一类灰色模糊决策问题的熵权分析方法

摘要

以灰色系统理论和模糊数学为基础，探讨了不确定型决策问题的特性，分析了一些相关成果中所给方法在直接处理灰色模糊数方面的优势与不足。运用优化理论和熵极大化准则，建立了基于灰色模糊关系的多属性群体决策方法，分别对属性权重向量已知和未知两种情况给出了简便实用的算法，通过算例说明了算法的合理性。

正文

《1 引言》

1 引言

不确定型决策问题在社会、经济、环境和管理等各个领域中普遍存在, 并且是一项复杂的系统工程, 由于人的参与使相关数据与信息系统中的不确定性更加显著, 不确定性通常分为2类, 一个是所谓“主观”不确定性, 即人的思维模糊性, 另一个是信息不完全、不充分所造成的客观不确定性, 即灰性。在一个信息不完全的问题中, 往往存在许多模糊的因素, 或具有模糊因素的一个问题不具备完全充分的数据与信息, 即在一个不确定型决策问题中既存在模糊性, 又具有灰性。灰色是量的概念, 模糊是质的范畴。因此用灰色模糊概念来探讨不确定型多属性决策问题, 能够更好地构建具有柔性的决策模型, 且使决策结果更加接近实际。对于可靠性要求较高的较复杂的系统, 通常邀请多位专家共同做出判断, 由于各自的经历、地位、知识水平、个人偏好等方面的差异, 个人对同一具体问题的判断 (或决策) 结果既具有灰色模糊性, 又不尽相同。许多学者对此进行了研究, 取得了一些相关的成果^{[1,2,3,4,5,6]}。文献[1]对灰色模糊数进行排序, 是先将其转化为三参数区间数, 进而对区间数进行排序。由文献[2]知, 这样做是合理的, 但文献[1]中给出的比较区间数的可能性“公式 (8) ” 仅限于a^u≥b^u时 $p (\tilde{a} \geq \tilde{b})$ $p (\tilde{a} \geq \tilde{b})$ 的计算, 其中 $\tilde{a} = [a^{1}, a^{*}, a^{u}] ‚ \tilde{b} = [b^{1}, b^{*}, b^{u}]$ $\tilde{a} = [a^{1}, a^{*}, a^{u}] ‚ \tilde{b} = [b^{1}, b^{*}, b^{u}]$ , 当a^u<b^u时, 如何计算 $p (\tilde{a} \geq \tilde{b})$ $p (\tilde{a} \geq \tilde{b})$ 文献[1]中没有给出, 所举算例也只是特殊情况。文献[3]利用文献[4]给出的比较三角模糊数的可能度公式构造了三角模糊互补判断矩阵及排序方法。文献[4]给出的定义

$\begin{array}{l} v (\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}) = \\ {\begin{matrix} \frac{l_{1} - u_{1}}{(m_{2} - u_{2}) - (m_{1} - l_{1})} & m_{1} < m_{2} \\ 1 & m_{1} \geq m_{2} \end{matrix} (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} v (\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}) = \\ {\begin{matrix} \frac{l_{1} - u_{1}}{(m_{2} - u_{2}) - (m_{1} - l_{1})} & m_{1} < m_{2} \\ 1 & m_{1} \geq m_{2} \end{matrix} (1) \end{array}$

其中 $\tilde{p}_{1} = (l_{1}, m_{1}, u_{1}) ‚ \tilde{p}_{2} = (l_{2}, m_{2}, u_{2})$ $\tilde{p}_{1} = (l_{1}, m_{1}, u_{1}) ‚ \tilde{p}_{2} = (l_{2}, m_{2}, u_{2})$ , 式 (1) 称为 $\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}$ $\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}$ 的可能度。对n+1个三角模糊数 $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ , $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ ₁, …, $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ _n, 定义 $\tilde{p} \geq \tilde{p}_{1}, \dots, \tilde{p}_{n}$ $\tilde{p} \geq \tilde{p}_{1}, \dots, \tilde{p}_{n}$ 的可能度为

