基于动态多指标灰色关联决策模型的研究

摘要

针对动态多指标系统的决策特点，对指标数据初始化处理时，利用“奖优罚劣”原则，提出了一种易于计算且实用的［-1，1］线性变换算子，用此方法寻求各时段的正、负理想方案，建立一种新的基于动态多指标灰色关联分析决策模型，在模型中充分考虑了各指标在系统中的成长特性，将此特性用于灰色关联分析，为动态多目标决策问题提供了一种科学、实用的方法，并利用现有的实例来证实此方法的科学性与可行性。

正文

《1 引言》

1 引言

近年来, 国内外许多学者致力于多目标决策 (MADM, multiple attribute decision making) 问题的研究, 如文献[1,2]就较全面地介绍了MADM的理论和方法, 目前MADM问题的研究主要集中在解决具有多个指标、有限个方案的静态决策问题, 关于动态决策和评估问题的研究近几年相继有一些文献^[3,4,5], 但在已有的文献中, 大多是将较成熟的静态多指标决策理论和方法移植到动态决策问题上。由于在工程技术系统、社会、经济、管理中存在众多多时段的综合决策与评价问题, 这类问题实际上是在决策空间和目标空间的基础上, 又增加了一个时间空间, 是具有时间、指标、方案的三维决策排序问题。在对这一类问题的决策时, 由于指标集中, 有些指标具有不同的量纲, 对它们难以进行直接比较, 因而需要对原始决策矩阵进行初始化处理。由于初始化处理方法较多, 使用不同的初始化处理方法可能会得出不同的评价结果。而现有的对决策矩阵处理都是采用在[0, 1]区间上的线性变换法, 这种方法存在只奖不罚的不足^[4]。由于在实际中有时某事物的积极因素与消极因素之间可能相互抵消, 这种现象在实际生产和社会生活中是大量存在的, 因此有必要在对决策矩阵进行变换时, 把规范化决策矩阵中的数值从[0, 1]扩充到[-1, 1]上。笔者利用Vague思想^[6,7,8] 和集对分析理论的思想^[9,10], 提出了一种易于计算且实用的[-1, 1]线性变换算子, 该变换把规范化决策矩阵的数据从[0, 1]区间上拓展到[-1, 1]上, 利用此方法得到规范化决策矩阵, 利用规范化决策矩阵寻求各时段的正、负理想方案, 并在此基础上建立了一种新的基于动态多指标灰色关联分析决策模型。

《2 原理与方法》

2 原理与方法

设动态多指标决策问题有n个被评估对象或拟定的决策方案组成决策方案集S;m个评价指标或属性组成指标集A, A = {A₁, A₂, …, A_m};方案S_i在t时段 (阶段) (t = 1, 2, …, T ) 对指标A_j的属性值为x_ij (t) (i=1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m) , 则t时段方案集S对指标集A的决策矩阵为

$X (t) = [\begin{matrix} x_{11} (t) & x_{12} (t) & \dots & x_{1 m} (t) \\ x_{21} (t) & x_{22} (t) & \dots & x_{2 m} (t) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{n 1} (t) & x_{n 2} (t) & \dots & x_{n m} (t) \end{matrix}] 。$ $X (t) = [\begin{matrix} x_{11} (t) & x_{12} (t) & \dots & x_{1 m} (t) \\ x_{21} (t) & x_{22} (t) & \dots & x_{2 m} (t) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{n 1} (t) & x_{n 2} (t) & \dots & x_{n m} (t) \end{matrix}] 。$

指标属性集A ={A₁, A₂, …, A_m}一般情况下可分为3种类型, 即效益型、成本型和区间型指标 (固定型可视为区间型的特例) 。效益型指标是其值越大越好;成本型指标是其值越小越好;区间型指标是其值落在某一特定区间[A, B]为最好。

令, $Ω = \cup_{i = 1}^{3} Ω_{i}$ $Ω = \cup_{i = 1}^{3} Ω_{i}$ , 且Ω_i∩Ω_j=Ø, i, j = 1, 2, 3, i≠j, 其中Ω₁为效益型指标集, Ω₂为成本型指标集, Ω₃为区间型指标集。

