数字电路可测性设计的一种故障定位方法

摘要

在逻辑函数Reed-Muller模式的电路可测性设计方面，文章采用AND门阵列和XOR门树结构来设计电路，提出了一种设计方案，可实现任意逻辑函数的功能，而且所得电路具有通用测试集和完全可故障定位的特点。给出了进行故障定位的方法，并可把它应用于其他相关电路的可测性设计。

正文

《1 引言》

1 引言

电路系统在设计、制造以及运行过程中需要进行测试, 以保证其设计要求或正常工作, 它已成为集成电路设计与生产过程的一个重要组成部分。电路存在故障的测试通常称故障检测, 若还要定位故障点, 则称为故障定位或故障诊断^[1]。故障定位的困难在于电路的多个节点故障是不可分的, 或者虽可区分但测试矢量复杂^[2,3]。为此, 研究在进行组合电路的可测性设计时能使电路可测且故障可定位^[4,5]。

在逻辑函数的电路可测性设计方面, Reddy最先提出基于Reed-Muller模式的异或门级联的实现方法^[1,2]。对有n个变量的逻辑函数, 所设计的电路只需n+4个测试矢量组成的测试集就可检测电路中所有的固定型故障。而且这种测试集是通用的, 这点使得通过逻辑函数的Reed-Muller模式来进行电路的可测性设计, 在理论上非常具有吸引力。例如, 就逻辑函数Reed-Muller模式的不同类型, PPRM, FPRM和GRM等研究了针对单故障和多故障的可测性设计^[6]。目前对逻辑函数的可测性设计研究主要涉及故障的检测, 而对故障的定位方面研究较少。为此笔者开展了有关故障定位的研究, 其主要创新之处在于:提出了一种基于逻辑函数Reed-Muller模式的电路可测性设计方案, 给出了进行故障定位的方法与详细实现步骤, 同时该方法可应用于其他相关的可测性设计中。

《2 电路设计》

2 电路设计

《2.1 逻辑函数的表示形式》

2.1 逻辑函数的表示形式

任何一个具有n个变量的组合逻辑函数f均可用如下的Reed-Muller模式表示:

$\begin{array}{l} f = A_{0} \oplus A_{1} x_{1}^{*} \oplus A_{2} x_{2}^{*} \oplus \dots \oplus A_{n} x_{n}^{*} \oplus \\ A_{n + 1} x_{1}^{*} x_{2}^{*} \oplus A_{n + 2} x_{1}^{*} x_{3}^{*} \oplus \dots \\ \oplus A_{t} x_{n - 1}^{*} x_{n}^{*} \oplus \dots \oplus A_{m} x_{1}^{*} x_{2}^{*} \dots x_{n}^{*} ‚ (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} f = A_{0} \oplus A_{1} x_{1}^{*} \oplus A_{2} x_{2}^{*} \oplus \dots \oplus A_{n} x_{n}^{*} \oplus \\ A_{n + 1} x_{1}^{*} x_{2}^{*} \oplus A_{n + 2} x_{1}^{*} x_{3}^{*} \oplus \dots \\ \oplus A_{t} x_{n - 1}^{*} x_{n}^{*} \oplus \dots \oplus A_{m} x_{1}^{*} x_{2}^{*} \dots x_{n}^{*} ‚ (1) \end{array}$

其中⊕表示异或运算, $x_{i}^{*} \in {x_{i}, \bar{x}_{i}}, i = 1, 2, \dots, n ‚ A_{j} \in {0, 1}, j = 0 ‚ 1, 2, \dots, m ‚ m = 2^{n} - 1$ $x_{i}^{*} \in {x_{i}, \bar{x}_{i}}, i = 1, 2, \dots, n ‚ A_{j} \in {0, 1}, j = 0 ‚ 1, 2, \dots, m ‚ m = 2^{n} - 1$ 。

若在函数f的Reed-Muller表达式中, 所有变量x_i (i=1, 2, …, n) 以原变量 (即x_i的形式) 出现, 则称为PPRM形式;若在表达式中一些变量以原变量x_i出现, 而另一些变量以求反变量 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i出现, 则称为FPRM形式;若在表达式中有一些原变量x_i和它的求反变量 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i同时出现, 则称为函数的GRM形式, 如 $f = x_{1} x_{5} \oplus \bar{x}_{1} x_{4} x_{6} \oplus x_{2} x_{3}$ $f = x_{1} x_{5} \oplus \bar{x}_{1} x_{4} x_{6} \oplus x_{2} x_{3}$ 。GRM比FPRM更具一般性, 对同一逻辑函数用这三种形式中的GRM模式所需的项数 (指在表达式中的积项) 是最少的^[6,7,8], 下面主要是针对这种模式, 其结果也适用于PPRM和FPRM。

