Output Feedback Control for the Descriptor TS Fuzzy Systems With Pole-placement Constraints

Abstract

The design of dynamic output-feedback controller is investigated for the descriptor fuzzy TS models. By transforming the design problem into the feasible solution problems to a set of linear matrix inequalities, the properly stabilizing output controllers are obtained. The resulting closed-loop system can be ensured to satisfy certain performance index and locate at the required pole-placement region.

Content

《1 问题的提出》

1 问题的提出

广义T-S模糊系统是由传统T-S模型 ^[1]与广义系统 ^[2] 理论相结合而发展起来的, 它能够很好地逼近非线性广义系统, 是解决非线性广义系统控制问题的一个新途径。广义模糊系统的研究目前还是一个比较新的研究领域 ^[3,4,5], 有待系统地深入研究。将着重讨论具有极点配置约束的广义模糊系统的输出反馈控制问题, 以期设计的控制器将保证闭环系统具有所要求的动态性能和鲁棒稳态性能。

考虑如下广义T-S模糊系统:

$\begin{array}{l} R^{i} ∶ Ι f ξ_{1} (t) i s Μ_{1 i} a n d, \dots, a n d ξ_{n} (t) i s Μ_{n i}, \\ Τ h e n E \dot{x} (t) = A_{i} x (t) + B_{1 i} w (t) + B_{2 i} u (t), \\ z (t) = C_{1 i} x (t) + D_{1 i} u (t), \\ y (t) = C_{2 i} x (t) (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} R^{i} ∶ Ι f ξ_{1} (t) i s Μ_{1 i} a n d, \dots, a n d ξ_{n} (t) i s Μ_{n i}, \\ Τ h e n E \dot{x} (t) = A_{i} x (t) + B_{1 i} w (t) + B_{2 i} u (t), \\ z (t) = C_{1 i} x (t) + D_{1 i} u (t), \\ y (t) = C_{2 i} x (t) (1) \end{array}$

其中, x (t) ∈Rⁿ为状态向量, u (t) ∈R^m为输入向量, z (t) ∈R^r为调节输出, y (t) ∈R^p为测量输出。A_i∈R^n×n, B_i∈R^n×l, C_1i∈R^r×n, C_2i∈R^p×n, D_1i∈R^r×q, 这里E可以是奇异矩阵。ξ₁ (t) …ξ_n (t) 为前提变量, M_nj是模糊集, i = 1, 2, …, r。

广义模糊系统的全局模型为

$\begin{array}{l} E \dot{x} (t) = A x (t) + B_{1} w (t) + B_{2} u (t), \\ z (t) = C_{1} x (t) + D_{1} u (t), \\ y (t) = C_{2} x (t) (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} E \dot{x} (t) = A x (t) + B_{1} w (t) + B_{2} u (t), \\ z (t) = C_{1} x (t) + D_{1} u (t), \\ y (t) = C_{2} x (t) (2) \end{array}$

其中

$\begin{array}{l} A = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) A_{i}, B_{1} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) B_{1 i}, \\ B_{2} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) B_{2 i}, C_{1} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) C_{1 i}, \\ C_{2} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) C_{2 i}, D = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) D_{1 i} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} A = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) A_{i}, B_{1} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) B_{1 i}, \\ B_{2} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) B_{2 i}, C_{1} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) C_{1 i}, \\ C_{2} = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) C_{2 i}, D = \sum_{i = 1}^{r} h_{i} (ξ) D_{1 i} 。 \end{array}$

定义1 ^[3] 对给定正实数γ, 如果系统式 (2) 满足

$\int_{0}^{t_{0}} z^{Τ} (t) z (t) d t \leq γ^{2} \int_{0}^{t_{0}} w^{Τ} (t) w (t) d t (3)$ $\int_{0}^{t_{0}} z^{Τ} (t) z (t) d t \leq γ^{2} \int_{0}^{t_{0}} w^{Τ} (t) w (t) d t (3)$

则称系统式 (2) 具有小于等于γ的L₂[0, t₀]增益, 即H_∞性能指标。

对系统式 (1) 或式 (2) 设计如下模糊动态输出反馈控制器:

$R^{i} ∶ Ι f ξ_{1} (t) i s Μ_{1 i} a n d, \dots, a n d ξ_{n} (t) i s Μ_{n i},$ $R^{i} ∶ Ι f ξ_{1} (t) i s Μ_{1 i} a n d, \dots, a n d ξ_{n} (t) i s Μ_{n i},$

Then

${\begin{cases} E \bar{\dot{x}} (t) = \bar{A}_{i} \bar{x} (t) + \bar{B}_{i} y (t) \\ u (t) = \bar{C}_{i} \bar{x} (t) \end{cases} (4)$ ${\begin{cases} E \bar{\dot{x}} (t) = \bar{A}_{i} \bar{x} (t) + \bar{B}_{i} y (t) \\ u (t) = \bar{C}_{i} \bar{x} (t) \end{cases} (4)$

则模糊控制器的全局模型为

《图1》

由系统式 (2) 和控制器式 (5) 组成的增广系统为

《图2》

《图3》

《图4》

闭环系统式 (6) 应满足如下设计要求:

1) 当w=0时, 系统正则、无脉冲且渐进稳定;

2) 对于给定的γ>0, 在零初值条件下, 闭环系统对所有的w (t) ∈L₂[0, ∞], 满足

《图5》

《图6》

证明令对称矩阵

《图7》

则可以得到

《图8》

通过矩阵运算可以得知P·P^-1=I, 即

《图9》

构造矩阵

《图10》

可以得到

3) 其有限特征值全部都在一个复平面上半径r为中心、在 (-q, 0) 的圆盘D (r, q) 中。

《2 主要结论》

2 主要结论

定理1 ^[3] 对于式 (1) 所示广义模糊系统设计模糊动态输出反馈控制器式 (4) , 若存在公共矩阵 $\tilde{Ρ}$ $\tilde{Ρ}$ , 使得

《图11》

则在动态反馈控制器式 (4) 的情况下系统正则、无脉冲且满足H_∞ 控制性能。

定理2 ^[5] 对于一个如式 (1) 所示的广义模糊T-S系统, 设计动态输出反馈如式 (4) , 若存在对称的公共矩阵X, Y, U, M, N, 使得下列线性矩阵不等式成立, 则系统正则、无脉冲且能满足H_∞的控制目标。

《图12》

《图13》

不等式 (8a) 成立, 则I-XU非奇异, 于是利用满秩分解, 总可以得到满秩矩阵M和N, 满足I-XU = MN^T, 从而有Φ₂非奇异, 即可以构造矩阵P=Φ₁Φ $_{2}^{- 1}$ $_{2}^{- 1}$ , 进而有P>0, 不等式 (8a) 的成立保证了解的正定对称性。把

$Ρ = [\begin{matrix} X & Μ \\ Μ^{Τ} & Y \end{matrix}]$ $Ρ = [\begin{matrix} X & Μ \\ Μ^{Τ} & Y \end{matrix}]$

代入式 (7a) 展开, 则可以得到矩阵不等式

$[\begin{matrix} E^{Τ} X & E^{Τ} Μ \\ E^{Τ} Μ^{Τ} & E^{Τ} Y \end{matrix}] = [\begin{matrix} X E & Μ^{Τ} E \\ Μ E & Y E \end{matrix}] \geq 0,$ $[\begin{matrix} E^{Τ} X & E^{Τ} Μ \\ E^{Τ} Μ^{Τ} & E^{Τ} Y \end{matrix}] = [\begin{matrix} X E & Μ^{Τ} E \\ Μ E & Y E \end{matrix}] \geq 0,$

即得式 (8b) 。把

$Ρ = [\begin{matrix} X & Μ \\ Μ^{Τ} & Y \end{matrix}]$ $Ρ = [\begin{matrix} X & Μ \\ Μ^{Τ} & Y \end{matrix}]$

