Virtual-position Reading Method—a Novel Method for Error Motion and Form Error Separation

Abstract

On the basis of signal re-organization, a novel method named virtual-position reading method is proposed in this paper. By means of this method, form error or error motion can be respectively separated according to practical needs, and the separating sequence of form error or error motion can also be optional. Furthermore, in the proposed method, it is not necessary to change the conventional measuring and separating system of form error or the normal procedures of separating operation. It is proved that the new method is flexible and convenient in use.

Content

《1 引言》

1 引言

由于误差分离技术 (error separation techniques, EST) 能在临床 (on machine) 测量中就地分离出工件的形状误差和装备 (测量机或加工机) 的运动误差, 且在纳米级测量和建立虚拟量仪 (virtual gauge, VG) 中的地位越来越重要^[1,2], 因此对它的研究依然长盛不衰。据笔者的不完全统计, 国内外迄今已发展了多达70余种误差分离方法, 对象遍及圆、球、圆柱、直线、平面、螺旋面、角分度和齿轮……, 以及相应的测量机或加工机的运 (传) 动误差, 而且还在不断的深入中。

误差分离方法虽多, 但都可归入多步法和多点法两大类。在已发表的相关论著中, 不论是多步法还是多点法, 几乎都只使用实位数据, 即按测头相对于装备和工件在测量中的实际位置读出数据, 并几乎都只直接使用这些实位数据建立测量读数方程供后续分离运算。其结果是:迄今为止的各种误差分离方法, 几乎都只先行分离形状误差。

当然, 识者多认为:多步法需要进行多次转位并读数的反复操作, 只适用于装备的运动误差重复性良好的场合, 例如具有高精度主轴回转运动和精密分度转台的圆度仪, 计量国际比对使用的就是多步法;多点法则在一次性连续操作中就可采集完所有数据, 适用于要求实时性强、一次安装就能分离工件形状误差和装备运动误差的场合, 对运动误差的重复性要求就相对较低, 常成为实现临床精密加工补偿或临床诊断的“加工、测量与控制一体化装备”的必要组成部分^{[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]} 。但工程上还常有只需先行分离运动误差的必要。由于运动误差的重复性通常未必良好: CIRP建议的统一文件和国际传动协会制定的标准T17-91都为此特别阐明传动主轴回转误差中包含了不具备重复性的非同步误差^[12,13]。又由于误差分离系统的功能受其传递特性的限制, 通常分离并不充分, 导致先行分离过程中的误差残留归入后分离得到的误差中去^[5,6]。因此存在着先分离形状误差、后分离运动误差, 以及先分离运动误差、后分离形状误差, 然后再相互印证的需要。此外, 不少以装备诊断为目的的误差分离应用, 只要求直接掌握装备运动部件的运动误差, 并不在乎形状误差如何。在这些情况下, 所提出的虚位数据法就十分必要了。

《2 实位数据和虚位数据》

2 实位数据和虚位数据

为叙述方便, 这里先介绍笔者提出的实 (移) 位数据和虚 (移) 位数据的含义。

实位数据 (actual-position reading) , 即当地数据 (original reading) :多点法EST中, 传感器测头所在的各原始测位处所采集到的读数;或多步法EST中, 传感器按系统要求移步到各指定位置处测头所采集到的读数。因此, 又称为原位数据或一次相移数据, 其特点是形状误差的读数起点随测头的实际位置而异, 而运动误差的起点都相同。

虚位数据 (virtual-position reading) , 即异地数据 (shifting reading) :将已获得的上述实位数据做整体的空间再移位 (相当于时域上再时延) 后所得到的数据。根据Fourier变换的“时延即相移”的性质, 又称“异位数据”或“二次相移数据”, 其特点是形状误差的读数起点和运动误差的起点均随空间再移位而同时变异。由于这种“再移位”仅仅是通过软件对已获得的、通常是离散实位数据再排列而进行, 仅属于对获得信号的信号重建, 并不牵涉到对测头测位的再布置和数据的再采集等硬操作, 故又称“虚 (移) 位读数”。

具体来说, 对于最基本的圆和直线形状误差及相应的运动误差的分离检测, 当使用位移传感器时, 不论是多点法的第i个测头, 还是多步法的第i步测量, 在再移位p_j的先后, 均分别有^[6,7,8,10]:

测圆时 (参见图1 a) :