《2.1 决策矩阵规范化处理方法》

2.1 决策矩阵规范化处理方法

由于指标集中的指标具有不同的量纲, 在决策时, 它们难以进行直接比较, 因而需要对原始决策矩阵进行初始化处理。初始化处理方法较多^[11], 如均值化变换、始点零象化变换, 初值化变换、百分比变换、归一化变换、级差最大值化变换、区间值化变换等等, 使用不同的初始化变换处理方法可能会导致评价结果的不同, 而现有的对决策矩阵处理都是采用的[0, 1]区间线性变换法, 这种方法存在只奖不罚的不足。因此, 笔者利用Vague思想和集对分析的理论思想, 把[0, 1]区间上的线性变换拓展到[-1, 1]上的线性变换, 提出了一种易于计算且实用的[-1, 1]线性变换算子, 而且也弥补了文献[5]中提到的不足, 其基本思想是对于评价对象的指标值如果优于平均水平时, 赋予0 ～ 1的正值, 如果劣于平均水平时, 赋予0 ～-1的负值, 具体做法为

首先令 $Ζ_{j} (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} (t) ‚ j = 1, 2, \dots, m, t = 1, 2, \dots, Τ$ $Ζ_{j} (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} (t) ‚ j = 1, 2, \dots, m, t = 1, 2, \dots, Τ$ 。

若A_j为效益型指标, 则

$\begin{array}{l} r_{i j} (t) = [x_{i j} (t) - z_{j} (t)] / [\max (\max_{j} {x_{i j} (t)} - \\ z_{j} (t), z_{j} (t) - \min_{j} {x_{i j} (t)})]; (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} r_{i j} (t) = [x_{i j} (t) - z_{j} (t)] / [\max (\max_{j} {x_{i j} (t)} - \\ z_{j} (t), z_{j} (t) - \min_{j} {x_{i j} (t)})]; (1) \end{array}$

若A_j为成本型指标, 则

$\begin{array}{l} r_{i j} (t) = [z_{j} (t) - x_{i j} (t)] / [\max (\max_{j} {x_{i j} (t)} - \\ z_{j} (t), z_{j} (t) - \min_{j} {x_{i j} (t)})] ； (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} r_{i j} (t) = [z_{j} (t) - x_{i j} (t)] / [\max (\max_{j} {x_{i j} (t)} - \\ z_{j} (t), z_{j} (t) - \min_{j} {x_{i j} (t)})] ； (2) \end{array}$

若A_j为[A, B]区间型指标 (包括固定型指标, 此时A=B) , 则

$r_{i j} (t) = {\begin{cases} 1 - \frac{2 (A - x_{i j} (t))}{A - \min_{j} (x_{i j} (t)}} x_{i j} (t) < A, \\ 1 - \frac{2 (x_{i j} (t) - B)}{\max_{j} {x_{i j} (t)} - B} x_{i j} (t) > B ‚ \\ 1 x_{i j} (t) \in [A, B] 。 \end{cases} (3)$ $r_{i j} (t) = {\begin{cases} 1 - \frac{2 (A - x_{i j} (t))}{A - \min_{j} (x_{i j} (t)}} x_{i j} (t) < A, \\ 1 - \frac{2 (x_{i j} (t) - B)}{\max_{j} {x_{i j} (t)} - B} x_{i j} (t) > B ‚ \\ 1 x_{i j} (t) \in [A, B] 。 \end{cases} (3)$

以上变换称为[-1, 1]线性变换算子。

通过此线性变换算子对决策矩阵X (t) = (x_ij) 进行规范化变换, 则规范化决策矩阵R (t) = (γ_ij) , R (t) = (γ_ij) 中的元素都是无量纲的, 并且所有的元素均符合奖优罚劣的标准及Vague思想, 而对任意的γ_ij (t) ∈[-1, 1], (i = 1, 2, …, n, j=1, 2, …, m, t = 1, 2, …, T ) , 由于规范化决策矩阵中的元素无量纲, 因此它们之间可以进行直接比较;并且由规范化决策矩阵容易求得理想方案和负理想方案。理想方案中各元素都是正值, 负理想方案中各元素都是负值, 这种方法所得到的理想方案和负理想方案与人们在实际中的思维印象是一致的。