代入式 (7b) , 则

$[\begin{matrix} A_{i}^{Τ} X + X A_{i} + C_{Ι 2} \bar{B}_{i}^{Τ} Μ^{Τ} + Μ^{Τ} \bar{B}_{J} C_{2 Ι} & A_{i}^{Τ} Μ + Μ^{Τ} \bar{A}_{J} + C_{2 Ι} \bar{B}_{i}^{Τ} Y + X B_{2} \bar{C}_{J} & B_{1 i} & X C_{1 i} + Μ \bar{C}_{i}^{Τ} D_{i}^{Τ} \\ Μ A_{i} + \bar{A}_{Ι}^{Τ} Μ^{Τ} + \bar{C}_{i}^{Τ} B_{2 Ι}^{Τ} X + Y \bar{B}_{J} C_{2 Ι} & \bar{C}_{i}^{Τ} B_{2 Ι}^{Τ} Μ + Μ B_{2 Ι} \bar{C}_{J} + \bar{A}_{J} Y + Y \bar{A}_{i}^{Τ} & 0 & Μ^{Τ} C_{1 i} + Y \bar{C}_{i}^{Τ} D_{i}^{Τ} \\ B_{1 i}^{Τ} & 0 & - γ^{2} Ι & 0 \\ C_{1 i} X + D_{i} \bar{C}_{j} Μ^{Τ} & C_{1 i} Μ + D_{i} \bar{C}_{j} Y & 0 & - Ι \end{matrix}] < 0$ $[\begin{matrix} A_{i}^{Τ} X + X A_{i} + C_{Ι 2} \bar{B}_{i}^{Τ} Μ^{Τ} + Μ^{Τ} \bar{B}_{J} C_{2 Ι} & A_{i}^{Τ} Μ + Μ^{Τ} \bar{A}_{J} + C_{2 Ι} \bar{B}_{i}^{Τ} Y + X B_{2} \bar{C}_{J} & B_{1 i} & X C_{1 i} + Μ \bar{C}_{i}^{Τ} D_{i}^{Τ} \\ Μ A_{i} + \bar{A}_{Ι}^{Τ} Μ^{Τ} + \bar{C}_{i}^{Τ} B_{2 Ι}^{Τ} X + Y \bar{B}_{J} C_{2 Ι} & \bar{C}_{i}^{Τ} B_{2 Ι}^{Τ} Μ + Μ B_{2 Ι} \bar{C}_{J} + \bar{A}_{J} Y + Y \bar{A}_{i}^{Τ} & 0 & Μ^{Τ} C_{1 i} + Y \bar{C}_{i}^{Τ} D_{i}^{Τ} \\ B_{1 i}^{Τ} & 0 & - γ^{2} Ι & 0 \\ C_{1 i} X + D_{i} \bar{C}_{j} Μ^{Τ} & C_{1 i} Μ + D_{i} \bar{C}_{j} Y & 0 & - Ι \end{matrix}] < 0$

。 (9)

对上式化简, 分别对上式左乘diag (Φ^T₂, Φ^T₂) , 右乘diag (Φ₂, Φ₂) , 并令

$\begin{array}{l} A_{C j} = X A_{i} U + Μ^{Τ \bar{A}_{j}} Ν^{Τ} + B_{C j} C_{2 i} U + X B_{2 i} C_{C j}, \\ B_{C j} = Μ^{Τ \bar{B}_{j}}, C_{C j} = \bar{C}_{j} Ν^{Τ}, \end{array}$ $\begin{array}{l} A_{C j} = X A_{i} U + Μ^{Τ \bar{A}_{j}} Ν^{Τ} + B_{C j} C_{2 i} U + X B_{2 i} C_{C j}, \\ B_{C j} = Μ^{Τ \bar{B}_{j}}, C_{C j} = \bar{C}_{j} Ν^{Τ}, \end{array}$

则可得到式 (8c) 。

引理1 ^[7] 考虑广义模糊系统 (E, A) , 其中 $A = \sum_{i = 1}^{Ν} h_{i} A_{i}$ $A = \sum_{i = 1}^{Ν} h_{i} A_{i}$ 当存在一个对称矩阵P, 满足以下的不等式, 则广义模糊系统 (E, A) 是正则、无脉冲且D是稳定的。

