多传感器信息融合 (MSIF, multi-sensor information fusion) 是一个综合信息处理过程, 将来自不同途径、不同时间、不同空间的传感器信息加以自动分析、优化综合, 以形成对某一被测对象更全面和更完整的特征描述, 它与传统的信息处理过程有着本质的区别 ^[1]。多传感器信息融合具有更为复杂的形式, 融合过程不但具有时间融合和空间融合, 而且信息可以在不同层次进行融合。经过集成与融合的多传感器系统能完整、精确地反映被测目标的特征, 消除信息的不确定性, 提高传感器信息的可靠性, 而基于单一传感器的传统信息处理方法只能获得环境特征的部分信息段, 多传感器系统具有冗余性、实时性、低成本性等特点 ^[2]。多传感器信息融合技术在工业机器人、军事、航天、多目标跟踪、惯性导航和遥感技术等领域有着广泛的应用前景。目前主要的信息融合技术有贝叶斯估计法、加权平均法、卡尔曼滤波法、Shafer-Dempster证据推理法、模糊逻辑法以及神经网络方法等 ^[2,3]。粗糙集理论的主要思想是在保持分类能力不变的前提下, 通过知识简约, 导出问题的决策或分类规则 ^[4]。将粗糙集理论和模糊逻辑技术结合起来, 提出一种基于粗糙集理论的模糊信息融合方法, 并针对脉动真空灭菌控制系统进行仿真和实验研究。

粗糙集数据分析主要用来分析信息系统中各属性之间的依赖关系, 它是粗糙集理论的一个主要应用领域。应用Z. Pawlak提出的决策系统 (DS, decision system) 对问题进行描述, 这样粗糙集方法和模型就可以建立在一种非常直观的二维决策表的基础上 ^[5,6]。

定义1 (决策系统) 四元组S= (U, A, V, f ) 是一个知识表达系统, 其中U为对象的非空有限集合, 称为论域;A为属性的非空有限集合;$V={\displaystyle \underset{a\in A}{\cup }V}{}_{\text{a}},V{}_{\text{a}}$为属性a的值域;f∶U×A→V是一个信息函数, 为每个对象的每个属性赋予一个信息值, 即对于∀a∈A, x∈U, f (x, a) ∈V_a。如果A由条件属性集合C和结论属性集合D组成, C, D满足C∪D = A, C∩D =>, 则称S为决策系统 ^[5,6,7]。

定义2 (不可分辨关系) 决策系统S= (U, A, V, f ) , A = C∪D, C⊆A, 且X≠>是属性集合的一个子集, 称二元关系IND (X) = { (x, y) |x, y∈U, X (x) =X (y) }为S的一个不可分辨关系。其中X (x) 表示在关系X下元素x∈U的属性值。

不可分辨关系是一个等价关系, 通过一个不可分辨关系, 可得到决策系统的一个划分, 划分后的等价类称为不可分辨类, 用[X]_{IND (X)} 表示包含元素x的不可分辨类。一个决策系统经过IND (X) 得到一个划分X₁, X₂, …, X_t, 对于其中任何一个不可分辨类X_i, X_i→D形式上表示一条或一组规则 ^[8,9]。

定义3 (上近似, 下近似) 决策系统S= (U, A, V, F) , 假设W⊆U, X⊆A, 定义W的下近似为

W的上近似为

称为W关于X的近似精度。

设一多输入多输出系统 (MIMO) S有n个输入点x₁, x₂, …, x_n, 和m个输出点y₁, y₂, …, y_m构成。令向量Z = (X, Y) 为系统的输入输出空间, 其中X= {x₁x₂ … x_n}, 称X为系统S的输入空间向量。Y = {y₁y₂ … y_m}为系统S的输出空间向量。如果对系统的输入输出进行p次测量, 则可得到p对输入输出数据向量Z_i= (X_i? Y_i) , i = 1, 2, …, p。对系统S的所有输入输出变量进行模糊化处理 ^[10], 并确定隶属函数。不失一般性, 假设将所有的输入输出变量划分成t个模糊等级, 则输入空间向量X经模糊划分后, 可得到输入空间的模糊向量C。

