《1   引言》

1   引言

公共场所突发重大事故的一个显著特点是大量人群聚集。由于公众在公共场所事故中存在从众心理及盲目恐慌，往往使事故难以控制并极易引起某些次生事故，导致灾害扩大化。为了保证公共场所人群的安全，减少公共场所财产损失，需要加强对城市公共场所突发重大事故风险的研究。

社会风险指的是单位时期内危险源发生的所有事故中死亡人数等于或大于 N 的事故的发生概率 [1] 。社会风险是风险定量的重要指标之一，体现了事故发生对社会整体的可能危害。社会风险描述事故发生概率与事故造成的人员受伤或致死数之间的关系，可以用“累计频率/死亡人数曲线”、“余补累计频率分布”或“余补累计函数”等表征。作者用“余补累积频率/死亡人数曲线（ F/N 曲线）”来表征社会风险。

目前，国内外对工业设施所造成的社会风险已经提出了切实可行的定量计算方法[2] ，但是对于人群聚集社会风险却缺乏定量的方法。理论上说，社会风险的描述应对事故灾害频率（F）和后果（N）分别计算，然后把所有结果综合起来建立社会风险 F - N 曲线。作者根据前人研究成果“一段时间内事故发生次数及其对应的概率可以用泊松分布来描述”，推导出事故灾害频率的定量模型；同时，通过统计不同严重程度（死亡人数）事故的发生次数，用其发生频率表征其发生的条件概率，根据计算得到的死亡事故发生概率，即可得到不同死亡人数事故的发生概率，从而最终得到 F - N 曲线。运用 F - N 曲线就可以分析公共场所人群聚集的社会风险。

《2   计算社会风险的前期准备》

2   计算社会风险的前期准备

《2.1 社会风险的计算思路》

2.1 社会风险的计算思路

社会风险计算分为三步进行：首先计算死亡事故发生的概率，得到 P（A）；然后，计算出引起大于或者等于 N 人死亡的所有事故的条件概率（事故后果），得到 P（B | A）；最后，将 P（A）与 P（B | A）相乘，得到大于或者等于 N 人死亡的所有事故的累积频率 F（N）。

《2.2 公共场所事故统计及分析》

2.2 公共场所事故统计及分析

获取充足的事故统计资料和数据是进行人群聚集风险计算的前提。作者主要从枟安全与环境学报枠历年事故统计资料汇编以及中国国家安全生产监督管理总局网站上获取了一部分国内公共场所事故统计资料（时间跨度为 2001 — 2005 年上半年）。虽然是不完全的统计资料，但是可以将这些数据作为完整统计资料的某种随机抽样，籍此作为今后分析的某种参考。

从统计角度出发将公共场所事故分为以下六大类，不同事故类型用不同的风险影响因子 R 来表征。

1）火灾风险类事故——火灾因子 R1

2）爆炸风险类事故——爆炸因子 R2

3）中毒风险类事故——中毒因子 R3

4）结构风险类事故——结构因子 R4

5）人群拥挤类事故——心理扰动因子 R5

6）其他事故——其它风险因子

基于统计资料，假设公共场所事故的发生是火灾因子、爆炸因子、中毒因子、结构因子以及心理扰动因子共同作用的结果，舍弃了“其它事故”所造成的伤害。根据事故类型及其对应的死亡人数和受伤人数，得图 1 、图 2 。而图 3 给出了各类事故数、伤亡数在总数中所占的比例。

《图 1》

图 1 2001 — 2005 年上半年各类事故死亡人数

Fig.1 2001 — 2005 death toll in accidents

《图 2》

图 2 2001 — 2005 年上半年各类事故受伤人数

Fig.2 2001 — 2005 the injured's number in accidents

《图 3》

图 3 2001 — 2005 年上半年各类事故导致的伤亡数在总伤亡数中的比例

Fig.3 2001 — 2005 the proportion of a specific injured's number in the overall

经分析，可以得到以下基本结论和统计结果：

1）火灾造成的伤亡所占比例最大。

2）火灾、爆炸、结构风险、中毒、人群拥挤五个风险因子所造成的伤亡比例大于 90 % 。

3）从全国事故统计资料看，火灾所带来的伤亡，仅次于道路交通事故，排第二位。但是就该研究范围而言，上述五个风险因子的作用强度（以其伤亡总数衡量）之间不存在数量级上的差距（以百分比衡量）。

4）在足够长的统计时间内， R1 ~ R5 各种事故数之间的比例可以简单认为服从以下比例： R1 ∶R2 ∶ R3 ∶ R4 ∶ R5 ＝ 33∶26∶16∶13∶5 。

