Application of Uncertainty Reasoning Theory to Satellite Fault Detection and Diagnosis

Abstract

Generally, reasoning theory can be divided into certainty reasoning theory and uncertainty reasoning theory. Traditionally, certainty reasoning theory is used to detect and diagnose satellite faults. However, in practice, it is difficult to detect and diagnose some satellite faults automatically only by use of certainty reasoning theory. The reason is that detection and diagnosis of these faults requires reasonable reasoning and fault-tolerant capability, but certainty reasoning theory can not realize the capability. Fortunately, uncertainty reasoning theory can meet this requirement. Now, it is attracting attention of many researchers and practitioners in the space field all over the world that uncertainty reasoning theory is applied to detect and diagnose the satellite faults which can not be handled properly by certainty reasoning theory. Uncertainty reasoning theory includes several kinds of theories, such as inclusion degree theory, rough set theory, evidence reasoning theory, probabilistic reasoning theory, fuzzy reasoning theory, and so on. This paper introduces three new methods to detect and diagnose the satellite faults, in which inclusion degree theory, rough set theory and evidence reasoning theory of the uncertainty reasoning theory are used respectively.

Content

《1 概述》

1 概述

通常在进行卫星故障检测和诊断时, 人们往往想到确定性推理理论。然而在卫星故障检测和诊断的许多方面, 如症状信息获取、决策信息系统生成和约简等方面都不可避免地要运用合情推理和容错能力。不确定性推理理论可以实现合情推理和容错能力, 而确定性推理理论却不能。因而仅仅应用确定性推理理论是难以对某些卫星故障进行自动检测和诊断的。目前, 人们正在研究不确定性推理理论在卫星故障检测和诊断中的应用, 相应的系统也正在开发。不确定性推理理论包括若干理论。笔者研究的卫星故障检测和诊断的三种新方法, 分别基于不确定性推理理论中的包含度理论、粗糙集理论和证据推理理论 ^[1,2]。

《2 三种新方法简介》

2 三种新方法简介

《2.1包含度理论方法》

2.1包含度理论方法

设 ^[1]:

·X为对象集合, A_i⊂X (i≤k) 为X的分划, 即满足A_i∩A_j=Φ (i≠j) , 且 $\cup_{i = 1}^{k} A_{i} = X$ $\cup_{i = 1}^{k} A_{i} = X$ 。

·A_x 是X的一个分划, A_x={ A_i; i≤k }。

·D是X上分划的全体。

·X上的两个分划A_x={ A_i; i≤k } 和B_x={B_j; j≤l}。

若有A_i⊂B_j, 称B_x 依赖于A_x (A_x⊂B_x) 。如果A_i∈A_x, B_j∈B_x 且A_i⊂B_j, 称A_i 影响到B_j。

D (B_j / A_i) 和D (B_x / A_x) 分别是X和D上的包含度。包含度定义如下:

$\begin{array}{l} D (B_{x} / A_{x}) = \land_{i = 1}^{k} (\lor_{j = 1}^{l} D (B_{j} / A_{i})) ‚ \\ A_{x} \leq B_{x} ‚ D (B_{x} / A_{x}) = 1 ‚ \\ A_{x} \times B_{x} = {A_{i} \cap B_{j} ； i \leq k ‚ j \leq l} ‚ \\ A_{x} \times B_{x} \leq A_{x} ‚ A_{x} \times B_{x} \leq B_{x} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} D (B_{x} / A_{x}) = \land_{i = 1}^{k} (\lor_{j = 1}^{l} D (B_{j} / A_{i})) ‚ \\ A_{x} \leq B_{x} ‚ D (B_{x} / A_{x}) = 1 ‚ \\ A_{x} \times B_{x} = {A_{i} \cap B_{j} ； i \leq k ‚ j \leq l} ‚ \\ A_{x} \times B_{x} \leq A_{x} ‚ A_{x} \times B_{x} \leq B_{x} 。 \end{array}$

若 $D (B_{x} / A_{x}) = \land_{i = 1}^{k} (\lor_{j = 1}^{l} D (B_{j} / A_{i})) < 1$ $D (B_{x} / A_{x}) = \land_{i = 1}^{k} (\lor_{j = 1}^{l} D (B_{j} / A_{i})) < 1$ 且 i≤k, 存在 B_ji, 满足 $D (B_{j i} / A_{i}) = \lor_{j = 1}^{l} D (B_{j} / A_{i})$ $D (B_{j i} / A_{i}) = \lor_{j = 1}^{l} D (B_{j} / A_{i})$ , 则可得到如下规则:

如果是 A_i, 则为 B_ji 。

《2.2粗糙集理论方法》

2.2粗糙集理论方法

讨论使用粗糙集 (rough set) 理论进行决策信息系统约简的方法。约简指在保持决策信息系统依赖关系不变的情况下对其进行简化。约简依据以下定义 ^{[3,4,5,6,7,8,9,10,11]}:

定义1 决策信息系统可表示为S=〈U, R, V, f〉。U为对象集, R=C∪D为属性集 (C为条件属性, D为决策属性) 。 $V = \underset{r \in R}{\cup} V_{r}$ $V = \underset{r \in R}{\cup} V_{r}$ 是属性值的集合, f∶U×R→V为U中每一个对象x的属性值。对于每一个属性值集B⊂R, 定义不分明关系 (IND) :

$\begin{array}{l} Ι Ν D (B) = {(x, y) | (x, y) \in U^{2} ‚ \\ \forall b \in B ‚ b (x) = b (y)} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Ι Ν D (B) = {(x, y) | (x, y) \in U^{2} ‚ \\ \forall b \in B ‚ b (x) = b (y)} 。 \end{array}$

IND (B) 为一等价关系, 且

$Ι Ν D (B) = \underset{a \in B}{\cap} Ι Ν D (b) 。$ $Ι Ν D (B) = \underset{a \in B}{\cap} Ι Ν D (b) 。$

定义2 U为对象集, P是定义在U上的一个等价关系簇, R∈P。如果IND (PR}) =IND (P) , R对P是绝对不必要的, 否则, 是绝对必要的。

定义3 U为对象集, P是定义在U上的一个等价关系簇, R∈P。如果每一个R∈P对P都是绝对必要的, 则P是独立的, 否则, 是互相依赖的。

定义4 U为对象集, P是定义在U上的一个等价关系簇。P簇所有绝对必要关系组成的集合为关系簇P的绝对核 (CORE (P) ) 。

定义5 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇且Q⊂P。如果 IND (Q) =IND (P) , 且Q是独立的, 则Q是P的一个绝对约简。

定义6 对X和不分明关系B, 包含于X的最大可定义集B_- (X) 和最小可定义集B^- (X) 都能够根据B确定。B_- (X) 和B^- (X) 分别称为X的B下逼近和上逼近:

$\begin{array}{l} B_{-} (X) = \cup {Y \in U / Ι Ν D (B) ∶ Y \subset X} ‚ \\ B^{-} (X) = \cup {Y \in U / Ι Ν D (B) ∶ Y \cap X \neq Φ} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} B_{-} (X) = \cup {Y \in U / Ι Ν D (B) ∶ Y \subset X} ‚ \\ B^{-} (X) = \cup {Y \in U / Ι Ν D (B) ∶ Y \cap X \neq Φ} 。 \end{array}$

定义7 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇, Q的P正域为 $Ρ Ο S_{Ρ} (Q) = \underset{x \in U / Q}{\cup} Ρ_{-} (X)$ $Ρ Ο S_{Ρ} (Q) = \underset{x \in U / Q}{\cup} Ρ_{-} (X)$ 。

定义8 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇。如果POS_P (Q) =POS (Pr}) (Q) , 则r是P中相对于Q可省略的, 否则, 是不可省略的。

定义9 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇。如果POS_P (Q) ≠POS (Pr}) (Q) , P为相对于Q独立的。

定义10 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇, 且S⊂P。如果 POS_S (Q) =POS_P (Q) , 则S为P的Q约简 (RED_Q (P) ) 。

定义11 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇, P的所有Q不可省略关系簇为P的Q核 (CORE_Q (P) ) 。

定义12 U为对象集, P和Q是定义在U上的两个等价关系簇, 如果POS_P (Q) =U, 则U是P上相对于Q一致的。

定义13 决策信息系统条件属性集合C的相对约简C′是C相对于决策属性D的最大独立子集。

《2.3证据推理理论方法》

2.3证据推理理论方法

证据推理理论的关键概念是mass函数。mass函数的值是由专家依据他们的态度、经验、知识等确定的。对于同一决策问题, 各位专家给出的值往往不同。如果仅应用确定性推理理论, 依据专家们给出的mass函数值进行决策是困难的。若应用证据推理理论, 决策就比较容易, 因为证据推理理论可以合理地合并这些mass函数。证据推理理论的这一特点对于卫星故障检测和诊断是非常有用的。在卫星故障检测和诊断实际中, 经常会有这样的情况:对于同一个现象, 专家们根据其经验和知识给出的结果是不同的, 其原因是定位卫星故障和确定导致卫星故障的因素都是困难的。此时, 就可以应用证据推理理论合成各位专家的不同观点, 得到合理的结果 ^[12,13,14]。

mass函数合成方法如下 (H为假设空间) :