$\begin{array}{l} E^{Τ} Ρ E \geq 0 (10 a) \\ [\begin{matrix} 0 & E & A - E q \\ E^{Τ} & - r^{2} Ρ^{- 1} & 0 \\ (A - E q)^{Τ} & 0 & - Ρ^{- 1} \end{matrix}] < 0 (10 b) \end{array}$ $\begin{array}{l} E^{Τ} Ρ E \geq 0 (10 a) \\ [\begin{matrix} 0 & E & A - E q \\ E^{Τ} & - r^{2} Ρ^{- 1} & 0 \\ (A - E q)^{Τ} & 0 & - Ρ^{- 1} \end{matrix}] < 0 (10 b) \end{array}$

定理3 对于系统式 (6) , 当存在一个对称矩阵 $\tilde{Ρ}$ $\tilde{Ρ}$ , 满足以下的不等式, 则广义模糊T-S系统在输出反馈控制器式 (4) 作用下是正则、无脉冲且D是稳定的。

$\begin{array}{l} \tilde{E}^{Τ} \tilde{Ρ} \tilde{E} \geq 0 (11 a) \\ [\begin{matrix} 0 & \tilde{E} & \tilde{A}_{i j} - \tilde{E} q \\ \tilde{E}^{Τ} & - r^{2} Ρ^{- 1} & 0 \\ (\tilde{A}_{i j} - \tilde{E} q)^{Τ} & 0 & - Ρ^{- 1} \end{matrix}] < 0 (11 b) \end{array}$ $\begin{array}{l} \tilde{E}^{Τ} \tilde{Ρ} \tilde{E} \geq 0 (11 a) \\ [\begin{matrix} 0 & \tilde{E} & \tilde{A}_{i j} - \tilde{E} q \\ \tilde{E}^{Τ} & - r^{2} Ρ^{- 1} & 0 \\ (\tilde{A}_{i j} - \tilde{E} q)^{Τ} & 0 & - Ρ^{- 1} \end{matrix}] < 0 (11 b) \end{array}$

证明由引理1可以得到这个结果。

定理4 对于系统式 (6) 当存在一个对称矩阵X, Y, U, M, N, 满足以下的线性矩阵不等式, 则广义模糊T-S系统在输出反馈控制器式 (4) 作用下是正则、无脉冲且D是稳定的。

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} X & Ι \\ Ι & U \end{matrix}] > 0 (12 a) \\ [\begin{matrix} E^{Τ} X E & E^{Τ} Μ E \\ E^{Τ} Μ^{Τ} E & E^{Τ} Y E \end{matrix}] \geq 0 (12 b) \end{array}$ $\begin{array}{l} [\begin{matrix} X & Ι \\ Ι & U \end{matrix}] > 0 (12 a) \\ [\begin{matrix} E^{Τ} X E & E^{Τ} Μ E \\ E^{Τ} Μ^{Τ} E & E^{Τ} Y E \end{matrix}] \geq 0 (12 b) \end{array}$

$[\begin{matrix} 0 & 0 & E X & E & (A - E q) X + B_{2 i} C_{c j} & A - E q \\ 0 & 0 & E & E U & A_{c j} - E q & U (A - E q) + B_{c j} C_{2} \\ X E^{Τ} & E^{Τ} & - r^{2} X & - r^{2} & 0 & 0 \\ E^{Τ} & E^{Τ} U & - r^{2} & - r^{2} U & 0 & 0 \\ X (A^{Τ} - E^{Τ} q) + C_{c j}^{Τ} B_{2}^{Τ} & A_{c j}^{Τ} - E_{q}^{Τ} & 0 & 0 & - X & - Ι \\ A^{Τ} - E^{Τ} q & (A^{Τ} - E^{Τ} q) U + C_{2} \bar{B}_{c j}^{Τ} & 0 & 0 & - Ι & - Y \end{matrix}] < 0$ $[\begin{matrix} 0 & 0 & E X & E & (A - E q) X + B_{2 i} C_{c j} & A - E q \\ 0 & 0 & E & E U & A_{c j} - E q & U (A - E q) + B_{c j} C_{2} \\ X E^{Τ} & E^{Τ} & - r^{2} X & - r^{2} & 0 & 0 \\ E^{Τ} & E^{Τ} U & - r^{2} & - r^{2} U & 0 & 0 \\ X (A^{Τ} - E^{Τ} q) + C_{c j}^{Τ} B_{2}^{Τ} & A_{c j}^{Τ} - E_{q}^{Τ} & 0 & 0 & - X & - Ι \\ A^{Τ} - E^{Τ} q & (A^{Τ} - E^{Τ} q) U + C_{2} \bar{B}_{c j}^{Τ} & 0 & 0 & - Ι & - Y \end{matrix}] < 0$