$\begin{array}{l} v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{1}, \dots, \tilde{p}_{n}) = \min {v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{1}), \\ v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{2}), \dots, v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{n})} (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{1}, \dots, \tilde{p}_{n}) = \min {v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{1}), \\ v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{2}), \dots, v (\tilde{p} \geq \tilde{p}_{n})} (2) \end{array}$

由式 (1) 易知, 对∀ $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ ₁, $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ ₂, 当m₁<m₂时, $v (\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}) = 1 + (m_{2} - m_{1}) / [(m_{1} - l_{1}) + (u_{2} - m_{2})] > 1$ $v (\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}) = 1 + (m_{2} - m_{1}) / [(m_{1} - l_{1}) + (u_{2} - m_{2})] > 1$ ;当m₁≥m₂时, $v (\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}) = 1$ $v (\tilde{p}_{1} \geq \tilde{p}_{2}) = 1$ 。其定义不甚合理, 尤其是, 当m₁, m₂分别为 $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ ₁, $\tilde{p}$ $\tilde{p}$ ₂的中间点时更为明显。式 (2) 对较大的n会使很多有用的信息丢失。

另一方面, 若将灰色模糊数转化为3参数区间数, 再用文献[5]中给出的比较区间数的可能度公式, 计算可能度矩阵, 进而计算其排序向量对灰色模糊数进行排序, 其不妥之处在于, 这些等价的可能度公式的一个重要的特性是: $p (\tilde{a} \geq \tilde{b}) \geq 1 / 2$ $p (\tilde{a} \geq \tilde{b}) \geq 1 / 2$ 当且仅当a^u+a^l≥b^u+b^l, 且 $p (\tilde{a} \geq \tilde{b}) = 1 / 2$ $p (\tilde{a} \geq \tilde{b}) = 1 / 2$ 当且仅当a^u +a^l=b^u+b^l。注意到a^*= (a^u+a^l) /2, b^*= (b^u+b^l) /2恰为2区间数的中点, 由灰色模糊数对应的3参数区间数的特点可知, 直接利用已有的处理3参数区间数方法进行灰色模糊数的比较, 不能客观地反应隶属度的灰性。笔者在上述文献的基础上, 运用优化理论和熵的极大化准则, 对灰色模糊多属性群体决策问题进行了探讨, 分别给出了属性权重已知与属性权重未知的灰色模糊群体决策算法。给出的算例说明了算法的合理性。

《2 决策算法》

2 决策算法

设X, U, D分别为方案集、属性集和决策者集。决策者d_k∈D给出方案x_i∈X在属性u_j∈U下的属性值是灰色模糊数 (μ_ij^(k), ν_ij^(k)) , i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n。对于给定的决策者d_k, 对应一个方案集X与属性集U之间的灰色模糊关系 $\tilde{R}$ $\tilde{R}$ ^(k), 使得对于任意方案x_i与属性u_j对模糊关系 $\tilde{R}$ $\tilde{R}$ ^(k) 的隶属度μ_R^(k) (x_i, u_j) ≙μ_ij^(k), 有点灰度ν_R^(k) (x_i, u_j) ≙ν_ij^(k), 记为 (μ_ij^(k), μ_ij^(k)) 。则由决策者d_k决定的灰色模糊关系 $\tilde{R}$ $\tilde{R}$ (k) , 用灰色模糊关系矩阵表示为

$\tilde{R}^{(k)} = ((μ_{i j}^{(k)}, μ_{i j}^{(k)}))_{m \times n} ‚ (k = 1, 2, \dots, l) (3)$ $\tilde{R}^{(k)} = ((μ_{i j}^{(k)}, μ_{i j}^{(k)}))_{m \times n} ‚ (k = 1, 2, \dots, l) (3)$

设决策者的灰色模糊权重向量为

$\bar{λ} = ((λ_{1}, π_{1}), (λ_{2}, π_{2}), \dots, (λ_{l}, π_{l})) (4)$ $\bar{λ} = ((λ_{1}, π_{1}), (λ_{2}, π_{2}), \dots, (λ_{l}, π_{l})) (4)$

