The Interval Extension Assessment Method of Water Environmental Quality and Its Application

Abstract

On the basis of IR distance this paper gives out IR extension assessment method and its application to water environmental quality assessment. This method solves assessment problems while quantity of assessed matter-element is an interval number produced by a variety of uncertainty.

Content

《1 前言》

1 前言

在水环境质量评价中, 文献[1]首次采用了可拓评价方法。在该方法中, 待评物元的量值为点, 水质标准的量值为区间, 评价方法建立在点与区间的距离——距的概念基础上。该方法也同时应用于围岩稳定性分类^[2]。但在实际应用中, 由于测量、计算所带来的数据误差、信息不完全带来的数据不完全、人为主观因素带来的数据不准确等原因, 待评物元的量值可能为一区间, 这时要考虑区间与区间的距离, 并在区间与区间之距——IR距概念^[3]的基础上, 给出相应的可拓评价方法。

《2 区间距》

2 区间距

在实域上起作用是点和区间, 而点x与点y的距离在经典数学中已有定义, 即

$ρ (x, y) = | x - y | 。$ $ρ (x, y) = | x - y | 。$

为了建立关联函数, 还要定义点与区间距离——距的概念^[4,5,6,7]。

经典数学中的有限开区间 (a, b) 、闭区间[a, b]、半开半闭区间 (a, b]和[a, b) 统称为区间, 用符号〈a, b〉表示, 也就是说, 区间〈a, b〉可以包含a (或b) , 也可以不包含a (或b) 。设x为实域 (-∞, +∞) 上的任一点, 〈a, b〉为实域上任一有限区间, 则称

$ρ (x, 〈 a, b 〉) = | x - \frac{a + b}{2} | - \frac{1}{2} (b - a)$ $ρ (x, 〈 a, b 〉) = | x - \frac{a + b}{2} | - \frac{1}{2} (b - a)$

为点x与区间〈a, b〉之距。

此处距的概念与经典数学中距离稍有不同。当〈a, b〉中不含x时, ρ (x, 〈a, b〉) 与经典数学中点与区间距离d概念相同, 即: ρ (x, 〈a, b〉) = d, d是离x最近区间端点与x的距离。当x点在〈a, b〉之内时, 经典数学中认为点与区间距离d = 0;而这里的距为负值, 负值的不同表示x在区间〈a, b〉内位置不同。例如, 设给定区间〈3, 5〉, 则ρ (4, 〈3, 5〉) =|4-4|-1= -1。

为了建立区间上的关联函数, 文献[3]引入了区间与区间之距——IR距和区间关于区间的位值——IR位值的概念:

设〈x, y〉与〈a, b〉为实数域上的任意有限区间, 则称

$\begin{array}{l} ρ_{Ι} (〈 x, y 〉, 〈 a, b 〉) = \\ \frac{1}{2} (ρ (x, 〈 a, b 〉) + ρ (y, 〈 a, b 〉)) \end{array}$ $\begin{array}{l} ρ_{Ι} (〈 x, y 〉, 〈 a, b 〉) = \\ \frac{1}{2} (ρ (x, 〈 a, b 〉) + ρ (y, 〈 a, b 〉)) \end{array}$

为区间〈x, y〉与区间〈a, b〉的区间距, 简称IR距。当〈x, y〉为一单点集时, IR距就是点与区间之距。为了区别, 点x与区间〈a, b〉之距用ρ (x, 〈a, b〉) 表示, 区间〈x, y〉与区间〈a, b〉的区间距用ρ_I (〈x, y〉, 〈a, b〉) 表示。

设X₁=〈a, b〉, X₂=〈c, d〉且X₁⊂ X₂, 则

$\begin{array}{l} D_{Ι} (〈 x, y 〉, X_{1}, X_{2}) = \\ {\begin{cases} - 1, [x, y] \subset [a, b] \\ ρ_{Ι} (〈 x, y 〉, X_{2}) - ρ_{Ι} (〈 x, y 〉, X_{1}), 其它 \end{cases} \end{array}$ $\begin{array}{l} D_{Ι} (〈 x, y 〉, X_{1}, X_{2}) = \\ {\begin{cases} - 1, [x, y] \subset [a, b] \\ ρ_{Ι} (〈 x, y 〉, X_{2}) - ρ_{Ι} (〈 x, y 〉, X_{1}), 其它 \end{cases} \end{array}$