其中 C_ij = {C_1j, C_2j, …, C_tj}。

输出空间Y经模糊化处理后, 可得到输出空间的模糊向量D。

其中 D_ik = {D_1k, D_2k, …, D_tk}。

对输入输出测量值x_ij和y_ik进行模糊化处理, 可求得对应每个模糊等级的隶属度μ${}_{C{}_{qi}}^{x{}_{ij}}$和μ${}_{D{}_{qk}}^{y{}_{ik}}$, 其中q = 1, 2, …, t 。表示为信息系统决策表的形式见表1, 它实际上就是系统S的粗糙模糊模型。

设$C={\displaystyle \underset{1\le j\le n}{\cup }(}{\displaystyle \underset{1\le i\le t}{\cup }C}{}_{ij})$为输入空间X的模糊输入空间;$D={\displaystyle \underset{1\le j\le m}{\cup }(}{\displaystyle \underset{1\le i\le t}{\cup }D}{}_{ij})$为输出空间Y的模糊输出空间;$V{}_{\text{C}}={\displaystyle \underset{1\le j\le m}{\cup }(}{\displaystyle \underset{1\le i\le t}{\cup }\mu }{}_{c{}_{ij}})$为模糊输入空间C的值空间。$V{}_{\text{D}}={\displaystyle \underset{1\le j\le m}{\cup }(}{\displaystyle \underset{1\le i\le t}{\cup }\mu }{}_{D{}_{ij}})$为模糊输出空间D的值空间。

令U={u₁, u₂, …, u_p}, A = C∪D, V = V_C∪V_D, 则系统S的粗糙模糊模型定义如下。

定义4 (粗糙模糊模型) 系统S的粗糙模糊模型可以用如下的四元组表示:

S= (U, A, V, f) , 其中U={u₁, u₂, \:, u_p}是粗糙模糊模型的论域, A=C∪D, 称A为系统S的属性空间, C为系统的模糊输入空间, D为模糊输出空间。V=V_C∪V_D, 称V是系统S的属性空间的值空间, V_C是模糊输入空间的值空间, V_D是模糊输出空间的值空间。F∶U× (C∪D) → (V_C∪V_D) 是一个赋值函数, 即对∀c∈C, d∈D, x∈U, 有f (x, c) ∈V_C, f (x, d) ∈V_D。

定义5 (粗糙隶属函数 ^[11]) S= (U, A, V, f) 是一个决策系统, A=C∪D, C∩D=>, 其中C是条件属性集合, D是决策属性集合, 集合W⊆U, R为一等价关系;元素a在关系R下对集合W的粗糙隶属函数为

其中|·|表示集合中元素的个数, [a]_R为包含元素a的等价类, 显然0≤μ_W^R (a) ≤1。

一个决策系统S经不可分辨关系IND (X) 得到一个划分X₁, X₂, \:, X_t, 对于其中任何一个不可分辨类X_i, X_i→Y (其中W⊆D) 在形式上表示一条或一组规则。这样得到的规则并不精简, 即不一定要用C中所有的属性去描述规则, 而相对简约则提供了最为简练的描述规则前件的可能。

定理1 (相对简约计算) 对于决策系统S= (U, A, V, f) , C∪D, X⊆C, 论域U经过不可分辨关系IND (X) 划分为不可分辨类X₁, X₂, \:, X_t, D (X_i) ={V_X=f (x, d) :d∈D, x∈X_i}为X_i的所有结论值的集合, $g(\mathit{X}{}_i,S)=\underset{1\le i\le t}{{\displaystyle \wedge \vee }}c{}_{ij}$称为S相对于X_i的分辨函数, 其中∨c_ij表示c_ij所有元素的折取运算, ∧表示合取运算。

若D (X_i) ≠D (X_j) , 则c_ij={a∈C:f (X_i, a) ≠f (X_j, a) }, 否则c_ij=>, 其中1≤i, j≤t。

若g (X_i, S) 经运算后化为析取范式g′ (X_i, S) , 即, 其中τ_j∈2^C, ∧τ_j为g′ (X_i, S) 的一个合取子式, k为g′ (X_i, S) 中合取子式的个数, 那么

