灰色模型GM(1,1)优化

摘要

分析了GM（1，1）模型产生模拟误差的原因，经大量的数据模拟和GM（1，1）模型比较，发现背景值的优化使GM（1，1）模型在短期、中期及长期预测中扩大了适用范围，并且模拟及预测精度显著提高。

正文

《1 引言》

1 引言

作为灰色系统理论重要内容之一的GM (1, 1) 模型^[1,2], 其应用价值在越来越多的领域中得到体现^[3,4]。GM (1, 1) 模型的突出特点是: 建模过程简单, 模型表达式简洁, 便于求解, 应用广泛。在发展系数a的绝对值较小时 (当时间间隔很小、序列数据变化平缓时, 如0<-a≤0.3) , 模拟值精度较高。但当发展系数a的绝对值较大 (如-a>0.5) 时, 模型偏差较大, 无法用于中长期预测, 甚至不宜作短期预测。一些学者对此进行了改进, 得到了比原GM (1, 1) 模型模拟精度高和适应性更强的新模型^[5,6,7,8]。笔者经过分析GM (1, 1) 模型产生模拟误差的原因, 从构造背景值公式入手, 优化GM (1, 1) 模型, 既保持了原GM (1, 1) 模型的优点, 又使优化GM (1, 1) 模型适用于各种发展系数的情形, 尤其是当发展系数绝对值较大时也可用于中长期预测, 并且精度较高。

《2 GM (1, 1) 模型背景值的优化》

2 GM (1, 1) 模型背景值的优化

设原始序列为X⁽⁰⁾={x⁽⁰⁾ (1) , x⁽⁰⁾ (2) , …, x⁽⁰⁾ (n) }, 则X⁽⁰⁾的1-AGO序列为X⁽¹⁾={x⁽¹⁾ (1) , x⁽¹⁾ (2) , …, x⁽¹⁾ (n) }其中 $x^{(1)} (k) = \sum_{i = 1}^{k} x^{(0)} (i)$ $x^{(1)} (k) = \sum_{i = 1}^{k} x^{(0)} (i)$ , k=1, 2, …, n。

X⁽¹⁾的紧邻均值生成序列Z⁽¹⁾={z⁽¹⁾ (1) , z⁽¹⁾ (2) , …, z⁽¹⁾ (n) }, 其中

$\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = [x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k - 1)] / 2, \\ k = 2, 3, \dots, n 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = [x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k - 1)] / 2, \\ k = 2, 3, \dots, n 。 \end{array}$

称一阶线性微分方程

$\frac{d x^{(1)}}{d t} + a x^{(1)} = b (1)$ $\frac{d x^{(1)}}{d t} + a x^{(1)} = b (1)$

为灰色微分方程 (即灰色GM (1, 1) 模型)

$x^{(0)} (k) + a z^{(1)} (k) = b (2)$ $x^{(0)} (k) + a z^{(1)} (k) = b (2)$

的白化方程。

用式 (1) 的解

$\hat{x}^{(1)} (t) = (x^{(0)} (1) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - 1)} + \frac{b}{a}$ $\hat{x}^{(1)} (t) = (x^{(0)} (1) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - 1)} + \frac{b}{a}$

在t=k (k=1, 2, …, n) 处的值来逼近或描述x⁽¹⁾ (k) 。

式 (1) 中的系数a与常数项b是由式 (2) 用下述方法确定:

$\hat{a} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y, (3)$ $\hat{a} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y, (3)$

其中

$Y = (\begin{array}{l} x^{(0)} (2) \\ x^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x^{(0)} (n) \end{array}), B = (\begin{matrix} - z^{(1)} (2) & 1 \\ - z^{(1)} (3) & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - z^{(1)} (n) & 1 \end{matrix}) 。$ $Y = (\begin{array}{l} x^{(0)} (2) \\ x^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x^{(0)} (n) \end{array}), B = (\begin{matrix} - z^{(1)} (2) & 1 \\ - z^{(1)} (3) & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - z^{(1)} (n) & 1 \end{matrix}) 。$