其中 $λ_{k} \geq 0, \sum_{k = 1}^{l} λ_{k} = 1$ $λ_{k} \geq 0, \sum_{k = 1}^{l} λ_{k} = 1$ ;0≤π_k≤1, k=1, 2, …, l, 则决策群体对应的灰色模糊关系矩阵为

$\tilde{R} = ((μ_{i j}, ν_{i j}))_{m \times n} (5)$ $\tilde{R} = ((μ_{i j}, ν_{i j}))_{m \times n} (5)$

其中, $μ_{i j} = \sum_{k = 1}^{l} λ_{k} μ_{i j}^{(k)} ‚ ν_{i j} = [\frac{1}{l} \sum_{k = 1}^{l} (π_{k} + ν_{i j}^{(k)})] \land 1 ‚ (i = 1, 2, \dots, m, j = 1, 2, \dots, n)$ $μ_{i j} = \sum_{k = 1}^{l} λ_{k} μ_{i j}^{(k)} ‚ ν_{i j} = [\frac{1}{l} \sum_{k = 1}^{l} (π_{k} + ν_{i j}^{(k)})] \land 1 ‚ (i = 1, 2, \dots, m, j = 1, 2, \dots, n)$ 。

《2.1属性权重向量已知的灰色模糊群体决策方法》

2.1属性权重向量已知的灰色模糊群体决策方法

设已知各属性的权重及相应的点灰度构成权重向量为

$\tilde{A} = ((α_{1}, ν_{1}), (α_{2}, ν_{2}), \dots, (α_{n}, ν_{n})) (6)$ $\tilde{A} = ((α_{1}, ν_{1}), (α_{2}, ν_{2}), \dots, (α_{n}, ν_{n})) (6)$

集结各方案的综合属性值, 即计算

$\tilde{B} = \tilde{R} \tilde{A}^{Τ} = ((b_{i}, ν_{b_{i}}))_{m \times 1} (7)$ $\tilde{B} = \tilde{R} \tilde{A}^{Τ} = ((b_{i}, ν_{b_{i}}))_{m \times 1} (7)$

其中 $b_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} μ_{i j}, ν_{b_{i}} = [\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (ν_{j} + ν_{i j})] \land 1 ‚ i = 1, 2, \dots, m$ $b_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} μ_{i j}, ν_{b_{i}} = [\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (ν_{j} + ν_{i j})] \land 1 ‚ i = 1, 2, \dots, m$ 。 $a_{j} > 0 ‚ \sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 1 ‚ 0 \leq ν_{j} \leq 1 ‚ j = 1, 2, \dots, n$ $a_{j} > 0 ‚ \sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 1 ‚ 0 \leq ν_{j} \leq 1 ‚ j = 1, 2, \dots, n$ 。

$\tilde{B}$ $\tilde{B}$ 的排序向量 β= (β₁, β₂, …, β_m) 定义为

$\begin{array}{l} β_{i} = Ρ ((b_{i}, ν_{b_{i}})) = α b_{i} + (1 - α) (1 - ν_{b_{i}}), \\ i = 1, 2, \dots, m (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} β_{i} = Ρ ((b_{i}, ν_{b_{i}})) = α b_{i} + (1 - α) (1 - ν_{b_{i}}), \\ i = 1, 2, \dots, m (8) \end{array}$

其中 α为平衡系数 (0<α<1) 。式 (8) 的意义是β_i的取值体现了第i方案的综合隶属度越大越好, 而其综合点灰度越小越好。平衡系数α可根据实际问题预先给出, 或由下述方法确定:

求解优化问题

$\begin{array}{l} \max G (x_{1}, x_{2}) = \sum_{i = 1}^{m} [x_{1} b_{i} + \\ x_{2} (1 - ν_{b_{i}})] - \sum_{i = 1}^{2} x_{i} \ln x_{i} ‚ \\ s . t . x_{1} + x_{2} = 1 ‚ x_{1} > 0 ‚ x_{2} > 0 (9) \end{array}$ $\begin{array}{l} \max G (x_{1}, x_{2}) = \sum_{i = 1}^{m} [x_{1} b_{i} + \\ x_{2} (1 - ν_{b_{i}})] - \sum_{i = 1}^{2} x_{i} \ln x_{i} ‚ \\ s . t . x_{1} + x_{2} = 1 ‚ x_{1} > 0 ‚ x_{2} > 0 (9) \end{array}$

