单向离合器外环应力计算的有限元方法研究

摘要

单向离合器是一种常见的机械传动部件，其外环应力计算尚无理想的方法。文章以五滚柱式单向离合器为研究对象，根据外环的特点，采用有限元分析方法，分析了影响其计算精度的各种因素，计算出其外环的应力，并且将计算结果与曲梁计算法进行了比较。研究表明，有限元分析方法对于外环类零件的应力计算确是一种理想的方法。

正文

《1 前言》

1 前言

单向 (超越) 离合器广泛应用于机床、汽车及飞机等较精密的机械装置, 其中以滚柱式最为普遍, 主要功能是传递扭矩、完成起动、保护原动机不受损坏。其工况的好坏直接影响到各行业的生产。据统计资料介绍, 离合器失效大多是由于外环破裂所致。而引起离合器失效的应力主要是外环的周向正应力。离合器外环形状复杂, 具有一定的力学特点。多年来国内外一直采用Thjomas 法^[1], 将外环视为承受均匀分布载荷的厚壁圆筒计算其工作时的正应力。实践表明, 这种方法误差太大。笔者在文献[2]中提出了一种离合器外环应力计算的新方法——曲梁计算法, 为外环类零件提供了一种较好的解析方法。笔者提出的有限元方法借助电子计算机计算离合器外环应力, 较之曲梁法更迅速、更准确。

《2 外环受力分析及结构简化》

2 外环受力分析及结构简化

滚柱式单向离合器外环形状依滚柱数目不同而异, 常见的有四滚柱式、五滚柱式、六滚柱式三种。外环的内壁均匀分布着由阿基米德螺线组成的楔形槽。由于一般情况下外环的外径D与壁厚B之比为H=D/B= (4 ～5) 。根据资料推荐, 可将外环的有限元分析视为平面问题对待。

图1为五滚柱式单向离合器工作情况示意图, 外环为主动元件。图2为外环的受力情况示意图。如图2所示, 外环的受力主要由传递扭矩M_c产生的正压力N_z与摩擦力F_m及因高速旋转而产生的离心力组成。由于楔角α较小, 摩擦力与离心力的数值也很小, 为计算简便, 仅考虑正压力N并将其投影到通过外环中心的径向方向上。经过简化后, 外环成为轴对称问题, 可取1/5部分进行有限元分析。

《图1》

图1 离合器工作情况示意图

Fig.1 Schematic diagram of working situation for clutch

《图2》

图2 外环受力情况示意图

Fig.2 Schematic diagram of suffer power situation for external ring

《3 计算求解》

3 计算求解

《3.1 单元与节点的划分》

3.1 单元与节点的划分

单元采用常应变三角形单元。划分单元的原则为:外环楔形槽轮廓线变化陡急处单元划分较细, 其余地方划分较粗。节点的编号以使单元相邻节点差值最小为原则。外环的1/5部分划分为97个节点和148个单元, 见图3。

《图3》

图3 单元划分示意图

Fig.3 Schematic diagram of divorced unit

《3.2 边界条件的处理》

3.2 边界条件的处理

由有限元理论知, 当研究对象简化后, 其边界条件会发生相应变化 (见图4) 。当按1/5外环进行有限元分析时, 边界条件可能会出现两种情况:a. 外环的界与ox轴或oy轴重合;既与ox轴又与oy轴重合;b. 外环边界与ox轴成一夹角θ=360°/5。

《图4》

图4 结果比较示意图

Fig.4 Schematic diagram of comparing result

若属第一种情况, 则有位移δ_y=0或δ_x=0, 此时边界条件处理较易, 只需将已知位移值代入有限元刚度方程中即可。有限元刚度方程为

$Κ δ = F (1)$ $Κ δ = F (1)$

式中K为刚度矩阵;δ为边界上的节点值;F为等效节点载荷。

此时式 (1) 可展开为

$\sum_{j = 1}^{n} Κ_{i j} δ_{i} = F_{i}, i = 1, 2, \dots n ‚$ $\sum_{j = 1}^{n} Κ_{i j} δ_{i} = F_{i}, i = 1, 2, \dots n ‚$

式中K_ij为刚度阵元素, δ_i为节点j的位移, F_i为节点力。

对于第二种情况, 由于外环边界不在ox轴上, 根据变形条件有δ_iy/δ_ix=tg θ, 需要进行坐标变换处理。

边界条件处理的具体方法是:将边界支座去掉, 在支承点加一反向的内力F_i将其简化为非约束点, 同时保持其边界的变形协调条件。此时, 由于内力存在着关系式

$F_{i y} / F_{i x} = - c t g θ ‚$ $F_{i y} / F_{i x} = - c t g θ ‚$

式中θ为有支座的两外环边界之间的夹角, 所以边界的变形协调条件为

$δ_{i y} = δ_{i x} t g θ, F_{i y} = - F_{i x} c t g θ (2)$ $δ_{i y} = δ_{i x} t g θ, F_{i y} = - F_{i x} c t g θ (2)$