$m (D) = \frac{1}{Ν} \sum_{A \cap B = D} m_{1} (A) \cdot m_{2} (B), (D \subset Η)$ $m (D) = \frac{1}{Ν} \sum_{A \cap B = D} m_{1} (A) \cdot m_{2} (B), (D \subset Η)$

其中

$\begin{array}{l} m (ϕ) = 0 ‚ \\ Ν = \sum_{A \cap B \neq ϕ} m_{1} (A) \cdot m_{2} (B) > 0 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} m (ϕ) = 0 ‚ \\ Ν = \sum_{A \cap B \neq ϕ} m_{1} (A) \cdot m_{2} (B) > 0 。 \end{array}$

设m是X上的mass函数, 则:

$\begin{array}{l} B (A) = \sum_{D \subset A} m (D), (D \subset X) ‚ \\ L (A) = \sum_{D \cap A \neq ϕ} m (D), (D \subset X) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} B (A) = \sum_{D \subset A} m (D), (D \subset X) ‚ \\ L (A) = \sum_{D \cap A \neq ϕ} m (D), (D \subset X) 。 \end{array}$

近似精度μ=B (A) /L (A) 。通过求μ_max, 确定导致卫星故障的原因。

应用证据推理理论时, 要注意以下五点:

·导致卫星故障的因素是不相关的。

· 可以对各位专家的mass函数给出不同的权重, 导致不同因素故障的权重也可以不同。

·一种故障通常可能由多种因素同时引起, 应启发专家在确定mass函数值时考虑多种因素。

·如果不同因素的μ比较接近, 则故障可能是由这几种因素共同作用的结果。

·要考虑非显著因素的综合效果。若非显著因素的综合效果大于某个显著因素的效果, 则应该用另一种方法进行故障诊断, 以验证证据推理理论的诊断结果。

《3 三种新方法的实际应用》

3 三种新方法的实际应用

《3.1包含度理论的应用》

3.1包含度理论的应用

设姿态控制计算机故障的有关因素为 ^{[1,15,16,17,18,19,20]}:

·卫星是否穿越地球北极;

·是否实施轨道控制;

·星上主份陀螺是否在线。

根据包含度理论, 卫星姿态控制计算机故障信息系统的原始形式如表1。

表1 卫星姿态控制计算机故障信息系统 (原始形式)

Table 1 Information system of the fault of satellite attitude control computer (original form)

《表1》

故障对象	症状			决策
故障对象	穿越地球北极	轨道控制	主份陀螺在线	决策
F₁	是	是	是	D₁
F₂	是	否	否	D₂
F₃	否	是	否	D₃
F₄	否	是	否	D₃
F₅	是	是	是	D₁
F₆	是	是	是	D₁
F₇	是	否	否	D₂
F₈	否	是	否	D₃

定义 F表示故障, C表示故障症状属性, D表示故障决策属性。

症状属性中的“是”用1表示, “否”用0表示;决策属性中的“D₁”用1表示, “D₂”用2表示, “D₃”用3表示。为表述方便, 用PNP表示“穿越地球北极”, 用OM表示“轨道控制”, 用MGO表示“主份陀螺在线”, 则卫星姿态控制计算机故障信息系统的形式化形式如表2。

表2 卫星姿态控制计算机故障信息系统 (形式化形式)

Table 2 Information system of the fault of satellite attitude control computer (formulary form)

《表2》

F	C			D
F	PNP	OM	MGO	D
F₁	1	1	1	1
F₂	1	0	0	2
F₃	0	1	0	3
F₄	0	1	0	3
F₅	1	1	1	1
F₆	1	1	1	1
F₇	1	0	0	2
F₈	0	1	0	3

分别按PNP, OM和MGO划分F:

$\begin{array}{l} A_{1 - Ρ Ν Ρ} = {F_{i}; Ρ Ν Ρ = 1} = {F_{1}, F_{2}, F_{5}, F_{6}, F_{7}} ‚ \\ A_{2 - Ρ Ν Ρ} = {F_{i}; Ρ Ν Ρ = 0} = {F_{3}, F_{4}, F_{8}} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} A_{1 - Ρ Ν Ρ} = {F_{i}; Ρ Ν Ρ = 1} = {F_{1}, F_{2}, F_{5}, F_{6}, F_{7}} ‚ \\ A_{2 - Ρ Ν Ρ} = {F_{i}; Ρ Ν Ρ = 0} = {F_{3}, F_{4}, F_{8}} ‚ \end{array}$

