《1 引言》

1 引言

可靠性是车辆产品使用过程中质量指标的重要反映，是与产品的设计、制造和使用的各个阶段密切相关的，所以每个阶段都应该为创造最经济的、具有可靠性水平的产品而努力^[1-7]。车辆构件可靠性灵敏度设计，就是在可靠性基础上进行车辆构件的灵敏度设计。事实上，若某因素对车辆构件失效有较大的影响，则在设计制造过程中就要严格加以控制，使其变化较小，以保证车辆构件具有足够的安全可靠性；反之，如果某因素的变异性对车辆构件可靠性的影响不显著，则在进行可靠性设计时，就可以把它当作确定量值处理，以减少随机变量数。目前，结构可靠性灵敏度计算方法已有了较大的发展^[8～13]，这些方法提供了有效的可靠性灵敏度的计算方法。笔者采用摄动方法、可靠性设计方法和灵敏度分析方法来讨论车辆常用弹簧的可靠性灵敏度设计问题。在基本随机变量的概率特性已知的情况下，可以迅速准确地得到车辆常用弹簧的可靠性灵敏度设计信息。

《2 可靠性分析的摄动方法》

2 可靠性分析的摄动方法

应用概率设计方法，在计算中考虑设计变量的不确定因素，规定基本设计准则，以及建立设计变量交互作用模型等，是可靠性设计方法所面临的问题。可靠性设计的摄动法可以准确地反映机械构件固有的可靠性，给出可供实际计算的数学力学模型，估计或预测构件在规定工作条件下的可靠性，揭示构件可靠性设计的本质。

可靠性设计的一个目标是计算可靠度：

\(R=\int_{g(X)>0} f_{X}(\boldsymbol{X}) \mathrm{d} \boldsymbol{X}\),              (1)

式中f_x(X)为基本随机参数向量X＝（X₁，X₂，......，X_n）T的联合概率密度，它们代表载荷、构件的特性等随机量。g（X）为状态函数，可表示构件的两种状态：
\( \left.\begin{array}{ll}g(\boldsymbol{X}) \leqslant 0 & \text { 为失效状态 } \\ g(\boldsymbol{X})>0 & \text { 为安全状态 }\end{array}\right\}\),              (2)

这里基本随机变量向量X的均值E（X）、方差Var（X）、三阶矩C₃（X）、四阶矩C₄（X）是已知的，但是无法确定某些随机参数的分布概型。

把随机参数向量X和状态函数g（X）表示为

\(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}_{\mathrm{d}}+\varepsilon \boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}\),                          (3)
\(g(\boldsymbol{X})=g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})+\varepsilon g_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{X}) \)。              (4)

这里ε为一小参数，以d为下标的部分表示随机参数中的确定部分，以p为下标的部分表示随机参数中的随机部分，且具有零均值。显然这里要求随机部分要比确定部分小得多。对上面两式取数学期望，有

\(\mathrm{E}(\boldsymbol{X})=\overline{\boldsymbol{X}}=\mathrm{E}\left(\boldsymbol{X}_{\mathrm{d}}\right)+\varepsilon \mathrm{E}\left(\boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}\right)=\boldsymbol{X}_{\mathrm{d}}\),            (5)

\(\begin{array}{c} \mu_{g}=E[g(\boldsymbol{X})]=\bar{g}(\boldsymbol{X})= \\ \mathrm{E}\left[g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})\right]+\varepsilon \mathrm{E}\left[g_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{X})\right]=g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X}) \end{array}\),                      (6)

同理，对其取方差、三阶矩和四阶矩，根据Kronecker代数^[14]及相应的随机分析理论，有

\(\operatorname{Var}(\boldsymbol{X})=\mathrm{E}\left\{[\boldsymbol{X}-\mathrm{E}(\boldsymbol{X})]^{\times 2}\right\}=\varepsilon^{2}\left[\boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}^{\times 2}\right]\),        (7a)

\(\mathrm{C}_{3}(\boldsymbol{X})=\mathrm{E}\left\{[\boldsymbol{X}-\mathrm{E}(\boldsymbol{X})]^{\times 3}\right\}=\varepsilon^{3}\left[\boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}^{\times 3}\right]\),          (7b)

