《1 引言》

1 引言

任何一种机械产品, 其可靠性都会受到一些因素影响, 要么尽可能消除这些因素, 要么尽量减轻这些因素的影响。在实际工程中, 消除这些影响因素往往是很难的, 即使能够消除也需要付出很大的代价, 可见这不是首选的方法;而减轻这些因素的影响却是相对容易和代价低的方法, 也就是使产品可靠性对这些因素的变化不十分敏感。根据这一指导思想, 发展一种可以提高产品可靠性的工程可靠性稳健设计方法是十分有意义的。

应用汽车零部件可靠性稳健优化设计理论[1], 笔者对汽车典型弹簧系零部件, 如扭杆弹簧、螺旋弹簧和钢板弹簧进行了可靠性稳健优化设计, 通过计算仿真得到了具有学术理论指导价值和实际应用参考价值的结果。

《2 扭杆的可靠性稳健优化设计》

2 扭杆的可靠性稳健优化设计

《2.1 扭杆的力学模型》

2.1 扭杆的力学模型

扭杆弹簧 (图1) , 是一根由弹簧钢制成的杆。扭杆按其截面可分为圆形、管形、片状及组合式等几种。圆形扭杆应用最广, 管形扭杆可以合理地利用材料。

《图1》

图1 扭杆结构

图1 扭杆结构  

Fig.1 Structure of torsion bar

对于圆形和管形截面的扭杆, 所受的扭转应力为

τ=16DΤπ(D4-d4)(1)

式中T为扭矩;D为管形截面的外径;d为管形截面的内径 (圆形截面d=0) 。

根据应力-强度干涉理论, 以应力极限状态表示的状态方程为

g(X)=r-τ(2)

式中r为扭杆的材料强度;基本随机变量向量X= (r T D d) T, 这里X的均值E (X¯) 和方差Var (X) 是已知的, 并且可以认为这些随机变量是服从正态分布的相互独立的随机变量。

把状态函数g (X) 对基本随机参数向量X求偏导数, 有

g(X¯)XΤ=[grgΤgDgd](3)

根据可靠性稳健优化设计方法, 把以上各式和已知条件代入相应的计算公式, 就可以对扭杆进行可靠性稳健优化设计。

《2.2 计算实例》

2.2 计算实例

某型机械的扭杆为管形截面, 承受扭矩T为 (μT, σT) = (677 400, 8 891.28) N·mm, 要求工作循环次数N=4 000次, 材料的疲劳极限r为 (μr, σr) = (686.9, 35.8) MPa, 设所要求的可靠度R0=0.999, 试用可靠性稳健优化方法设计此扭杆的内径d和外径D

首先, 建立目标函数:

1) 要求扭杆的质量最小, 即求截面A的面积为最小f1 (x) :

f1(x)=π4(x22-x12)(4)

2) 要求扭杆的可靠度对设计变量x=[x1x2]T均值的灵敏度为最小f2 (x) :

f2(x)=i=12(Rxi)2(5)

取设计变量为x=[x1x2]T=[d D]T, 其中dD分别为扭杆的内径和外径。

第二, 建立约束条件:

g¯-Φ-1(R0)σg0,0x130,0x230,x2-x20(6)

第三, 优化求解:选用约束随机方向法进行优化设计, 选取初值为d=20 mm, D=30 mm, 对扭杆进行可靠性稳健优化设计, 根据给出的数据, 求得扭杆设计处的最大内径和最小外径为

d=16.8542mm,D=21.8537mm

依据此可靠性稳健优化设计的结果, 计算得此扭杆的可靠性指标、可靠度和可靠性灵敏度分别为

β=4.477526,R=0.999996,dR/dx¯Τ=[RD¯Rd¯]=[5.483×10-5-3.000×10-5]Τ

扭杆的可靠性指标β和可靠度R=Φ (β) 愈大, Rβ变化曲线愈平缓, 其可靠性灵敏度的数量值愈小, 即斜率愈小, 说明设计参数的变化对扭杆的可靠性影响愈不敏感, 即愈稳健。

《3 螺旋弹簧的可靠性稳健优化设计》

3 螺旋弹簧的可靠性稳健优化设计

《3.1 螺旋弹簧的力学模型》

3.1 螺旋弹簧的力学模型

螺旋弹簧 (图2) , 是用弹簧钢棒料卷制而成螺旋状的一种弹簧。弹簧中的最大切应力发生在簧丝的内侧, 即

τ=(1+d/2D)dGyπD2n(7)

