《1 前言》

1 前言

自1983年蔡文教授提出可拓集合理论后 [1,2], 可拓工程方法已成为实际工程应用上一重要的数值分析工具。近年来, 该方法已成功地应用在最佳化处理、模式识别、系统辩识、分类器、决策与控制的分析设计上 [3,4,5,6,7,8,9]。然而, 如何依据设计者所定义的可拓关联函数, 提出控制规律的设计方法, 仍有待研究者参与探讨。所以在现有可拓概念的情况下, 提出系统设计的思维策略, 是值得加以重视和刻不容缓的工作。

众所周知, 滑模控制是一种鲁棒控制的方法, 尤其是在模式的不确定性因素及外在的干扰状况下, 可借指定的滑动面和迫使状态轨迹在面上的滑动达到抗干扰和满足低灵敏度要求 [10,11]。笔者将滑模控制的设计策略植入可拓控制中, 提出滑模可拓控制器的可行性结构。

文中简述滑模控制, 介绍可拓控制器的结构和基于滑模控制的可拓控制器的设计方法, 并将所设计的控制规律应用在非线性的简单倒单摆系统上, 以检验其控制性能。

《2 系统描述》

2 系统描述

将滑模控制的设计方法引入可拓集, 用以构建可拓控制器。

n阶动态系统为:

x(n)=f(x)g+(x)u,(1)

其中uR为控制输入, fg为未知的非线性连续函数, 但已知其可能边界值为|f|F,0g¯gg¯;x=[x,x˙,,xn-1]Τ为状态向量。控制的目标是希望提供适当的控制输入u, 使得误差向量e=x-xd最小, 其中xd=[xd,x˙d,,xd(n-1)]Τ是期望的目标状态向量。

根据滑模控制原理, 定义滑动面为:

S=e(n-1)+a1e(n-2)++an-1e,(2)

其中a1, …, an-1, 均为正的常数。为保证状态轨迹逼近预设的滑动面 (S=0) , 所设计的控制输入u必须满足滑动条件:

SS˙-η|S|,(3)

其中η为正常数。根据式 (1) 和式 (2) 可得

S˙=e(n)+a1e(n-1)++an-1e˙=f+gu-xd(n)+a1e(n-1)++an-1e˙(4)

定义

g^=g¯g¯,(5)gá=g¯g¯(6)

0g¯g<g¯, 得

gá-1g^ggá(7)

一般滑模控制器的控制量由两部分组成:等效控制ueq和撞击控制 (hitting control) uh。 此处, 定义控制规律为

u=ueq+uh=gá-1u-g^-1Gsgn(S),(8)

其中:G为增益参数,

u=xd(n)-a1e(n-1)--an-1e˙(9)

由式 (4) 和式 (8) , 可以得到

S˙=f+(gg^-1-1)u-gg^-1Gsgn(S)(10)

为满足滑动条件, G的最佳值G*可选为

G*=ηg-1g^+|g-1g^f+(1-g-1g^)u|(11)

由于式中有未知的f和g函数, 该式无法实现。但可根据系统的可能边界以获得其上边界值

G¯=(η+F)gá+|1-gá||u|(12)

由于G¯值太大, 在实际应用中难以实现, 而且, 当状态轨迹越过滑动面时会引起严重的抖动现象, 因此, G需要适当地动态调整。本文采用可拓集概念并植入待调参数以建立G 值, 以期能很好地估算出近似理想的G值。

《3 可拓控制器设计》

3 可拓控制器设计

设可拓控制规律为:

u={uh,ueq+uh,SERS/ER(13)

其中ER为可拓区。依据可拓理论的基本概念, 可分别在合格区及可拓区设计适宜的控制规律。式 (13) 表示状态轨迹在合格区时采用撞击控制与等效控制, 而状态轨迹落在可拓区时采用击撞控制, 以期将状态轨迹拉回至合格区。在合理设计G值时, 还要确保系统的稳定性要求。可拓控制器内G参数需要很好地自适应, 使状态轨迹从可拓区移入合格区。设存在常数G^E及最佳G*可使得ε=G^E-G*为最小。针对每个误差变量, 定义如图1所示之可拓关联函数。

