《1 引言》

1 引言

自从Zadeh建立了模糊集合理论以来, 模糊数学的分枝——Fuzzy综合决策成为解决各类问题的自然而强有力的工具。这些问题出现在工程技术、生物医学、地理以及包括某些社会科学的领域。一般说来, 这些问题的Fuzzy综合决策常用Zadeh算子解决, 当Zadeh算子不能评判时, 就用其他几个常用算子来处理。这就产生了一个新的问题, 决策的标准已经被改变了。因此, 面对不同文献中的相关结论, 很难说出那个的结果最好。为了解决这个问题, 笔者给出了一类连续的Fuzzy算子, 同时给出了一个新的统一的Fuzzy综合决策准则。

《2 三角算子的定义》

2 三角算子的定义

首先引入一类重要算子——三角算子。它们的定义如下:

定义1 (三角范式) 定义在闭区间[0, 1]上的三角范式T是一个[0, 1]×[0, 1]→[0, 1]的二元函数, 满足:

Τ(x,y)=Τ(y,x)Τ[Τ(x,y),z]=Τ[x,Τ(y,z)]xuandyvΤ(x,y)Τ(u,v)Τ(0,x)=0,Τ(1,x)=x

定义2 (反三角范式) 定义在闭区间[0, 1]上的反三角范式S是一个[0, 1]×[0, 1]→[0, 1]的二元函数, 满足:

S(x,y)=S(y,x)S[S(x,y),z]=S[x,S(y,z)]xuandyvS(x,y)S(u,v)S(0,x)=x,S(1,x)=1

三角范式与反三角范式常统称为三角范算子。

《3 Hamacher算子的定义》

3 Hamacher算子的定义

在论域U中引入一对重要算子——Hamacher算子, 其定义如下:

定义3 ∀A˜, B˜, C˜∈模糊幂集F (U) ,

1) uU,r[0,+)

1) A与B的Hamacher积记为C=A

《图1》

B, 定义为

《图2》

2) A˜B˜Hamacher和记为

《图3》

, B˜ 定义为

C˜(u)=(A˜r+B˜)(u)=A˜(u)+B˜(u)+[r-2]A˜(u)B˜(u)1-A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u)(2)

算子对 (

《图4》

) 被称为Hamacher算子。[1]

在定义3中, 当r=0且A˜(u)=B˜(u)=0时, 式 (1) 的分母为零;当r=0且A˜(u)=B˜(u)=1时, 式 (2) 的分母为零。现重新定义Hamacher算子对 (

《图5》

) 如下:

定义4 ∀A˜, B˜, C˜∈模糊幂集F (U) , ∀uU, r∈[0, +∞)

1) A˜B˜Hamacher积记为

《图6》

, 定义为

(A˜r·B˜)(u)={0r=0A˜(u)=B˜(u)=0A˜(u)B˜(u)r+[1-r][A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)](3)

2) A˜B˜Hamacher和记为,

《图7》

定义为

C˜(u)=(A˜r+B˜)(u)={1r=0A˜(u)=B˜(u)=1A˜(u)+B˜(u)+[r-2]A˜(u)B˜(u)1-A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u)(4)

《4 Hamacher算子的一个新重要性质》

4 Hamacher算子的一个新重要性质

式 (3) 与式 (4) 已证明是关于变量A˜ (u) 或B˜ (u) 的单调函数[1]。但是, Hamacher算子的一个新的重要性质至今还没有被任何文献提到。

下面给出新的结论:

定理1 ∀uU, 式 (4) 是关于参数变量r的单调递增函数。

证明 ∀uU, 设Y1(r)=C˜(u), 对参数变量r求导得

dY1(r)dr=A˜(u)B˜(u)[(1-A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u))-(A˜(u)+B˜(u)-2A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u))][1-A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u)]2=A˜(u)B˜(u)[1-(A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u))][1-A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u)]20

Y1(r)=C˜(u)

定理2 ∀uU, 式 (3) 是关于参数变量r的单调递减函数。

证明 ∀uU, 设Y2(r)=C˜(u), 对参数变量r求导得

dY2(r)dr=-A˜(u)B˜(u)[1-(A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u))][r(1-A˜(u)-B˜(u)+A˜(u)B˜(u))+A˜(u)+B˜(u)+A˜(u)B˜(u)]20

Y2(r)=C˜(u)

式 (4) 定义了无穷个反三角范式;式 (3) 定义了无穷个三角范式。

定理1表明当参数变量r=0时, 式 (4) 是最小的反三角范式;定理2则表明, 当参数变量r=0时, 式 (3) 是最大的三角范式。

显然定理1和定理2给出了一类连续的Fuzzy算子, 这是Hamacher算子的一个新的重要性质。

《5 连续的Fuzzy算子和其他常用的三角算子的关系》

5 连续的Fuzzy算子和其他常用的三角算子的关系

易证常用的三角算子之间有如下的关系:

A˜B˜A˜ε·B˜A˜·^B˜A˜B˜A˜B˜A˜+^B˜A˜ε+B˜A˜B˜

文献[1]已证明

《图8》

是三角算子,

《图9》

是反三角算子。特别地:

1) 对于定义4中的连续的Fuzzy算子, 当参数变量r=1时, ∀uU, 分别记定义4中的C˜ (u) 为 (

《图10》

) 1与 (

《图11》

) 1, 则Hamacher算子 (

《图12》

) 就变成了概率积与概率和算子 (

《图13》

) :

(A˜r·B˜)1(u)=(A˜·^B˜)(u)=A˜(u)B˜(u)(A˜r+B˜)1(u)=(A˜+^B˜)(u)=A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)

2) 对于定义4中的连续的Fuzzy算子, 当参数变量r=2时, ∀uU, 分别记定义4中的

《图14》

《图15》

与 (

《图16》

) 2, 则Hamacher算子 (

《图17》

) 就变成了Einstain算子 (

《图18》

) :

(A˜r·B˜)2(u)=(A˜ε·B˜)(u)=A˜(u)B˜(u)1+[1-A˜(u)][1-B˜(u)](A˜r+B˜)2(u)=(A˜ε^B˜)(u)=A˜(u)+B˜(u)1+A˜(u)B˜(u)

给出新的结论如下:

定理3 ∀A˜, B˜∈F (U) , 当参数变量r=0时, 连续Fuzzy算子——Hamacher算子 (

《图19》

) 与Zadeh算子 (∩, ∪) 之间的关系为

(A˜r·B˜)0(A˜B˜)(A˜B˜)(A˜r+B˜)0(5)

证明 如果参数变量r=0, 则∀u∈U, 分别记定义3中的C˜ (u) 为 (

《图20》

) 0与 (

《图21》

) 0, 即:

A˜r·B˜)0(u)={0A˜(u)=B˜(u)=0A˜(u)B˜(u)A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)(A˜r+B˜)0(u)={1A˜(u)=B˜(u)=1,A˜(u)+B˜(u)-2A˜(u)B˜(u)1-A˜(u)B˜(u)

Zadeh算子为:

(A˜B˜)(u)=A˜(u)B˜(u)(A˜B˜)(u)=A˜(u)B˜(u)

如果A˜(u)=B˜(u)=0, 则有

《图22》

如果A˜(u)=B˜(u)=1, 则有

《图23》

如果0<A˜(u)+B˜(u)<2, 证明过程分为两步:

1) 设A˜(u)B˜(u), 则有

(A˜r·B˜)0(u)-(A˜B˜)(u)=A˜(u)B˜(u)A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)-B˜(u)=B˜(u)B˜(u)[A˜(u)-1]A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)0(A˜r+B˜)0(u)-(A˜B˜)(u)=A˜(u)+B˜(u)-2A˜(u)B˜(u)1-A˜(u)B˜(u)-A˜(u)=B˜(u)[1-A˜(u)]21-A˜(u)B˜(u)0

2) 设A˜(u)<B˜(u), 则有

(A˜r·B˜)0(u)-(A˜B˜)(u)=A˜(u)B˜(u)A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)-A˜(u)=A˜(u)A˜(u)[B˜(u)-1]A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)0(A˜r+B˜)0(u)-(A˜B˜)(u)=A˜(u)+B˜(u)-2A˜(u)B˜(u)1-A˜(u)B˜(u)-B˜(u)=A˜(u)[1-B˜(u)]21-A˜(u)B˜(u)0

由此知式 (5) 成立。

定理4 ∀A˜, B˜∈F (U) , 当参数变量r→+∞时, 连续Fuzzy算子——Hamacher算子 (

《图24》

) 与有界积与有界和算子 (⨂, ⊕) 之间的关系为

(A˜r·B˜)+(A˜B˜)(A˜B˜)(A˜r+B˜)+(6)

证明 如果参数变量r→+∞, 则∀u∈U, 分别记定义4中的C˜ (u) 为 (

《图25》

) +∞(A˜r+B˜)+, 即

limr+(A˜r·B˜)=(A˜r·B˜)+limr+(A˜r+B˜)=(A˜r+B˜)+

有界积与有界和算子 (⨂, ⊕) 为:

(A˜B˜)(u)=max[0A˜(u)+B˜(u)-1](A˜B˜)(u)=min[A˜(u)+B˜(u)1]

证明过程分为两步:

1) 如果0<A˜(u)B˜(u), 则有

limr+(A˜r+B˜)(u)=limr+A˜(u)+B˜(u)-2A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u)1-A˜(u)B˜(u)+rA˜(u)B˜(u)=1(A˜B˜)(u)

如果A˜(u)B˜(u)=0, 则有

limr+(A˜r+B˜)(u)=A˜(u)+B˜(u)=(A˜B˜)(u)

2) 如果A˜(u)B˜(u)0A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)=1, 则有

limr+(A˜r·B˜)(u)=limr+A˜(u)B˜(u)r[1-A˜(u)-B˜(u)+A˜(u)B˜(u)]+A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(u)=A˜(u)B˜(u)=A˜(u)+B˜(u)-1=(A˜B)(u)