称为区间〈x, y〉关于区间 X₁ , X₂的区间位值, 简称IR位值。当〈x, y〉为一单点集时, IR位值就是点关于区间的位值。为了区别, 点关于区间X₁ , X₂的位值用D (x, X₁ , X₂) 表示, 区间〈x, y〉关于区间X₁ , X₂的位区间位值用D_I (〈x, y〉, X₁ , X₂) 表示。

关于区间论域上的可拓集理论以及建立在IR距上的关联函数理论参见文献[3]。

《3 区间可拓评价方法》

3 区间可拓评价方法

IR可拓评价方法的具体步骤如下:

步1 确定经典域与节域设:

$\begin{array}{l} R_{1} = (Ν_{1}, C, V_{1}) = [\begin{matrix} Ν_{1} & C_{1} & 〈 a_{11}, b_{11} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{21}, b_{21} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n 1}, b_{n 1} 〉 \end{matrix}] ‚ \\ R_{2} = (Ν_{2}, C, V_{2}) = [\begin{matrix} Ν_{2} & C_{1} & 〈 a_{12}, b_{12} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{22}, b_{22} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n 2}, b_{n 2} 〉 \end{matrix}] ‚ \\ \dots \dots \\ R_{m} = (Ν_{m}, C, V_{m}) = [\begin{matrix} Ν_{m} & C_{1} & 〈 a_{1 m}, b_{1 m} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{2 m}, b_{2 m} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n m}, b_{n m} 〉 \end{matrix}] \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{1} = (Ν_{1}, C, V_{1}) = [\begin{matrix} Ν_{1} & C_{1} & 〈 a_{11}, b_{11} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{21}, b_{21} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n 1}, b_{n 1} 〉 \end{matrix}] ‚ \\ R_{2} = (Ν_{2}, C, V_{2}) = [\begin{matrix} Ν_{2} & C_{1} & 〈 a_{12}, b_{12} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{22}, b_{22} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n 2}, b_{n 2} 〉 \end{matrix}] ‚ \\ \dots \dots \\ R_{m} = (Ν_{m}, C, V_{m}) = [\begin{matrix} Ν_{m} & C_{1} & 〈 a_{1 m}, b_{1 m} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{2 m}, b_{2 m} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n m}, b_{n m} 〉 \end{matrix}] \end{array}$

为m个同征 (C₁, C₂, …, C_n) 物元^[6,7], 则称

$\begin{array}{l} R_{0} = [\begin{matrix} Ν & Ν_{1} & Ν_{2} & \dots & Ν_{m} \\ C & V_{1} & V_{2} & \dots & V_{m} \end{matrix}] = \\ [\begin{matrix} Ν & Ν_{1} & Ν_{2} & \dots & Ν \\ C_{1} & 〈 a_{11}, b_{11} 〉 & 〈 a_{12}, b_{12} 〉 & \dots & 〈 a_{1 m}, b_{1 m} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{21}, b_{21} 〉 & 〈 a_{22}, b_{22} 〉 & \dots & 〈 a_{2 m}, b_{2 m} 〉 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n 1}, b_{n 1} 〉 & 〈 a_{n 2}, b_{n 2} 〉 & \dots & 〈 a_{m m}, b_{n m} 〉 \end{matrix}] \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{0} = [\begin{matrix} Ν & Ν_{1} & Ν_{2} & \dots & Ν_{m} \\ C & V_{1} & V_{2} & \dots & V_{m} \end{matrix}] = \\ [\begin{matrix} Ν & Ν_{1} & Ν_{2} & \dots & Ν \\ C_{1} & 〈 a_{11}, b_{11} 〉 & 〈 a_{12}, b_{12} 〉 & \dots & 〈 a_{1 m}, b_{1 m} 〉 \\ C_{2} & 〈 a_{21}, b_{21} 〉 & 〈 a_{22}, b_{22} 〉 & \dots & 〈 a_{2 m}, b_{2 m} 〉 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ C_{n} & 〈 a_{n 1}, b_{n 1} 〉 & 〈 a_{n 2}, b_{n 2} 〉 & \dots & 〈 a_{m m}, b_{n m} 〉 \end{matrix}] \end{array}$