《2.2 灰色关联度分析》

2.2 灰色关联度分析

定义设r⁺_j (t) =max{r_ij (t) 1≤i≤n}

$\begin{array}{l} r_{j}^{-} (t) = \min {r_{i j} (t) 1 \leq i \leq n} \\ (j = 1, 2, \dots, m), \end{array}$ $\begin{array}{l} r_{j}^{-} (t) = \min {r_{i j} (t) 1 \leq i \leq n} \\ (j = 1, 2, \dots, m), \end{array}$

则称方案

$S^{+} (t) = {r_{1}^{+} (t), r_{2}^{+} (t), \dots, r_{m}^{+} (t)} (4)$ $S^{+} (t) = {r_{1}^{+} (t), r_{2}^{+} (t), \dots, r_{m}^{+} (t)} (4)$

与方案

$S^{-} (t) = {r_{1}^{-} (t), r_{2}^{-} (t), \dots, r_{m}^{-} (t)} (5)$ $S^{-} (t) = {r_{1}^{-} (t), r_{2}^{-} (t), \dots, r_{m}^{-} (t)} (5)$

分别为t时段 (t=1, 2, …, T ) 决策的理想方案和负理想方案。

显然, 理想方案与负理想方案都不存在, 若理想方案存在, 就直接选择理想方案作为选择对象, 无需挑选。若负理想方案存在, 由于它是所有方案中是最坏的, 因而可以直接从方案集中删除。

设通过Delphi调查法或AHP法确定了每个指标的权重向量为

$\begin{array}{l} w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m}), w_{j} > 0 \\ (j = 1, 2, \dots, m), \sum_{j = 1}^{m} w_{j} = 1 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m}), w_{j} > 0 \\ (j = 1, 2, \dots, m), \sum_{j = 1}^{m} w_{j} = 1 。 \end{array}$

由灰色关联分析方法可知^[12], 在t时段第i方案与理想方案S⁺ (t) 关于指标A_j (t) 的关联系数为

$\begin{array}{l} ξ_{i j}^{+} (t) = [\min_{i} \min_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{+} (t) | + \\ ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{+} (t) |] / [| r_{i j} (t) - \\ r_{j}^{+} (t) | + ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{+} (t) |], \\ (i = 1, 2, \dots, n, j = 1, 2, \dots, m) (6) \end{array}$ $\begin{array}{l} ξ_{i j}^{+} (t) = [\min_{i} \min_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{+} (t) | + \\ ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{+} (t) |] / [| r_{i j} (t) - \\ r_{j}^{+} (t) | + ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{+} (t) |], \\ (i = 1, 2, \dots, n, j = 1, 2, \dots, m) (6) \end{array}$

在t时段第i方案与负理想方案S^- (t) 关于指标A_j (t) 的关联系数为

$\begin{array}{l} ξ_{i j}^{-} (t) = [\min_{i} \min_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{-} (t) | + \\ ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{-} (t) |] / [| r_{i j} (t) - \\ r_{j}^{-} (t) | + ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{-} (t) |] ‚ \\ (i = 1, 2, \dots, n, j = 1, 2, \dots, m) (7) \end{array}$ $\begin{array}{l} ξ_{i j}^{-} (t) = [\min_{i} \min_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{-} (t) | + \\ ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{-} (t) |] / [| r_{i j} (t) - \\ r_{j}^{-} (t) | + ρ \max_{i} \max_{j} | r_{i j} (t) - r_{j}^{-} (t) |] ‚ \\ (i = 1, 2, \dots, n, j = 1, 2, \dots, m) (7) \end{array}$