\(\mathrm{C}_{4}(\boldsymbol{X})=\mathrm{E}\left\{[\boldsymbol{X}-\mathrm{E}(\boldsymbol{X})]^{\times 4}\right\}=\varepsilon^{4}\left[\boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}^{\times 4}\right]\),          (7c)

\(\operatorname{Var}[g(\boldsymbol{X})]=\mathrm{E}\left\{[g(\boldsymbol{X})-\mathrm{E}(g(\boldsymbol{X}))]^{\times 2}\right\}= \\ \varepsilon^{2} \mathrm{E}\left\{\left[g_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{X})\right]^{\times 2}\right\} \),          (8a)

\(\mathrm{C}_{3}[g(\boldsymbol{X})]=\mathrm{E}\left\{[g(\boldsymbol{X})-\mathrm{E}(g(\boldsymbol{X}))]^{\times 3}\right\}= \\ \varepsilon^{3} \mathrm{E}\left\{\left[g_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{X})\right]^{\times 3}\right\} \) ，         （8b）

\(\mathrm{C}_{4}[g(\boldsymbol{X})]=\mathrm{E}\left\{[g(\boldsymbol{X})-\mathrm{E}(g(\boldsymbol{X}))]^{\times 4}\right\}= \\ \varepsilon^{4} \mathrm{E}\left\{\left[g_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{X})\right]^{\times 4}\right\}\),            (8c)

式中 \( (\cdot)^{\times k}=(\cdot) \otimes(\cdot) \otimes \cdots \otimes(\cdot) \) 为\(  (\cdot) \) 的 Kronecker 幂, 符号\(  \otimes  \)代表 Kronecker 积, 定义为 \( (\boldsymbol{A})_{p \times q} \otimes(\boldsymbol{B})_{s \times t}=\left[a_{i j} \boldsymbol{B}\right]_{p s \times q t}\)。

根据向量值和矩阵值函数的Taylor展开式，当随机参数的随机部分比其确定部分小得多时，可以把g_p（X）在E（X）＝X_d附近展开到一阶为止，有

\(g_{\mathrm{p}}(\boldsymbol{X})=\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}} \boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}\),             (9)

矩阵导数定义为

\(\partial(\boldsymbol{A})_{p \times q} / \partial(\boldsymbol{B})_{s \times t}=\left(\partial \boldsymbol{A} / \partial b_{i j}\right)_{p s \times q t } \)。
把式（9）代入式（8），有

\(\begin{array}{c} \sigma_{\mathrm{g}}^{2}=\operatorname{Var}[g(\boldsymbol{X})]=\varepsilon^{2} \mathrm{E}\left[\left(\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}\right)^{\times 2} \boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}^{\times 2}\right]= \\ \left(\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}\right)^{\times 2} \operatorname{Var}(\boldsymbol{X}) \end{array}\),              (10a)

\(\theta_{g}=C_{3}[g(\boldsymbol{X})]=\varepsilon^{3} E\left[\left(\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}\right)^{\times 3} \boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}^{\times 3}\right]=\left(\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}\right)^{\times 3} \mathrm{C}_{3}(\boldsymbol{X})\)   (10b)

\(\begin{array}{c} \eta_{\mathrm{g}}=\mathrm{C}_{4}[g(\boldsymbol{X})]=\varepsilon^{4} \mathrm{E}\left[\left(\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}\right)^{\times 4} \boldsymbol{X}_{\mathrm{p}}^{\times 4}\right]= \\ \left(\frac{\partial g_{\mathrm{d}}(\boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}\right)^{\times 4} \mathrm{C}_{4}(\boldsymbol{X}) \end{array}\)  ,               (10c)

式中Var（X），C₃（X），C₄（X）为基本随机参数的方差、三阶矩和四阶矩向量。

把状态函数g（X）对基本随机变量向量X求偏导数，有

\(\frac{\partial g(\overline{\boldsymbol{X}})}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}=\left[\frac{\partial g}{\partial X_{1}} \frac{\partial g}{\partial X_{2}} \cdots \frac{\partial g}{\partial X_{n}}\right]\),            (11)