则PNP对F的划分 (PNP^*) 为

$\begin{array}{l} Ρ Ν Ρ^{*} = {{F_{1}, F_{2}, F_{5}, F_{6}, F_{7}}, {F_{3}, F_{4}, F_{8}}} 。 \\ A_{1 - Ο Μ} = {F_{i}; Ο Μ = 1} = {F_{1}, F_{3}, F_{4}, F_{5}, F_{6}, F_{8}} ‚ \\ A_{2 - Ο Μ} = {F_{i}; Ο Μ = 0} = {F_{2}, F_{7}} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} Ρ Ν Ρ^{*} = {{F_{1}, F_{2}, F_{5}, F_{6}, F_{7}}, {F_{3}, F_{4}, F_{8}}} 。 \\ A_{1 - Ο Μ} = {F_{i}; Ο Μ = 1} = {F_{1}, F_{3}, F_{4}, F_{5}, F_{6}, F_{8}} ‚ \\ A_{2 - Ο Μ} = {F_{i}; Ο Μ = 0} = {F_{2}, F_{7}} ‚ \end{array}$

则OM对F的划分 (OM^*) 为

$\begin{array}{l} Ο Μ^{*} = {{F_{1}, F_{3}, F_{4}, F_{5}, F_{6}, F_{8}}, {F_{2}, F_{7}}} 。 \\ A_{1 - Μ G Ο} = {F_{i}; Μ G Ο = 1} = {F_{1}, F_{5}, F_{6}} ‚ \\ A_{2 - Μ G Ο} = {F_{i}; Μ G Ο = 0} = {F_{2}, F_{3}, F_{4}, F_{7}, F_{8}} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} Ο Μ^{*} = {{F_{1}, F_{3}, F_{4}, F_{5}, F_{6}, F_{8}}, {F_{2}, F_{7}}} 。 \\ A_{1 - Μ G Ο} = {F_{i}; Μ G Ο = 1} = {F_{1}, F_{5}, F_{6}} ‚ \\ A_{2 - Μ G Ο} = {F_{i}; Μ G Ο = 0} = {F_{2}, F_{3}, F_{4}, F_{7}, F_{8}} ‚ \end{array}$

则MGO对F的划分 (MGO^*) 为

$Μ G Ο^{*} = {{F_{1}, F_{5}, F_{6}}, {F_{2}, F_{3}, F_{4}, F_{7}, F_{8}}} 。$ $Μ G Ο^{*} = {{F_{1}, F_{5}, F_{6}}, {F_{2}, F_{3}, F_{4}, F_{7}, F_{8}}} 。$

于是, 得到关于F依不同属性的所有划分:

$\begin{array}{l} F = {Ρ Ν Ρ^{*} ‚ Ο Μ^{*} ‚ Μ G Ο^{*} ‚ Ρ Ν Ρ^{*} \times Ο Μ^{*} ‚ \\ Ρ Ν Ρ^{*} \times Μ G Ο^{*} ‚ Ο Μ^{*} \times Μ G Ο^{*} ‚ \\ Ρ Ν Ρ^{*} \times Ο Μ^{*} \times Μ G Ο^{*}} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} F = {Ρ Ν Ρ^{*} ‚ Ο Μ^{*} ‚ Μ G Ο^{*} ‚ Ρ Ν Ρ^{*} \times Ο Μ^{*} ‚ \\ Ρ Ν Ρ^{*} \times Μ G Ο^{*} ‚ Ο Μ^{*} \times Μ G Ο^{*} ‚ \\ Ρ Ν Ρ^{*} \times Ο Μ^{*} \times Μ G Ο^{*}} 。 \end{array}$

按D划分F:

$\begin{array}{l} A_{1 - D} = {F_{i} ； D = 1} = {F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ \\ A_{2 - D} = {F_{i} ； D = 2} = {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ \\ A_{3 - D} = {F_{i} ； D = 3} = {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} A_{1 - D} = {F_{i} ； D = 1} = {F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ \\ A_{2 - D} = {F_{i} ； D = 2} = {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ \\ A_{3 - D} = {F_{i} ； D = 3} = {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}} ‚ \end{array}$

则D对F的划分 (D^*) 为

$D^{*} = {{F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}}} 。$ $D^{*} = {{F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}}} 。$

由于PNP^*>D^*, OM^*>D^*, MGO^*>D^*, 所以, 依赖PNP^*, OM^*, MGO^*其中之一不能形成决策规则。但是, PNP^*×OM^*≤D^*, OM^*×MGO^*≤D^*, 表明可以用PNP与OM或OM与MOG划分D。

例如:

$\begin{array}{l} Ρ Ν Ρ^{*} \times Ο Μ^{*} = {{F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}}} ‚ \\ Ο Μ^{*} \times Μ G Ο^{*} = {{F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}}} ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} Ρ Ν Ρ^{*} \times Ο Μ^{*} = {{F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}}} ‚ \\ Ο Μ^{*} \times Μ G Ο^{*} = {{F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} ‚ {F_{2} ‚ F_{7}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}}} ‚ \end{array}$

则有

$\begin{array}{l} {F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} = {F_{i} ； Ρ Ν Ρ = 1 ‚ Ο Μ = 1} = \\ {F_{i} ； D = D_{1}} ‚ \\ {F_{2} ‚ F_{7}} = {F_{i} ； Ρ Ν Ρ = 1 ‚ Ο Μ = 0} = \\ {F_{i} ； D = D_{2}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}} = {F_{i} ； Ρ Ν Ρ = 0 ‚ Ο Μ = 1} = \\ {F_{i} ； D = D_{3}} ‚ \\ {F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} = {F_{i} ； Ο Μ = 1 ‚ Μ G Ο = 1} = \\ {F_{i} ； D = D_{1}} ‚ \\ {F_{2} ‚ F_{7}} = {F_{i} ； Ο Μ = 0 ‚ Μ G Ο = 0} = \\ {F_{i} ； D = D_{2}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}} = {F_{i} ； Ο Μ = 1 ‚ Μ G Ο = 0} = \\ {F_{i} ； D = D_{3}} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} {F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} = {F_{i} ； Ρ Ν Ρ = 1 ‚ Ο Μ = 1} = \\ {F_{i} ； D = D_{1}} ‚ \\ {F_{2} ‚ F_{7}} = {F_{i} ； Ρ Ν Ρ = 1 ‚ Ο Μ = 0} = \\ {F_{i} ； D = D_{2}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}} = {F_{i} ； Ρ Ν Ρ = 0 ‚ Ο Μ = 1} = \\ {F_{i} ； D = D_{3}} ‚ \\ {F_{1} ‚ F_{5} ‚ F_{6}} = {F_{i} ； Ο Μ = 1 ‚ Μ G Ο = 1} = \\ {F_{i} ； D = D_{1}} ‚ \\ {F_{2} ‚ F_{7}} = {F_{i} ； Ο Μ = 0 ‚ Μ G Ο = 0} = \\ {F_{i} ； D = D_{2}} ‚ \\ {F_{3} ‚ F_{4} ‚ F_{8}} = {F_{i} ； Ο Μ = 1 ‚ Μ G Ο = 0} = \\ {F_{i} ； D = D_{3}} 。 \end{array}$

因而得到以下决策规则:

规则1:

如果 (PNP=1, OM=1) , 则 D=D₁;

如果 (PNP=1, OM=0) , 则 D=D₂;

如果 (PNP=0, OM=1) , 则 D=D₃。

规则2:

如果 (OM=1, MGO=1) , 则 D=D₁;

如果 (OM=0, MGO=0) , 则 D=D₂;

如果 (OM=1, MGO=0) , 则 D=D₃。

《3.2粗糙集理论的应用》

3.2粗糙集理论的应用

设引起卫星姿态故障的姿态控制部件包括推力器、陀螺、动量轮、磁力矩器。为表述方便, “推力器”用Thruster表示, “陀螺”用Gyro表示、“动量轮”用MW表示, “磁力矩器”用MT表示 ^{[3,4,5,6,7,8,9,10,11,15,16,17,18,19,20]} , 每个姿态控制部件的症状信息如表3。

表3 症状信息

Table 3 Symptom information

《表3》

部件	名称		症状信息
P₁	Thruster	T_H1	T_H2	T_H3
P₂	Gyro	G₁	G₂	G₃
P₃	MW	M₁	M₂
P₄	MT	T_O1	T_O2

为表述方便, 用T_H1, T_H2, T_H3分别表示Thruster遥测数据的三种取值;用G₁, G₂, G₃分别表示Gyro遥测数据的三种取值;用M₁, M₂分别表示MW遥测数据的两种取值;用T_O1, T_O2分别表示MT遥测数据的两种取值。

根据卫星历史测量数据得到的初始决策信息系统如表4。

表4 决策信息系统

Table 4 Decision information system

《表4》

	部件属性值			故障状态
T_H1	G₃	M₂	T_O2	无
T_H1	G₃	M₂	T_O1	无
T_H2	G₃	M₂	T_O2	有
T_H3	G₂	M₂	T_O2	有
T_H3	G₁	M₁	T_O2	有
T_H3	G₁	M₁	T_O1	无
T_H2	G₁	M₁	T_O1	有
T_H1	G₂	M₂	T_O2	无
T_H1	G₁	M₁	T_O2	有
T_H3	G₂	M₁	T_O2	有
T_H1	G₂	M₁	T_O1	有
T_H2	G₂	M₂	T_O1	有