(12c)

证明用类似定理2中的方法, 可以把式 (11a) 进一步化简为式 (12a) 和式 (12b) 。在不等式 (11b) 两边左、右各乘一个对角矩阵P=diag {I, $\tilde{Ρ}$ $\tilde{Ρ}$ , $\tilde{Ρ}$ $\tilde{Ρ}$ }, 有

$[\begin{matrix} 0 & \tilde{E} & \tilde{A} - \tilde{E} q \\ \tilde{E}^{Τ} & - r^{2} Ρ^{- 1} & 0 \\ (\tilde{A} - \tilde{E} q)^{Τ} & 0 & - Ρ^{- 1} \end{matrix}] < 0 。$ $[\begin{matrix} 0 & \tilde{E} & \tilde{A} - \tilde{E} q \\ \tilde{E}^{Τ} & - r^{2} Ρ^{- 1} & 0 \\ (\tilde{A} - \tilde{E} q)^{Τ} & 0 & - Ρ^{- 1} \end{matrix}] < 0 。$

对上式分别左乘diag {I, Φ^T₂, Φ^T₂}, 右乘diag {I, Φ₂, Φ₂}, 则有

$[\begin{matrix} 0 & Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} Ρ Φ_{2} & Φ_{2}^{Τ} \tilde{A} Ρ Φ_{2} - Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} q Ρ Φ_{2} \\ Φ_{2}^{Τ} Ρ \tilde{E}^{Τ} Φ_{2} & - r^{2} Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} & 0 \\ Φ_{2}^{Τ} Ρ (\tilde{A} - \tilde{E} q)^{Τ} Φ_{2} & 0 & - Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} \end{matrix}] < 0 。$ $[\begin{matrix} 0 & Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} Ρ Φ_{2} & Φ_{2}^{Τ} \tilde{A} Ρ Φ_{2} - Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} q Ρ Φ_{2} \\ Φ_{2}^{Τ} Ρ \tilde{E}^{Τ} Φ_{2} & - r^{2} Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} & 0 \\ Φ_{2}^{Τ} Ρ (\tilde{A} - \tilde{E} q)^{Τ} Φ_{2} & 0 & - Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} \end{matrix}] < 0 。$

因为

$Φ_{1} = [\begin{matrix} X & Ι \\ Μ^{Τ} & 0 \end{matrix}], Φ_{2} = [\begin{matrix} Ι & U \\ 0 & Ν \end{matrix}], Ρ Φ_{2} = Φ_{1}, Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} = Φ_{2}^{Τ} Φ_{1} = [\begin{matrix} X & Ι \\ Ι & U \end{matrix}],$ $Φ_{1} = [\begin{matrix} X & Ι \\ Μ^{Τ} & 0 \end{matrix}], Φ_{2} = [\begin{matrix} Ι & U \\ 0 & Ν \end{matrix}], Ρ Φ_{2} = Φ_{1}, Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} = Φ_{2}^{Τ} Φ_{1} = [\begin{matrix} X & Ι \\ Ι & U \end{matrix}],$

上式等价于

$[\begin{matrix} 0 & Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} Φ_{1} & Φ_{2}^{Τ} \tilde{A} Φ_{1} - Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} q Φ_{1} \\ Φ_{1}^{Τ} \tilde{E}^{Τ} Φ_{2} & - r^{2} Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} & 0 \\ Φ_{1}^{Τ} (\tilde{A} - \tilde{E} q)^{Τ} Φ_{2} & 0 & - Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} \end{matrix}] < 0$ $[\begin{matrix} 0 & Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} Φ_{1} & Φ_{2}^{Τ} \tilde{A} Φ_{1} - Φ_{2}^{Τ} \tilde{E} q Φ_{1} \\ Φ_{1}^{Τ} \tilde{E}^{Τ} Φ_{2} & - r^{2} Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} & 0 \\ Φ_{1}^{Τ} (\tilde{A} - \tilde{E} q)^{Τ} Φ_{2} & 0 & - Φ_{2}^{Τ} Ρ Φ_{2} \end{matrix}] < 0$