把式（11）代入式（10），可以得到状态函数的方差、三阶矩和四阶矩的表达式。

可靠性指标定义为

\(\beta=\frac{\mu_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}}=\frac{\mathrm{E}[g(\boldsymbol{X})]}{\sqrt{\operatorname{Var}[g(\boldsymbol{X})]}}\),                   (12)
这样一方面可以利用可靠性指标直接衡量构件的可靠性，另一方面在基本随机参数向量X服从正态分布时，可以用失败点处状态表面的切平面近似地模拟极限状态表面，获得可靠度的一阶估计量：

R = Φ（β），          （13）

式中Φ（·）为标准正态分布函数。

众所周知，要计算可靠度或失效概率，需要知道概率密度函数或联合概率密度函数。但是由于缺少足够的试验数据，很难精确地确定设计参数的分布规律，并且在有些情况下，究竟采用何种分布，仁者见仁，智者见智。即使是近似地指定概率分布，在大多数情况下也很难进行积分计算获得可靠度或失效概率，而数值积分往往是不实用的。在机械零件可靠性设计实践中，在没有充分根据说明设计参数的分布是服从何种分布时，为了安全和简化计算，通常第一个选择就是假设它为正态分布。对于服从任意分布和无法确定分布概型的情况下，而有足够的资料来确定设计参数的前四阶矩（即均值、方差和协方差、三阶矩、四阶矩）时，作为可供选择的实用方法，可以采用摄动法求得可靠性指标，然后应用四阶矩技术和Edgeworth级数把未知的状态函数的概率分布展开成标准的正态分布的表达式，进而可以确定机械零件的可靠度和可靠性灵敏度。
根据Edgeworth 级数方法，可以把服从任意分布的标准化了的随机变量的概率分布函数近似地展开成为标准正态分布函数，即

\(F(y)=\Phi(y)-\varphi(y)\left[\frac{1}{6} \frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{3}} H_{2}(y)+\frac{1}{24}\right. \\ \left.\left(\frac{\eta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{4}}-3\right) H_{3}(y)+\frac{1}{72}\left(\frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{3}}\right)^{2} H_{5}(y)+\cdots\right]\),               (14)
式中H_j（y）为j阶Hermite多项式，其递推关系为

\(\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} H_{j+1}(y)=y H_{j}(y)-j H_{j-1}(y) \\ H_{0}(y)=1, H_{1}(y)=y \end{array}\right. \end{array}\)            （15）

据此，系统的可靠度为

\(R(\beta)=P[g(\boldsymbol{X})>0]=1-F(-\beta)\)。         （16）

用上式计算可靠度时，有时会出现R＞1的情况。当R＞1时，采用下面的经验公式进行修正^[15]：

\(R^{*}=R(\beta)-\left\{\frac{R(\beta)-\Phi(\beta)}{[1+(R(\beta)-\Phi(\beta)) \beta]^{\beta}}\right\}\)。               （17）

Edgeworth级数可以任意精确地逼近随机变量的真实分布，但通常取级数的前4项即可得到较好的近似。在推导过程中，对随机参数的分布概型和激励类型未作任何限制，以便更接近于工程实际。

《3 可靠性灵敏度设计》

3 可靠性灵敏度设计

机械系统的可靠度对基本随机参数向量X均值和方差的灵敏度为

\(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}}=\frac{\partial \mathrm{R}(\beta)}{\partial \beta} \frac{\partial \beta}{\partial \mu_{\mathrm{g}}} \frac{\partial \mu_{\mathrm{g}}}{\partial \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}}\) ,                                                 (18)

\(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{dVar}(\boldsymbol{X})}=\left[\frac{\partial R(\beta)}{\partial \beta} \frac{\partial \beta}{\partial \sigma_{\mathrm{g}}}+\frac{\partial R(\beta)}{\partial \sigma_{\mathrm{g}}}\right] \frac{\partial \sigma_{\mathrm{g}}}{\partial \operatorname{Var}(\boldsymbol{X})}\)，                （19）

式中

\(\frac{\partial R(\beta)}{\partial \beta}=\varphi(-\beta)\left\{1-\beta\left[\frac{1}{6} \frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{3}} H_{2}(-\beta)+\frac{1}{24}\left(\frac{\eta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{4}}-\right.\right.\right.\\ \text { 3) } \left.H_{3}(-\beta)+\frac{1}{72}\left(\frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{3}}\right)^{2} H_{5}(-\beta)\right]-\left[\frac{1}{3} \frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{3}} H_{1}(-\beta)\right.\\ \left.\left.+\frac{1}{8}\left(\frac{\eta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{4}}-3\right) H_{2}(-\beta)+\frac{5}{72}\left(\frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{3}}\right)^{2} H_{4}(-\beta)\right]\right\}\)，         （20）