实位数据 z_i (nΔθ) =h ( (n+p_i) Δθ) +

δ_x (nΔθ) cos (p_iΔθ) +δ_y (nΔθ) sin (p_iΔθ) , (1)

虚位数据 z_i (nΔθ+p_jΔθ) =

h ( (n+p_i+p_j) Δθ) +δ_x ( (n+p_j) Δθ) cos (p_iΔθ) +

δ_y ( (n+p_j) Δθ) sin (p_iΔθ) , (2)

测直线时 (参见图1b) :

实位数据 z_i (nΔl) =h ( (n+p_i) Δl) +

δ_y (nΔl) +p_iΔlβ (nΔl) , (3)

虚位数据 z_i (nΔl+p_jΔl) =h ( (n+p_i+p_j) Δl) +

δ_y ( (n+p_j) Δl) +p_iΔlβ ( (n+p_j) Δl) 。 (4)

等间隔采样条件下, 可省略两采样点之间的采样角Δθ或采样间距Δl, 把上列四式分别简写为

测圆时: z_i (n) =h (n+p_i) +δ_x (n) cos φ_i+

δ_y (n) sin φ_i, (5)

z_i (n+p_j) =h (n+p_i+p_j) +

δ_x (n+p_j) cos φ_i+δ_y (n+p_j) sin φ_i, (6)

测直线时: z_i (n) =h (n+p_i) +δ_y (n) + l_iβ (n) , (7)

z_i (n+p_j) =h (n+p_i+p_j) +

δ_y (n+p_j) +l_iβ (n+p_j) , (8)

式 (1) 至式 (8) 中, z_i (n) , z_i (n+p_j) 分别为实位数据和虚位数据;

h (n+p_i) 为第i个测头 (或单测头的第i步) 测位处的形状误差读数;

δ_x (n) , δ_y (n) , β (n) 分别为运动误差沿坐标x、y轴的平移分量和绕轴y的转动分量;

φ_i=p_iΔθ, l_i=p_iΔl分别为描述测头实际位置的角参数和线值参数;

n, p_i, p_j分别为离散数字变量、实移位数和虚移位数, 均为整数。

《图1》

图1 基本的误差分离方法 Fig.1 Error separation method

《3 误差分离技术的统一方程》

3 误差分离技术的统一方程

将众多的对象不一、形式各异的一维误差分离方法的基本测量读数方程统一表达为^[8]:

$Ζ = A Η + B Δ ‚ (9)$ $Ζ = A Η + B Δ ‚ (9)$

式中, Z=[z (n+p₀+p_j) , z (n+p₁+p_j) , …, z (n+p_d-1+p_j) ]^T为读数列向量;

$\begin{array}{l} A | \begin{matrix} a_{0 ‚ 0} & a_{0 ‚ 1} & \dots & a_{0, d - 1} \\ a_{1 ‚ 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{1 ‚ d - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{d - 1, 0} & a_{d - 1, 1} & \dots & a_{d - 1, d - 1} \end{matrix} | ‚ \\ B | \begin{matrix} b_{0 ‚ 0} & b_{0 ‚ 1} & \dots & b_{0, e - 1} \\ b_{1 ‚ 0} & b_{1 ‚ 1} & \dots & b_{1, e - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{d - 1, 0} & b_{d - 1, 1} & \dots & b_{d - 1, e - 1} \end{matrix} | ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} A | \begin{matrix} a_{0 ‚ 0} & a_{0 ‚ 1} & \dots & a_{0, d - 1} \\ a_{1 ‚ 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{1 ‚ d - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{d - 1, 0} & a_{d - 1, 1} & \dots & a_{d - 1, d - 1} \end{matrix} | ‚ \\ B | \begin{matrix} b_{0 ‚ 0} & b_{0 ‚ 1} & \dots & b_{0, e - 1} \\ b_{1 ‚ 0} & b_{1 ‚ 1} & \dots & b_{1, e - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{d - 1, 0} & b_{d - 1, 1} & \dots & b_{d - 1, e - 1} \end{matrix} | ‚ \end{array}$

分别为形状误差和运动误差的映射矩阵, 其中元素a和b均是传感器的配置和方位参数; H=[h (n+p₀+p_j) , h (n+p₁+p_j) , …, h (n+p_d-1+p_j) ]^T为形状误差列向量;Δ=[δ_x (n+p_j) , δ_y (n+p_j) , …, β (n+p_j) ]^T为运动误差列向量;其中d为多步法EST的测位数或多点法EST的测点数;e为多步法或多点法EST系统中发生的运动误差分量数;h为各测位或各测点处形状误差读数;δ_x, δ_y, β依次为运动误差沿坐标x, y的平移分量和绕坐标y的转角分量;n为离散整数, n=0, 1, …, N-1, N为总采样点数;p_i, p_j分别为实移位数和虚移位数。