令

则可以得到式 (12c) 。

基于上述分析, 可得满足性能要求的动态输出反馈控制器的设计方法, 即定理5。

定理5 给定量H_∞性能指标γ>0和圆形区域D (r, q) , 若X, U, $\bar{A}$ $\bar{A}$ _j, $\bar{B}$ $\bar{B}$ _j, $\bar{C}$ $\bar{C}$ _j是式 (12) 和式 (8) 的公共解, 则存在动态反馈控制器使得闭环系统不仅具有要求的H_∞性能, 而且还能将其极点配置在指定的圆形区域内。

证明由定理2和定理4直接可得。

注由以上分析可知, 若X, U, $\bar{A}$ $\bar{A}$ _j, $\bar{B}$ $\bar{B}$ _j, $\bar{C}$ $\bar{C}$ _j 能同时满足式 (12) 和式 (8) , 则输出反馈控制器可使闭环系统同时具有期望的动态性能和鲁棒稳定性能。可以通过计算2个满秩方阵M和N, 满足I-XU =MN^T, 然后求解方程

$\begin{array}{l} \bar{A}_{j} = (Μ^{Τ})^{- 1} (A_{C j} - (X A_{i} U + \\ B_{C j} C_{2 i} U + X B_{2 i} C_{C j})) (Ν^{Τ})^{- 1}, \\ \bar{B}_{j} = (Μ^{Τ})^{- 1} B_{C j}, \bar{C}_{j} = (Ν^{Τ})^{- 1} C_{C j} (12) \end{array}$ $\begin{array}{l} \bar{A}_{j} = (Μ^{Τ})^{- 1} (A_{C j} - (X A_{i} U + \\ B_{C j} C_{2 i} U + X B_{2 i} C_{C j})) (Ν^{Τ})^{- 1}, \\ \bar{B}_{j} = (Μ^{Τ})^{- 1} B_{C j}, \bar{C}_{j} = (Ν^{Τ})^{- 1} C_{C j} (12) \end{array}$

就可以得到控制器的参数。

《3 算例》

3 算例

考虑如下的广义T-S模糊系统模型:

Rⁱ :If x₁ (t) is M₁ ,

$\begin{array}{l} Τ h e n E \dot{x} = A_{i} x + B_{1 i} w + B_{2 i} u \\ z = C_{i} x i = 1, 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} Τ h e n E \dot{x} = A_{i} x + B_{1 i} w + B_{2 i} u \\ z = C_{i} x i = 1, 2 \end{array}$

其中 x (t) = (x₁ (t) , x₂ (t) ) ^T, 其模糊规则为:

Rule¹ 如果x₁ (t) 在0°附近, 则

$\begin{array}{l} E \dot{x} = A_{1} x + B_{11} w + B_{21} u, \\ z = C_{1} x 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} E \dot{x} = A_{1} x + B_{11} w + B_{21} u, \\ z = C_{1} x 。 \end{array}$

Rule² 如果x₁ (t) 在60°附近, 则

$\begin{array}{l} E \dot{x} = A_{2} x + B_{12} w + B_{22} u, \\ z = C_{2} x 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} E \dot{x} = A_{2} x + B_{12} w + B_{22} u, \\ z = C_{2} x 。 \end{array}$