定义C为条件属性集 (部件属性) :

C={推力器 (a₁) , 陀螺 (a₂) , 动量轮 (a₃) , 磁力矩器 (a₄) }。

设D为决策属性集:

$D = {D e c i s i o n (d)} ‚$ $D = {D e c i s i o n (d)} ‚$

则有如下“不分明关系 (IND) ”和“正域 (POS) ”:

IND (C) ={{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}};

IND (D) ={{1, 2, 6, 8}, {3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12}};

POS_C (D) =U;

IND (C\a₁) ={{1, 3}, {2}, {4, 8}, {5, 9}, {6, 7}, {10}, {11}, {12}};

IND (C\a₂) ={{1, 8}, {2}, {3}, {4}, {5, 10}, {6}, {7}, {9}, {11}, {12}};

IND (C\a₃) ={{1}, {2}, {3}, {4, 10}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {11}, {12}};

IND (C\a₄) ={{1, 2}, {3}, {4}, {5, 6}, {7}, {8}, {9}, {11}, {12}}。

由此可得

$\begin{array}{l} Ρ Ο S_{(C \ a_{1})} (D) = {2 ‚ 5 ‚ 9 ‚ 10 ‚ 11} ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ a_{2})} (D) = U = Ρ Ο S_{C} (D) ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ a_{3})} (D) = U = Ρ Ο S_{C} (D) ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ a_{4})} (D) = {1 ‚ 2 ‚ 3 ‚ 7 ‚ 8 ‚ 9 ‚ 10 ‚ 11 ‚ 12} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Ρ Ο S_{(C \ a_{1})} (D) = {2 ‚ 5 ‚ 9 ‚ 10 ‚ 11} ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ a_{2})} (D) = U = Ρ Ο S_{C} (D) ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ a_{3})} (D) = U = Ρ Ο S_{C} (D) ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ a_{4})} (D) = {1 ‚ 2 ‚ 3 ‚ 7 ‚ 8 ‚ 9 ‚ 10 ‚ 11 ‚ 12} 。 \end{array}$

因此, 在判断该故障时, 陀螺或动量轮的因素是不必要的。但是:

$\begin{array}{l} Ι Ν D (C \ (a_{2} ‚ a_{3})) = {{1 ‚ 8 ‚ 9} ‚ {2 ‚ 11} ‚ {3} ‚ \\ {4 ‚ 5 ‚ 10} ‚ {6} ‚ {7}} ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ (a_{2} ‚ a_{3})} (D) = {3 ‚ 4 ‚ 5 ‚ 6 ‚ 7 ‚ 10 ‚ 12} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Ι Ν D (C \ (a_{2} ‚ a_{3})) = {{1 ‚ 8 ‚ 9} ‚ {2 ‚ 11} ‚ {3} ‚ \\ {4 ‚ 5 ‚ 10} ‚ {6} ‚ {7}} ‚ \\ Ρ Ο S_{(C \ (a_{2} ‚ a_{3})} (D) = {3 ‚ 4 ‚ 5 ‚ 6 ‚ 7 ‚ 10 ‚ 12} 。 \end{array}$

所以, 条件属性集{推力器 (a₁) 、陀螺 (a₂) 、磁力矩器 (a₄) }和{推力器 (a₁) 、动量轮 (a₃) 、磁力矩器 (a₄) }能够决定决策属性集{Decision (d) }, C的所有D约简为

$\begin{array}{l} R E D_{D} (C) = {{Τ h r u s t e r (a_{1}) ‚ G y r o (a_{2}) ‚ \\ Μ Τ (a_{4})} ‚ {Τ h r u s t e r (a_{1}) ‚ \\ Μ W (a_{3}) ‚ Μ Τ (a_{4})}} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} R E D_{D} (C) = {{Τ h r u s t e r (a_{1}) ‚ G y r o (a_{2}) ‚ \\ Μ Τ (a_{4})} ‚ {Τ h r u s t e r (a_{1}) ‚ \\ Μ W (a_{3}) ‚ Μ Τ (a_{4})}} 。 \end{array}$

C的D核为

$\begin{array}{l} C Ο R E_{D} (C) = \cap R E D_{D} (C) = \\ {{Τ h r u s t e r (a_{1}) ‚ Μ Τ (a_{4})}} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} C Ο R E_{D} (C) = \cap R E D_{D} (C) = \\ {{Τ h r u s t e r (a_{1}) ‚ Μ Τ (a_{4})}} 。 \end{array}$