\(\frac{\partial \beta}{\partial \mu_{\mathrm{g}}}=\frac{1}{\sigma_{\mathrm{g}}}\),                 (21)

\(\frac{\partial \mu_{\mathrm{g}}}{\partial \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}}=\left[\frac{\partial \bar{g}}{\partial X_{1}} \frac{\partial \bar{g}}{\partial X_{2}} \cdots \frac{\partial \bar{g}}{\partial X_{n}}\right]\)，              （22）

\(\frac{\partial \beta}{\partial \sigma_{\mathrm{g}}}=-\frac{\mu_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{2}}\),                        (23)

\(\frac{\partial R(\beta)}{\partial \sigma_{\mathrm{g}}}=\varphi(-\beta)\left[\frac{1}{2} \frac{\theta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{4}} H_{2}(-\beta)+\right.\\ \left.\frac{1}{6} \frac{\eta_{\mathrm{g}}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{5}} H_{3}(-\beta)+\frac{1}{12} \frac{\theta_{\mathrm{g}}^{2}}{\sigma_{\mathrm{g}}^{7}} H_{5}(-\beta)\right]\)，    （24）

\(\frac{\partial \sigma_{\mathrm{g}}}{\partial \operatorname{Var}(\boldsymbol{X})}=\frac{1}{2 \sigma_{\mathrm{g}}}\left[\frac{\partial \bar{g}}{\partial \boldsymbol{X}} \otimes \frac{\partial \bar{g}}{\partial \boldsymbol{X}}\right]\)。             （25）

把已知条件和可靠性分析的计算结果代入式（18）和式（19），即可获得可靠性灵敏度dR／dXT和dR／dVar（X）。

当应用Edgeworth级数估算系统的可靠度出现R＞1情况时，根据计算实践，采用式（17）比使用Edgeworth级数能获得更接近于Monte Carlo数值模拟的结果，而所得的分布函数曲线在［0,1］范围内也是单调的。可见，当R＞1时，应用经验修正公式的导数来计算系统的可靠性灵敏度，比使用式（18）和式（19）的结果更加精确（式（18）和式（19）所计算的结果有时是不正确的）。当出现R＞1情况时，可靠性指标β的灵敏度为

\(\frac{\partial R^{*}}{\partial \beta}=\frac{\partial R(\beta)}{\partial \beta}+\left[\frac{\partial R(\beta)}{\partial \beta}-\varphi(\beta)\right] \text {. }\\ \frac{\beta(\beta-1)[R(\beta)-\Phi(\beta)]-1}{\{1+[R(\beta)-\Phi(\beta)] \beta\}^{\beta+1}}+\\ \frac{[R(\beta)-\Phi(\beta)](\{1+[R(\beta)-\Phi(\beta)] \beta\} \ln \{1+}{\{1+[R(\beta)-} \rightarrow\\ \leftarrow \frac{[R(\beta)-\Phi(\beta)] \beta\}+[R(\beta)-\Phi(\beta)] \beta)}{\Phi(\beta)] \beta\}^{\beta+1}}\)  (26)

用上式替换式（18）和式（19）中的ƏR（β）／əβ，即获得可靠性灵敏度dR/dμ_r，和dR/dσ_r

《4 车辆常用弹簧的力学模型》

4 车辆常用弹簧的力学模型

《4.1 扭杆的力学模型》

4.1 扭杆的力学模型

扭杆弹簧（图1），是由一根弹簧钢制成的杆。杆的断面通常为圆形，少数为管形、矩形或由片状组合，其两端形状可以是花键、方形、六角形或带平面的圆柱形等，以便一端固定在车架上，另一端固定在悬架的摆臂上并与车轮相连。
对于圆形和管形截面的扭杆，它所受的扭转应力为

