粘贴玻璃钢加固混凝土组合梁挠度研究

摘要

将一定几何尺寸的玻璃钢板粘贴在混凝土梁的受拉区，能有效地提高混凝土梁的抗弯承载能力和混凝土梁的横向刚度。通过解析的方法，分别考虑组合梁在3种不同受力状态下，对玻璃钢板中拉力进行解析，得到了组合梁在不同载荷作用下的挠度表达式。

正文

《1 前言》

1 前言

理论分析和试验表明, 粘贴复合材料玻璃钢加固混凝土梁, 能有效提高混凝土梁的抗弯承载能力^[1,2]。玻璃钢板与混凝土之间由一层结构胶粘剂传力, 在粘接层中有剪应力和法向应力存在, 并于玻璃钢板端部有较大的应力集中, 在玻璃钢板端部的剪应力和法向应力以及混凝土中正应力综合作用下, 有可能引起粘接破坏或混凝土剥落破坏, 导致补强加固梁失去承载能力。笔者主要对粘贴玻璃钢板加固混凝土梁组合构件的挠度进行解析。

《2 基本方程的建立》

2 基本方程的建立

图1为粘贴玻璃钢加固的混凝土梁。从梁中右半部分取出一段长为dx的梁微元体进行受力分析, 如图2所示, 在梁上作用均布荷载、1个集中荷载及2个集中荷载如图3所示。

由图2梁微元的平衡可得:

$\begin{array}{l} \frac{d F}{d x} = S (1) \\ \frac{d Q_{1}}{d x} = - Ν - q (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{d F}{d x} = S (1) \\ \frac{d Q_{1}}{d x} = - Ν - q (2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{d Q_{2}}{d x} = Ν (3) \\ \frac{d Μ_{1}}{d x} = Q_{1} - \frac{S h}{2} (4) \\ \frac{d Μ_{2}}{d x} = Q_{2} - \frac{S d_{b}}{2} (5) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{d Q_{2}}{d x} = Ν (3) \\ \frac{d Μ_{1}}{d x} = Q_{1} - \frac{S h}{2} (4) \\ \frac{d Μ_{2}}{d x} = Q_{2} - \frac{S d_{b}}{2} (5) \end{array}$

式中M₁为混凝土梁截面上的弯矩, Q₁为混凝土梁截面上的剪力, F为混凝土梁及玻璃钢板上所受轴力, M₂为玻璃钢板截面上的弯矩, Q₂为玻璃钢板截面上的剪力, S为混凝土梁与玻璃钢板之间沿长度的分布粘结剪力, N为混凝土梁与玻璃钢板之间沿长度的分布法向力。

《图1》

图1粘贴玻璃钢加固混凝土梁简图

Fig.1 Diagram of RC beam strengthened by epoxy-bonded glass fiber reinforced plastic plate

《图2》

图2梁微元体

Fig.2 Micro-unit of the beam

《图3》

图3荷载形式

Fig.3 Load form

考虑到混凝土梁的剪切变形, 得到梁挠度微分方程为

$\frac{d^{2} ω_{1}}{d x^{2}} = - \frac{Μ_{1}}{E_{0} Ι_{0}} - \frac{α_{s} q}{G_{0} A_{0}} ‚ \frac{d^{2} ω_{2}}{d x^{2}} = - \frac{Μ_{2}}{E_{b} Ι_{b}} (6)$ $\frac{d^{2} ω_{1}}{d x^{2}} = - \frac{Μ_{1}}{E_{0} Ι_{0}} - \frac{α_{s} q}{G_{0} A_{0}} ‚ \frac{d^{2} ω_{2}}{d x^{2}} = - \frac{Μ_{2}}{E_{b} Ι_{b}} (6)$

式中ω₁为混凝土梁的挠度, ω₂为玻璃钢板的挠度, E₀I₀为混凝土梁 (含拉压钢筋) 的综合抗弯刚度, E_bI_b为玻璃钢板抗弯刚度, G₀为混凝土的剪切模量, A₀为混凝土梁的载面面积, α_s为剪切系数。

假定结构胶粘剂层为线弹性体, 弹性模量为E, 剪切模量为G, 可得粘接剪力和法向力的表达式:

$\begin{array}{l} S = \frac{G b}{t} (u_{2} - u_{1} + e) (7) \\ Ν = \frac{E b}{t} (ω_{2} - ω_{1}) (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} S = \frac{G b}{t} (u_{2} - u_{1} + e) (7) \\ Ν = \frac{E b}{t} (ω_{2} - ω_{1}) (8) \end{array}$