其隶属度函数为

$\begin{array}{l} h_{1} (x_{1} (t)) = (1 + c o n x_{1} (t)) / 2, \\ h_{2} (x_{1} (t)) = (1 - c o n x_{1} (t)) / 2, \\ E = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}], A_{1} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 6 \end{matrix}], \\ A_{2} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.6 & 2 \end{matrix}], B_{11} = [\begin{matrix} 0.001 \\ 0 \\ 0.09 \end{matrix}], \\ B_{12} = [\begin{matrix} 0.002 \\ 1 \\ 0.001 \end{matrix}], B_{21} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], \\ B_{22} = [1 2 0]^{Τ}, [C_{1} = C_{2} = [1 0 0] 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} h_{1} (x_{1} (t)) = (1 + c o n x_{1} (t)) / 2, \\ h_{2} (x_{1} (t)) = (1 - c o n x_{1} (t)) / 2, \\ E = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}], A_{1} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 5 & 6 \end{matrix}], \\ A_{2} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.6 & 2 \end{matrix}], B_{11} = [\begin{matrix} 0.001 \\ 0 \\ 0.09 \end{matrix}], \\ B_{12} = [\begin{matrix} 0.002 \\ 1 \\ 0.001 \end{matrix}], B_{21} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], \\ B_{22} = [1 2 0]^{Τ}, [C_{1} = C_{2} = [1 0 0] 。 \end{array}$

对于上述算例, 设定系统输入是一个从零时刻开始的、终止值为10的阶跃函数。系统扰动是一个幅值为0.1的正弦函数。可以得到开环系统的输出曲线 (见图1) , 可以看出, 系统开环是不稳定的。

《图14》

图1开环系统响应

Fig.1 Response to open-loop system

由定理5, 利用LMI可以计算得出使系统满足控制目标的动态输出反馈控制器为:,

$\begin{array}{l} \bar{A}_{1} = [\begin{matrix} - 6.454 7 & 9.161 0 & 3.666 5 \\ - 5.342 6 & 7.583 2 & 3.034 9 \\ - 0.014 6 & 0.037 8 & - 0.052 3 \end{matrix}], \\ \bar{A}_{2} = [\begin{matrix} - 6.667 8 & 3.141 6 & 1.279 6 \\ - 5.523 6 & 27.634 2 & 3.124 5 \\ - 0.013 2 & 0.036 8 & - 0.051 7 \end{matrix}] ‚ \\ \bar{B}_{1} = [\begin{matrix} - 1.121 6 \\ - 0.928 4 \\ 0.000 1 \end{matrix}] ‚ \bar{B}_{2} = [\begin{matrix} - 1.044 1 \\ - 0.864 3 \\ 0.000 0 \end{matrix}] ‚ \\ \bar{C}_{1} = [0.002 4 - 0.017 8 - 0.068 9] ‚ \\ \bar{C}_{2} = [0.004 7 - 0.025 8 - 0.206 0] . \end{array}$ $\begin{array}{l} \bar{A}_{1} = [\begin{matrix} - 6.454 7 & 9.161 0 & 3.666 5 \\ - 5.342 6 & 7.583 2 & 3.034 9 \\ - 0.014 6 & 0.037 8 & - 0.052 3 \end{matrix}], \\ \bar{A}_{2} = [\begin{matrix} - 6.667 8 & 3.141 6 & 1.279 6 \\ - 5.523 6 & 27.634 2 & 3.124 5 \\ - 0.013 2 & 0.036 8 & - 0.051 7 \end{matrix}] ‚ \\ \bar{B}_{1} = [\begin{matrix} - 1.121 6 \\ - 0.928 4 \\ 0.000 1 \end{matrix}] ‚ \bar{B}_{2} = [\begin{matrix} - 1.044 1 \\ - 0.864 3 \\ 0.000 0 \end{matrix}] ‚ \\ \bar{C}_{1} = [0.002 4 - 0.017 8 - 0.068 9] ‚ \\ \bar{C}_{2} = [0.004 7 - 0.025 8 - 0.206 0] . \end{array}$

取系统的性能指标γ= 0.1, 即在系统稳定后, 系统相对应于其外部扰动的增益小于γ= 0.1, 闭环系统的极点配置在以-8为圆心、以1为半径的圆内, 闭环系统仿真结果如图2所示, 可见系统的响应速度达到了一个较快的水平。

《图15》

图2闭环系统响应

Fig.2 Response to closed-loop system

《4 结语》

4 结语

利用LMI方法给出了使闭环广义T-S模糊系统既具有H_∞性能、又具有将其极点配置在圆形区域内的动态反馈控制器存在的充分条件, 并阐述了由一组LMI的可行解得到动态输出反馈控制器的设计方法。

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