式中, ρ为分辨系数, ρ∈[0, 1], 一般取ρ= 0.5。

在t时段, 第i方案S_i与理想方案S⁺ (t) 和负理想方案S^- (t) 的关联度分别为

$\begin{array}{l} γ_{i}^{+} (t) = \sum_{j = 1}^{m} w_{j} ξ_{i j}^{+} (t), \\ (i = 1, 2, \dots, n, t = 1, 2, \dots, Τ) (8) \\ γ_{i}^{-} (t) = \sum_{j = 1}^{m} w_{j} ξ_{i j}^{-} (t), \\ (i = 1, 2, \dots, n, t = 1, 2, \dots, Τ) (9) \end{array}$ $\begin{array}{l} γ_{i}^{+} (t) = \sum_{j = 1}^{m} w_{j} ξ_{i j}^{+} (t), \\ (i = 1, 2, \dots, n, t = 1, 2, \dots, Τ) (8) \\ γ_{i}^{-} (t) = \sum_{j = 1}^{m} w_{j} ξ_{i j}^{-} (t), \\ (i = 1, 2, \dots, n, t = 1, 2, \dots, Τ) (9) \end{array}$

《2.3 建立动态多指标决策优化模型》

2.3 建立动态多指标决策优化模型

γ⁺_i (t) 越大, 决策方案S_i与理想方案S⁺ (t) 越接近, 方案则越佳;γ^-_i (t) 的意义恰好相反。因此, 决策方案应该距理想方案最近, 而同时又距负理想方案最远。假设决策方案S_i以优属度u_i从属于理想方案S⁺ (t) , 那么决策方案S_i以1-u_i从属于负理想S^- (t) , 为确定优属度u_i, 建立如下优化模型:

$\begin{array}{l} \min F (u) = \min \sum_{t = 1}^{Τ} {[(1 - u_{i}) v (t) γ_{i}^{+} (t)]^{2} + \\ [u_{i} v (t) γ_{i}^{-} (t)]^{2}}, (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} \min F (u) = \min \sum_{t = 1}^{Τ} {[(1 - u_{i}) v (t) γ_{i}^{+} (t)]^{2} + \\ [u_{i} v (t) γ_{i}^{-} (t)]^{2}}, (10) \end{array}$

其中u= (u₁, u₂, …, u_n) 为系统的最优解向量;v为决策方案各时段的权重向量, 其中v= (v (1) , v (2) , …, v (T) ) , v (t) >0 (t=1, 2, …, T ) , $\sum_{t = 1}^{Τ} v (t) = 1$ $\sum_{t = 1}^{Τ} v (t) = 1$ 。

令 $\frac{\partial F}{\partial u_{i}} = 0$ $\frac{\partial F}{\partial u_{i}} = 0$ , 得

$\begin{array}{l} \frac{\partial F}{\partial u_{i}} = 2 \sum_{t = 1}^{Τ} (1 - u_{i}) (v (t) γ_{i}^{+} (t)) (- v (t) γ_{i}^{+} (t)) + \\ 2 \sum_{t = 1}^{Τ} u_{i} (v (t) γ_{i}^{-} (t)) v (t) γ_{i}^{-} (t) = 0, \\ 故 \\ u_{i} = (\sum_{t = 1}^{Τ} (v (t) γ_{i}^{+} (t))^{2}) / (\sum_{t = 1}^{Τ} (v (t) γ_{i}^{+} (t))^{2} + \\ \sum_{t = 1}^{Τ} (v (t) γ_{i}^{-} (t))^{2}) \\ (i = 1, 2, \dots, n) 。 (11) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{\partial F}{\partial u_{i}} = 2 \sum_{t = 1}^{Τ} (1 - u_{i}) (v (t) γ_{i}^{+} (t)) (- v (t) γ_{i}^{+} (t)) + \\ 2 \sum_{t = 1}^{Τ} u_{i} (v (t) γ_{i}^{-} (t)) v (t) γ_{i}^{-} (t) = 0, \\ 故 \\ u_{i} = (\sum_{t = 1}^{Τ} (v (t) γ_{i}^{+} (t))^{2}) / (\sum_{t = 1}^{Τ} (v (t) γ_{i}^{+} (t))^{2} + \\ \sum_{t = 1}^{Τ} (v (t) γ_{i}^{-} (t))^{2}) \\ (i = 1, 2, \dots, n) 。 (11) \end{array}$