式中Gb/t为粘接剂层的剪切刚度, t为胶粘层厚度, b为胶粘层宽度与混凝土梁及玻璃钢板同宽, u₂为玻璃钢板上表面沿x方向的位移, u₁为混凝土梁底面沿x方向的位移, e为剪切变形引起混凝土梁底面沿x方向的位移即胶粘层剪切变形。

通过式 (1) 至式 (8) , 可解得粘结剪力、剪应力、法向力及法向应力、玻璃钢板中的拉力, 及加固梁的挠度。

《3 玻璃钢板拉力及整体梁的挠度》

3 玻璃钢板拉力及整体梁的挠度

对式 (7) 求二阶导数, 省略玻璃钢板的弯曲变形和混凝土梁的轴向变形^[1]:

$\frac{d^{2} S}{d x^{2}} = \frac{G b}{t} (\frac{d^{2} u_{2}}{d x^{2}} - \frac{d^{2} u_{1}}{d x^{2}} + \frac{d^{2} e}{d x^{2}}) (9)$ $\frac{d^{2} S}{d x^{2}} = \frac{G b}{t} (\frac{d^{2} u_{2}}{d x^{2}} - \frac{d^{2} u_{1}}{d x^{2}} + \frac{d^{2} e}{d x^{2}}) (9)$

由图2可知:

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} u_{2}}{d x^{2}} = \frac{1}{E_{b} A_{b}} \frac{d F}{d x}, \frac{d^{2} u_{1}}{d x^{2}} = \frac{h}{2 E_{0} Ι_{0}} \frac{d Μ_{1}}{d x} ‚ \\ \frac{d^{2} e}{d x^{2}} = - \frac{1}{2 b G_{0}} \frac{d q}{d x} (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{d^{2} u_{2}}{d x^{2}} = \frac{1}{E_{b} A_{b}} \frac{d F}{d x}, \frac{d^{2} u_{1}}{d x^{2}} = \frac{h}{2 E_{0} Ι_{0}} \frac{d Μ_{1}}{d x} ‚ \\ \frac{d^{2} e}{d x^{2}} = - \frac{1}{2 b G_{0}} \frac{d q}{d x} (10) \end{array}$

将式 (7) 、式 (1) 、式 (4) 代入式 (9) , 注意dq/dx=0得

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} S}{d x^{2}} - λ^{2} S = - \frac{G b h}{2 E_{0} Ι_{0} t} Q_{1} (11) \\ λ^{2} = \frac{G b}{t} [\frac{1}{E_{b} A_{b}} + \frac{h^{2}}{4 E_{0} E_{0}}] 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{d^{2} S}{d x^{2}} - λ^{2} S = - \frac{G b h}{2 E_{0} Ι_{0} t} Q_{1} (11) \\ λ^{2} = \frac{G b}{t} [\frac{1}{E_{b} A_{b}} + \frac{h^{2}}{4 E_{0} E_{0}}] 。 \end{array}$

由于玻璃钢板的抗剪刚度相对于混凝土很小, 故可以假定所有剪力都由混凝土梁承受, 即Q₁=Q, 故根据不同荷载作用下的剪力Q, 可由式 (11) 解得粘结剪力和剪应力τ, τ=S/b。

当梁上作用有均布荷载时, Q=-qx, 可得方程式 (11) 通解为

$S = C_{1} c h λ x + C_{2} s h λ x - \frac{G b h q}{2 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} x (12)$ $S = C_{1} c h λ x + C_{2} s h λ x - \frac{G b h q}{2 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} x (12)$

当梁上跨中作用集中力时, Q=-P, 有

$S = C_{3} c h λ x + C_{4} s h λ x - \frac{G b h Ρ}{2 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} (13)$ $S = C_{3} c h λ x + C_{4} s h λ x - \frac{G b h Ρ}{2 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} (13)$

当梁上作用2个对称集中力时, 在L₁段上Q=0, 故

$S = {\begin{cases} C_{5} c h λ x + C_{6} s h λ x 0 \leq x \leq L_{1} / 2 \\ C_{7} c h λ x + C_{8} s h λ x - \frac{G b h Ρ}{2 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} \\ L_{1} / 2 \leq x \leq L_{b} / 2 \end{cases} (14)$ $S = {\begin{cases} C_{5} c h λ x + C_{6} s h λ x 0 \leq x \leq L_{1} / 2 \\ C_{7} c h λ x + C_{8} s h λ x - \frac{G b h Ρ}{2 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} \\ L_{1} / 2 \leq x \leq L_{b} / 2 \end{cases} (14)$