《2.2 电路结构》

2.2 电路结构

对有n个变量x^*_i (i=1, 2, …, n) 的逻辑函数f, 设它的GRM中积项有m项。对每一积项在f中的位置做如下调整:按变量x₁, x₂ , …, x_n, $\bar{x}$ $\bar{x}$ ₁, $\bar{x}$ $\bar{x}$ ₂, …, $\bar{x}$ $\bar{x}$ _n出现在积项中的次序, 把变量个数较少的积项排在函数f表达式的左边。例如, 对 $f = \bar{x}_{3} \oplus x_{1} \oplus \bar{x}_{1} \bar{x}_{2} \oplus x_{1} x_{3} x_{4} \oplus x_{1} x_{2} x_{4}$ $f = \bar{x}_{3} \oplus x_{1} \oplus \bar{x}_{1} \bar{x}_{2} \oplus x_{1} x_{3} x_{4} \oplus x_{1} x_{2} x_{4}$ , 调整后的形式为 $f = x_{1} \oplus \bar{x}_{3} \oplus \bar{x}_{1} \bar{x}_{2} \oplus x_{1} x_{2} x_{4} \oplus x_{1} x_{3} x_{4}$ $f = x_{1} \oplus \bar{x}_{3} \oplus \bar{x}_{1} \bar{x}_{2} \oplus x_{1} x_{2} x_{4} \oplus x_{1} x_{3} x_{4}$ 。设f调整后的积项为f₁ (x) , f₂ (x) , …, f_m (x) , 即f = f₁ (x) ⊕ f₂ (x) ⊕…⊕f_m (x) , 且当j<m时积项f_j (x) 的变量数少于或等于积项f_j+1 (x) 的变量数。用AND_j来实现f_j (x) (j=1, 2, …, m) , 并把原始输入线x₁, x₂ , …, x_n连接到相应的AND门。用多个异或门 (XOR门) 把x_i的值求反, 将 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i连到相应的AND门。在这些AND门中使AND₁位于最左边, AND₂次之, AND_m位于最右边, 即AND门的排列是有序的。把AND门的输出接到具有m个输入的XOR门树 (简称XOR树) , XOR树的输出即是逻辑函数 f的输出。

《图1》

图1 GRM的电路可测性设计 Fig.1 The testable realization of GRM

GRM电路的一般结构如图1所示。为了电路测试的需要, 在其基础上增加了4个控制输入C₀, C₁, C₂和C₃, 以及2个与门AND₁₁和AND₁₂, 和2个或门OR₁₁和OR₁₂, 这4个门的输出节点分别为O₁、O₂、O₃和O₄。AND₁₁和OR₁₁的输入都是C₁, C₂, C₃和所有原始输入x_i (i=1, 2, …, n) , AND₁₂和OR₁₂的输入都是所有原始输入求反 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i。在图1和图2中这4个门的输入用粗线表示。当电路正常运行时把C₀ , C₁ , C₂和C₃的值赋1。图2给出了实现逻辑函数 $h = x_{1} \oplus x_{2} x_{3} \oplus \bar{x}_{2} x_{3} x_{4}$ $h = x_{1} \oplus x_{2} x_{3} \oplus \bar{x}_{2} x_{3} x_{4}$ 的电路。

《图2》

图2 逻辑函数h的电路实现 Fig.2 The circuit realization of function h

控制输入C₁, C₂和C₃的连接方法如下:定义矢量V₁= (0 0 1) , V₂= (0 1 0) , V₃= (0 1 1) , 并为XOR树的原始输出节点赋这三个矢量中的一个, 把其余的两个矢量分别赋给该XOR门的两个输入节点, 以此类推, 直至XOR树的每一个原始输入节点都赋了V₁, V₂, V₃中的一个矢量, 参见图3a。图 3a和图3b分别是8个输入的XOR树和XOR门级联的例子。对AND阵列的每一个AND门, 若它的输出节点 (即相应XOR树的输入节点) 被分配的矢量为V_i (i=1, 2, 3) , 则把控制输入C_i (i=1, 2, 3) 连至该AND门作为门的输入节点。