是同征物元R₁, R₂, …, R_m的同征物元体, 其中N_j表示所划分的第j个评价类别, C_i表示第i个评价指标, V_ij = 〈a_ij, b_ij〉分别为N_j关于指标C_i所规定的量值范围, 即各类别关于对应的评价指标所取的数据范围经典域。令

$\begin{array}{l} R_{Ρ} = (Ρ, C, V_{Ρ}) = \\ [\begin{matrix} Ρ, & C_{1}, & V_{1 Ρ} \\ C_{2}, & V_{2 Ρ} \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & V_{n Ρ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Ρ ‚ & C_{1}, & 〈 a_{1 Ρ}, b_{1 Ρ} 〉 \\ C_{2}, & 〈 a_{2 Ρ}, b_{2 Ρ} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & 〈 a_{n Ρ}, b_{n Ρ} 〉 \end{matrix}] ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{Ρ} = (Ρ, C, V_{Ρ}) = \\ [\begin{matrix} Ρ, & C_{1}, & V_{1 Ρ} \\ C_{2}, & V_{2 Ρ} \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & V_{n Ρ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Ρ ‚ & C_{1}, & 〈 a_{1 Ρ}, b_{1 Ρ} 〉 \\ C_{2}, & 〈 a_{2 Ρ}, b_{2 Ρ} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & 〈 a_{n Ρ}, b_{n Ρ} 〉 \end{matrix}] ‚ \end{array}$

其中, P表示类别的全体, V_iP = 〈a_iP, b_iP〉为P关于C_i 所取的量值的范围, 即P的节域, 且V_ij⊂V_iP (i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m) 。

步2 确定待评物元对待评的事物q, 把所检测得到的数据或分析结果用物元

$\begin{array}{l} R_{q} = (q, C, V_{q}) = \\ [\begin{matrix} q, & C_{1}, & V_{1 q} \\ C_{2}, & V_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & V_{n q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} q ‚ & C_{1}, & 〈 c_{1 q}, d_{1 q} 〉 \\ C_{2}, & 〈 c_{2 q}, d_{2 q} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & 〈 c_{n q}, d_{n q} 〉 \end{matrix}] \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{q} = (q, C, V_{q}) = \\ [\begin{matrix} q, & C_{1}, & V_{1 q} \\ C_{2}, & V_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & V_{n q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} q ‚ & C_{1}, & 〈 c_{1 q}, d_{1 q} 〉 \\ C_{2}, & 〈 c_{2 q}, d_{2 q} 〉 \\ ⋮ & ⋮ \\ C_{n}, & 〈 c_{n q}, d_{n q} 〉 \end{matrix}] \end{array}$

表示, 称为事物q的待评物元, 式中q表示某事物, 〈c_iq, d_iq〉为q关于C_i的量值, 即待评事物检测所得的具体数据。

步3 确定权系数确定指标C_i的权系数为α_i, 且

$\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = 1 。$ $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = 1 。$

步4 确定待评事物关于各类别等级的关联度

$Κ_{j} (V_{i q}) = \frac{ρ_{Ι} (〈 c_{i q}, d_{i q} 〉, 〈 a_{i j}, b_{i j} 〉)}{D_{Ι} (〈 c_{i q}, d_{i q} 〉, 〈 a_{i j}, b_{i j} 〉, 〈 a_{i Ρ}, b_{i Ρ} 〉)}$ $Κ_{j} (V_{i q}) = \frac{ρ_{Ι} (〈 c_{i q}, d_{i q} 〉, 〈 a_{i j}, b_{i j} 〉)}{D_{Ι} (〈 c_{i q}, d_{i q} 〉, 〈 a_{i j}, b_{i j} 〉, 〈 a_{i Ρ}, b_{i Ρ} 〉)}$