所谓EST的首次分离操作, 就是要设法找到一个不为零的行向量C= (c₀, c₁, …, c_d-1) , 使之左乘Z=AH+ BΔ后, 得到CZ=CAH+ CBΔ。令CBΔ=0而只留下CZ=CAH, 或者令CAH=0而只留下CZ=CBΔ。前者先分离掉运动误差, 后者则先分离掉形状误差。两者都可借EST中的二次分离操作 (时域法或频域法) 分别先分离得到形状误差或得到运动误差。

《4 应用》

4 应用

《4.1先行分离得到回转运动误差》

4.1先行分离得到回转运动误差

这里以先行分离径向回转运动误差在x方向上的分量δ_x (n) 为例, 用最基本的三点法测圆时, 根据测到的实位数据, 通常可建立下列原始测量读数方程:

$\begin{array}{l} [\begin{array}{l} z_{0} (n) \\ z_{1} (n) \\ z_{2} (n) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{0}) \\ h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] + \\ [\begin{matrix} \cos φ_{0} & \sin φ_{0} \\ \cos φ_{1} & \sin φ_{1} \\ \cos φ_{2} & \sin φ_{2} \end{matrix}] [\begin{array}{l} δ_{x} (n) \\ δ_{y} (n) \end{array}] 。 (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} [\begin{array}{l} z_{0} (n) \\ z_{1} (n) \\ z_{2} (n) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{0}) \\ h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] + \\ [\begin{matrix} \cos φ_{0} & \sin φ_{0} \\ \cos φ_{1} & \sin φ_{1} \\ \cos φ_{2} & \sin φ_{2} \end{matrix}] [\begin{array}{l} δ_{x} (n) \\ δ_{y} (n) \end{array}] 。 (10) \end{array}$

由实位数据组成的上述方程中, A矩阵各列只含一个元素, 无法做到CAH=0, 只能通过CBΔ=0先分离得到圆形状误差。为此, 令p_i=p₀=0, 将已获得的z₀ (n) 再做两次整体移位:[z₀ (n+p_j) , j=0, 1], 使成为虚位数据z₀ (n+p₁) 和z₀ (n+p₂) , 并选另两个原实位数据z₁ (n) 和z₂ (n) , 组成新的Z, 代入Z=AH+BΔ式, 得:

$[\begin{array}{l} z_{1} (n) \\ z_{0} (n + p_{1}) \\ z_{2} (n) \\ z_{0} (n + p_{2}) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] +$ $[\begin{array}{l} z_{1} (n) \\ z_{0} (n + p_{1}) \\ z_{2} (n) \\ z_{0} (n + p_{2}) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] +$

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} \cos φ_{1} & \sin φ_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos φ_{0} & \sin φ_{0} & 0 & 0 \\ \cos φ_{2} & \sin φ_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cos φ_{0} & \sin φ_{0} \end{matrix}] Δ = \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] + [\begin{matrix} \cos φ_{1} & \sin φ_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \cos φ_{2} & \sin φ_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] Δ \end{array}$ $\begin{array}{l} [\begin{matrix} \cos φ_{1} & \sin φ_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos φ_{0} & \sin φ_{0} & 0 & 0 \\ \cos φ_{2} & \sin φ_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cos φ_{0} & \sin φ_{0} \end{matrix}] Δ = \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] + [\begin{matrix} \cos φ_{1} & \sin φ_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \cos φ_{2} & \sin φ_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] Δ \end{array}$ , (11)

式中, Δ=[δ_x (n) , δ_y (n) , δ_x (n+p₁) , δ_y (n+p₁) , δ_x (n+p₂) , δ_y (n+p₂) ]^T。

现在A矩阵中的各列都含有两个元素, 按CAH=0并使CBΔ中只含一种有效的运动误差分量δ_x (n) 去反求C^[14,15]。对δ_x (n) , δ_x (n+p₁) 和δ_x (n+p₂) 的进一步分离即二次分离操作, 有频域法、时域法等多种, 均属EST的常规操作方法^{[6,7,8,9,10,11]}。同样, 可用于先行分离回转运动误差在y方向上的分量δ_y (n) 。这样, 只需将原来用于先分离圆形状误差时测到的实位数据做虚位信号重建并重组读数列向量Z, 就可用分离或先行分离得到运动误差, 而且毋需重新配置或调整原有的三点法测圆系统, 更毋需再做测量操作, 十分灵便。