由此可知GM (1, 1) 模型的模拟与预测精度取决于常数a和b, 而a和b的值依赖于原始序列和背景值的构造形式。即背景值z⁽¹⁾ (k) 的构造公式是导致模拟误差 $\hat{ε}^{(0)} (k) = \hat{x}^{(1)} (k) - x^{(1)} (k)$ $\hat{ε}^{(0)} (k) = \hat{x}^{(1)} (k) - x^{(1)} (k)$ 及GM (1, 1) 模型的适应性的关键因素之一。

在[k-1, k]上 (参见图1) 对式 (1) 两边求积分得

$\int_{k - 1}^{k} \frac{d x^{(1)}}{d t} d t + a \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} d t = b,$ $\int_{k - 1}^{k} \frac{d x^{(1)}}{d t} d t + a \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} d t = b,$

即

$x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1) + a \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} d t = b,$ $x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1) + a \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} d t = b,$

亦即

$x^{(0)} (k) + a \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} d t = b 。 (4)$ $x^{(0)} (k) + a \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} d t = b 。 (4)$

《图1》

图1 原GM (1, 1) 模型误差来源示意图Fig.1 A schematic diagram on reasons of error which from original model GM (1, 1)

将式 (4) 和式 (2) 比较可知, 用一阶线性微分式 (1) 解来逼近x⁽¹⁾ (k) , (k=1, 2, …, n) , 其误差来源于, 用

$z^{(1)} (k) = [x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k - 1)] / 2$ $z^{(1)} (k) = [x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k - 1)] / 2$

代替 ∫ $_{k - 1}^{k}$ $_{k - 1}^{k}$ x⁽¹⁾ (t) dt, (k=2, 3, …, n)

所致。为消除由此产生的误差, 不妨记

$z^{(1)} (k) = \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} (t) d t 。 (5)$ $z^{(1)} (k) = \int_{k - 1}^{k} x^{(1)} (t) d t 。 (5)$

设x⁽¹⁾ (t) =Be^At, 其中A, B为待定常数, 且满足

$x^{(1)} (k) = B e^{A k}, (k = 1, 2, \dots, n) 。$ $x^{(1)} (k) = B e^{A k}, (k = 1, 2, \dots, n) 。$

将x⁽¹⁾ (t) =Be^At代入式 (5) 得

$\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \int_{k - 1}^{k} B e^{A t} d t = \frac{1}{A} [B e^{A k} - B e^{A (k - 1)}] = \\ \frac{1}{A} [x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)] 。 (6) \end{array}$ $\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \int_{k - 1}^{k} B e^{A t} d t = \frac{1}{A} [B e^{A k} - B e^{A (k - 1)}] = \\ \frac{1}{A} [x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)] 。 (6) \end{array}$

又由 $\frac{x^{(1)} (k)}{x^{(1)} (k - 1)} = \frac{B e^{A k}}{B e^{A (k - 1)}} = e^{A}$ $\frac{x^{(1)} (k)}{x^{(1)} (k - 1)} = \frac{B e^{A k}}{B e^{A (k - 1)}} = e^{A}$ 得

$A = l n x^{(1)} (k) - l n x^{(1)} (k - 1) 。 (7)$ $A = l n x^{(1)} (k) - l n x^{(1)} (k - 1) 。 (7)$

将式 (7) 代入式 (6) 得

$\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \frac{x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)}{\ln x^{(1)} (k) - \ln x^{(1)} (k - 1)}, \\ k = 2, 3, \dots, n 。 (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \frac{x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)}{\ln x^{(1)} (k) - \ln x^{(1)} (k - 1)}, \\ k = 2, 3, \dots, n 。 (8) \end{array}$

由此得到优化GM (1, 1) 模型如下:

定理设X⁽⁰⁾为非负准光滑序列, X⁽⁰⁾={x⁽⁰⁾ (1) , x⁽⁰⁾ (2) , …, x⁽⁰⁾ (n) }, X⁽¹⁾={x⁽¹⁾ (1) , x⁽¹⁾ (2) , …, x⁽¹⁾ (n) }为X⁽⁰⁾的1-AGO序列, 若 $\hat{a} = (a, b)^{Τ}$ $\hat{a} = (a, b)^{Τ}$ 为参数

$\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \frac{x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)}{\ln x^{(1)} (k) - \ln x^{(1)} (k - 1)} ‚ \\ k = 2, 3, \dots, n ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \frac{x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)}{\ln x^{(1)} (k) - \ln x^{(1)} (k - 1)} ‚ \\ k = 2, 3, \dots, n ‚ \end{array}$

其中当x⁽¹⁾ (k) =x⁽¹⁾ (k-1) 时, z⁽¹⁾ (k) =x⁽¹⁾ (k-1) ,

$Y = (\begin{array}{l} x^{(0)} (2) \\ x^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x^{(0)} (n) \end{array}), B = (\begin{matrix} - z^{(1)} (2) & 1 \\ - z^{(1)} (3) & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - z^{(1)} (n) & 1 \end{matrix}) ‚$ $Y = (\begin{array}{l} x^{(0)} (2) \\ x^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x^{(0)} (n) \end{array}), B = (\begin{matrix} - z^{(1)} (2) & 1 \\ - z^{(1)} (3) & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - z^{(1)} (n) & 1 \end{matrix}) ‚$

则:

1) 灰色微分方程x⁽⁰⁾ (k) +az⁽¹⁾ (k) =b的最小二乘估计参数满足

$\hat{a} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y;$ $\hat{a} = (\begin{array}{l} a \\ b \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y;$

2) 灰色微分方程x⁽⁰⁾ (k) +az⁽¹⁾ (k) =b的白化方程 $\frac{d x^{(1)}}{d t} + a x^{(1)} = b$ $\frac{d x^{(1)}}{d t} + a x^{(1)} = b$ 的时间响应式为

$\hat{x} (t) = (x^{(0)} (1) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - 1)} + \frac{b}{a};$ $\hat{x} (t) = (x^{(0)} (1) - \frac{b}{a}) e^{- a (t - 1)} + \frac{b}{a};$

3) 灰色微分方程 x⁽⁰⁾ (k) +az⁽¹⁾ (k) =b时间响应式为

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(1)} (k + 1) = (x^{(0)} (1) - \frac{b}{a}) e^{- a k} + \frac{b}{a} ‚ \\ k = 1, 2, \dots, n ； \end{array}$ $\begin{array}{l} \hat{x}^{(1)} (k + 1) = (x^{(0)} (1) - \frac{b}{a}) e^{- a k} + \frac{b}{a} ‚ \\ k = 1, 2, \dots, n ； \end{array}$

4) 还原值为

$\begin{array}{l} \hat{x}^{(0)} (k + 1) = \hat{x}^{(1)} (k + 1) - \hat{x}^{(1)} (k) ‚ \\ k = 1, 2, \dots, n 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \hat{x}^{(0)} (k + 1) = \hat{x}^{(1)} (k + 1) - \hat{x}^{(1)} (k) ‚ \\ k = 1, 2, \dots, n 。 \end{array}$

如果在区间[k-1, k]上, x⁽¹⁾ (k) =x⁽¹⁾ (k-1) 则式 (8) 可以理解为z⁽¹⁾ (k) =x⁽¹⁾ (k-1) 。事实上,

$\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \lim_{x^{(1)} (k) \to x^{(1)} (k - 1)} [(x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)) / \\ (\ln x^{(1)} (k) - \ln x^{(1)} (k - 1))] = \\ \lim_{x^{(1)} (k) \to x^{(1)} (k - 1)} (x^{(1)} (k) = x^{(1)} (k - 1) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} z^{(1)} (k) = \lim_{x^{(1)} (k) \to x^{(1)} (k - 1)} [(x^{(1)} (k) - x^{(1)} (k - 1)) / \\ (\ln x^{(1)} (k) - \ln x^{(1)} (k - 1))] = \\ \lim_{x^{(1)} (k) \to x^{(1)} (k - 1)} (x^{(1)} (k) = x^{(1)} (k - 1) 。 \end{array}$