式中d为簧丝直径;D为弹簧中径;G为弹簧材料的剪切弹性模量;n为弹簧的有效圈数;y为弹簧的变形量。

根据应力-强度干涉理论, 以应力极限状态表示的状态方程为

g(X)=r-τ(8)

式中r为弹簧的许用强度;基本随机参数向量为X= (r d D G n y) T, 这里X的均值E (X¯) 和方差Var (X) 是已知的, 并且可以认为这些随机变量是服从正态分布的相互独立的随机变量。

把状态函数g (X) 对基本随机参数向量X求偏导数, 有

g(X¯)XΤ=[grgdgDgGgngy]

根据可靠性稳健优化设计方法, 把以上各式和已知条件代入相应的计算公式, 就可以对螺旋弹簧进行可靠性稳健优化设计。

《图2》

图2 螺旋弹簧

图2 螺旋弹簧  

Fig.2 Structure of coil spring

《3.2 数值算例》

3.2 数值算例

某型轿车采用的螺旋弹簧的材料强度r和剪切弹性模量G分别为 (μr, σr) = (1 714.02, 83.202) MPa, (μG, σG) = (79 250, 1 585) MPa, 认为弹簧的变形量是在相同的最大载荷 (并圈时载荷) 的情况下所得到的各自的变形量, (μy, σy) = (208, 4.16) mm, 由于弹簧总圈数中有1/4~1/2圈的变异性, 所以可取3σn=1, 即有效圈数n的标准差σn=0.083 3。设所要求的可靠度R0=0.999, 试用可靠性稳健优化方法设计此螺旋弹簧的簧丝直径d, 弹簧中经D和弹簧圈数n

首先, 建立目标函数:

1) 要求螺旋弹簧的质量最小, 即求体积V为最小f1 (x) :

f1(x)=π24x12x2x3(10)

2) 要求螺旋弹簧的可靠度对设计变量x=[x1x2x3]T均值的灵敏度为最小f2 (x) :

f2(x)=i=13(Rxi)2(11)

取设计变量为x=[x1x2x3]T=[d, D, n]T, 其中d为簧丝直径, D为弹簧中径, n为弹簧圈数。

第二, 建立约束条件:

1) 可靠性约束

g¯-Φ-1(R0)σg0(12)

2) 簧丝直径约束

0x125(13)

3) 弹簧中径约束

100x2150(14)

4) 旋绕比约束

4x2x110(15)

5) 工作圈数约束

4x315(16)

6) 不并圈约束

Η0-δmaxΗb(17)

式中H0为弹簧自由高度, 当支承圈数n2=2且弹簧两端磨平时, H0=nt+1.5d, t为节距, t≈ (0.28~0.5) D, 计算时取t=0.5D;δmax为弹簧在最大工作载荷Fmax下的变形量, δmax=8FmaxD3nGd4;Hb为弹簧并紧高度, 当支承圈数n2=2且弹簧两端磨平时, Hb≈ (n+1.5) d

7) 稳定性约束

b=Η0D=nt+1.5dD=0.5x3+1.5(x1x2)bc(18)

式中bc为临界高径比, 当两端固定时bc=5.3。

8) 共振约束:根据减振弹簧不发生共振的要求, 弹簧的自振频率f应远离其受载的载荷变化频率fr。当两端固定时, f=d2πD2nGg2γ, 这里取工作频率fr=127.8 Hz, γ=7.487 2×10-5 N/mm3。约束条件为

f0.5frΗz(19)

第三, 优化求解:选用约束随机方向法进行优化设计, 选取初值为d=13.5 mm, D=109.5 mm, n=6.5, 对螺旋弹簧进行可靠性稳健优化设计, 根据给出的数据, 求得弹簧的最小尺寸为

d=10.823mm,D=108.232mm,n=5.24

依据此可靠性稳健优化设计的结果, 计算得此螺旋弹簧的可靠性指标、可靠度和可靠性灵敏度分别为

β=7.696796,R=1.000000,dR/dx¯Τ=[Rd¯RD¯Rn¯]=[-5.947×10-141.162×10-141.228×10-14]Τ,

螺旋弹簧的可靠性指标β和可靠度R=Φ (β) 愈大, Rβ变化曲线愈平缓, 其可靠性灵敏度的数量值愈小, 即斜率愈小, 说明设计参数的变化对螺旋弹簧的可靠性影响愈不敏感, 即愈稳健。