边界条件的处理对刚度方程也有影响, 此时必须修正刚度矩阵K。现设以变形协调条件为δ_i+1=δ_itg θ, F_i+1=-F_ictg θ来修正K。

将刚度方程式 (1) 展开, 将上述变形协调条件代入得

$\begin{array}{l} Κ_{11} δ_{1} + \dots + (Κ_{1 i} + Κ_{1 (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{1 (i + 2)} δ_{i + 2} \dots Κ_{1 n} \cdot δ_{n} = F_{1} \\ ⋮ \\ Κ_{i 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{i i} + Κ_{(i + 1) (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{(i + 1) (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots Κ_{i n} δ_{n} = F_{i} \\ Κ_{(i + 1) 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{(i + 1) i} + Κ_{(i + 1) (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{(i + 1) (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots Κ_{i + 1 n} δ_{n} = - F_{i} c t g θ \\ ⋮ \\ Κ_{n 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{n i} + Κ_{n (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{n (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots Κ_{n n} δ_{n} = F_{n} \end{array} (3)$ $\begin{array}{l} Κ_{11} δ_{1} + \dots + (Κ_{1 i} + Κ_{1 (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{1 (i + 2)} δ_{i + 2} \dots Κ_{1 n} \cdot δ_{n} = F_{1} \\ ⋮ \\ Κ_{i 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{i i} + Κ_{(i + 1) (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{(i + 1) (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots Κ_{i n} δ_{n} = F_{i} \\ Κ_{(i + 1) 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{(i + 1) i} + Κ_{(i + 1) (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{(i + 1) (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots Κ_{i + 1 n} δ_{n} = - F_{i} c t g θ \\ ⋮ \\ Κ_{n 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{n i} + Κ_{n (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{n (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots Κ_{n n} δ_{n} = F_{n} \end{array} (3)$

式 (3) 中的n个未知量中有n-1个未知量的位移, 其余一个未知量为内力F_i。因为有关系式-F_ictgθtgθ=-F_i, 故式 (3) 可变为

$\begin{array}{l} Κ_{11} δ_{1} + \dots + (Κ_{1 i} + Κ_{1 (i + 1)} c t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{1 (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots \dots Κ_{i n} δ_{n} = F_{1} \\ ⋮ \\ (Κ_{i 1} + Κ_{i (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \dots + (Κ_{i (i + 2)} Κ_{i (i + 1)} t g θ + \\ Κ_{(i + 1) (i + 2)} t g^{2} θ) δ_{i} + \dots + (Κ_{i n} + \\ Κ_{(i + 1) n} t g θ) δ_{i} = 0 \\ ⋮ \\ Κ_{n 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{n i} + Κ_{n (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \dots + \\ Κ_{n n} δ_{n} = F_{n} \end{array} (4)$ $\begin{array}{l} Κ_{11} δ_{1} + \dots + (Κ_{1 i} + Κ_{1 (i + 1)} c t g θ) δ_{i} + \\ Κ_{1 (i + 2)} δ_{i + 2} + \dots \dots Κ_{i n} δ_{n} = F_{1} \\ ⋮ \\ (Κ_{i 1} + Κ_{i (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \dots + (Κ_{i (i + 2)} Κ_{i (i + 1)} t g θ + \\ Κ_{(i + 1) (i + 2)} t g^{2} θ) δ_{i} + \dots + (Κ_{i n} + \\ Κ_{(i + 1) n} t g θ) δ_{i} = 0 \\ ⋮ \\ Κ_{n 1} δ_{1} + \dots + (Κ_{n i} + Κ_{n (i + 1)} t g θ) δ_{i} + \dots + \\ Κ_{n n} δ_{n} = F_{n} \end{array} (4)$

将式 (4) 中第i+1个方程消去, 余下n-1阶方程即可求得n-1个未知位移δ_i , δ₂, …, δ_i+1, …, δ_n。显而易见, 在求解过程中仅涉及节点的位移值, 而无需求解内力F_i。

