《1 前言》

1 前言

水库优化调度是一个比较复杂的非线性约束优化问题。周育人等[1] 提出将约束优化问题转换成两个目标函数的最小值问题，一个为原问题的目标函数，另一个为违反约束条件的程度函数；利用 Pareto 优于关系定义个体 Pareto 强度指标，根据 Pareto 强度指标对上述两个目标函数组成的向量进行排序，使用遗传算法求解。 SCE - UA 算法[2,3] 是 Duan 等人提出的一种解决非线性约束最优化问题的进化算法，算法结合了单纯形法、随机搜索和基因算法等方法的优点，具有很强的全局寻优能力。笔者采用 SCE - UA 算法结合 Pareto 强度值等概念，用 Pareto 强度值 SCE - UA 算法（PSSCE， Pareto strength SCE - UA algorithm）求解水库优化调度的问题。

《2 水库优化调度问题数学模型》

2 水库优化调度问题数学模型

假设研究的对象是以发电为主，兼顾其他综合利用要求的水库。长期优化调度的确定性数学模型如下：

目标函数

约束条件

水量平衡约束 

水库蓄水量约束 

水轮机过水流量约束 

水库泄流量约束 

水电站出力约束 

式中 T 为年内总时段数，以月计 T = 12；A 为水电站出力系数；Qt 为水电站发电引用流量（m3/s）；Ft 为水库入库流量（m3/s）；Ht 为水电站时段平均水头（m）；St 为水库弃水流量（m3/s）；Mt 为第 t 时段小时数；Vt 为时段初水库蓄水量（m3）；Vt + 1 为时段末水库蓄水量（m3）；（t 为第 t 时段的秒数；Vt，min 为水库最小允许蓄水量（m3） ; Vt，max 为水库最大允许蓄水量（m3）；Qmin 为水电站最小引用流量（m3/s）；Qmax 为水电站最大引用流量（m3/s）；qt，min 为水库下游综合利用要求的最小下泄流量（m3/s）；qt，max 为下游河道安全泄流量；Pmin 为水电站保证出力（kW）；Pmax 为水电站装机容量（kW）。

《3 Pareto强度值 SCE - UA 算法》

3 Pareto强度值 SCE - UA 算法

《3.1 约束优化问题转化为无约束多目标问题》

3.1 约束优化问题转化为无约束多目标问题

约束优化问题可以概括地描述为如下形式：

对于上述问题定义

记 s1（x）＝ f（x），s2（x）＝ fj（x），原优化问题式（7）转化为一个两目标无约束优化问题[4] ：

其中，x ∈ F ∈ S ∈ Rn，S 为目标函数的搜索空间，F 为可行区域。其中 s1（x）为原问题的目标函数，s2（x）为违反约束条件的程度函数，如果 x * 既是 s1（x）的最小值又是 s2（x）的最小值（s2（x）的最小值为 0），那么 x * 就是原约束问题式（7）的解。

《3.2 基于 Pareto 强度值的个体排序》

3.2 基于 Pareto 强度值的个体排序

在进化算法求解问题式（9）的过程中的个体选优，可利用向量之间的 Pareto 优于关系为基础比较两个个体的优劣，对群体中的个体则以 Pareto 强度值 [1] 概念为基础来进行排序。

定义 1 设 a ∈ S，b ∈ S，称 a Pareto 优于 b（Pareto dominate 记 a  b）或 b Pareto 劣于 a 当且仅当 i ∈｛1，2｝：si（a） si（b）且  j ∈｛1，2 ｝ : si（a）si（b）。

定义 2 设 xi 是群体 Pt 中的一个个体，用 S（xi）表示群体中 Pareto 劣于 xi 的个体个数，称为 xi 的强度值，即

其中＃表示集合的基数。强度值 S（xi）反映了个体 xi 在群体 Pt 中的 Pareto 优于关系的强弱程度，从而可以根据强度值为基础来对群体中的个体进行排序，排序步骤如下：

1) 按式（10）计算群体中的每个个体的强度值，强度值大者为优。

2) 对于强度值相同者，进一步比较 s2（x），s2（x）小者为优。

《3.3 Pareto强度值 SCE - UA 算法》

3.3 Pareto强度值 SCE - UA 算法

算法由 SCE 和 CCE 两部分构成，如图 1 所示。

《图1》

图1 Pareto 强度值 SCE - UA 算法流程图

Fig.1 Flowchart of Pareto strength SCE－UA algorithm

SCE 算法步骤：

Step 1 初始化   假定是 n 维问题，选取参与进化的复合形的个数 p（p  1 )和每个复合形所包含的顶点数目 m（m n + 1）。计算样本点数目 s ＝ pm 。