《图3》

图3 XOR门树与XOR门级联 Fig.3 XOR gates tree and XOR gates cascade

图3可见, 变量数相同时, XOR树电路比XOR门级联有更小的延迟。下面在讨论GRM电路时, 把它分为:输入与控制、AND阵列、XOR树等三部分, 在图2中已用虚线标出。具有n个输入变量的逻辑函数f, 若只考虑电路中节点的固定型故障 (s-a-0或s-a-1, 通常电路中的一些短路故障属于s-a-0, 开路故障属于s-a-1) , 可以得到检测GRM电路的通用测试集。定义n+4维矢量的各分量形式为R= (C₀C₁C₂C₃x₁x₂…x_n) ;a₁= (0 0 0 0 0 0 … 0) , a₂= (0 1 1 1 1 1 … 1) , a₃= (1 0 0 0 0 0 … 0) ;矢量b_i (i=1, 2, …, n) 的分量为C₀=0, C₁=C₂=C₃ =1, x_i=0, 其他所有分量x_j=1 (j≠i) ;d₁= (0 0 1 1 1 1 … 1) , d₂= (0 1 0 1 1 1 …1) 。其中T₁={a₁, a₂, a₃}可以检测GRM电路输入与控制部分的故障;T₂={a₂, b₁, b₂, …, b_n}能检测AND阵列的故障;T₃={a₁, d₁, d₂}可以检测XOR树的故障。用如上n+5个矢量组成的测试集是电路的通用测试集T=T₁∪T₂∪T₃ 。

《3 GRM电路的故障定位》

3 GRM电路的故障定位

若GRM电路发生了一个故障 (s-a-0或s-a-1) , 可依次对电路的三部分即输入与控制、XOR树、AND阵列进行故障定位。

《3.1 输入与控制部分的故障定位》

3.1 输入与控制部分的故障定位

首先对节点C₀的故障做定位。令矢量S₁= (1 0 0 0 … 0) , S₂= (0 0 0 0 … 0) , S₁和S₂中各分量的含义与矢量R相同。对电路的输入节点施加矢量S₁, 若节点O₄=0, 则节点C₀发生了s-a-0故障;其他的故障情况, 即C₀发生s-a-1故障、C₁, C₂, C₃和原始输入节点x_i 及其求反 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i 中的一个节点发生 s-a-0或 s-a-1故障时都会使 O₄=1。对电路的输入节点施加矢量S₂, 若节点O₃=1, 则节点C₀发生了s-a-1故障;其他故障情况下即C₀发生s-a-0故障、C₁, C₂, C₃和原始输入节点x_i 及其求反 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i 中的一个节点发生s-a-0或s-a-1故障时都会使O₃=0。

使控制输入C₀=0, 此时电路的原始输入x_i与其求反 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _i 的值相同。对电路的输入节点施加n+3个矢量 (分量的含义同矢量R) :r_c1, r_c2, r_c3, r₁, r₂, …, r_n。每个矢量中只有一个分量为1, 其他分量全为0。其中r_c1的分量C₁为1, r_c2的分量C₂为1, r_c3的分量C₃为1, r_i (i=1, 2, …, n) 的分量x_i为1。把节点O₂作为观测点, 用矢量r_c1对发生在节点C₁的s-a-0故障进行定位, 此时矢量r_{_c1}会使O₂=0;而其他情况, 如节点C₁无故障、C₁有s-a-1故障、其它节点 (C₀除外) 发生故障 (s-a-0或s-a-1) 时, 矢量r_c1使O₂=1。同理用矢量r_c2和r_c3分别对节点C₂和C₃的s-a-0故障定位;用矢量r_j (1≤j≤n) , 以节点O₂作为观测点对发生在原始输入节点x_j 的s-a-0故障进行定位, 且以节点O₄作为观测点对发生在节点 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _j的s-a-0故障定位。