《3.1均布荷载作用下玻璃钢板内的拉力》

3.1均布荷载作用下玻璃钢板内的拉力

将式 (12) 中S表达式进行积分, 可得到

$\begin{array}{l} F = \int_{0}^{x} [C_{1} c h λ x + C_{2} s h λ x - \frac{G b h q}{2 E_{0} Ι \ - 0 t λ^{2}} x] d x = \\ \frac{C_{2}}{λ} c h λ x - \frac{G b h q}{4 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} x^{2} + C_{9} (15) \end{array}$ $\begin{array}{l} F = \int_{0}^{x} [C_{1} c h λ x + C_{2} s h λ x - \frac{G b h q}{2 E_{0} Ι \ - 0 t λ^{2}} x] d x = \\ \frac{C_{2}}{λ} c h λ x - \frac{G b h q}{4 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} x^{2} + C_{9} (15) \end{array}$

由边界条件x=L_b/2, F=0, 代入式 (15) 得

$C_{9} = \frac{G b h q}{16 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} L_{b}^{2} - \frac{C_{2}}{λ} c h \frac{λ L_{b}}{2} 。$ $C_{9} = \frac{G b h q}{16 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} L_{b}^{2} - \frac{C_{2}}{λ} c h \frac{λ L_{b}}{2} 。$

《3.2跨中1个集中力作用下玻璃钢板内拉力》

3.2跨中1个集中力作用下玻璃钢板内拉力

将式 (13) 积分得

$F = \frac{C_{3}}{λ} s h λ x + \frac{C_{4}}{λ} c h λ x - \frac{G b h Ρ}{2 E \ - 0 Ι_{0} t λ^{2}} x + C_{10} (16)$ $F = \frac{C_{3}}{λ} s h λ x + \frac{C_{4}}{λ} c h λ x - \frac{G b h Ρ}{2 E \ - 0 Ι_{0} t λ^{2}} x + C_{10} (16)$

由边界条件x=L_b/2, F=0可得

$C_{10} = \frac{G b h Ρ L_{b}}{4 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} - \frac{1}{λ} (C_{3} s h \frac{λ L_{b}}{2} + C_{4} c h \frac{λ L_{b}}{2}) 。$ $C_{10} = \frac{G b h Ρ L_{b}}{4 E_{0} Ι_{0} t λ^{2}} - \frac{1}{λ} (C_{3} s h \frac{λ L_{b}}{2} + C_{4} c h \frac{λ L_{b}}{2}) 。$

《3.32个对称集中力作用下玻璃钢中的拉力》

3.32个对称集中力作用下玻璃钢中的拉力

对式 (14) 积分有

$\begin{array}{l} F = {\begin{cases} \frac{C_{6}}{λ} c h λ x + C_{11} 0 \leq x \leq L_{1} / 2 \\ \frac{C_{7}}{λ} s h λ x + \frac{C_{8}}{λ} c h λ x - \frac{Η_{1}}{2} x + C_{12} \\ L_{1} / 2 \leq x \leq L_{b} / 2 \end{cases} \\ (17) \end{array}$ $\begin{array}{l} F = {\begin{cases} \frac{C_{6}}{λ} c h λ x + C_{11} 0 \leq x \leq L_{1} / 2 \\ \frac{C_{7}}{λ} s h λ x + \frac{C_{8}}{λ} c h λ x - \frac{Η_{1}}{2} x + C_{12} \\ L_{1} / 2 \leq x \leq L_{b} / 2 \end{cases} \\ (17) \end{array}$

