《1   引言》

1   引言

边坡工程的位移预测一直是控制滑坡和保障安全工作的主要内容。在管理工程中应用较完善的指数平滑技术属于非统计性模型，其依据的基本原则是“厚今薄古”，即数据愈靠近当前，对未来的影响愈大；愈远离当前，对未来的影响愈小。对未来的预测可利用预测误差来进行调整或修正，力求更符合实际情况。该方法的显著特点是：给最新的观察值以最大的权重，给其他预测（或实际值）以递减的权重。所以预测值是既能反映最新的信息，又能反映历史资料的信息，从而使预测结果更符合实际情况。

指数平滑方法常见的类型主要有：趋势型数据的平滑、趋势 - 季节型数据的平滑及带衰减趋势的季节指数平滑[1] 。由于趋势型指数的平滑方法使历史预测值的高低起伏变得平滑一些，减少了某些随机影响，从而接近于某些边坡的位移变形模型，因此笔者应用此模型对边坡的位移数值进行了预测，并在实际工程中进行了观测对比验证，取得了比较满意的结果。

《2   趋势型指数平滑的基本理论[1~3]》

2   趋势型指数平滑的基本理论[1~3]

《2.1 一次指数平滑》

2.1 一次指数平滑

一次指数平滑值的计算公式为

此处： 为第 t 期的一次指数平滑值； 为 t - 1 期的一次指数平滑值； Yt 为第 t 期的观测值；α 为平滑系数，α ∈ [ 0 , 1 ] 。

一次指数平滑预测是以第 t 期的一次指数平滑值作为第 t + 1 期的预测值，即 ， = ，因此，式（1）又可表示为

式（2）就是一次指数平滑预测模型。

初始值的确定通常有 2 种方法：当初始值对预测值影响较小时，可取 = Y1 ；当初始值对预测值影响较大时，可取最初的 n 个观测值的平均值作为初始值，即

一次指数平滑模型适用于平稳型数据的预测。

《2.2 二次和三次指数平滑》

2.2 二次和三次指数平滑

二次指数平滑是指对时间序列作一次指数平滑之后，再作一次指数平滑。其计算公式如下：

式中 为 t 期的二次指数平滑值； 为 t - 1 期的二次指数平滑值；其他符号的意义同前。

对于 α 值的确定，可凭经验选取几个不同的 α 值进行试算，选择其中误差最小的值。

初始值 的确定通常有 2 种方法：

三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再作一次平滑，其计算公式如下：

式中 为第 t 期的三次指数平滑值； 为第 t - 1 期的三次指数平滑值；其他符号的意义同前。

初始值可选 ＝ ＝ Y1 和 ＝ 。

二次指数平滑预测模型为

其中

二次指数平滑预测模型适用于时间序列数据呈线性趋势的情况。

三次指数平滑预测模型为

其中

三次指数平滑预测模型适用于数据呈二次曲线趋势的情况。

在式（5）和式（6）中， 为第 t + T 期的预测值； T 为 t 期后的期数； ， bt 和 ct 为平滑系数，其他符号的意义同前。

《3   平滑系数的计算与确定》

3   平滑系数的计算与确定

在运用指数平滑预测方法时，确定合适的平滑系数值非常重要，他影响到预测的准确程度，其大小体现了观测值与预测值间的比例关系。平滑系数值越大，实际值对新预测值的贡献就越大；其值越小，实际值对新预测值的影响就越小。故当较依赖近期的信息进行预测时，可取较大的平滑系数值；当以前的信息影响较大时可取较小的值。可见，根据观测值的数据特征选择适宜的预测模型和合适的平滑系数值，就可获得较准确的预测结果。其中确定合理而又简便的平滑系数值是重要的环节，其方法一般可以通过计算、比较后，采用能够使分析线与数据演变过程最为吻合的值。但显然这种取值方法不是最理想的。

指数平滑法对所有历史预测值给以递减的权重，平滑系数的取值不同，预测结果也不同，但其基本思想是预测值等于过去观测值经加权后之和，其普遍形式可记为：  式中 ，，，…表示不同权重。我们可以先设定 ，，，…为某些值，用自适应过滤法确定预测值。

《3.1 自适应过滤法的方法原理[4]》

3.1 自适应过滤法的方法原理[4]

设 Y1，Y2 ，…， Yt 是按某种时间单位记录下来的观测值序列，即时间序列，则用如下通式可以表示时间序列预测模型中的一个类别：

式中： 为第 t + 1 期的预测值； 为赋予第 t - i + 1 期观测值的权数； Yt - i + 1 为第 t - i + 1 期的观测值； N 为权数的个数。

利用式（7）作预测是基于这样的思路：过去的观测值中不仅包含着未来发展的基本信息，而且也包含着随机成份，通过加权平均处理可以保留发展的基本信息，离析随机干扰。但式（7）是预测方法中的一个集合，按照不同的准则来决定权数，就会产生不同的预测方法，自适应过滤法是其中的一种，他用不断反馈迭代调整权数的方法，来确定一组使预测误差最小的权数。

自适应过滤法的基本过程是先取一组给定的权数，按式（7）计算预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数，以减少误差。这样反复进行可找到一组最佳的权数，使误差减少到最低限度。

假定有 M 个历史观测值组成的序列可以利用，记作 Y1，Y2，…，YM ，取 N 个权数的自适应过滤法来预测。

1）假定当前期 t ＝ N ，对下一期 t + 1 时作出预报，这样需要把前面 N 个观测值进行加权处理（一般权数的初始值可以简单地取 = 1/N）。按式（7）计算第 t + 1 期的预测值即