其中目标函数的第一项表示x₁, x₂的选取, 应使各备选方案的综合属性值的隶属度最大, 且点灰度又尽可能小, 第二项表示要尽可能地消除x₁, x₂选取的随机不确定性。最优化问题式 (9) 的唯一解是

$\begin{array}{l} x_{1} = \exp [\sum_{i = 1}^{m} (b_{i} + ν_{b_{i}} - 1)] / \\ [1 + \exp [\sum_{i = 1}^{m} (b_{i} + ν_{b_{i}} - 1)]] ‚ \\ x_{2} = 1 / [1 + \exp [\sum_{i = 1}^{m} (b_{i} + ν_{b_{i}} - 1)]] (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} x_{1} = \exp [\sum_{i = 1}^{m} (b_{i} + ν_{b_{i}} - 1)] / \\ [1 + \exp [\sum_{i = 1}^{m} (b_{i} + ν_{b_{i}} - 1)]] ‚ \\ x_{2} = 1 / [1 + \exp [\sum_{i = 1}^{m} (b_{i} + ν_{b_{i}} - 1)]] (10) \end{array}$

事实上, 求函数

$\begin{array}{l} F (x_{1}, x_{2}, λ) = \sum_{i = 1}^{m} [x_{1} b_{i} + x_{2} (1 - ν_{b_{i}})] - \\ \sum_{i = 1}^{2} x_{i} \ln x_{i} + λ (1 - x_{1} - x_{2}) \end{array}$ $\begin{array}{l} F (x_{1}, x_{2}, λ) = \sum_{i = 1}^{m} [x_{1} b_{i} + x_{2} (1 - ν_{b_{i}})] - \\ \sum_{i = 1}^{2} x_{i} \ln x_{i} + λ (1 - x_{1} - x_{2}) \end{array}$

的极值点即得式 (10) 。

综上所述, 在属性权重向量已知的情况下可给出一种实用的决策方法, 其步骤如下:

Step 1 对给定的决策者d_k∈D, 建立由d_k决定的灰色模糊关系矩阵式 (3) ;

Step 2 根据已知的决策者权重向量式 (4) , 计算决策群体对应的灰色模糊关系矩阵式 (5) ;

Step 3 根据已知的属性权重向量式 (6) , 集结各方案的综合灰色模糊属性值, 即算式 (7) ;

Step 4 按公式 (8) 计算式 (7) 的排序向量β= (β₁, β₂, …, β_m) ;

Step 5 按分量 β₁, β₂, …, β_m的大小, 由大到小对相应方案进行排序, 其中最大分量对应的方案为最优方案。

《2.2属性权重向量未知的灰色模糊群体决策方法》

2.2属性权重向量未知的灰色模糊群体决策方法

设有灰色模糊数p₁= (μ₁, ν₁) , p₂= (μ₂, ν₂) , 则称d (p₁, p₂) =|μ₁-μ₂|+|ν₁-ν₂|为灰色模糊数p₁, p₂的相离度。

记群体灰色模糊关系矩阵式 (5) 中元素 (μ_ij, ν_ij) =r_ij, (i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n) , 假设属性权重向量为w= (w₁, w₂, …, w_n) , 则由文献[6]知, w应使总偏差函数 $D (w) = \sum_{j = 1}^{n} D_{j} (w) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j}) w_{j}$ $D (w) = \sum_{j = 1}^{n} D_{j} (w) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j}) w_{j}$ 取最大值。同时由信息熵的物理意义知, $Η (w) = - \sum_{j = 1}^{n} w_{j} \ln w_{j}$ $Η (w) = - \sum_{j = 1}^{n} w_{j} \ln w_{j}$ 取最大值时, w= (w₁, w₂, …, w_n) 的随机不确定性最小。因此, 属性的权重应是最优化问题