式中 H₁=GbhP/E₀I₀tλ²。

由边界条件x=L_b/2, F=0, x=L₁/2, F连续, 可求得积分常数

$\begin{array}{l} C_{12} = \frac{Η_{1} L_{b}}{4} - \frac{1}{λ} (C_{7} s h \frac{λ L_{b}}{2} + C_{8} c h \frac{λ L_{b}}{2}) \\ C_{11} = \frac{C_{7}}{λ} s h \frac{λ L_{1}}{2} + \frac{C_{8}}{λ} c h \frac{λ L_{1}}{2} - \\ \frac{Η_{1} L_{1}}{4} - \frac{C_{6}}{λ} c h \frac{λ L_{1}}{2} + C_{12} \end{array}$ $\begin{array}{l} C_{12} = \frac{Η_{1} L_{b}}{4} - \frac{1}{λ} (C_{7} s h \frac{λ L_{b}}{2} + C_{8} c h \frac{λ L_{b}}{2}) \\ C_{11} = \frac{C_{7}}{λ} s h \frac{λ L_{1}}{2} + \frac{C_{8}}{λ} c h \frac{λ L_{1}}{2} - \\ \frac{Η_{1} L_{1}}{4} - \frac{C_{6}}{λ} c h \frac{λ L_{1}}{2} + C_{12} \end{array}$

假定补强加固梁的挠度ω₁=ω₂=ω, 式 (6) 变为

$\frac{d^{2} ω}{d x^{2}} = {\begin{cases} - \frac{Μ}{E_{1} Ι_{1}} - \frac{α_{s} q (E_{0} Ι_{0})}{E_{1} Ι_{1} G_{0} A_{0}} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ - \frac{Μ}{E_{0} Ι_{0}} - \frac{α_{s} q}{G_{0} A_{0}} L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (18)$ $\frac{d^{2} ω}{d x^{2}} = {\begin{cases} - \frac{Μ}{E_{1} Ι_{1}} - \frac{α_{s} q (E_{0} Ι_{0})}{E_{1} Ι_{1} G_{0} A_{0}} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ - \frac{Μ}{E_{0} Ι_{0}} - \frac{α_{s} q}{G_{0} A_{0}} L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (18)$

式中E₁I₁=E₀I₀+E_bI_b。要求得挠度ω, 先求M。

《3.4均布荷载作用下补强加固梁的挠度》

3.4均布荷载作用下补强加固梁的挠度

由图4, 可求得均布荷载作用下补强加固梁离跨中点任意x截面的弯矩为

《图4》

图4弯矩计算图

Fig.4 Diagram of bending moment calculation

$Μ (x) = {\begin{cases} \frac{1}{8} q L^{2} - \frac{1}{2} q x^{2} - F Η_{2} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ \frac{1}{8} q L^{2} - \frac{1}{2} q x^{2} L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (19)$ $Μ (x) = {\begin{cases} \frac{1}{8} q L^{2} - \frac{1}{2} q x^{2} - F Η_{2} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ \frac{1}{8} q L^{2} - \frac{1}{2} q x^{2} L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (19)$

式中H₂=d_b/2+h/2+t。

把式 (15) 代入式 (18) 经积分两次后得到

$ω = {\begin{cases} \frac{q x^{2}}{2 E_{1} Ι_{1}} (\frac{x^{2}}{12} - \frac{L^{2}}{8}) + \frac{Η_{2}}{E_{1} Ι_{1}} \times \\ (\frac{C_{2}}{λ^{3}} c h λ x - \frac{Η_{1}}{48} x^{4} + \frac{C_{9}}{2} x^{2}) - \\ Η_{3} x^{2} + C_{13} x + C_{14} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ \frac{q x^{2}}{2 E_{0} Ι_{0}} (\frac{x^{2}}{12} - \frac{L_{2}}{8}) - \frac{α_{s} q}{2 G_{0} A_{0}} x^{2} + \\ C_{15} x + C_{16} L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (20)$ $ω = {\begin{cases} \frac{q x^{2}}{2 E_{1} Ι_{1}} (\frac{x^{2}}{12} - \frac{L^{2}}{8}) + \frac{Η_{2}}{E_{1} Ι_{1}} \times \\ (\frac{C_{2}}{λ^{3}} c h λ x - \frac{Η_{1}}{48} x^{4} + \frac{C_{9}}{2} x^{2}) - \\ Η_{3} x^{2} + C_{13} x + C_{14} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ \frac{q x^{2}}{2 E_{0} Ι_{0}} (\frac{x^{2}}{12} - \frac{L_{2}}{8}) - \frac{α_{s} q}{2 G_{0} A_{0}} x^{2} + \\ C_{15} x + C_{16} L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (20)$

式中H₃=E₀I₀α_sq/2A₀G₀ (E₀I₀+E_bI_b) 。

《3.5跨中一个集中力作用下的挠度ω》

3.5跨中一个集中力作用下的挠度ω

$Μ (x) = {\begin{cases} Ρ (\frac{L}{2} - x) - F Η_{2} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ Ρ (\frac{L}{2} - x) L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (21)$ $Μ (x) = {\begin{cases} Ρ (\frac{L}{2} - x) - F Η_{2} 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ Ρ (\frac{L}{2} - x) L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (21)$

