 3 . 8 5 8 3 2 e 0 . 2 9 7 7 6 9 k − 2 . 8 5 8 3 2 1 ‚ x ˆ ( 1 ) 4 ( k + 1 ) = 3 . 0 3 3 1 9 9 e 0 . 3 9 4 7 5 2 k − 2 . 0 3 3 1 9 9 ‚ x ˆ ( 1 ) 5 ( k + 1 ) = 2 . 5 4 1 4 7 4 e 0 . 4 8 9 8 3 8 2 k − 1 . 5 4 1 4 7 4 ‚ x ˆ ( 1 ) 6 ( k + 1 ) = 2 . 2 1 6 3 5 9 e 0 . 5 8 2 6 2 6 k − 1 . 2 1 6 3 5 9 ‚ x ˆ ( 1 ) 7 ( k + 1 ) = 1 . 8 1 5 9 7 1 8 e 0 . 7 5 9 8 9 9 1 k − 0 . 8 1 5 9 7 1 8 ‚ x ˆ ( 1 ) 8 ( k + 1 ) = 1 . 5 8 1 9 7 3 e 0 . 9 2 4 2 3 4 8 k − 0 . 5 8 1 9 7 3 3 ‚ x ˆ ( 1 ) 9 ( k + 1 ) = 1 . 2 8 7 1 8 2 e 1 . 2 7 0 2 9 6 k − 0 . 2 8 7 1 2 8 3 ‚ x ˆ ( 1 ) 1 0 ( k + 1 ) = 1 . 1 9 8 1 9 7 e 1 . 4 3 2 5 9 6 k − 0 . 1 9 8 1 9 6 6 。 x ^ 1 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 0 . 5 0 9 6 4 7 e 0 . 0 9 9 0 7 k - 9 . 5 0 9 6 4 7 ‚ x ^ 2 ( 1 ) ( k + 1 ) = 5 . 5 1 6 4 3 1 e 0 . 1 9 9 3 4 0 1 k - 4 . 5 1 6 4 3 1 ‚ x ^ 3 ( 1 ) ( k + 1 ) = 3 . 8 5 8 3 2 e 0 . 2 9 7 7 6 9 k - 2 . 8 5 8 3 2 1 ‚ x ^ 4 ( 1 ) ( k + 1 ) = 3 . 0 3 3 1 9 9 e 0 . 3 9 4 7 5 2 k - 2 . 0 3 3 1 9 9 ‚ x ^ 5 ( 1 ) ( k + 1 ) = 2 . 5 4 1 4 7 4 e 0 . 4 8 9 8 3 8 2 k - 1 . 5 4 1 4 7 4 ‚ x ^ 6 ( 1 ) ( k + 1 ) = 2 . 2 1 6 3 5 9 e 0 . 5 8 2 6 2 6 k - 1 . 2 1 6 3 5 9 ‚ x ^ 7 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 8 1 5 9 7 1 8 e 0 . 7 5 9 8 9 9 1 k - 0 . 8 1 5 9 7 1 8 ‚ x ^ 8 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 5 8 1 9 7 3 e 0 . 9 2 4 2 3 4 8 k - 0 . 5 8 1 9 7 3 3 ‚ x ^ 9 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 2 8 7 1 8 2 e 1 . 2 7 0 2 9 6 k - 0 . 2 8 7 1 2 8 3 ‚ x ^ 1 0 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 1 9 8 1 9 7 e 1 . 4 3 2 5 9 6 k - 0 . 1 9 8 1 9 6 6 。
表1 原始序列值
Table 1 The original datum
《表1》