《4 钢板弹簧的可靠性稳健设计》

4 钢板弹簧的可靠性稳健设计

《4.1 钢板弹簧的力学模型》

4.1 钢板弹簧的力学模型

车辆的多片钢板弹簧多为中心受载的简支叠板弹簧。如图3所示按一定宽度b将其截开重叠使用。在钢板弹簧垂直方向载荷的计算上, 通常采用的是所谓等应力梁的计算公式, 其工作应力的实用公式为

σi=3Ρl2bhin1h13+n2h23++nmhm3(20)

应力在最厚的板上最大为

σmax=3Ρl2bhmaxn1h13+n2h23++nmhm3(21)

式中P为载荷, 几何尺寸宽度、厚度和跨距分别为b, hil, ni为板厚为hi的钢板片数。严格地说, 应考虑叠板之间的摩擦对工作应力的影响, 不过实用上采用这种近似设计方法还是允许的。在汽车、电车等车辆钢板弹簧的设计中, 大多采用这种方法。

《图3》

图3 钢板弹簧

图3 钢板弹簧  

Fig.3 Structure of composite springs

根据应力-强度干涉理论, 以应力极限状态表示的状态方程为

g(X)=r-σmax(22)

式中r为钢板弹簧的材料强度;基本随机变量向量X= (r P l b h1h2hm) T, 这里X的均值E (X¯) 和方差Var (X) 是已知的, 并且可以认为这些随机变量是服从正态分布的相互独立的随机变量。

把状态函数g (X) 对基本随机变量向量X求偏导数, 有

g(X¯)XΤ=[grgΡglgbghmax](23)

根据可靠性稳健优化设计方法, 把以上各式和已知条件代入相应的计算公式, 就可以对钢板弹簧进行可靠性稳健优化设计。

《4.2 数值算例》

4.2 数值算例

国产某型汽车钢板弹簧的跨距l为 (μl, σl) = (1 475, 7.375) mm, 钢板弹簧的片数n1=2, n2=6, n3=4, 载荷P为 (μP, σP) = (16 503.2, 825.16) N, 材料强度r为 (μr, σr) = (614, 45.8) MPa。设所要求的可靠度R0=0.999, 试用可靠性稳健优化方法设计此多片不同厚度钢板弹簧设计处的最小宽度b和最小厚度h1, h2, h3

首先, 建立目标函数:

1) 要求钢板弹簧的质量最小, 即求截面A的面积为最小f1 (x) :

f1(x)=x1(n1x2+n2x3+n3x4)(24)

2) 要求钢板弹簧的可靠度对设计变量x=[x1x2x3x4]T均值的灵敏度为最小f2 (x) :

f2(x)=i=14(Rxi)2(25)

取设计变量为x=[x1x2x3x4]T=[b h1h2h3]T, 其中b, h1, h2, h3为钢板弹簧的几何尺寸。

第二, 建立约束条件:

g¯-Φ-1(R0)σg0,x2-x31.0,x3-x41.0,x1-800(26)

第三, 优化求解:选用约束随机方向法进行优化设计, 选取初值为b=90 mm, h1=11 mm, h2=10 mm, h3=9 mm, 对板簧进行可靠性稳健优化设计, 根据给出的数据, 求得板簧设计处截面的最小尺寸为

b=80.0009mm,h1=11.8283mm,h2=10.8277mm,h3=8.4690mm

依据此可靠性稳健优化设计的结果, 计算得此板簧的可靠性指标、可靠度和可靠性灵敏度分别为

β=4.15909,R=0.9999839,dR/dx¯Τ=[Rb¯Rh¯1Rh¯2Rh¯3]=[7.006×10-69.477×10-58.856×10-53.612×10-5]Τ

钢板弹簧的可靠性指标β和可靠度R=Φ (β) 愈大, Rβ变化曲线愈平缓, 其可靠性灵敏度的数量值愈小, 即斜率愈小, 说明设计参数的变化对钢板弹簧的可靠性影响愈不敏感, 即愈稳健。

《5 结语》

5 结语

作者对几种典型汽车弹簧系零部件——扭杆弹簧、螺旋弹簧和钢板弹簧进行了可靠性稳健优化设计。应用该方法对汽车零部件进行可靠性稳健优化设计, 可以提高设计水平, 加强汽车的安全和可靠性。可见使用该方法可以对机械行业弹簧系零部件进行可靠性稳健优化设计。