\( \tau=\frac{16 D T}{\pi\left(D^{4}-d^{4}\right)} \)，           （27）

式中T为扭矩，D为管形截面外径，d为管形截面内径（圆柱形截面d＝0）。

根据应力-强度干涉理论，以应力极限状态表示的状态方程为

\(g(\boldsymbol{X})=r-\tau\)，             （28）

式中r为扭杆的材料强度，基本随机变量向量X＝（rTDd）^T。这里X的均值E（X）、方差Var（X）、三阶矩C₃（X）、四阶矩C₄（X）是已知的，可以认为基本随机变量是相互独立的，但无法确定基本随机变量向量中X的某些变量的分布概型。

《图1》

图1 扭杆弹簧

Fig.1 Torsion bar

《4.2 螺旋弹簧的力学模型》

4.2 螺旋弹簧的力学模型

螺旋弹簧（图2）是用弹簧钢棒料卷制成螺旋状的一种弹簧，可做成等螺距或变螺距。前者刚度不变，后者刚度是可变的。

《图2》

图2 螺旋弹簧

Fig.2 Coil spring

弹簧中的最大切应力发生在簧丝内侧，即

\(\tau=\frac{(1+d / 2 D) d G y}{\pi D^{2} n} \),           (29)

式中d为棒料簧丝直径，D为弹簧中径，G为弹簧材料的剪切弹性模量，n为弹簧的有效圈数，y为弹簧的变形量。

根据应力-强度干涉理论，以应力极限状态表示的状态方程为

\(g(\boldsymbol{X})=r-\tau\),               (30)

式中r为弹簧的材料强度，基本随机参数向量X＝（r d D G n y）^T。这里X的均值E（X）、方差Var（X）、三阶矩C₃（X）、四阶矩C₄（X）是已知的，可以认为基本随机变量是相互独立的，如同扭杆弹簧，无法确定基本随机变量向量中X的某些变量的分布概型。

《4.3 钢板弹簧的力学模型》

4.3 钢板弹簧的力学模型

车辆的多片钢板弹簧多半为中心受载的简支叠板弹簧。如图3所示按一定宽度b将其截开重叠使用。在计算钢板弹簧垂直方向载荷时，通常采用所谓等应力梁计算公式，工作应力的实用公式为

\(\sigma_{i} \frac{3 P l}{2 b} \frac{h_{i}}{n_{1} h_{1}^{3}+n_{2} h_{2}^{3}+\cdots+n_{m} b_{m}^{3}}\)，            (31)

应力在最厚板上的最大值为

\(\sigma_{\max }=\frac{3 P l}{2 b} \frac{h_{\max }}{n_{1} h_{1}^{3}+n_{2} h_{2}^{3}+\cdots+n_{m} h_{m}^{3}}\)，       （32）

式中P为载荷；几何尺寸宽度、厚度和跨距分别为b，h_i和l；n_i是板厚度为h_i的钢板片数。严格地说，应考虑叠板之间的摩擦对工作应力的影响，不过采用这种近似设计方法还是允许的。在汽车、电车等车辆钢板弹簧的设计中，多采用这种方法。

《图3》

图3 钢板弹簧

Fig.3 Multi-leaf spring

根据应力-强度干涉理论，以应力极限状态表示的状态方程为

\(g(X)=r-\sigma_{\max }\),            (33)

式中r为钢板弹簧的材料强度，基本随机变量向量X＝（r P l b h₁ h₂ ... h_m）^T。这里X的均值E（X）、方差Var（X）、三阶矩C₃（X）、四阶矩C₄（X）是已知的，可以认为基本随机变量是相互独立的，但是无法确定基本随机变量向量中X的某些变量的分布概型。

《5 数值算例》

5 数值算例

例1 某型机械的扭杆为管形截面，一般情况下，在工程实际中构件的几何尺寸和材料的强度极限是服从正态分布的随机变量，其危险截面的均值和标准差为：内径d＝（25,0.125）mm，外径D＝（30,0.15）mm；扭矩服从任意分布的随机变量，前四阶矩为T＝（6.7087x10⁵N·mm，8.824 9x10³ N·mm,7.829 2x10¹¹ (N·mm)³, 3.274x10¹⁶（N·mm）⁴）；要求工作循环次数N≥4000，材料的疲劳极限服从任意分布的随机变量，其前四阶矩为r＝（680.0173 MPa，94.7136MPa,-4.794 1x10⁵ MPa³,2.724x10⁸MPa⁴)。