由于u_i表示决策方案S_i优属于理想方案S⁺ (t) 的程度, u_i越大, 决策方案S_i越优, 反之, u_i越小, 决策方案S_i越差。

《3 应用实例》

3 应用实例

投资银行欲对某4家企业A₁, A₂, A₃, A₄进行投资, 选取5项指标进行决策, 分别为投资净产值率, 投资销售率, 投资成本率, 投资利税率, 环境污染程度。投资银行对这4家企业A₁, A₂, A₃, A₄进行了考察, 具体数据见文献[3], 文献[3]根据Delphi调查法, 按照专家们的意见确定了各指标的权重向量为w= (0.241, 0.225, 0.239, 0.217, 0.078) , 3个时段的权重向量为v= (0.329, 0.326, 0.345) 。

首先计算它们各时段的规范化决策矩阵:

$\begin{array}{l} R (1) = [\begin{matrix} - 0.2384 & - 0.4337 & 0.0571 & 0.5438 & - 0.931 \\ 0.8609 & 0.8439 & - 0.6857 & - 0.0877 & - 0.6551 \\ - 1 & - 1 & - 0.3714 & 0.5438 & 1 \\ 0.3774 & 0.5898 & 1 & - 1 & 0.5862 \end{matrix}] ‚ \\ R (2) = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 0.4545 & 0.6417 & - 1 \\ - 0.1111 & - 0.5510 & - 0.25 & 1 & 0.5757 \\ - 0.3333 & - 0.2244 & - 0.2954 & - 0.9701 & 0.8181 \\ - 0.5556 & - 0.2244 & 1 & - 0.6716 & - 0.3939 \end{matrix}] ‚ \\ R (3) = [\begin{matrix} - 0.9823 & - 0.2631 & - 0.4453 & 0.625 & - 0.1578 \\ 1 & 1 & - 0.9159 & 0 & 0.4736 \\ 0.1150 & - 0.8421 & 0.3613 & - 1 & 0.6842 \\ - 0.1327 & 0.1052 & 1 & 0.375 & - 1 \end{matrix}] 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} R (1) = [\begin{matrix} - 0.2384 & - 0.4337 & 0.0571 & 0.5438 & - 0.931 \\ 0.8609 & 0.8439 & - 0.6857 & - 0.0877 & - 0.6551 \\ - 1 & - 1 & - 0.3714 & 0.5438 & 1 \\ 0.3774 & 0.5898 & 1 & - 1 & 0.5862 \end{matrix}] ‚ \\ R (2) = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 0.4545 & 0.6417 & - 1 \\ - 0.1111 & - 0.5510 & - 0.25 & 1 & 0.5757 \\ - 0.3333 & - 0.2244 & - 0.2954 & - 0.9701 & 0.8181 \\ - 0.5556 & - 0.2244 & 1 & - 0.6716 & - 0.3939 \end{matrix}] ‚ \\ R (3) = [\begin{matrix} - 0.9823 & - 0.2631 & - 0.4453 & 0.625 & - 0.1578 \\ 1 & 1 & - 0.9159 & 0 & 0.4736 \\ 0.1150 & - 0.8421 & 0.3613 & - 1 & 0.6842 \\ - 0.1327 & 0.1052 & 1 & 0.375 & - 1 \end{matrix}] 。 \end{array}$

在第一时段, 理想方案S⁺ (1) 和负理想方案S^- (1) 分别为

$\begin{array}{l} S^{+} (1) = {0.8609, 0.8439, 1, 0.5438, 1} ‚ \\ S^{-} (1) = {- 1, - 1, - 0.6857, - 1, - 0.931} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} S^{+} (1) = {0.8609, 0.8439, 1, 0.5438, 1} ‚ \\ S^{-} (1) = {- 1, - 1, - 0.6857, - 1, - 0.931} 。 \end{array}$