对电路的输入节点施加n+3个矢量:t_c1, t_c2 , t_c3 , t₁, t₂, …, t_n , 各矢量的分量含义同矢量R。每一矢量有2个分量的值为0, 其他分量都为1。其中分量C₀都为0, 矢量t_c1的分量C₁=0, t_c2的分量C₂=0, t_c3的分量C₃=0, t_i (i=1, 2, …, n) 的分量x_i为0。把节点O₁作为观测点, 分别用矢量t_c1, t_c2和t_c3对发生在节点C₁, C₂和C₃的s-a-1故障定位, 例如, 节点C₁有s-a-1故障时, 矢量t_c1使O₁=1, 而当节点C₁有s-a-0故障及其他节点 (C₀除外) 发生故障时, 矢量t_c1使O₁=0。同理用矢量t_j (1≤j≤n) , 以节点O₁作为观测点对原始输入节点x_j的s-a-1故障定位, 且以节点O₃作为观测点对发生在节点 $\bar{x}$ $\bar{x}$ _j的s-a-1故障定位。

《3.2 XOR树的故障定位》

3.2 XOR树的故障定位

由于GRM电路的XOR树的输入为AND门阵列的AND门输出, 增加了对XOR树进行故障定位的难度。下面用AB表示在XOR树中从节点A至节点B的路径, 包含A和B两个端点 (节点) 。由于XOR树是无扇出电路, 从一个节点A至另一节点B的路径是唯一的。设每一个与门AND_j (j=1, 2, …, m) 的输出节点为Y_j, 电路的原始输出 (主输出) 节点为Y, 因此Y₁Y, Y₂Y, …, Y_mY都是XOR树中的路径。为XOR树的故障定位设置两张表Tab.1和Tab.2, Tab.1用于存放可能是有故障的节点, Tab.2用于存放无故障节点。

《3.2.1 XOR树s-a-0故障的定位对XOR树的s-a-0故障定位采用算法1。》

3.2.1 XOR树s-a-0故障的定位对XOR树的s-a-0故障定位采用算法1。

算法1

Step 1 使控制输入C₀=0, C₁=C₂=C₃=1;置Tab.1和Tab.2为空。

Step 2 首先对门AND₁, 由于它的输入节点是最少的, 因此可以选择电路的一个输入矢量X₁, X₁使AND₁的输出Y₁的值为1, 而使其他与门AND_j (j>1) 的输出Y_j的值为0。这里, 选取的X₁是把与AND₁的输入对应的电路原始输入节点的值取为1, 而把原始输入的其它节点取值为0。例如, 对有6个原始输入x₁ … x₆ 的GRM电路, 若AND₁的输入为x₁, x₃和x₄, 则把其输入值取1, 而把x₂, x₅和x₆的值取0。

对电路施加矢量X₁, 若电路的输出Y=0, 则在XOR树中从节点Y₁至Y路径上有一个节点发生s-a-0故障, 将路径Y₁Y中所有节点写入Tab.1;若电路的输出Y=1, 则节点Y₁至Y路径上所有节点无故障, 将Y₁Y路径上所有节点写入Tab.2。

Step 3 对AND阵列的其他与门AND_j (j≥2) 可进行类似于门AND₁的处理, 但此时当选择一个输入矢量X_j使门AND_j的输出Y_j =1时, 可能会使多个 (设为k个) 其他与门AND_i (i<j) 的输出Y_i=1。下面针对路径Y_jY进行讨论。

在对路径Y_jY进行操作时, 若在对Y_i (i=1, 2, …, j-1) 进行的操作中路径都无故障, 此时把路径Y_jY与路径Y_j-1Y的交点记为C, 对应C的XOR门输入节点记为A和B, 如图4 (a) 所示。设输入矢量X_j会使k个门AND_i (i<j) 的输出Y_i=1。当k=0或偶数时, 对被测电路施加矢量X_j, 若电路输出Y=0, 则路径Y_jB有故障;若Y=1时, 则路径Y_jB无故障。当k为奇数时则相反, 若Y=1, 则Y_jB有故障;若Y=0时, 则Y_jB无故障。若确定了路径Y_jB有故障, 则转Step 4, 若确定路径Y_jB无故障, 则对路径Y_j+1Y继续进行此步的故障定位操作。

Step 4 若发现一条路径有故障, 则设此故障路径为Y_tY。通过选取XOR树中的一些路径Y_jY (j>t) , 并对电路施加多个矢量X_j, 即可确定故障节点。首先考虑到与故障路径Y_tY相交的路径Y_jY, 见图4b, 施加矢量X_j, 当k=0或偶数时, 若Y=0, 则CY故障 (Y_tA无故障) , 若Y=1, 则Y_tA故障 (CY无故障) ;当k为奇数时, 若Y=1, 则CY故障, 若Y=0, 则Y_tA故障。其具体步骤见图5。