-a i x ( 0 ) i i ( 0 ) (1) x ( 0 ) i i ( 0 ) (2) x ( 0 ) i i ( 0 ) (3) x ( 0 ) i i ( 0 ) (4) x ( 0 ) i i ( 0 ) (5) x ( 0 ) i i ( 0 ) (6) 0.11 1.0 1.105 2 1.221 4 1.349 9 1.491 8 1.648 7 0.22 1.0 1.221 4 1.491 8 1.822 1 2.225 5 2.718 3 0.33 1.0 1.349 9 1.822 1 2.459 6 3.320 1 4.481 7 0.44 1.0 1.491 8 2.225 5 3.320 1 4.953 0 7.389 0 0.55 1.0 1.648 7 2.718 3 4.481 7 7.389 0 12.182 5 0.66 1.0 1.822 1 3.320 1 6.049 6 11.023 2 20.085 5 0.87 1.0 2.225 5 4.953 0 11.023 2 24.532 5 54.598 2 1.08 1.0 2.718 3 7.389 0 20.085 5 54.598 2 148.413 2 1.59 1.0 4.481 7 20.085 5 90.017 1 403.428 8 1 808.042 4 1.810 1.0 6.049 6 36.598 2 221.406 4 1 339.430 8 8 103.083 9
x ˆ ( 1 ) 1 ( k + 1 ) = 1 0 . 6 3 4 4 7 2 e 0 . 0 9 9 3 1 8 k − 9 . 6 3 4 4 7 2 ‚ x ˆ ( 1 ) 2 ( k + 1 ) = 5 . 5 9 4 0 6 4 e 0 . 1 9 9 1 1 7 k − 4 . 5 9 4 0 6 4 ‚ x ˆ ( 1 ) 3 ( k + 1 ) = 3 . 9 2 2 0 6 8 e 0 . 2 9 9 1 4 9 k − 2 . 9 2 2 0 6 8 ‚ x ˆ ( 1 ) 4 ( k + 1 ) = 3 . 0 9 1 4 0 1 e 0 . 3 9 9 2 9 9 k − 2 . 0 9 1 4 0 1 ‚ x ˆ ( 1 ) 5 ( k + 1 ) = 2 . 5 9 7 4 5 e 0 . 4 9 9 4 7 k − 1 . 5 9 7 4 5 ‚ x ˆ ( 1 ) 6 ( k + 1 ) = 2 . 2 7 1 6 8 4 e 0 . 5 9 9 6 2 6 k − 1 . 2 7 1 6 8 4 ‚ x ˆ ( 1 ) 7 ( k + 1 ) = 1 . 8 7 2 0 9 8 e 0 . 7 9 9 8 3 8 k − 0 . 8 7 2 0 9 8 ‚ x ˆ ( 1 ) 8 ( k + 1 ) = 1 . 6 3 9 8 2 2 e 0 . 9 9 9 9 3 7 k − 0 . 6 3 9 8 2 2 ‚ x ˆ ( 1 ) 9 ( k + 1 ) = 1 . 3 4 8 3 2 9 e 1 . 4 9 9 9 9 6 k − 0 . 3 4 8 3 2 9 ‚ x ˆ ( 1 ) 1 0 ( k + 1 ) = 1 . 2 5 9 5 3 e 1 . 7 9 9 9 9 9 k − 0 . 2 5 9 5 3 。 x ^ 1 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 0 . 6 3 4 4 7 2 e 0 . 0 9 9 3 1 8 k - 9 . 6 3 4 4 7 2 ‚ x ^ 2 ( 1 ) ( k + 1 ) = 5 . 5 9 4 0 6 4 e 0 . 1 9 9 1 1 7 k - 4 . 5 9 4 0 6 4 ‚ x ^ 3 ( 1 ) ( k + 1 ) = 3 . 9 2 2 0 6 8 e 0 . 2 9 9 1 4 9 k - 2 . 9 2 2 0 6 8 ‚ x ^ 4 ( 1 ) ( k + 1 ) = 3 . 0 9 1 4 0 1 e 0 . 3 9 9 2 9 9 k - 2 . 0 9 1 4 0 1 ‚ x ^ 5 ( 1 ) ( k + 1 ) = 2 . 5 9 7 4 5 e 0 . 4 9 9 4 7 k - 1 . 5 9 7 4 5 ‚ x ^ 6 ( 1 ) ( k + 1 ) = 2 . 2 7 1 6 8 4 e 0 . 5 9 9 6 2 6 k - 1 . 2 7 1 6 8 4 ‚ x ^ 7 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 8 7 2 0 9 8 e 0 . 7 9 9 8 3 8 k - 0 . 8 7 2 0 9 8 ‚ x ^ 8 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 6 3 9 8 2 2 e 0 . 9 9 9 9 3 7 k - 0 . 6 3 9 8 2 2 ‚ x ^ 9 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 3 4 8 3 2 9 e 1 . 4 9 9 9 9 6 k - 0 . 3 4 8 3 2 9 ‚ x ^ 1 0 ( 1 ) ( k + 1 ) = 1 . 2 5 9 5 3 e 1 . 7 9 9 9 9 9 k - 0 . 2 5 9 5 3 。