计算得到该扭杆的可靠性指标、可靠度和可靠性灵敏度分别为

\(\beta=4.57408, R_{\mathrm{E}}=0.9999099, R_{\text {MCS }}=0.99988\)           (34)

\(\mathrm{d} R / \mathrm{d} \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}=\left[\frac{\partial R}{\partial \bar{r}} \frac{\partial R}{\partial \bar{T}} \frac{\partial R}{\partial \bar{D}} \frac{\partial R}{\partial \bar{d}}\right]=\\\left[\begin{array}{r}3.327 \times 10^{-6} \\-1.212 \times 10^{-9} \\1.823 \times 10^{-4} \\-1.212 \times 10^{-4}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}\)，                                        (35)

\(\mathrm{d} \operatorname{Var}(\boldsymbol{X})=\left[\begin{array}{l}R_{\operatorname{Var}(r)} \\R_{\operatorname{Cov}(r, T)} \\R_{\mathrm{Cov}(r, D)} \\R_{\mathrm{Cov}(r, d)} \\R_{\mathrm{Cov}(T, r)} \\R_{\operatorname{Var}(T)} \\R_{\mathrm{Cov}(T, D)} \\R_{\mathrm{Cov}(T, d)} \\R_{\mathrm{Cov}(D, r)} \\R_{\mathrm{Cov}(D, T)} \\R_{\operatorname{Var}(D)} \\R_{\mathrm{Cov}(D, d)} \\R_{\mathrm{Cov}(d, r)} \\R_{\mathrm{Cov}(d, T)} \\R_{\mathrm{Cov}(d, D)} \\R_{\operatorname{Var}(d)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1.429 \times 10^{-7} \\5.208 \times 10^{-11} \\-7.833 \times 10^{-6} \\5.207 \times 10^{-6} \\5.208 \times 10^{-11} \\-1.897 \times 10^{-14} \\2.854 \times 10^{-9} \\-1.897 \times 10^{-9} \\-7.833 \times 10^{-6} \\2.854 \times 10^{-9} \\-4.292 \times 10^{-4} \\2.853 \times 10^{-4} \\5.207 \times 10^{-6} \\-1.897 \times 10^{-9} \\2.853 \times 10^{-4} \\-1.897 \times 10^{-4}\end{array}\right]\),            (36)
式（34）至式（36）中，RE为使用Edgeworth级数计算的可靠度，RMcs为应用Monte Carlo数值技术模拟车辆构件的可靠度，R（.）表示可靠度R对（·）的灵敏度。

从灵敏度矩阵\(\mathrm{d} R / \mathrm{d} \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}\)可以看出，扭杆的材料强度r和管形截面外径D均值的增加，其结果将使扭杆趋于更加可靠；而扭杆承受的载荷P和管形截面内径d均值的增加，其结果将使扭杆趋于更加不可靠（失效）。变化率最大的是扭杆的几何尺寸，最小的是载荷，也就是说，几何尺寸变化比材料强度变化更容易使扭杆趋向可靠（或失效）；材料强度变化比载荷变化更容易使扭杆趋向可靠（失效）。从灵敏度矩阵dR／dVar（X）可以看出，基本随机参数方差的增加，都会使扭杆趋于更加不可靠（失效），但基本随机参数协方差的变化对扭杆可靠与否的影响却不尽相同。

例2 某型弹簧的几何尺寸和材料特性的均值和标准差分别为d＝（6.0,0.03）mm，D＝(35.0,0.175)mm,G=(79 380.0,3969.0) MPa，n＝（8,0.0833）圈；弹簧的材料强度r取为弹簧的疲劳极限，其前四阶矩分别为r＝(524.185 5 MPa,72.845 3 MPa,-2.1176x10⁵ MPa³,9.447 5x10⁷MPa⁴）；变形量为服从任意分布的随机变量，其前四阶矩为y＝（11.588 4mm，0.200 6mm，9.2x10^-3mm³,8.7x10^-3mm⁴）。这 里认为弹簧的变形量是在最大载荷（并圈时载荷）的情况下产生的。

计算得到弹簧的可靠性指标、可靠度和可靠性灵敏度分别为

\(\begin{aligned} \beta &=4.475561, R_{\mathrm{E}}=0.9998866, R_{\mathrm{MCS}} &=0.99985\end{aligned}\),                            (37)