如果A˜(u)B˜(u)0

A˜(u)+B˜(u)-A˜(u)B˜(U)1, 则有

limr+(A˜r·B˜)(u)=0max[0A˜(u)+B˜(u)-1]=(A˜B˜)(u)

如果A˜(u)B˜(u)=0, 则有

《图26》

由此知式 (6) 成立。

定理1至定理4意指连续的Fuzzy算子——Hamacher算子, 可以取代除Zadeh算子外的其他常用算子。同时, 该算子与Zadeh算子有如下关系:

(A˜r·B˜)(A˜B˜)(A˜B˜)(A˜r+B˜)(7)

《6 一个新的统一的Fuzzy综合决策准则》

6 一个新的统一的Fuzzy综合决策准则

目前, Fuzzy综合决策成为解决各类问题的自然而强有力的工具。这些问题出现在工程技术、生物医学、地理以及包括某些社会科学的领域。一般说来, 这些问题的Fuzzy综合决策常用Zadeh算子解决, 当Zadeh算子不能评判时, 就用其他几个常用算子来处理[1,2]。这就产生了一个新的问题, 决策的标准已经被改变了, 不同的学者使用各自的决策标准。因此, 面对不同文献中的相关结论, 很难说出那个的结果最好。为了解决这个问题, 笔者给出了一类连续的Fuzzy算子, 由它导出的式 (7) 则给出了一个新的统一的Fuzzy综合决策准则。

例 设A˜=[0.20.10.30.20.2],

R˜=[0.70.20.100.50.40.100.40.40.10.10.30.500.20.40.30.20.1]

试用模糊矩阵B˜=A˜˚R˜确定最好的Fuzzy 综合决策结果。

解 用Zadeh算子

()B˜=[0.30.30.20.2],

此时Zadeh算子失效。

用连续的Fuzzy算子——Hamacher算子 (

《图27》

《图28》

) , 当参数变量r=0时,

(r·r+)0=[(A˜r·B˜)0(A˜r+B˜)0]B˜=[0.6320.4560.2570.224]

标准化后得B˜=[0.3990.2920.1650.144];

当参数变量r=1时,

《图29》

《图30》

标准化后得B˜=[0.4310.3580.1110.100];

当参数变量r=2时,

《图31》

, B˜=[0.3140.2400.0600.054]

标准化后得B˜=[0.4700.3590.0900.081];

当参数变量r=10时,

《图32》

《图33》

标准化后得B˜=[0.4390.3610.1060.094]

对于上例, 有界积与有界和算子()B˜=[0000], 不能作出评判。其原因是没有A˜(u)B˜ (u) 满足A˜(u)+B˜(u)-1>0。由式 (6) 可知, 此时连续的Fuzzy算子 (

《图34》

) +∞亦不能作出评判。由定理1和定理2可知, 此时连续Fuzzy算子 (

《图35》

) +∞中的三角范式

《图36》

已被极端地弱化了。

对于上例, 算子对 (∩, ∪) , (

《图37》

) 0, (

《图38》

) 1, 和 (

《图39》

) 2逐渐增加评判结果的精度。根据定理1和定理2可知, 随着参数变量r的增加, 三角范式将逐渐被弱化, 而反三角范式将逐渐被强化;当参数变量r从最小值r=0开始, 随着参数变量r的增加, 即随着连续Fuzzy算子的变化, 模糊综合评判的结果将逐渐从模糊到清晰。但是, 随着参数变量r的进一步增加, 模糊综合评判的结果又将逐渐从清晰到模糊。

换言之, 随着连续Fuzzy算子的变化, 即随着参数变量r的变化, 能够找到参数变量r的一个固定值。用由该固定值确定的Fuzzy算子去作模糊综合评判, 将会获得最好的评判结果。如何找到这个固定值将另文讨论。

对于上例, 使用常用算子的不同组合, 如算子对 (∩,

《图40》

) 或 (∩,

《图41》

) , (∩, ⊕) , (⨂, ∪) 均不能作出评判。只有用算子对 (

《图42》

, ∪) 或 (

《图43》

, ∪) 可以作出评判。换言之, 当Zadeh算子 (∩, ∪) 失效时, 应该选择那对算子组合来进行决策, 亦是一个困难的问题。

综上所述, 从实用的观点出发, 当Zadeh算子 (∩, ∪) 失效时, 应该停止尝试过程, 而采用式 (7) 给出的新的统一的Fuzzy综合决策准则。

《7 结语》

7 结语

新的模糊综合评判标准和方法有如下重要特性:

1) 直接使用未转换的数据;

2) 避免丢失原始信息;

3) 避免增加干扰信息;

4) 对于不同文献中的相关结论, 用此标准容易判断出谁的结论最好。

因此, 新的模糊综合评判标准和方法具有特别重要的应用价值和意义。