2）计算预测值和实际值之间的误差

（3）预测误差 et + 1 计算出后，用下式来调整权数

式中 i ＝ 1，2 ，…，N 为权数的个数； 为调整前的第 i 个权数； 为调整后的第 i 个权数； k 为学习常数项； et ＋ 1 为第 t ＋ 1 期的预测误差，即 et ＋ 1 = Yt + 1 – ； Yt - i + 1 为第 t - i + 1 期的实际值。

下标 t 表示作预测所用数据中的当前时期。当所用数据向前推移一期后，表示当前时期的 t 也就要跟着递增 1 。由于应用式（7）作预测， t 要从 N 开始，而随着自适应过滤迭代过程的进行，数据向前移动一期作预测后，就要用式（8）调整一次权数，因此，在整个自适应过滤过程中，式（7）和式（8）中 t 的取值范围是 t ＝ N，N + 1，N + 2，…，M ；M 为序列数据个数。

用式（8）的方法调整权数是根据数学中的最优化原理，以预测误差的平方最小为目标函数，按照最速下降法逼近。 k 一般取常数，在自适应过滤法中就称作学习常数，取常数是有一定条件的，否则自适应过滤法就不一定向最小误差收敛，经证明式（8）调整权数的自适应过滤法收敛的充分条件是

上式的分母表示取时间序列中最大的 N （N 为权数的个数）个观测值的平方之和。当在式（9）条件下按式（8）调整出一组新的权数后，就以 t ＝ N ＋ 1 ，用 2，3，4 ，…，N + 1 期的观测值按式（7）计算第 N + 2 期的预测值。在第 N + 2 期预测值计算出后转入计算预测误差和调整权数的步骤，这样继续下去，终于到了用第 M - N，M - N + 1 ，…，M 期的观测值来作第 M + 1 期的预测。但这时由于第 M + 1 期的观测值还没出现，也就是得不到 et ＋ 1 ，从而不能再按式（8）调整权数。但可以把现有的 M 个权数作为一个初始组，重新开始 1，2，…，N 期的观测值对第 N ＋ 1 期作预测的第二轮迭代过程。通过利用这一观测值序列反复迭代循环，对权数进行调整，会进入预测误差将没有多大改进阶段，这时就可以获得一组最佳权数，能用来决定第 N + 1 期的预测值[5] 。

在实际应用中，如果数据存在周期变动性，权数的个数应同周期数相当或是其整数倍。一般权数 N 较大时，可降低随机波动的影响，在数据没有周期变动时，可试用几个不同的 N 值，最后选取产生平均误差最小的 N 为准。

《3.2 自适应过滤法的评价》

3.2 自适应过滤法的评价

自适应过滤法的权数可以是任意的，可以说该方法对权数的处理是突破一切约束。不但可以出现负数，还允许权数之和不等于 1 （尽管权数的起始值是取 ＝ 1/N （i ＝ 1，2，…，N），然而按式（8）调整权数之后就无法保证权数之和等于 1 。所以用自适应过滤法最后所得到的结果已不再是加权平均数，而称为加权和）。自适应过滤法中的 本身意义来讲，实际上不是权数，应看作是欲使一期预测误差最小，而用数学方法解出的多项式方程的系数。这种演变处理方法是有积极意义的，可以克服加权平均数总是存在滞后误差的弊病。自适应过滤法还有一些其他优点，如形式上比较简单，比较容易制成计算机程序供实际应用，并且对于较短的时间序列，尤其用作季节性的预测时显得特别方便，每当新数据出现后，权数可以按照规定的步骤调整。

《4   滑坡方法应用》

4   滑坡方法应用

某滑坡区位于某市区内，其下方不仅是市内交通线路，而且有 500 多户市内居民，每年梅雨时节，常常发生危险，是观测和预防滑坡的重点地点之一。该滑坡长约１ 500 m ，宽 50 ~ 600 m ，高近 100 m ，发育有 80 多条宽大裂缝，构成 6 个危险段，土体体积共计2 000 m3 [6] 。长期监测结果表明，该滑坡区在不断地朝不稳定方向发展，直接威胁城市交通和附近居民的安全。

通过对其中的 5 号监测点近年来的监测资料进行分析，绘制出观测值分布曲线图（见图 1）后发现，观测数据近似呈现出线性趋势，该监测点的位移监测资料数据见表 1 。可用趋势型指数平滑方法来预测危土体的位移量，这里采用线性趋势成分的二次指数平滑预测模型式（5）和相应的 ， bt  计算公式进行计算预测，经采用自适应过滤法试算后（过程从略），取 α = 0.8 较为合适。其计算结果列于表 1 。

《图 1》

图 1 某滑坡体 5 号观测值与预测值比较

Fig.1 The distribution flex contrast fig of the observation and forecast value of the point 5 of certain slope

从表 1 中数据，比较从 1999 年到 2003 年的预测结果与实际观测值，数据结果比较相近，误差很小。故此指数平滑模型用来预测边坡变形的位移量，具有一定的可靠性和重要的实用意义，不仅为工程的加固治理提供了一定的参考依据，而且也扩展了预测预报的新方法，可以在危险到来前进行加固治理赢得宝贵的时间。

《表 1》

表 1 某滑坡体 5 号监测点位移值及二次指数平滑预测结果

Table 1 The displacement value and the twice exponential smoothing forecast result of the observation point 5 of certain slope

《5   结语》

5   结语

1）指数平滑技术用于斜坡变形的中短期预报，具有一定的理论和实际意义。

2）根据不同的边坡地质条件，选择合适的趋势型指数平滑模型，这是合理应用此方法进行预测的前提和基础。

3）采用自适应过滤法，选择合适的平滑系数值，以避免由于平滑系数的取值不同而得到不同的预测结果，并可提高预测精度。