其中K_j (V_iq) 为待评事物q对于评价指标C_i的量值〈c_iq, d_iq〉关于等级j的关联度。

步5 计算待评事物q关于等级j的关联度

$Κ_{j} (q) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} Κ_{j} (V_{i q}) 。$ $Κ_{j} (q) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} Κ_{j} (V_{i q}) 。$

步6 等级评定若 $k_{j_{0}} (q) = \max_{j ‰ \in {1, 2, \dots, m}} Κ_{j} (q)$ $k_{j_{0}} (q) = \max_{j ‰ \in {1, 2, \dots, m}} Κ_{j} (q)$ , 则评定q属于等级j₀。令

$\begin{array}{l} \bar{Κ}_{j} (q) = \frac{Κ_{j} (q) - \min_{j} Κ_{j} (q)}{\max_{j} Κ_{j} (q) - \min_{j} Κ_{j} (q)}, \\ j^{*} = \sum_{j = 1}^{m} j \bar{Κ}_{j} (q) / \sum_{j = 1}^{m} \bar{Κ}_{j} (q), \end{array}$ $\begin{array}{l} \bar{Κ}_{j} (q) = \frac{Κ_{j} (q) - \min_{j} Κ_{j} (q)}{\max_{j} Κ_{j} (q) - \min_{j} Κ_{j} (q)}, \\ j^{*} = \sum_{j = 1}^{m} j \bar{Κ}_{j} (q) / \sum_{j = 1}^{m} \bar{Κ}_{j} (q), \end{array}$

则称j^*为q的级别变量特征值。

《4 确定权重的可拓方法》

4 确定权重的可拓方法

下面用简单关联函数来确定指标权重。

$\begin{array}{l} 设 V_{i q} = 〈 c_{i q}, d_{i q} 〉 ‚ V_{i j} = 〈 a_{i j}, b_{i j} 〉, \\ r_{i j} (V_{i q}, V_{i j}) = \frac{1}{2} (r_{i j} (c_{i q}, V_{i j}) + r_{i j} (d_{i q}, V_{i j})), \\ 其中 r_{i j} (x, V_{i j}) = {\begin{cases} \frac{2 (x - a_{i j})}{b_{i j} - a_{i j}}, x \leq \frac{a_{i j} + b_{i j}}{2} \\ \frac{2 (b_{i j} - x)}{b_{i j} - a_{i j}}, x \geq \frac{a_{i j} + b_{i j}}{2} \end{cases} \\ i = 1, 2, \dots ‚ n, j = 1, 2, \dots, m, (1) \\ 则 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) = \max_{j} {r_{i j} (V_{i q}, V_{i j})} 。 (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} 设 V_{i q} = 〈 c_{i q}, d_{i q} 〉 ‚ V_{i j} = 〈 a_{i j}, b_{i j} 〉, \\ r_{i j} (V_{i q}, V_{i j}) = \frac{1}{2} (r_{i j} (c_{i q}, V_{i j}) + r_{i j} (d_{i q}, V_{i j})), \\ 其中 r_{i j} (x, V_{i j}) = {\begin{cases} \frac{2 (x - a_{i j})}{b_{i j} - a_{i j}}, x \leq \frac{a_{i j} + b_{i j}}{2} \\ \frac{2 (b_{i j} - x)}{b_{i j} - a_{i j}}, x \geq \frac{a_{i j} + b_{i j}}{2} \end{cases} \\ i = 1, 2, \dots ‚ n, j = 1, 2, \dots, m, (1) \\ 则 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) = \max_{j} {r_{i j} (V_{i q}, V_{i j})} 。 (2) \end{array}$

如果指标i的数据落入的类别越大, 该指标应赋以越大的权重, 则取

$r_{i} = {\begin{cases} j_{\max} \times (1 + r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}})), \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) \geq - 0.5 时； \\ j_{\max} \times 0.5, \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) < - 0.5 时。 \end{cases} (3)$ $r_{i} = {\begin{cases} j_{\max} \times (1 + r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}})), \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) \geq - 0.5 时； \\ j_{\max} \times 0.5, \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) < - 0.5 时。 \end{cases} (3)$