根据基于辨识矩阵和逻辑运算的决策表属性约简算法, 得到决策信息系统的两个约简A和B, 如表5, 表6。

表5 决策信息系统约简A (推力器, 陀螺, 磁力矩器)

Table 5 Reduction A of the decision information system (Thruster, Gyro, MT)

《表5》

	部件属性值		故障状态
T_H1	G₃	T_O2	无
T_H1	G₃	T_O1	无
T_H2	G₃	T_O2	有
T_H3	G₂	T_O2	有
T_H3	G₁	T_O2	有
T_H3	G₁	T_O1	无
T_H2	G₁	T_O1	有
T_H1	G₂	T_O2	无
T_H1	G₁	T_O2	有
T_H1	G₂	T_O1	有
T_H2	G₂	T_O1	有

表6 决策信息系统约简B (推力器, 动量轮, 磁力矩器)

Table 6 Reduction B of the decision information system (Thruster, MW, MT)

《表6》

	部件属性值		故障状态
T_H1	M₂	T_O2	无
T_H1	M₂	T_O1	无
T_H2	M₂	T_O2	有
T_H3	M₂	T_O2	有
T_H3	M₁	T_O2	有
T_H3	M₁	T_O1	无
T_H2	M₁	T_O1	有
T_H1	M₁	T_O2	有
T_H1	M₁	T_O1	有
T_H2	M₂	T_O1	有

《3.3证据推理理论的应用》

3.3证据推理理论的应用

设导致卫星姿态故障的部件有动量轮故障 (P₁) 、推力器故障 (P₂) 、姿态敏感器故障 (P₃) , 专家给出以下判断 (_YP_j表示是该部件导致姿态故障, _NP_j表示不是该部件导致姿态故障) ^{[12,13,14,17,18,19]}:

$\begin{array}{l} m_{1} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.6, m_{2} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.2, \\ m_{3} (_{Y} Ρ_{2}) = 0.4, m_{4} (_{Ν} Ρ_{3}) = 0.8, \\ m_{5} (_{Y} Ρ_{2}) = 0.3, m_{6} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.5, \\ m_{7} (_{Y} Ρ_{1}) = 0.3, m_{8} (_{Y} Ρ_{3}) = 0.7 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} m_{1} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.6, m_{2} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.2, \\ m_{3} (_{Y} Ρ_{2}) = 0.4, m_{4} (_{Ν} Ρ_{3}) = 0.8, \\ m_{5} (_{Y} Ρ_{2}) = 0.3, m_{6} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.5, \\ m_{7} (_{Y} Ρ_{1}) = 0.3, m_{8} (_{Y} Ρ_{3}) = 0.7 。 \end{array}$

mass 函数合并:

1) 合并m₁ 和m₂, m = m₁⊕m₂

$\begin{array}{l} m_{1} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.6 ‚ m_{1} (U) = 1 - 0.6 = 0.4 ‚ \\ m_{2} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.2 ‚ m_{2} (U) = 1 - 0.2 = 0.8 ‚ \\ m_{9} (U) = (m_{1} \oplus m_{2}) (U) = 0.4 \times 0.8 = 0.32 ‚ \\ m_{9} (_{Ν} Ρ_{1}) = 1 - 0.32 = 0.68 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} m_{1} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.6 ‚ m_{1} (U) = 1 - 0.6 = 0.4 ‚ \\ m_{2} (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.2 ‚ m_{2} (U) = 1 - 0.2 = 0.8 ‚ \\ m_{9} (U) = (m_{1} \oplus m_{2}) (U) = 0.4 \times 0.8 = 0.32 ‚ \\ m_{9} (_{Ν} Ρ_{1}) = 1 - 0.32 = 0.68 。 \end{array}$

2) 合并m₉ 和 m₆

$\begin{array}{l} m_{10} (U) = (m_{9} \oplus m_{6}) (U) = 0.5 \times 0.32 = 0.16 ‚ \\ m_{10} (_{Ν} Ρ_{1}) = (m_{9} \oplus m_{6}) (_{Ν} Ρ_{1}) = 1 - 0.16 = 0.84 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} m_{10} (U) = (m_{9} \oplus m_{6}) (U) = 0.5 \times 0.32 = 0.16 ‚ \\ m_{10} (_{Ν} Ρ_{1}) = (m_{9} \oplus m_{6}) (_{Ν} Ρ_{1}) = 1 - 0.16 = 0.84 。 \end{array}$