《图4》

图4 路径相交 Fig.4 The intersect of two paths

《图5》

图5 一个XOR树结构 Fig.5 An example of XOR gates tree

当已确定故障路径为Y₁Y时, 对电路施加矢量X₂, 若电路输出Y=0则m₁₂Y故障, 节点Y₁无故障, 若电路输出Y=1则节点Y₁故障, m₁₂Y无故障。若是m₁₂Y故障, 则再用路径Y₃Y的矢量X₃判定是节点m₁₂还是路径m₁₂₃₄Y故障;若m₁₂₃₄Y有故障, 则用路径Y₅Y的X₅判定是节点m₁₂₃₄还是节点Y有故障。因此当路径Y₁Y有故障时, 只需用Y_jY中的一些路径就可确定故障节点, 例如图5中的Y₂Y, Y₃Y和Y₅Y。若确定路径Y₁Y无故障, 则故障路径在其他的子树上, 例如当路径Y₅Y有故障时, 由于Y₁Y无故障, 因此节点Y无故障, 是路径Y₅m₅₆₇₈有故障, 此时可对以节点m₅₆₇₈为输出的子树进行处理, 依次选取路径Y₆m₅₆₇₈、Y₇m₅₆₇₈来进行。

在算法进行过程中当发现故障路径时, 将该路径中不在Tab.2中的节点写入表Tab.1;当发现无故障路径时将其写入表Tab.2, 并在表Tab.1除去此路径的节点。确定某一路径有故障, 则使用Setp 4以缩小故障范围, 当表Tab.1中只有一个节点时, 该节点即为故障节点, 算法结束。

《3.2.2 对XOR树s-a-1故障的定位》

3.2.2 对XOR树s-a-1故障的定位

首先确定XOR树是否有s-a-1故障。设零矢量θ为:控制输入C₀=C₁=C₂=C₃=0, 电路的所有原始输入节点取值0。在零矢量θ作用下, 若电路的原始输出Y=0, 则XOR树无s-a-1故障;若Y=1, 则XOR树有s-a-1故障。XOR树的s-a-1故障定位与s-a-0故障定位类似, 主要是在算法1中把Y=0改为Y=1, 而把Y=1改为Y=0。每一个与门AND_j仍用前面的方法选取矢量X_j。例如相对应于Setp 2, 在矢量X₁的作用下, 若Y=1, 则路径Y₁Y有s-a-1故障;若Y=0, 则路径Y₁Y无故障, 因为故障s-a-1只可能发生在路径Y₁Y或其他路径Y_iY (2≤i≤m) 。

《3.3 AND阵列的故障定位》

3.3 AND阵列的故障定位

在进行故障定位时, 依次确定门AND₁, AND₂, …, AND_m是否有故障, 然后对故障节点进行定位。

《3.3.1 AND阵列s-a-0故障的定位》

3.3.1 AND阵列s-a-0故障的定位

对AND门阵列的每一个AND门, 由于每个输入节点的s-a-0故障和门输出节点的s-a-0故障等效, 因此只需把故障定位到AND门。

算法2

Step 1 使控制输入C₀=0;置j=1。

Step 2 选取电路的一个输入矢量Z_j, 使AND_j的输出Z_j的值为1。这里选取Z_j时是把对应AND_j输入节点的控制输入C_i (1≤i≤3) 和电路原始输入的值全取1, 其他输入节点值取0 (与算法1中选取矢量X_j类似) 。对被测电路施加矢量Z_j, 记电路的输出为f (Z_j) , 并计算电路无故障时的输出值g (Z_j) 。若g (Z_j) ≠f (Z_j) 则AND_j有故障, 算法结束; 若f (Z_j) =g (Z_j) 则AND_j无故障, 执行Step 3。

Setp 3 置j←j+1, 若j<m+1, 转Step2;若j=m+1, 输出所有AND门无s-a-0故障的相关信息, 算法结束。

《3.3.2 对AND阵列s-a-1故障的定位》

3.3.2 对AND阵列s-a-1故障的定位

AND阵列的s-a-1故障主要有AND门的输入节点故障和输出节点故障, 把AND门的输出节点故障作为XOR树的输入节点故障处理, 这里仅考虑AND门输入节点的s-a-1故障。