如果指标i的数据落入的类别越大, 该指标应赋以越小的权重, 则取

$r_{i} = {\begin{cases} (m - j_{\max} + 1) \times (1 + r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}})), \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) \geq - 0.5 时； \\ (m - j_{\max} + 1) \times 0.5, \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) < - 0.5 时。 \end{cases} (4)$ $r_{i} = {\begin{cases} (m - j_{\max} + 1) \times (1 + r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}})), \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) \geq - 0.5 时； \\ (m - j_{\max} + 1) \times 0.5, \\ 当 r_{i j_{\max}} (V_{i q}, V_{i j_{\max}}) < - 0.5 时。 \end{cases} (4)$

指标的权重为

$α_{i} = r_{i} / \sum_{i = 1}^{n} r_{i} 。 (5)$ $α_{i} = r_{i} / \sum_{i = 1}^{n} r_{i} 。 (5)$

《5 实例计算》

5 实例计算

为了便于比较, 本文仍引用文献[1,8]中的同一实例, 即汾河上游、中游、下游3个断面的水质评价。文献[8]用的是灰关联评价方法。文献[1]用的是可拓评价方法。

文献[8]将水质标准取为一个定值, 带有一定的局限性, 也不符合标准实际。文献[1]弥补了这一缺陷, 将水质标准取为一个区间。汾河上游的兰村、中游的石滩和下游的河津3个断面设立了水质监测站, 1981—1984年每年分别在丰水期、平水期、枯水期取样监测。文献[1,8]中, 待评物元的量值取为各断面实测元素浓度的平均值, 该平均值只能反映监测数据的一个数字特征, 就像水质标准取为一个定值一样, 不能很好地反映其实际问题。本文将待评物元的量值取为各断面实测元素浓度的区间值。

待评同征物元体为:

$R = [\begin{matrix} q & 兰村 & 石滩 & 河津 \\ D Ο & 〈 9.1 ‚ 9.5 〉 & 〈 8.2 ‚ 8.8 〉 & 〈 6.4 ‚ 6.7 〉 \\ B Ο D & 〈 1 ‚ 1.5 〉 & 〈 3.9 ‚ 4.45 〉 & 〈 7 ‚ 7.5 〉 \\ 酚 & 〈 0.000 8 ‚ 0.003 〉 & 〈 0.006 ‚ 0.008 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.02 〉 \\ C Ν^{-} & 〈 0.000 9 ‚ 0.001 5 〉 & 〈 0.002 ‚ 0.004 〉 & 〈 0.008 ‚ 0.009 〉 \\ Η g & 〈 0.000 7 ‚ 0.000 89 〉 & 〈 0.000 5 ‚ 0.000 7 〉 & 〈 0.000 45 ‚ 0.000 55 〉 \\ A s & 〈 0.002 ‚ 0.004 〉 & 〈 0.068 ‚ 0.076 〉 & 〈 0.038 ‚ 0.045 〉 \\ C r^{+ 6} & 〈 0.005 5 ‚ 0.006 8 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.02 〉 & 〈 0.000 65 ‚ 0.000 78 〉 \end{matrix}]$ $R = [\begin{matrix} q & 兰村 & 石滩 & 河津 \\ D Ο & 〈 9.1 ‚ 9.5 〉 & 〈 8.2 ‚ 8.8 〉 & 〈 6.4 ‚ 6.7 〉 \\ B Ο D & 〈 1 ‚ 1.5 〉 & 〈 3.9 ‚ 4.45 〉 & 〈 7 ‚ 7.5 〉 \\ 酚 & 〈 0.000 8 ‚ 0.003 〉 & 〈 0.006 ‚ 0.008 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.02 〉 \\ C Ν^{-} & 〈 0.000 9 ‚ 0.001 5 〉 & 〈 0.002 ‚ 0.004 〉 & 〈 0.008 ‚ 0.009 〉 \\ Η g & 〈 0.000 7 ‚ 0.000 89 〉 & 〈 0.000 5 ‚ 0.000 7 〉 & 〈 0.000 45 ‚ 0.000 55 〉 \\ A s & 〈 0.002 ‚ 0.004 〉 & 〈 0.068 ‚ 0.076 〉 & 〈 0.038 ‚ 0.045 〉 \\ C r^{+ 6} & 〈 0.005 5 ‚ 0.006 8 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.02 〉 & 〈 0.000 65 ‚ 0.000 78 〉 \end{matrix}]$