此时, 式 (2) 中的背景值z⁽¹⁾ (k) =[x⁽¹⁾ (k) +x⁽¹⁾ (k-1) ]/2=x⁽¹⁾ (k-1) 。该事实从几何图形上也是显然的, 这也正是原创GM (1, 1) 模型对发展系数a的绝对值很小 (如0<-a≤0.3) , 即原始序列x⁽⁰⁾ (k) , (k=1, 2, …, n) 变化平缓时, 模拟及预测精度较高的原因。

《3 数据模拟精度的比较》

3 数据模拟精度的比较

文献[1]中对GM (1, 1) 模型的适用范围进行了讨论, 一般地, 当发展系数a的绝对值小于2时, GM (1, 1) 模型有意义, 并对发展系数0<-a<2的情形分别取-a=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 1.5, 1.8进行模拟分析。为叙述方便起见, 记文献[1]中的GM (1, 1) 模型为原GM (1, 1) 模型。笔者的优化GM (1, 1) 模型为新GM (1, 1) 模型。

以下分别就-a取上述若干值的情形用2种GM (1, 1) 模型进行数据模拟, 并对模拟及预测精度进行比较。

1) 原始序列

取k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 由x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (k+1) =e^-ak可得X $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ ={x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (1) , x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (2) , x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (3) , x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (4) , x⁽⁰⁾_i (5) , x⁽⁰⁾ (6) }的原始序列值, 见表1。

2) 以上述原始序列分别建立原GM (1, 1) 模型及新GM (1, 1) 模型, 并求出相应的时间响应式。

原GM (1.1) 模型时间响应式:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \hat{x}_{1}^{(1)} (k + 1) = 10.509647 e^{0.09907 k} - 9.509647 ‚ \\ \hat{x}_{2}^{(1)} (k + 1) = 5.516431 e^{0.1993401 k} - 4.516431 ‚ \\ \hat{x}_{3}^{(1)} (k + 1) = 3.85832 e^{0.297769 k} - 2.858321 ‚ \\ \hat{x}_{4}^{(1)} (k + 1) = 3.033199 e^{0.394752 k} - 2.033199 ‚ \\ \hat{x}_{5}^{(1)} (k + 1) = 2.541474 e^{0.4898382 k} - 1.541474 ‚ \\ \hat{x}_{6}^{(1)} (k + 1) = 2.216359 e^{0.582626 k} - 1.216359 ‚ \\ \hat{x}_{7}^{(1)} (k + 1) = 1.8159718 e^{0.7598991 k} - 0.8159718 ‚ \end{array} \\ \begin{array}{l} \hat{x}_{8}^{(1)} (k + 1) = 1.581973 e^{0.9242348 k} - 0.5819733 ‚ \\ \hat{x}_{9}^{(1)} (k + 1) = 1.287182 e^{1.270296 k} - 0.2871283 ‚ \\ \hat{x}_{10}^{(1)} (k + 1) = 1.198197 e^{1.432596 k} - 0.1981966 。 \end{array} \end{array}$ $\begin{array}{l} \begin{array}{l} \hat{x}_{1}^{(1)} (k + 1) = 10.509647 e^{0.09907 k} - 9.509647 ‚ \\ \hat{x}_{2}^{(1)} (k + 1) = 5.516431 e^{0.1993401 k} - 4.516431 ‚ \\ \hat{x}_{3}^{(1)} (k + 1) = 3.85832 e^{0.297769 k} - 2.858321 ‚ \\ \hat{x}_{4}^{(1)} (k + 1) = 3.033199 e^{0.394752 k} - 2.033199 ‚ \\ \hat{x}_{5}^{(1)} (k + 1) = 2.541474 e^{0.4898382 k} - 1.541474 ‚ \\ \hat{x}_{6}^{(1)} (k + 1) = 2.216359 e^{0.582626 k} - 1.216359 ‚ \\ \hat{x}_{7}^{(1)} (k + 1) = 1.8159718 e^{0.7598991 k} - 0.8159718 ‚ \end{array} \\ \begin{array}{l} \hat{x}_{8}^{(1)} (k + 1) = 1.581973 e^{0.9242348 k} - 0.5819733 ‚ \\ \hat{x}_{9}^{(1)} (k + 1) = 1.287182 e^{1.270296 k} - 0.2871283 ‚ \\ \hat{x}_{10}^{(1)} (k + 1) = 1.198197 e^{1.432596 k} - 0.1981966 。 \end{array} \end{array}$