\(\begin{aligned}\mathrm{~d} R / \mathrm{d} \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}=\\{\left[\begin{array}{l}\left.\frac{\partial R}{\partial \bar{r}} \frac{\partial R}{\partial \bar{d}_{1}} \frac{\partial R}{\partial \bar{d}} \frac{\partial R}{\partial \bar{D}} \frac{\partial R}{\partial \bar{G}} \frac{\partial R}{\partial \bar{N}} \frac{\partial R}{\partial \bar{\delta}}\right]\end{array}\right]=} \\{\left[\begin{array}{r}5.242 \times 10^{-6} \\-1.835 \times 10^{-4} \\6.060 \times 10^{-5} \\-1.285 \times 10^{-8} \\1.275 \times 10^{-4} \\-8.804 \times 10^{-5}\end{array}\right] }\end{aligned}\),                       (38)

数值计算结果为工程设计人员精确设计车辆构件提供了定量的依据，计算结果与通常的定性分析结果完全一致，进一步说明灵敏度矩阵对车辆构件各因素分析的正确性。可见在车辆构件的设计、制造、使用和评估中，要严格控制敏感参数的变化。

例3 国产某型汽车钢板弹簧几何尺寸的均值和标准差分别为b＝（90,0.45）mm，l＝（1 475.5,7.375）mm,h1=(11,0.055)mm,h2=(10,0.05)mm, h3＝（9,0.045）mm；钢板弹簧片数n1＝2，n2＝6，n3＝4；材料强度的均值和标准差为r＝（614,45.8）MPa；载荷为服从任意分布的随机变量，其前四阶矩为P＝（1.6567x10N，8.2516x10²N，6.728 8x10⁸N³, 2.6608x10¹²N⁴)。

计算可得到该钢板的可靠性能指标、可靠度、可靠灵敏度分别为：

\(\beta=4.546041, R E=1.000026 \text {, }\\R^{*}=0.9999973, R_{\mathrm{MCS}}=0.99998\),        (40)

\(\begin{array}{l}\mathrm{d} R / \mathrm{d} \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}=\left[\frac{\partial R}{\partial \bar{r}} \frac{\partial R}{\partial \bar{P}} \frac{\partial R}{\partial \bar{l}} \frac{\partial R}{\partial \bar{b}} \frac{\partial R}{\partial \bar{h}_{\max }}\right]=\\\left[\begin{array}{r}2.576 \times 10^{-7} \\-6.018 \times 10^{-9} \\-6.757 \times 10^{-8} \\1.108 \times 10^{-6} \\1.813 \times 10^{-5}\end{array}\right] \end{array}\),        (41)

式（40）中R＊为采用Edgeworth 级数的经验修正公式计算的可靠度。

从灵敏度矩阵\(\mathrm{~d} R / \mathrm{d} \overline{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}}\)可以看出，钢板弹簧的材料强度r与截面几何尺寸b和h_i（h_max）均值的增加，其结果将使钢板弹簧趋于更加可靠，而钢板弹簧承受的载荷P和几何尺寸l均值的增加，其结果将使钢板弹簧趋于更加不可靠钢板弹簧趋向可靠（或失效）；材料强度变化比载荷变化更容易使钢板弹簧趋向可靠（或失效）。从灵敏度矩阵dR／dVar（X）可以看出，基本随机参数方差的增加，都会使钢板弹簧趋于更加不可靠（失效），但基本随机参数协方差的变化对钢板弹簧可靠与否的影响却木尽相同。这里给出了不同厚度的多片钢板弹簧可靠性灵敏度设计的一种实用有效的方法，具有计算不同厚度的多片钢板弹簧的可靠度和可靠性灵敏度设计的特色。

《6 结语》

6 结语

在车辆常用弹簧可靠性研究的基础上，笔者提出一种计算车辆常用弹簧可靠性灵敏度的数值方法，有效地反映了车辆常用弹簧各因素对其失效的影响程度。该方法在随机参数前四阶矩已知的情况下，放宽了对随机参数概率分布类型的限制，使之更接近于工程实际中车辆常用弹簧的可靠性问题，为修订车辆常用弹簧的可靠性标准提供了理论依据。因此，该方法是对机械行业产品进行可靠性灵敏度设计的通用的、实用的和有效的方法。