水质标准取为五级, 其同证物元体为:

$R_{0} = [\begin{matrix} Ν & 1 级 & 2 级 & 3 级 & 4 级 & 5 级 \\ D Ο & 〈 9 ‚ 10 〉 & 〈 6 ‚ 9 〉 & 〈 5 ‚ 6 〉 & 〈 3 ‚ 5 〉 & 〈 2 ‚ 3 〉 \\ B Ο D & 〈 1 ‚ 3 〉 & 〈 3 ‚ 4 〉 & 〈 4 ‚ 5 〉 & 〈 5 ‚ 6 〉 & 〈 6 ‚ 10 〉 \\ 酚 & 〈 0 ‚ 0.001 〉 & 〈 0.001 ‚ 0.002 〉 & 〈 0.002 ‚ 0.005 〉 & 〈 0.005 ‚ 0.01 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.1 〉 \\ C Ν^{-} & 〈 0 ‚ 0.005 〉 & 〈 0.005 ‚ 0.05 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.2 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.2 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.2 〉 \\ Η g & 〈 0 ‚ 0.000 05 〉 & 〈 0 ‚ 0.000 05 〉 & 〈 0.000 05 ‚ 0.000 1 〉 & 〈 0.000 1 ‚ 0.001 〉 & 〈 0.001 ‚ 0.001 〉 \\ A s & 〈 0 ‚ 0.05 〉 & 〈 0 ‚ 0.05 〉 & 〈 0 ‚ 0.05 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.1 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.1 〉 \\ C r^{+ 6} & 〈 0 ‚ 0.01 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.05 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.05 〉 ‚ 〈 0.01 ‚ \dots 0.05 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.1 〉 \end{matrix}]$ $R_{0} = [\begin{matrix} Ν & 1 级 & 2 级 & 3 级 & 4 级 & 5 级 \\ D Ο & 〈 9 ‚ 10 〉 & 〈 6 ‚ 9 〉 & 〈 5 ‚ 6 〉 & 〈 3 ‚ 5 〉 & 〈 2 ‚ 3 〉 \\ B Ο D & 〈 1 ‚ 3 〉 & 〈 3 ‚ 4 〉 & 〈 4 ‚ 5 〉 & 〈 5 ‚ 6 〉 & 〈 6 ‚ 10 〉 \\ 酚 & 〈 0 ‚ 0.001 〉 & 〈 0.001 ‚ 0.002 〉 & 〈 0.002 ‚ 0.005 〉 & 〈 0.005 ‚ 0.01 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.1 〉 \\ C Ν^{-} & 〈 0 ‚ 0.005 〉 & 〈 0.005 ‚ 0.05 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.2 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.2 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.2 〉 \\ Η g & 〈 0 ‚ 0.000 05 〉 & 〈 0 ‚ 0.000 05 〉 & 〈 0.000 05 ‚ 0.000 1 〉 & 〈 0.000 1 ‚ 0.001 〉 & 〈 0.001 ‚ 0.001 〉 \\ A s & 〈 0 ‚ 0.05 〉 & 〈 0 ‚ 0.05 〉 & 〈 0 ‚ 0.05 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.1 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.1 〉 \\ C r^{+ 6} & 〈 0 ‚ 0.01 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.05 〉 & 〈 0.01 ‚ 0.05 〉 ‚ 〈 0.01 ‚ \dots 0.05 〉 & 〈 0.05 ‚ 0.1 〉 \end{matrix}]$

全体水质等级的变化域物元为:

$R_{Ρ} = (Ρ, C, V_{Ρ}) = [\begin{matrix} Ρ & D Ο & 〈 1 ‚ 10 〉 \\ B Ο D & 〈 0 ‚ 10 〉 \\ 酚 & 〈 0 ‚ 0.1 〉 \\ C Ν^{-} & 〈 0 ‚ 0.2 〉 \\ Η g & 〈 0 ‚ 0.001 〉 \\ A s & 〈 0 ‚ 0.1 〉 \\ C r^{+ 6} & 〈 0 ‚ 0.1 〉 \end{matrix}] 。$ $R_{Ρ} = (Ρ, C, V_{Ρ}) = [\begin{matrix} Ρ & D Ο & 〈 1 ‚ 10 〉 \\ B Ο D & 〈 0 ‚ 10 〉 \\ 酚 & 〈 0 ‚ 0.1 〉 \\ C Ν^{-} & 〈 0 ‚ 0.2 〉 \\ Η g & 〈 0 ‚ 0.001 〉 \\ A s & 〈 0 ‚ 0.1 〉 \\ C r^{+ 6} & 〈 0 ‚ 0.1 〉 \end{matrix}] 。$

按式 (1) , (2) , (4) , (5) 计算其权重为:

$W_{7 \times 3} = [\begin{matrix} 0.20 & 0.20 & 0.19 \\ 0.16 & 0.15 & 0.06 \\ 0.07 & 0.12 & 0.04 \\ 0.22 & 0.31 & 0.26 \\ 0.04 & 0.07 & 0.07 \\ 0.09 & 0.07 & 0.14 \\ 0.23 & 0.09 & 0.25 \end{matrix}] 。$ $W_{7 \times 3} = [\begin{matrix} 0.20 & 0.20 & 0.19 \\ 0.16 & 0.15 & 0.06 \\ 0.07 & 0.12 & 0.04 \\ 0.22 & 0.31 & 0.26 \\ 0.04 & 0.07 & 0.07 \\ 0.09 & 0.07 & 0.14 \\ 0.23 & 0.09 & 0.25 \end{matrix}] 。$

按评价方法步3、步4、步5中的计算公式计算, 其评价结果见表1。

表1 区域水环境质量的区间可拓评价结果

Table 1 The interval extension assessment result of water environmental quality

《表1》

K_j (q)	N₁	N₂	N₃	N₄	N₅	max	j₀	j^*
兰村	0.050	-0.452	-0.608	-0.718	-0.858	0.050	1	1.78
石滩	-0.228	-0.147	-0.498	-0.499	-0.588	-0.147	2	2.01
河津	-0.239	-0.133	-0.472	-0.485	-0.496	-0.133	2	1.68

表1中:N₁数据分别表示汾河上游、中游、下游3个断面水质属于1级的关联度;同理, N₂, N₃, N₄, N₅下面的数据分别表示3个断面水质属于对应2级、3级、4级与5级的关联度;j₀数据分别表示3个断面水质最大关联度所对应的级别;j^*数据分别表示3个断面水质的级别变量特征值。从表1可以看出, 兰村水质属1级 (j₀ = 1) 偏2级 (j^* = 1.78) , 石滩水质属2级 (j₀=2, j^*=2.01) , 河津水质属2级 (j₀=2, j^* =1.68) 。

文献[1]采用可拓评价方法, 评价结果为:兰村水质属1级 (j₀ = 1) 偏2级 (j^* = 1.76) , 石滩水质属2级 (j₀ = 2, j^* = 2.01) , 河津水质属2级 (j₀ = 2, j^* = 1.84) 。

文献[8]采用灰关联评价方法, 评价结果为:兰村水质属1级 (关联度为0.862) , 石滩水质属2级 (关联度为0.538) , 河津水质属2级 (关联度为0.627) 。

从以上可以看出, 本文区间可拓评价方法与文献[1,8]评价的结果是一致的。

《6 结语》

6 结语

解决了水质等级标度为区间同时实测水质也为区间时进行水质评价的问题。所提供的方法简单、易行、合理, 具有一定的实际意义, 并对待评物元的量值为区间的问题都适用, 具有普适性。

所给的权重公式是用简单关联函数构造的。该公式计算简单, 易于应用。不过, 从r_ij计算出r_i时要根据实际情况选择合理公式。

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