表1 原始序列值

Table 1 The original datum

《表1》

-a	i	x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (1)	x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (2)	x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (3)	x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (4)	x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (5)	x $_{i}^{(0)}$ $_{i}^{(0)}$ (6)
0.1	1	1.0	1.105 2	1.221 4	1.349 9	1.491 8	1.648 7
0.2	2	1.0	1.221 4	1.491 8	1.822 1	2.225 5	2.718 3
0.3	3	1.0	1.349 9	1.822 1	2.459 6	3.320 1	4.481 7
0.4	4	1.0	1.491 8	2.225 5	3.320 1	4.953 0	7.389 0
0.5	5	1.0	1.648 7	2.718 3	4.481 7	7.389 0	12.182 5
0.6	6	1.0	1.822 1	3.320 1	6.049 6	11.023 2	20.085 5
0.8	7	1.0	2.225 5	4.953 0	11.023 2	24.532 5	54.598 2
1.0	8	1.0	2.718 3	7.389 0	20.085 5	54.598 2	148.413 2
1.5	9	1.0	4.481 7	20.085 5	90.017 1	403.428 8	1 808.042 4
1.8	10	1.0	6.049 6	36.598 2	221.406 4	1 339.430 8	8 103.083 9

新GM (1.1) 模型时间响应式:

$\begin{array}{l} \hat{x}_{1}^{(1)} (k + 1) = 10.634472 e^{0.099318 k} - 9.634472 ‚ \\ \hat{x}_{2}^{(1)} (k + 1) = 5.594064 e^{0.199117 k} - 4.594064 ‚ \\ \hat{x}_{3}^{(1)} (k + 1) = 3.922068 e^{0.299149 k} - 2.922068 ‚ \\ \hat{x}_{4}^{(1)} (k + 1) = 3.091401 e^{0.399299 k} - 2.091401 ‚ \\ \hat{x}_{5}^{(1)} (k + 1) = 2.59745 e^{0.49947 k} - 1.59745 ‚ \\ \hat{x}_{6}^{(1)} (k + 1) = 2.271684 e^{0.599626 k} - 1.271684 ‚ \\ \hat{x}_{7}^{(1)} (k + 1) = 1.872098 e^{0.799838 k} - 0.872098 ‚ \\ \hat{x}_{8}^{(1)} (k + 1) = 1.639822 e^{0.999937 k} - 0.639822 ‚ \\ \hat{x}_{9}^{(1)} (k + 1) = 1.348329 e^{1.499996 k} - 0.348329 ‚ \\ \hat{x}_{10}^{(1)} (k + 1) = 1.25953 e^{1.799999 k} - 0.25953 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \hat{x}_{1}^{(1)} (k + 1) = 10.634472 e^{0.099318 k} - 9.634472 ‚ \\ \hat{x}_{2}^{(1)} (k + 1) = 5.594064 e^{0.199117 k} - 4.594064 ‚ \\ \hat{x}_{3}^{(1)} (k + 1) = 3.922068 e^{0.299149 k} - 2.922068 ‚ \\ \hat{x}_{4}^{(1)} (k + 1) = 3.091401 e^{0.399299 k} - 2.091401 ‚ \\ \hat{x}_{5}^{(1)} (k + 1) = 2.59745 e^{0.49947 k} - 1.59745 ‚ \\ \hat{x}_{6}^{(1)} (k + 1) = 2.271684 e^{0.599626 k} - 1.271684 ‚ \\ \hat{x}_{7}^{(1)} (k + 1) = 1.872098 e^{0.799838 k} - 0.872098 ‚ \\ \hat{x}_{8}^{(1)} (k + 1) = 1.639822 e^{0.999937 k} - 0.639822 ‚ \\ \hat{x}_{9}^{(1)} (k + 1) = 1.348329 e^{1.499996 k} - 0.348329 ‚ \\ \hat{x}_{10}^{(1)} (k + 1) = 1.25953 e^{1.799999 k} - 0.25953 。 \end{array}$