《4.2先行分离得到直行运动误差》

4.2先行分离得到直行运动误差

同样, 也可以用原来以先行分离得到工件直线形状误差为宗旨的直线三点法EST中的某些实位数据, 加上对该实位数据做信号重建后的虚位数据, 排出下列式 (12) 和式 (13) 两种可先行分离得到装备直行运动误差的测量读数方程。

$\begin{array}{l} [\begin{array}{l} z_{0} (n + p_{1}) \\ z_{0} (n + p_{2}) \\ z_{1} (n) \\ z_{2} (n) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] + \\ [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & l_{1} \\ 1 & 0 & 0 & l_{2} \end{matrix}] [\begin{array}{l} δ_{y} (n) \\ δ_{y} (n + p_{1}) \\ δ_{y} (n + p_{2}) \\ β (n) \end{array}] \end{array}$ $\begin{array}{l} [\begin{array}{l} z_{0} (n + p_{1}) \\ z_{0} (n + p_{2}) \\ z_{1} (n) \\ z_{2} (n) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{1}) \\ h (n + p_{2}) \end{array}] + \\ [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & l_{1} \\ 1 & 0 & 0 & l_{2} \end{matrix}] [\begin{array}{l} δ_{y} (n) \\ δ_{y} (n + p_{1}) \\ δ_{y} (n + p_{2}) \\ β (n) \end{array}] \end{array}$ , $\begin{array}{l} (12) \\ [\begin{array}{l} z_{1} (n + p_{0}) \\ z_{0} (n + p_{1}) \\ z_{0} (n + p_{2}) \\ z_{2} (n + p_{0}) \\ z_{2} (n + p_{1}) \\ z_{1} (n + p_{2}) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{0} + p_{1}) \\ h (n + p_{0} + p_{2}) \\ h (n + p_{1} + p_{2}) \end{array}] + \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & l_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & l_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & l_{0} \\ 1 & 0 & 0 & l_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & l_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & l_{1} \end{matrix}] \times [\begin{array}{l} δ_{y} (n + p_{0}) \\ δ_{y} (n + p_{1}) \\ δ_{y} (n + p_{2}) \\ β (n + p_{0}) \\ β (n + p_{1}) \\ β (n + p_{2}) \end{array}] \end{array}$ $\begin{array}{l} (12) \\ [\begin{array}{l} z_{1} (n + p_{0}) \\ z_{0} (n + p_{1}) \\ z_{0} (n + p_{2}) \\ z_{2} (n + p_{0}) \\ z_{2} (n + p_{1}) \\ z_{1} (n + p_{2}) \end{array}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{l} h (n + p_{0} + p_{1}) \\ h (n + p_{0} + p_{2}) \\ h (n + p_{1} + p_{2}) \end{array}] + \\ [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & l_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & l_{0} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & l_{0} \\ 1 & 0 & 0 & l_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & l_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & l_{1} \end{matrix}] \times [\begin{array}{l} δ_{y} (n + p_{0}) \\ δ_{y} (n + p_{1}) \\ δ_{y} (n + p_{2}) \\ β (n + p_{0}) \\ β (n + p_{1}) \\ β (n + p_{2}) \end{array}] \end{array}$ 。 (13)

由该两方程可见, 即使同样源于传统的三点法的实位数据, 用虚位数据法通过重构原信号和重组读数列向量以便只分离或先行分离运动误差的方式也不是唯一的。

同前, 将式 (10) 至式 (13) 付之实践, 并与传统的EST做比较, 均取得了良好的效果^[14,15]。

《5 结论》

5 结论

1) 非同步误差的存在、EST中的误差残留、对装备诊断和相互印证比对的需要, 都要求在形状误差和运动误差同时存在的前提下, 能任意选择两者之一先行分离。

2) 用所提出的虚位数据法重构和重组已获读数信号, 可将传统的EST改造, 成为可任意先行分离得到工件形状误差或装备运动误差的技术。

3) 该方法毋需重新配置或调整原EST系统, 更不必进行测量再操作, 十分灵便。

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