$\begin{array}{l} \max G (w) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j}) w_{j} - \sum_{j = 1}^{n} w_{j} \ln w_{j} ‚ \\ s . t . \sum_{j = 1}^{n} w_{j} = 1 ‚ w_{j} \geq 0 ‚ j = 1, 2, \dots, n (11) \end{array}$ $\begin{array}{l} \max G (w) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j}) w_{j} - \sum_{j = 1}^{n} w_{j} \ln w_{j} ‚ \\ s . t . \sum_{j = 1}^{n} w_{j} = 1 ‚ w_{j} \geq 0 ‚ j = 1, 2, \dots, n (11) \end{array}$

的解。由拉格朗日乘数法可得式 (11) 的唯一解为

$\begin{array}{l} w_{j} = \exp [\sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j})] / \\ [\sum_{j = 1}^{n} e x p [\sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j})]] ‚ j = 1, 2, \dots, n (12) \end{array}$ $\begin{array}{l} w_{j} = \exp [\sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j})] / \\ [\sum_{j = 1}^{n} e x p [\sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{m} d (r_{i j}, r_{k j})]] ‚ j = 1, 2, \dots, n (12) \end{array}$

若记属性权重向量

$\tilde{A} = ((w_{1}, 0), (w_{2}, 0), \dots, (w_{n}, 0)) (13)$ $\tilde{A} = ((w_{1}, 0), (w_{2}, 0), \dots, (w_{n}, 0)) (13)$

则由式 (12) 和式 (5) 可计算各方案的综合灰色模糊属性值, 即计算式 (7) 。

综上所述, 在属性权重向量未知情况下可给出一种实用的决策算法:

Step 1, Step 2 这两步与属性权重向量已知的情况相同;

Step 3 依据式 (5) 和式 (12) 计算属性权重向量式 (13) ;

Step 4 利用式 (13) , 集结各方案的综合灰色模糊属性值, 即计算式 (7) , 此时

$b_{i} = \sum_{j = 1}^{n} w_{j} μ_{i j}, ν_{b_{i}} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} ν_{i j} ‚ i = 1, 2, \dots, m ；$ $b_{i} = \sum_{j = 1}^{n} w_{j} μ_{i j}, ν_{b_{i}} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} ν_{i j} ‚ i = 1, 2, \dots, m ；$

Step 5, Step 6 这两步与属性权重已知时决策算法中的Step 4, Step 5两步相同。

《3 算法分析》

3 算法分析

对属性权重向量未知的情况, 算例如下:

某系年终分配一名校级优秀教师名额, 现有4名候选人。学校首先统一制定了6项评估指标:思想品德 (u₁) 、文化素质 (u₂) 、本职工作完成情况 (u₃) 、教书育人 (u₄) 、科研能力 (u₅) 、身心素质 (u₆) 。现有3位评估者d_k (k=1, 2, 3) , 其权重向量 $\bar{λ} = ((0.4, 0.2), (0.3, 0.5), \dots, (0.3, 0.5))$ $\bar{λ} = ((0.4, 0.2), (0.3, 0.5), \dots, (0.3, 0.5))$ , 根据上述6项指标对该系的4名候选人x_i (i=1, 2, 3, 4) 的评估结果如表1至表3所示, 试确定优秀教师人选。

表1 评估者d₁给出的灰色模糊关系矩阵

Table 1 Grey fuzzy relational matrix given by expert d₁

《表1》

	x₁	x₂	x₃	x₄
u₁	(0.9, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.6, 0.3)	(0.8, 0.3)
u₂	(0.6, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.8, 0.1)	(0.6, 0.1)
u₃	(0.9, 0)	(0.5, 0)	(0.9, 0)	(0.4, 0)
u₄	(0.8, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.9, 0.3)	(0.5, 0.3)
u₅	(0.6, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.9, 0.1)
u₆	(0.5, 0.2)	(0.6, 0.2)	(0.5, 0.2)	(0.5, 0.2)