Step 2 产生样本   在可行域内随机产生 s 个样本 x1，…，xs，计算样本 yi ＝（s1 （xi），s2（xi）），得样本点（xi，yi ），i＝1，…，s 。

Step 3 样本点排序  把 s 个样本点按 Pareto 强度值排序，排序后不妨仍记为（xi，yi ），i ＝ 1，…，，其中 xi 优于 xi + 1 ，记 D ＝｛（xi，yi ），i ＝ 1，…，s ｝。

Step 4 划分为复合形群体  将 D 划分为 p 个复合形 A1，…， AP，每个复合形含有 m 点，其中

Step 5 复合形进化   按照竞争复合形进化算法（CCE）分别进化每个复合形。

Step 6 复合形掺混   把进化后的每个复合形的所有顶点组合成新的点集，再次按 Pareto 强度值排序，排序后不妨仍记为 D 。

Step 7 收敛性判断   如果满足收敛条件则停止，否则回到 Step 4 。

CCE（竞争复合形进化算法）步骤：

Step 1 初始化   选取 q，α，β，这里 2 q m，α 1，β 1 。pi  = 2（m + 1 - i）/m（m + 1 ），i  = 1，…，m 。

Step 2 分配权重   对第 Ak 个复合形中的每个点分配其概率，这样较好的点就要比稍差的点有较多的机会形成子复合形。

Step 3 选取父辈群体   从 Ak 中按照概率分布随机地选取 q 个不同的点 u1 ，…，uj，并记录 q 个点在 Ak 中的位置 L 。计算每个点的 yi＝（s1 （xi），s2 （xi）），把 q 个点及其相应的 yi 放于变量 B 中。

Step 4 进化产生下一代群体

Step 4a 对 q 个点按 Pareto 强度值排序，计算 q - 1 个点的形心：g ＝ uj /（q - 1）

Step 4b 计算最差点的反射点 r = 2g - uq

Step 4c 如果 r 在可行域内 Ω，计算其二维向量值 yr，转到 Step 4d 。否则，计算包含 Ak 的可行域中的最小超平面 H，从 H 中随机抽取可行点 z，计算 yz，以 z 代替 r，yz 代替 yr 。

Step 4d 若 yr 优于 yq，以r代替最差点 uq，转到 Step 4f；否则计算 c =（g + uq）/2 和 yc 。

Step 4e 若 yc 优于 yq，以 c 代替最差点 uq，转到 Step 4f；否则，计算包含 Ak 的可行域中的最小超平面 H，从 H 中随机抽取可行点 z，计算 yz，以 z 代替 uq，yz 代替 yq 。

Step 4f 重复 Step 4a 到 Step 4e α 次。

Step 5 取代  把 B 中进化产生的下一代群体即 q 个点放回到 Ak 中原位置 L，并重新排序。

Step 6 迭代  重复 Step 1 到 Step 5 β 次，它表示进化了 β 代，也即每个复合形进化了多远。

算法建议取 m = 2n + 1，q = n + 1，α = 1，β = 2n + 1 。

《4 计算实例》

4 计算实例

以辽宁省某水电站为例，该水电站坝址以上控制流域面积 10 400 km2 ，坝址以上干流总长 247 km 。水电站是以发电为主兼有防洪和灌溉的综合利用枢纽，电站出力系数为 8.5，保证出力为 33 MW，装机容量为 225 MW，多年平均发电量为 4.77 × 108 kW · h 。水库为不完全年调节水库，正常蓄水位为 300 m，死水位为 290 m，最高蓄水位为 303 m，为保证水库安全，要求水库在 7 月份至 8 月份的水位不超过 300 m，9 月初以后才允许超蓄，直到最高蓄水位 303 m 。为验证计算结果的准确性，同时与传统的动态规划法（DP）计算比较，调度过程计算结果如表 1 所示，可以看出 PSSCE 计算结果与 DP 计算结果基本一致，其中 Pareto 强度值 SCE - UA 算法计算结果的总发电量为 5.6238 × 109 kW · h，DP 计算结果的总发电量为 5.6238 × 109 kW · h，这表示建立的方法有效可行。

《表1》

表1 Pareto 强度值 SCE - UA 算法和动态规划典型年计算结果

Table1 Result of typical year optimal operation by PSSCE and DP