假定G

《图1》

图1 可拓关联函数

图1 可拓关联函数  

Fig.1 Extension characteristic function

G=ξΤΚ,i=1,2,,n(14)

其中ξ=[c1, c2, …, cn]T为植入的一组参数, K=[k1, …, kn]T为误差状态相对应的可拓关联函数权重值, 即

ki=Κ(ei)iΚ(ei)(15)

并定义

G^E=ξ*ΤΚ(16)ξ¯=ξ-ξ*(17)

设李雅普诺夫函数为:

V=12(S2+1γξ¯Τξ¯),(18)

V˙=SS˙+1γξ¯Τξ=S[f+(gg^-1-1)u-gg^-1Gsgn(S)]+1γξ¯Τξ=S[f+(gg^-1-1)u]-gg^-1G|S|+1γξ¯Τξ+gg^-1G*|S|-gg^-1G*|S|+gg^-1G^E|S|-gg^-1G^E|S|-η|S|-gá-1ε|S|-gá-1(ξ-ξ*)Κ|S|+1γξ¯Τξ-(η+gá-1ε|S|+1γξ¯Τ(ξ-γgá-1Κ|S|)(19)

依上式 (19) 选择

ξ=gá-1γΚ|S|,(20)

使得

V˙-(η+gá-1ε)|S|<0(21)

表明系统为稳定的可拓控制系统。为了在合格区降低撞击控制所造成的抖动现象, 修正撞击控制为:

uh=-g^-1Gsat(S)(22)

其中sat (·) 为饱和函数。

所提出的可拓控制器的设计流程归结如下:

a. 定义适当的滑动面S;

b. 根据式 (8) 、式 (9) 和式 (14) 建立等效控制及撞击控制;

c. 根据S值决定可拓区与合格区, 并定义可拓关联函数;

d. 依式 (20) 调整撞击控制的增益参数;

e.可拓控制器设计完成。

《4 仿真案例》

4 仿真案例

将所设计的可拓控制器用于控制一个简化的倒单摆非线性系统, 设参考输入为xd=sin (t) 。

x¨+(0.5+0.2sin(t))x˙+3.2cosx=(1+0.2sin(x))u(23)

明显地, g¯=1.2g¯=0.8, 可得g^=0.98gá=1.22。滑动面定为

S=e˙+2e(24)

根据式 (8) , 等效控制及撞击控制分别为:

ueq=g^-1u=10.98(-sin(t)-2e˙)(25)uh=-10.98Gsgn(S)(26)

其中

G=ξΤΚ,(27)ξ=gá-1γΚ|S|=11.22γΚ|S|(28)

可拓区定为ER=[1, ∞]。输出响应、控制信号及S轨迹分别示于图2至图 4上。图2中实线为xd, 虚线为x1。根据仿真结果, 可知所设计的可拓控制器获得不错的控制效果。

《图2》

图2 输出响应

图2 输出响应  

Fig.2 Output trajectory

《5 结论》

5 结论

本文提出了基于滑模控制的可拓控制器结构, 分别针对可拓区及合格区运用不同的控制规律, 其一为撞击控制, 当状态轨迹落在可拓区时采用撞击控制, 另一为合格区中的等效控制与撞击控制的综合。同时为降低抖动现象, 在合格区中, 撞击控制时可用一饱和函数予以平滑处理。最后, 用简单非线性系统的仿真例子说明所设计的可拓控制器效能。

《图3》

图3 控制信号

图3 控制信号  

Fig.3 Control signal trajectory

《图4》

图4 S 轨迹

图4 S 轨迹  

Fig.4 S trajectory