表2 评估者d₂给出的灰色模糊关系矩阵

Table 2 Grey fuzzy relational matrix given by expert d₂

《表2》

	x₁	x₂	x₃	x₄
u₁	(0.8, 0.4)	(0.5, 0.4)	(0.5, 0.4)	(0.5, 0.4)
u₂	(0.4, 0.2)	(0.6, 0.2)	(0.4, 0.2)	(0.5, 0.2)
u₃	(0.8, 0.1)	(0.4, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.5, 0.1)
u₄	(0.9, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.8, 0.3)
u₅	(0.6, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.6, 0.1)
u₆	(0.4, 0.3)	(0.4, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.5, 0.3)

利用评估者权重集及公式 (5) 计算群体评估灰色模糊关系矩阵 $\tilde{R}$ $\tilde{R}$ 见表4

利用表4及式 (12) 计算指标 (属性) 权重向量为

$w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{6}) = (0.091,$ $w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{6}) = (0.091,$

表3 评估者d₃给出的灰色模糊关系矩阵

Table 3 Grey fuzzy relational matrix given by expert d₃

《表3》

	x₁	x₂	x₃	x₄
u₁	(0.8, 0.3)	(0.5, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.5, 0.3)
u₂	(0.5, 0.1)	(0.6, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.5, 0.1)
u₃	(0.8, 0.1)	(0.5, 0.1)	(0.6, 0.1)	(0.4, 0.1)
u₄	(0.8, 0.3)	(0.4, 0.3)	(0.8, 0.3)	(0.8, 0.3)
u₅	(0.9, 0.1)	(0.6, 0.1)	(0.9, 0.1)	(0.5, 0.1)
u₆	(0.5, 0.2)	(0.6, 0.2)	(0.6, 0.2)	(0.4, 0.2)

表4 群体评估者灰色模糊关系矩阵

Table 4 Grey fuzzy relational matrix given by the group

《表4》

	x₁	x₂	x₃	x₄
u₁	(0.84, 0.73)	(0.62, 0.73)	(0.63, 0.73)	(0.62, 0.73)
u₂	(0.51, 0.53)	(0.72, 0.53)	(0.71, 0.53)	(0.54, 0.53)
u₃	(0.84, 0.47)	(0.47, 0.47)	(0.81, 0.47)	(0.43, 0.47)
u₄	(0.83, 0.70)	(0.68, 0.70)	(0.84, 0.70)	(0.68, 0.70)
u₅	(0.69, 0.5)	(0.81, 0.5)	(0.9, 0.5)	(0.69, 0.5)
u₆	(0.47, 0.63)	(0.54, 0.63)	(0.62, 0.63)	(0.47, 0.63)

$0.112, 0.543, 0.083, 0.105, 0.066) 。$ $0.112, 0.543, 0.083, 0.105, 0.066) 。$

由式 (7) 及式 (13) 集结各候选人的综合评估值得

$\begin{array}{l} \tilde{R} = ((0.762, 0.593) ‚ (0.582, 0.593) ‚ \\ (0.782, 0.593) ‚ (0.501, 0.593)) ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} \tilde{R} = ((0.762, 0.593) ‚ (0.582, 0.593) ‚ \\ (0.782, 0.593) ‚ (0.501, 0.593)) ‚ \end{array}$

由式 (10) 得 α= 0.73。

再由式 (8) 计算各侯选人的排序向量得

$\begin{array}{l} β = (β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}) = \\ (0.666, 0.535, 0.681, 0.476) ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} β = (β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}) = \\ (0.666, 0.535, 0.681, 0.476) ‚ \end{array}$

故x₃>x₁>x₂>x₄即侯选人x₃当选为优秀教师。

《4 结语》

4 结语

以灰色系统理论^[7]和灰色模糊集合^[8]为基础, 探讨了不确定型决策问题的特征, 分析了一些相关成果中所给出的方法在直接处理灰色模糊数方面的优势和不足。运用优化理论和熵的极大化准则, 建立了基于灰色模糊关系的多属性群体决策方法, 分别对属性权重向量已知与未知的2种情况, 给出了简便实用的算法, 通过算例说明了算法的合理性。笔者提出的算法中将隶属度和灰度融合于决策过程, 使决策方法更接近实际, 适用范围更加广泛。

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