3) 两类GM (1, 1) 模型的模拟精度 (平均相对误差) 和预测精度 (误差) 比较见表2和表3。
《4 结论》
4 结论
1) 应用实际曲线在区间上的面积作为背景值, 重构了背景值的计算公式, 并保持了原GM (1, 1) 模型建模简单、计算简便及易于应用的优点。
2) 经大量数据模拟可知, 优化GM (1, 1) 模型既适用于低增长指数 (即发展系数的绝对值较小) 序列建模, 也适用于高增长指数 (即发展系数的绝对值较大) 序列建模, 尤其是对高增长指数序列优化GM (1, 1) 模型, 可用于做中长期预测且精度较高, 具有重要的理论意义和较高的应用价值。
表2 两类GM (1, 1) 模型的模拟精度 (平均相对误差) 比较
Table 2 Contrast of the optimum one to the GM (1, 1) about the simulation
《表2》
-a 0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.5 1.8 原GM误差 0.105 963 20.499 163 1.300 909 2.613 955 4.520 585 9 7.074 289 9 14.156 851 23.544 004 51.032 934 65.453 743 新GM误差 0.337 920 50.731 469 1.147 005 1.558 524 1.955 963 5 2.334 233 3 3.027 305 4 3.633 131 2 4.733 841 3 5.132 772 9
表3 两类GM (1, 1) 模型的预测精度 (误差) 比较
Table 3 contrast of the optimum one to the GM (1, 1) about the prediction
《表3》
-a 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.5 1.8 原GM1步误差 0.128 90.696 0 1.960 4 4.137 8 7.397 0 11.820 2 24.009 3 39.436 9 76.667 0 89.937 2 新GM1步误差 0.133 320 10.464 9 0.889 0 1.345 1 1.794 0 2.219 464 4 2.977 2 3.613 5 4.721 3 5.132 5 原GM2步误差 0.136 70.761 5 2.179 1 4.639 6 8.333 2 13.339 0 26.996 3 43.855 9 81.455 6 93.031 2 新GM2步误差 0.065 052 50.376 2 0.803 2 1.274 1 1.740 0 2.181 241 5 2.960 6 3.607 0 4.717 1 5.132 4 原GM5步误差 0.160 10.957 8 2.832 2 6.129 2 11.085 5 17.740 2 35.271 1 55.270 8 90.690 3 97.685 4 新GM5步误差 0.139 471 30.110 7 0.546 2 1.061 3 1.578 4 2.066 658 4 2.910 5 3.587 4 4.704 5 5.13 20 原GM10步误差 0.199 11.284 1 3.911 0 8.560 3 15.490 3 24.584 4 47.031 2 69.375 5 97.047 8 99.631 3 新GM10步误差 0.280 80.330 3 0.119 3 0.707 7 1.309 6 1.875 972 1 2.827 2 3.554 8 4.683 6 5.131 5