3) 两类GM (1, 1) 模型的模拟精度 (平均相对误差) 和预测精度 (误差) 比较见表2和表3。

《4 结论》

4 结论

1) 应用实际曲线在区间上的面积作为背景值, 重构了背景值的计算公式, 并保持了原GM (1, 1) 模型建模简单、计算简便及易于应用的优点。

2) 经大量数据模拟可知, 优化GM (1, 1) 模型既适用于低增长指数 (即发展系数的绝对值较小) 序列建模, 也适用于高增长指数 (即发展系数的绝对值较大) 序列建模, 尤其是对高增长指数序列优化GM (1, 1) 模型, 可用于做中长期预测且精度较高, 具有重要的理论意义和较高的应用价值。

表2 两类GM (1, 1) 模型的模拟精度 (平均相对误差) 比较

Table 2 Contrast of the optimum one to the GM (1, 1) about the simulation

《表2》

-a	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.8	1.0	1.5	1.8
原GM误差	0.105 963 2	0.499 163	1.300 909	2.613 955	4.520 585 9	7.074 289 9	14.156 851	23.544 004	51.032 934	65.453 743
新GM误差	0.337 920 5	0.731 469	1.147 005	1.558 524	1.955 963 5	2.334 233 3	3.027 305 4	3.633 131 2	4.733 841 3	5.132 772 9

表3 两类GM (1, 1) 模型的预测精度 (误差) 比较

Table 3 contrast of the optimum one to the GM (1, 1) about the prediction

《表3》

-a	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.8	1.0	1.5	1.8
原GM1步误差	0.128 9	0.696 0	1.960 4	4.137 8	7.397 0	11.820 2	24.009 3	39.436 9	76.667 0	89.937 2
新GM1步误差	0.133 320 1	0.464 9	0.889 0	1.345 1	1.794 0	2.219 464 4	2.977 2	3.613 5	4.721 3	5.132 5
原GM2步误差	0.136 7	0.761 5	2.179 1	4.639 6	8.333 2	13.339 0	26.996 3	43.855 9	81.455 6	93.031 2
新GM2步误差	0.065 052 5	0.376 2	0.803 2	1.274 1	1.740 0	2.181 241 5	2.960 6	3.607 0	4.717 1	5.132 4
原GM5步误差	0.160 1	0.957 8	2.832 2	6.129 2	11.085 5	17.740 2	35.271 1	55.270 8	90.690 3	97.685 4
新GM5步误差	0.139 471 3	0.110 7	0.546 2	1.061 3	1.578 4	2.066 658 4	2.910 5	3.587 4	4.704 5	5.13 20
原GM10步误差	0.199 1	1.284 1	3.911 0	8.560 3	15.490 3	24.584 4	47.031 2	69.375 5	97.047 8	99.631 3
新GM10步误差	0.280 8	0.330 3	0.119 3	0.707 7	1.309 6	1.875 972 1	2.827 2	3.554 8	4.683 6	5.131 5

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