因而在第一时段, 所有方案S_i与理想方案S⁺ (1) 和负理想方案S^- (1) 的灰色关联度分别为

$\begin{array}{l} γ_{1}^{+} (1) = 0.5734, γ_{2}^{+} (1) = 0.7129, \\ γ_{3}^{+} (1) = 0.5534, γ_{4}^{+} (1) = 0.7158 ； \\ γ_{1}^{-} (1) = 0.5731, γ_{2}^{-} (1) = 0.5709, \\ γ_{3}^{-} (1) = 0.7558, γ^{4} (1) = 0.5187 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} γ_{1}^{+} (1) = 0.5734, γ_{2}^{+} (1) = 0.7129, \\ γ_{3}^{+} (1) = 0.5534, γ_{4}^{+} (1) = 0.7158 ； \\ γ_{1}^{-} (1) = 0.5731, γ_{2}^{-} (1) = 0.5709, \\ γ_{3}^{-} (1) = 0.7558, γ^{4} (1) = 0.5187 。 \end{array}$

同理, 可计算在第二、第三时段所有方案S_i与理想方案和负理想方案的灰色关联度分别为

$\begin{array}{l} γ_{1}^{+} (2) = 0.7396, γ_{2}^{+} (2) = 0.5708, \\ γ_{3}^{+} (2) = 0.4386, γ_{4}^{+} (2) = 0.5336, \\ γ_{1}^{-} (2) = 0.7049, γ_{2}^{-} (2) = 0.7006, \\ γ_{3}^{-} (2) = 0.8234, γ_{4}^{-} (2) = 0.7510; \\ γ_{1}^{+} (3) = 0.5356, γ_{2}^{+} (3) = 0.7449, \\ γ_{3}^{+} (3) = 0.5115, γ_{4}^{+} (3) = 0.6719, \\ γ_{1}^{-} (3) = 0.6695, γ_{2}^{-} (3) = 0.5374, \\ γ_{3}^{-} ((3) = 0.6897, γ_{4}^{-} (3) = 0.4952 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} γ_{1}^{+} (2) = 0.7396, γ_{2}^{+} (2) = 0.5708, \\ γ_{3}^{+} (2) = 0.4386, γ_{4}^{+} (2) = 0.5336, \\ γ_{1}^{-} (2) = 0.7049, γ_{2}^{-} (2) = 0.7006, \\ γ_{3}^{-} (2) = 0.8234, γ_{4}^{-} (2) = 0.7510; \\ γ_{1}^{+} (3) = 0.5356, γ_{2}^{+} (3) = 0.7449, \\ γ_{3}^{+} (3) = 0.5115, γ_{4}^{+} (3) = 0.6719, \\ γ_{1}^{-} (3) = 0.6695, γ_{2}^{-} (3) = 0.5374, \\ γ_{3}^{-} ((3) = 0.6897, γ_{4}^{-} (3) = 0.4952 。 \end{array}$

由式 (11) 可得各方案关于3个时段的综合排序最优决策向量为:

$u = (0.4743, 0.5610, 0.3079, 0.5422) 。$ $u = (0.4743, 0.5610, 0.3079, 0.5422) 。$

由优化模型及排序原则可知, 这4家企业的排序为A₂, A₄, A₁, A₃。结果与文献[3]的相同, 但分辨程度更高, 它清晰地反映了与平均水平的差距, 物理概念也更加清晰。

《4 结论》

4 结论

笔者通过研究动态多指标系统的决策特点, 利用Vague思想和集对分析的理论思想, 提出了一种易于计算且实用的[-1, 1]线性变换算子, 利用此方法寻求各时段的正、负理想方案, 建立了一种新的基于动态多指标灰色关联分析决策模型, 在模型中充分考虑了各指标在系统中的成长特性, 将此特性用于灰色关联分析, 决策结果较为客观可靠, 且易于在计算机上实现。此方法为解决动态多指标决策问题提供了一条新的途经。

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