在小波变换下的平均功率、稠度、小波展开及展开系数的相关性等。《1引言》
1引言
小波分析是一个新的数学分支, 它是泛函分析、Fourier分析、调和分析、数值分析最完美的结晶;在信号处理、图像处理、语言分析、模式识别、量子物理及众多非线性科学与工程科学领域得到很好的应用, 是工具和方法上的重大突破。
许多学者在该领域做了许多的工作, 近年, Cambanis, Flandrin, Krim, Priestley, Walter等学者[1～5]及我国北京大学谢衷洁教授及其学生已将小波分析方法应用于随机过程与统计方面的研究[6], 做出了许多优秀的工作。笔者研究一类在工程科学中应用广泛的高维随机系统的小波性质, 得到一些新结果。考虑如下线性随机系统[7]
《图1》
其中X (t) 为n维状态向量, u (t) 为n维确定性控制输入, F (t) 为n×n系统矩阵, B (t) 为n×n控制输入加权阵, G (t) 为n×n扰动加权阵, β (t) 为n维布朗运动过程。
假定方程式 (1) 满足:
1) {β (t) , t∈T}的增量协方差矩阵为
《图2》
2) 初始状态X0是高斯随机变量, 其均值为X0, 协方差矩阵为P0, 且X0和β (t) 独立;
3) 确定性部分是渐近稳定的, 即
《图3》
随机系统 (1) 在工程中具有重要的应用价值, 许多工程问题可以归结为这一模型。
可知式 (1) 的解为[8]
《图4》
式中F (t) =F为常数矩阵
为研究方便, 不妨设确定性输入为零, 否则如果有常量输入B (t) u (t) , 则可设状态变量为[X (t) -F-1B (t) u (t) ], 此时式 (2) 可变为
《图5》
其均值向量和协方差矩阵分别为
《图6》
设H={X (t) , t∈T}为均方连续的n维随机过程, 且E{[X (t) ][X (t) ]T}<∞。
定义内积〈X (t) , X (s) 〉= (E{X (t) ·X (s) }, ts∈T R, 其中X (t) ·X (s) 表示欧氏内积, 且设
《图7》
对于X (t) ∈H, 其小波变换定义为[4]
《图8》
其中Χ为母小波[4]。这样有
定理1
《图9》
《图10》
证:对每个固定的s, WX (s, x) ∈H, 故
《图11》
《2小波变换的平均功率》
2小波变换的平均功率
对于式 (3) , 有
《图12》
从而
《图13》
《图14》
由此有:
定理2 WX (s, x) 作为随机过程其平均功率为
《图15》
《3稠度》
3稠度
考虑
《图16》
利用式 (3) 有
《图17》
故
《图18》
从而有R (0) =1s2∫∫R2eF (u-t0) P0eFT (v-t0) ·Χu-x sΧv-x sdudv+∫∫R2∫min (u, v) t0eF (u-t) G (t) Q (t) GT (t) eFT (v-t) dt·Χu-x sΧv-x sdudv, R (2) (0) =1s4∫∫R2eF (u-t0) P0eFT (v-t0) ·Χ″u-x sΧv-x sdudv+∫∫R2∫min (u, v) t0eF (u-t) G (t) Q (t) GT (t) eFT (v-t) dt·Χ″u-x sΧv-x sdudv, 其中P0=E (X0X0T) 。
定理3系统式 (1) 的解过程X (t) 的过零稠度为ds=R (2) (0) π2 R (0) 1/2可由式 (6) 和式 (7) 得到
《4小波展开》
4小波展开
可知[5]存在Xm (t) ∈H, 使
《图19》
设初始时刻
《图20》
《图21》
设t0固定, 令t※∞, 则
《图22》
即在
《图23》
设实函数φ是多尺度分析{Vj}j∈Z的标准正交化生成元, 则有
《图24》
对给定的J∈Z, X (t) 的小波均方展式为
《图25》
现考虑Χ (t) 具有紧支集[-K1, K2], K1, K2≥0, 且存在充分大的M, 使
《图26》
从而φ具有紧支集[-K3, K4], 满足K1+K2=K3+K4, K3, K4≥0。
记b (j, k) =〈X (t) , Χjk〉, a (j, k) =〈x (t) , Χjk〉, 现固定J, 则
《图27》
是L2 (R) 的一组标准正交基。因此, 有
《图28》
随机过程b (j, m) 的相关函数为
《图29》
《图30》
其中D=[-K1, K2]。
考虑展开式
《图31》
如果X (t) 为平稳过程, 由式 (3) 知:
《图32》
从而E[am, n]=0,
《图33》
由此可得展开系数的相关程度
对于时不变线性随机系统, 如果其确定性部分渐近平稳, 不管初始条件如何其最终状态过程是平稳的, 从而其小波展开式系数也是平稳的。
《5结语》
5结语
小波分析是Fourier分析发展史上里程碑式的进展, 是众多学科共同关注的热点, 它广泛应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语言识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控分形以及数字电视等高科技领域。它被誉为数学显微镜, 是工具和方法上的重大突破。近几年来, 随机过程的小波分析已是国际上十分活跃的研究分支, 由于现实中的诸多问题都带随机性, 因此随机过程的小波分析具有更为重要的理论意义与应用价值, 这一分支的研究将使随机过程小波分析理论更加深入和完善, 同时为这些理论在诸如上述多方面的实际应用中提供新结果、新方法。笔者所研究的正是一类在工程中有重要应用背景的随机控制系统在小波变换器下的一些重要性质及其小波展开问题, 在随机系统时频局部化问题中有重要的应用价值。
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