化简g (X_i, S) 成g′ (X_i, S) , 即求解τ_j, 可运用常规的逻辑运算定律, 在相对简约RED (X_i, C) 的基础上, 可以得到一组规则 (共k×p条) 。

$\tau {}_j\to \mathit{D}{}_m$

其中j=1, 2, …, k, k为简约个数, m = 1, 2, …, p, D₁, D₂, …, D_p是X_i所有结论值的集合D (X_i) , 而每条规则的确定性因子为

应用上述方法得到的规则是在给定训练集合上的精简规则, 但计算量比较大。对于有些系统, 并不要求获得那么精简的规则, 则可以采用计算简约的方法, 这样计算的时间复杂性大大缩小。

定理2 (简约计算) 对于决策系统$S=(U,A,V,f)‚g(S)=\underset{1\le i\le t}{{\displaystyle \wedge \vee }}c{}_{ij}$称为S的分辨函数, 其中c_ij和相对简约一样, ∨c_ij表示c_ij中所有属性的析取运算, ∧表示合取运算, 设g (S) 经运算后化为析取范式g′ (S) , 即$g^{\prime }(S)\underset{1\le j\le k}{{\displaystyle \wedge \vee }}\tau {}_j$。其中τ_j∈2^C, ∨τ_j为g′ (S) 的一个合取子式, k为g′ (S) 中合取子式的个数, 那么RED (A) = {τ_j∶1≤j≤k }。

运用简约计算获取的规则, 不是一组精简规则。与计算相对简约的方法相比较, 所获得的规则含有较多的条件属性, 规则中前件的描述要较冗长一些, 但计算量却大大减少。

粗糙模糊模型的一致性是指对于相同的输入, 系统应该产生相同的输出, 否则该模型是不一致的, 在不一致系统的模型中, 存在着相互矛盾的规则, 可以采用聚类的方法对系统的输入输出数据样本进行筛选。模型的一致性可以定义如下。

定义6 (一致粗糙模糊模型) 设S = (U, A, V, f) 是系统的粗糙模糊模型, 对于任意的u_i∈U, 令${\rm P}(u{}_i)={\displaystyle \cup f}(u{}_i,{\displaystyle \underset{1\le k\le t}{\cup }C}{}_{jk})$表示第i条规则的前件。

令${\rm H}(U{}_i)={\displaystyle \underset{1\le j\le m}{\cup }f}(u{}_i,{\displaystyle \underset{1\le k\le t}{\cup }D}{}_{kj})$表示第i条规则的后件, 如果对于任意的u′_i∈U, 若P (u_i) = P (u′_i) , 则H (u_i) =H (u′_i) , 那么称规则u_i是一致的, 若模型中所有的规则是一致的, 则称该模型为一致粗糙模糊模型。对于任意模糊系统S = (U, A, V, f) , 必然存在一个U的极大子集U′, 使得粗糙模糊模型S′= (U′, A, V, f) 是一致的。输入输出数据经过聚类处理后所得到的模糊模型应该是一致模糊模型, 如果发生不一致的情况, 则是由于聚类区间划分不当造成的。

构造粗糙模糊模型的输入输出数据是由现场采样得到, 因此输入输出数据样本的选取直接影响模糊模型的完备性, 只有当所选取的输入输出数据样本遍历所有的输入输出变量的模糊集合时, 所建立的模糊模型才是完备的。模糊模型的完备性依赖于所选的输入输出数据样本在各自论域上的完备性。

粗糙模糊模型实际上是对系统输入输出特性的一种近似描述, 它既不像建立精确的数学模型那样, 需要有严格的推理和论证, 也不像一般的模糊模型那样, 需要依赖该领域内专家的经验, 带有较强的主观性, 它是靠大量现场采样得到的样本数据来驱动的, 实际上是从大量的样本数据中挖掘出模糊规则。模型的建立步骤如下:

1) 变量的模糊化 对系统的输入输出变量进行模糊化划分, 并确定各语言变量的隶属函数。

2) 样本数据的预处理 用聚类方法对原始样本数据进行预处理。并对经过聚类后的数据进行模糊化处理, 确定其在各语言变量值上的隶属度。

3) 建立初始一致粗糙模糊模型 经过上面两个步骤, 可以建立一个初始的粗糙模糊模型。对初始模糊模型要进行一致性处理, 即删除重复和矛盾的规则。矛盾规则采用保留出现次数多者的处理原则, 由此生成初始一致粗糙模糊模型。

4) 规则获取 在初始一致的粗糙模糊模型基础上, 计算模型的简约或相对简约, 获得模糊规则。

5) 规则扩充 对所获得的规则进行扩充处理, 实际上是根据专家的经验知识进行扩充。

6) 模型的有效性检验 ^[14] 模型的有效性检验采用的误差准则为

其中N为测试总次数, y_i (t) 为实际输出, y_pi (t) 为模型输出。若模型满足误差要求, 则结束, 否则继续对模型进行扩充和整定, 直到满足误差要求。

脉动真空灭菌控制系统的温度控制过程可以用一非线性高阶系统近似。

其中u₁ (t) 表示里锅蒸汽阀开度, u₂ (t) 表示外锅蒸汽阀开度, p (t) 表是里锅蒸汽压力, y (t) 为系统输出, 表示灭菌温度, ε (t) 为近似误差。

令x (t) = (u₁ (t) , u₁ (t-1) , u₂ (t-1) , u₂ (t-2) , p (t) , y (t-1) ) , 并记作X= [x₁, x₂, …, x₆]^T。在各输入输出变量论域范围内, 将各变量划分成7个模糊等级, 并确定各语言变量的中心值和隶属函数。输入空间语言变量值用C_ij表示, 其中i = 1, 2, …, 7;j = 1, 2, …, 7;输出空间的语言变量值用D_ij表示, 其中i = 1, 2, …, 7;j =1。共采集1 000对输入输出数据, 随机选取500对数据作为学习样本, 另500对作为模型的检验样本。运用500对学习样本可以得到一个初始粗糙模糊模型, 如表2所示。

粗糙模糊模型的形式可表示为S= (U, A, V, f) , 其中$A=({\displaystyle \underset{1\le i\le 7,1\le j\le 6}{\cup }C}{}_{ij}){\displaystyle \cup {\displaystyle \underset{1\le i\le 7,k\le 1}{\cup }D}}{}_{jk})$;V为各样本在各自语言变量值上的隶属度的集合。对初始粗糙模糊模型进行极大一致性处理, 得到一个具有216条规则的初始一致粗糙模糊模型。在初始一致粗糙模糊模型的基础上, 进行简约计算, 消除冗余属性, 这样规则前件的属性由原来的42个压缩成了22个, 规则结论属性的个数不变, 最后得到一个由166条规则构成的一致粗糙模糊模型。结合现场运行情况和专家的经验对粗糙模糊模型进行完备化扩充, 最后得到了一组由262条规则构成的灭菌控制系统粗糙模糊模型。为了便于比较, 在同样的输入输出数据样本和误差准则下, 采用BP神经网络对系统进行建模, 运用另外500对输入输出数据对这两种模型进行检验, 仿真结果如图1和图2所示。图中‘×’为实际输出, ‘○’为模型预测输出。仿真结果表明, 用所提出的模糊建模方法, 输出的平均误差平方和为0.296 9;而运用BP神经网络建立的模型, 输出的平均误差平方和为2.856。

将粗糙集理论和模糊逻辑推理结合, 提出了一种基于粗糙集数据处理的模糊信息融合方法。该方法运用粗糙集理论的不可分辨关系和不可分辨类的概念和简约计算方法, 从大量原始数据中发现精简的、概略化的规则, 结合模糊逻辑的推理能力来建立一致粗糙模糊模型, 并提出了对模型进行扩充与完备化的概念。试验结果表明, 运用这种信息融合方法能较好地建立复杂非线性过程的辨识模型。