《3.3 扩充矩阵》

3.3 扩充矩阵

为使计算机求解方便, 需要将n-1个方程中的矩阵 (K) _{(n-1) (n-1)}扩充成n阶矩阵, 扩充后的矩阵为

$[\begin{matrix} Κ_{1} & \dots & Κ_{1 i} + Κ_{1 (i + 1)} t g θ & 0 & Κ_{i (i + 2)} & \dots & Κ_{1 n} \\ Κ_{i 1} + Κ_{(i + 1) 1} t g θ & \dots & Κ_{i (i + 2)} t g θ Κ_{i (i + 1)} + t g^{2} θ Κ_{(i + 1) (i + 1)} & 0 & Κ_{i (i + 2)} + Κ_{(i + 1)_{(i + 2)}} t g θ & \dots & Κ_{i n} + Κ_{(i + 1) n} t g θ \\ 0 & \dots & 0 \dots & 1 & 0 & \dots & 0 \\ Κ_{(i + 2) i} & \dots & Κ_{(i + 2) i} + Κ_{(i + 2) (i + 1)} t g θ & 0 & Κ_{(i + 2) (i + 2)} & \dots & Κ_{(i + 2) n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ Κ_{n 1} & \dots & Κ_{n i} + Κ_{n (i + 1)} t g θ & 0 & Κ_{n (i + 2)} & \dots & Κ_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} δ_{1} \\ ⋮ \\ δ_{i} \\ δ_{i + 1} \\ δ_{i + 2} \\ ⋮ \\ δ_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} F_{1} \\ ⋮ \\ F_{i} \\ F_{i + 1} \\ F_{i + 2} \\ ⋮ \\ F_{n} \end{matrix}] (5)$ $[\begin{matrix} Κ_{1} & \dots & Κ_{1 i} + Κ_{1 (i + 1)} t g θ & 0 & Κ_{i (i + 2)} & \dots & Κ_{1 n} \\ Κ_{i 1} + Κ_{(i + 1) 1} t g θ & \dots & Κ_{i (i + 2)} t g θ Κ_{i (i + 1)} + t g^{2} θ Κ_{(i + 1) (i + 1)} & 0 & Κ_{i (i + 2)} + Κ_{(i + 1)_{(i + 2)}} t g θ & \dots & Κ_{i n} + Κ_{(i + 1) n} t g θ \\ 0 & \dots & 0 \dots & 1 & 0 & \dots & 0 \\ Κ_{(i + 2) i} & \dots & Κ_{(i + 2) i} + Κ_{(i + 2) (i + 1)} t g θ & 0 & Κ_{(i + 2) (i + 2)} & \dots & Κ_{(i + 2) n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ Κ_{n 1} & \dots & Κ_{n i} + Κ_{n (i + 1)} t g θ & 0 & Κ_{n (i + 2)} & \dots & Κ_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} δ_{1} \\ ⋮ \\ δ_{i} \\ δ_{i + 1} \\ δ_{i + 2} \\ ⋮ \\ δ_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} F_{1} \\ ⋮ \\ F_{i} \\ F_{i + 1} \\ F_{i + 2} \\ ⋮ \\ F_{n} \end{matrix}] (5)$

利用高斯消元法可求得δ₁, δ₂, …, δ_i, δ_i+1…, δ_n, 然后利用关系式δ_i+1=δ_ictgθ求得δ_i+1。

利用计算机平面问题的计算程序在微机上仅需用1 min左右的时间即可获得全部结果, 而未简化受力模型的外环, 用有限元方法计算一般需要20 min多, 运用解析法则时间更长, 而且容易出错。

《3.4 计算实例》

3.4 计算实例

五滚柱式单向离合器的结构参数如下:外径D₁=57 mm, 壁厚B=12 mm, 阿基米德螺线段所对应的圆心角γ=28°, 传递扭矩M_c=30 N·m, 楔形槽最高点至外环中心的直径D₂=43 mm, 心轮直径d₁=31 mm, 滚柱直径d₂=6.8 mm, 楔角α=0.087。

按简化和不简化两种情况进行计算所得结果见表1。表1结果表明, 最大误差小于5%。

表1 结果比较

Table 1 Comparison of results

《表1》

单元号	1	9	18	26	35	42	51	58	62	74	81	86	94	106	115	124	130	135
不简化/MPa	36.05	32.71	32.90	37.45	40.03	30.51	30.45	33.24	95.32	135.63	74.32	30.46	33.57	38.73	34.69	39.44	33.46	35.98
简化/MPa	35.70	31.54	31.47	36.70	39.76	29.70	29.83	32.99	94.08	132.86	73.53	29.87	32.86	37.90	33.21	38.60	32.51	34.81
误差/%	1.010	3.577	4.931	2.020	0.725	2.655	2.036	0.752	1.301	2.042	1.063	1.937	2.115	2.143	4.266	2.130	2.839	3.252

在图4所示的由简化计算结果绘制的1/5外环部分的应力分布图上, 圆点连线为模拟离合器工况运用光弹性实验所获得的结果组成。从图4中不难看出, 应力集中的部位与实际情况相符。

综上所述, 简化外环的受力状况及合理地处理边界条件, 完全符合工程要求。

《4 结论》

4 结论

1) 滚柱式单向离合器外环的受力分析可作为平面问题处理;将正压力N_z投影到通过外环中心的径向方向上可简化计算;

2) 在进行外环类零件的有限元件分析时, 应进行适当的边界条件处理;

3) 有限元计算结果准确, 此方法可推广至类似零件的应力分析。

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