算法3

Step 1 使控制输入C₀=0;置j=1。

Step 2 对电路AND阵列的门AND_j, 依次确定其输入节点u_i (i=1, 2, …, K_j, K_j为输入节点数) 和输出节点Y_j的s-a-1故障, 置i=1。

Step 3 对门AND_j的输入节点u_i, 生成矢量U_i, 使该节点u_i值为0, 而使门AND_j的其他输入节点u_j值为1, 对AND_j未使用的其他控制输入C_i (1≤i≤3) 值和原始输入值为0。施加矢量U_i, 记电路的输出为f (U_i) , 并计算电路无故障时的输出值g (U_i) 。若f (U_i) =g (U_i) , 则AND_j的节点u_i无故障, 执行Setp 4。若f (U_i) ≠g (U_i) , 则AND_j的输入节点u_i或输出节点Y_j有故障。由于在算法1中已对节点Y_j的故障情况做了处理。若节点Y_j有故障, u_i就无s-a-1故障, 执行Step 4;若节点Y_j无故障, u_i就有s-a-1故障, 输出相关的故障信息, 算法结束。

Step 4 置i←i+1, 若i≤K_j , 转Step 3;若i>K_j , 执行Step 5。

Step 5 置j←j+1, 若j≤m, 转Step 2;若j>m, 则所有AND门的输入节点无s-a-1故障。输出相关信息, 算法结束。

算法2和算法3说明:

1) 算法2中的矢量Z_j和算法3中的矢量U_i有相同的性质, 都使所有门AND_s (s>j) 的输出Y_s=0, 以及对AND阵列中的与门按AND₁, AND₂, …, AND_m的次序操作, 保证了算法的有效性。

2) 算法3中对无故障电路输出g (U_i) 的计算, 可根据逻辑函数GRM模式中每一积项的表达形式, 模拟计算在矢量U_i下每个门AND_k (1≤k≤j) 无故障时的输出值Y_k 。若Y_k中等于1的个数为偶数或0, 则电路输出Y=0, 为奇数时Y=1。算法2中g (Z_j) 的计算与此类似。

3) 在算法2和算法3中, 对控制输入C₁, C₂和C₃的扇出分支节点, 可作为AND阵列中AND门的输入节点进行故障定位。

在具体进行故障定位时, 可首先对被测电路施加测试集T, 若发现电路有故障 (本文假定只发生一个故障s-a-0或s-a-1) , 再做故障定位。在做定位时, 若用电路每部分的测试集T₁, T₂和T₃能将故障确定于输入与控制、AND阵列、XOR树中的一个部分, 则只需对相应的部分进行, 否则首先对电路的输入与控制部分进行故障定位;然后对XOR树及AND阵列部分做故障定位。

《3.4 实验结果》

3.4 实验结果

已将如上故障定位方法用C⁺⁺ 语言在586计算机 (Pentium4, 1.5 GHZ) 上实现, 实验时电路结构采用电路描述语言 (CDL) 描述;然后生成检测电路故障的测试集T;对电路依次设置每一节点的s-a-0或s-a-1故障, 并由算法来进行定位。选取了15个逻辑布尔函数, 变量最多的一个函数有19个变量, 25项积项, 图2所示电路是实验时选取积项数最少的一个。结果表明:故障定位准确率均为100%;对GRM电路节点的s-a-0或s-a-1故障进行定位所需的平均时间<2 min;随着电路规模的增大, 故障定位时间会有所增加。

《4 结论》

4 结论

在数字电路的可测性设计中, 研究逻辑函数电路可测性的实现具有实用价值, 逻辑函数的GRM形式可以使用AND阵列和XOR门树结构来实现, 用本文方法所得的电路是完全可故障定位的。此外, a. 本文采用增加三个控制输入C₁, C₂和C₃的方法, 在于减少GRM电路的测试集规模, 否则电路测试集规模会较大^[6]。关于不使用控制输入并能得到规模较小的测试集的设计方法正在研究中。b. 对控制输入C₀的故障定位, 在文中仅讨论了扇出源的情形, 但对其区分扇出源与扇出分支节点的故障, 也是可进行定位的。c.XOR门级联是XOR树的特殊情形, 因此在电路设计时可以用XOR门级联代替XOR树, 并不需要使用控制输入C₁, C₂和C₃, 可直接应用文中方法对故障做定位, 但整个电路的延迟比使用XOR树结构时要大一些。今后将在如何用较少的元件来实现电路的可测性、更有效的测试方法等方面做进一步研究。

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