将式 (21) 、式 (16) 代入式 (18) 经积分后得:

$ω = {\begin{cases} \frac{Ρ x^{2}}{E_{1} Ι_{1}} (\frac{x}{6} - \frac{L}{4}) + \frac{Η_{2}}{E_{1} Ι_{1}} (\frac{C_{3}}{λ^{3}} s h λ x + \frac{C_{4}}{λ^{3}} c h λ x - \\ \frac{Η_{1} x^{3}}{12} + \frac{C_{10}}{2} x^{2}) - \frac{α_{s} Ρ x}{G_{0} A_{0}} + C_{17} \\ 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ \frac{Ρ x^{2}}{E_{0} Ι_{0}} (\frac{x}{6} - \frac{L}{4}) + C_{18} x + C_{19} - \frac{α_{s} Ρ x}{G_{0} A_{0}} \\ L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (22)$ $ω = {\begin{cases} \frac{Ρ x^{2}}{E_{1} Ι_{1}} (\frac{x}{6} - \frac{L}{4}) + \frac{Η_{2}}{E_{1} Ι_{1}} (\frac{C_{3}}{λ^{3}} s h λ x + \frac{C_{4}}{λ^{3}} c h λ x - \\ \frac{Η_{1} x^{3}}{12} + \frac{C_{10}}{2} x^{2}) - \frac{α_{s} Ρ x}{G_{0} A_{0}} + C_{17} \\ 0 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ \frac{Ρ x^{2}}{E_{0} Ι_{0}} (\frac{x}{6} - \frac{L}{4}) + C_{18} x + C_{19} - \frac{α_{s} Ρ x}{G_{0} A_{0}} \\ L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (22)$

《3.6两对称集中力作用下的挠度ω》

3.6两对称集中力作用下的挠度ω

$Μ (x) = {\begin{cases} \frac{Ρ}{2} (L - L_{1}) - F Η_{2} 0 \leq x \leq L_{1} / 2 \\ Ρ (\frac{L}{2} - x) - F Η_{2} L_{1} / 2 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ Ρ (\frac{L}{2} - x) L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (23)$ $Μ (x) = {\begin{cases} \frac{Ρ}{2} (L - L_{1}) - F Η_{2} 0 \leq x \leq L_{1} / 2 \\ Ρ (\frac{L}{2} - x) - F Η_{2} L_{1} / 2 \leq x \leq L_{b} / 2 \\ Ρ (\frac{L}{2} - x) L_{b} / 2 \leq x \leq L / 2 \end{cases} (23)$

将上式及式 (17) 代入式 (18) , 经积分后得

《图5》

式中H₆=P (L₁-L) / (E₀I₀+E_bI_b)

利用边界条件:a. x=L/2, ω=0;b. x= L_b/2, ω连续;c. x=L_b/2, dω/dx连续;d. x=L₁/2, ω连续;e. x=L₁/2, dω/dx连续;可求得式 (20) 、式 (22) 和式 (24) 中的积分常数。

《4 算例验证》

4 算例验证

如图3所示的混凝土简支梁, 截面尺寸b×h=100 mm×200 mm, 跨度L=1 000 mm, 玻璃钢板端距支座的距离L₀=50 mm, 混凝土弹性模量E_c=38.08 GPa, 玻璃钢板的弹性模量E_b=16.34 GPa, 胶粘剂的弹性模量E_a=6.7 GPa、剪切模量G_a=2.6 GPa, 玻璃钢板厚度t_b=4 mm, 胶粘剂厚度t_a=2 mm, 分别对集中荷载P=100 kN、均布荷载q=100 kN/m、2个集中荷载P=50 kN的情况进行计算, 然后用ANSYS有限元软件对3种情况进行验证。结果如图5所示, 从图中可以看出, 所采用的方法与有限元法的计算结果基本吻合。

《图6》

图5挠度对比曲线图

Fig.5 Deflection curve line chart

《5 结语》

5 结语

通过对粘贴玻璃钢板补强后混凝土梁玻璃钢板中拉力及组合梁的挠度分析, 得到了玻璃钢板中拉力的数学表达式和组合构件整体挠度的计算公式, 对进一步分析和试验有一定指导作用。

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