3) 合并m₃ 和 m₅

$\begin{array}{l} m_{11} (U) = (m_{3} \oplus m_{5}) (U) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 ‚ \\ m_{11} (_{Ν} Ρ_{1}) = (m_{3} \oplus m_{5}) (_{Y} Ρ_{2}) = 1 - 0.42 = 0.58 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} m_{11} (U) = (m_{3} \oplus m_{5}) (U) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 ‚ \\ m_{11} (_{Ν} Ρ_{1}) = (m_{3} \oplus m_{5}) (_{Y} Ρ_{2}) = 1 - 0.42 = 0.58 。 \end{array}$

4) 合并m₇ 和 m₁₀

$\begin{array}{l} Ν = 1 - 0.84 \times 0.3 = 0.254, \\ m_{12} (_{Y} Ρ_{1}) = (0.16 \times 0.3) / 0.254 = 0.064 ‚ \\ m_{12} (_{Ν} Ρ_{1}) = (0.84 \times 0.7) / 0.254 = 0.768 ‚ \\ m_{12} (U) = (0.16 \times 0.7) / 0.254 = 0.150 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν = 1 - 0.84 \times 0.3 = 0.254, \\ m_{12} (_{Y} Ρ_{1}) = (0.16 \times 0.3) / 0.254 = 0.064 ‚ \\ m_{12} (_{Ν} Ρ_{1}) = (0.84 \times 0.7) / 0.254 = 0.768 ‚ \\ m_{12} (U) = (0.16 \times 0.7) / 0.254 = 0.150 。 \end{array}$

5) 合并m₄ 和 m₈

$\begin{array}{l} m_{13} (_{Y} Ρ_{3}) = 0.318 ‚ \\ m_{13} (_{Ν} Ρ_{3}) = 0.545 ‚ \\ m_{13} (U) = 0.136 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} m_{13} (_{Y} Ρ_{3}) = 0.318 ‚ \\ m_{13} (_{Ν} Ρ_{3}) = 0.545 ‚ \\ m_{13} (U) = 0.136 。 \end{array}$

6) 最后

$\begin{array}{l} m = m_{1} \oplus m_{2} \oplus m_{3} \oplus m_{4} \oplus \\ ? m_{5} \oplus m_{6} \oplus m_{7} \oplus m_{8}, \\ m (_{Y} Ρ_{1}) = 0.0263 ‚ \\ m (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.058 ‚ \\ m (_{Y} Ρ_{2}) = 0.704 ‚ \\ m (_{Y} Ρ_{3}) = 0.160 ‚ \\ m (_{Ν} Ρ_{3}) = 0.044 ‚ \\ m (U) = 0.011 ‚ \\ m_{\max} = m (_{Y} Ρ_{2}) ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} m = m_{1} \oplus m_{2} \oplus m_{3} \oplus m_{4} \oplus \\ ? m_{5} \oplus m_{6} \oplus m_{7} \oplus m_{8}, \\ m (_{Y} Ρ_{1}) = 0.0263 ‚ \\ m (_{Ν} Ρ_{1}) = 0.058 ‚ \\ m (_{Y} Ρ_{2}) = 0.704 ‚ \\ m (_{Y} Ρ_{3}) = 0.160 ‚ \\ m (_{Ν} Ρ_{3}) = 0.044 ‚ \\ m (U) = 0.011 ‚ \\ m_{\max} = m (_{Y} Ρ_{2}) ‚ \end{array}$

求μ_max

$\begin{array}{l} μ_{\max} = μ (_{Y} Ρ_{2}) = B (_{Y} Ρ_{2}) / L (_{Y} Ρ_{2}) = \\ 0.704 / 0.817 = 0.8617 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} μ_{\max} = μ (_{Y} Ρ_{2}) = B (_{Y} Ρ_{2}) / L (_{Y} Ρ_{2}) = \\ 0.704 / 0.817 = 0.8617 。 \end{array}$

诊断结果为“推力器故障导致姿态故障”。

《4 结论》

4 结论

笔者首先分析了仅使用确定性推理理论进行卫星故障检测和诊断的缺陷, 然后研究了应用不确定性推理理论中的包含度理论、粗糙集理论和证据推理理论进行卫星故障检测和诊断的方法, 最后给出了分别应用不确定性推理理论中的上述三种理论进行卫星故障检测和诊断的三个实例。通过这些分析和研究, 得出以下结论:

1) 同时应用确定性推理理论和不确定性推理理论, 可使卫星故障检测和诊断得到合理解决。

2) 由于人们经常遇到只应用确定性推理理论无法对某些卫星故障进行检测和诊断的困境, 因而应用以不确定性推理理论进行卫星故障检测和诊断的方法是十分有效和实用的。

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