《3   死亡事故发生的概率》

3   死亡事故发生的概率

《3.1 死亡事故发生概率计算思路》

3.1 死亡事故发生概率计算思路

一段时间内事故发生次数及其对应的概率可以用泊松过程来描述[3] ，但是它是一个离散的随机过程，必须运用数学方法将整体泊松过程离解为多个独立的指数分布，然后分析单个指数分布，得出具体的伽马分布表达式；然后建立相对应的叠加模型，进而计算出事故发生的概率。

《3.2 泊松过程与指数分布的关系》

3.2 泊松过程与指数分布的关系

设 X1 和 X2 为相互独立且均服从参数为 ＞ 0 的指数分布[4] ，即它们的密度函数为：

由密度函数的卷积公式知道 Z ＝ X1 ＋ X2 的密度函数是：

若 X1， X2，……， Xr 是 r 个相互独立并且具有相同参数 的指数分布随机变量，则从上面的 出发，利用归纳法可以证明 Z ＝ X1 ＋ X2 ＋……＋Xr 的密度函数是：

从式（3）看出 含有两个参数 r 和 ，记做 （ r ，）。当 t ＝ n 为一正整数时，具有参数 r 和 的伽马分布在应用上通常是 n 个事件发生所需时间量的分布，证明如下。

对于任意正数 k ，（ k ，）分布是 k 个相互独立的具有相同参数λ的指数分布随机变量之和，故对 k ＝ 1 ， 2 …有：

对式（4）右端第一项作分步积分得：

故 

又由（ Nt ＝ 0）等价于（ Tt ＞ t）得：

通过上面的定理证明得到：

因为 T1 + … + Tk 和 T1 + … + Tk + 1 分别为参数为（ k ，）和（ k ＋ 1 ，）的 分布，故上式即是：

由式（9）得：

因此，设 T1 、T2 …… 是一串相互独立且具有相同参数 的指数分布随机变量， t 是任意固定正数，则由：

确定的随机变量 Nt 有参数为 的泊松分布。

《3.3 伽马分布的引入》

3.3 伽马分布的引入

如果事故发生服从泊松过程，那么第 r 次事故发生的时间可以用伽马分布描述。设 Tr 表示整个公共场所内第 r 次事故发生的时间，那么直到第 r 次事故发生的平均时间是 E（Tr）＝ ，服从指数分布或者泊松过程，直到第 r 次事故发生的等待时间 t 是以 和 r 为参数的伽马分布。同样，对于被分割成不同部分的对象，第 1 次和第 r 次事故发生以及第 1 次和第 r 次事故发生的预期时间也可以用指数分布和伽马分布描述。

令 Tn 表示第 n 个事件发生的时间， Tn 小于或等于 t 的充要条件为到时间 t 时所发生的事件数不小于 n 。也就是说，若以 N（t）表示在时间区间 [ 0 , t ] 内发生的事件数，则：

将式（12）微分得 Tn 的密度函数如下：

因此 Tn 具有参数是（n ，）的伽马分布。

《3.4 伽马分布的物理意义及其表达式》

3.4 伽马分布的物理意义及其表达式

设历年平均的发生在城市公共场所的事故次数为 （单位：次/年），则相应的指数分布概率密度函数为：

令： ，则相应的概率密度函数变为

设 Tr 表示公共场所内第 r 次事故发生的时间，则

其中，设影响因子 R1 ~ R5 相对应的事故年平均发生次数 r 为 r1，r2，r3，r4，r5 。

这样就可以建立如下五个影响因子的对应的伽马分布表达式：

此外，若相互独立的随机变量 X 和 Y 分别由分布 （ r ，）和 （ s ，），则 Z = X + Y 有分布 （ r ＋ s ，），因此，最终的伽马分布为： R ～（ r1 + r2 + r3 + r4 + r5 ，），其分布函数为：

上述表达式称为死亡事故发生概率计算模型。

《4   计算示例———体育场馆社会风险曲线的绘制》

4   计算示例——体育场馆社会风险曲线的绘制

《4.1 体育场馆死亡事故发生概率的计算》

4.1 体育场馆死亡事故发生概率的计算

目前掌握的体育场馆事故统计资料[5] 比较有限，可以认为是小概率，重后果的事件。因此需要加大统计时间跨度。资料的时间跨度为 1902 — 2005 年，约 104 年，所以 T = 100 （表 1）。

在死亡事故发生概率计算模型中， r 取上表的 34 ； 为泊松分布强度的倒数，取值需要讨论：由于目前统计资料的原因，无法收集到 100 年来体育馆事故，以上统计资料都是有记录的大事故，因此有必要提高事故的总量，作者拟人为提高事故总数 1 个数量级，即 = 1/340 ； T 为统计跨度 100 年； H 则根据研究需要，确定为 T/100 ，即 1 年。

计算结果为 P34,0.002 94 （0.01）＝ 1.47 × 10-5 ，从 100 年的统计时间跨度来看，可以认为每年体育馆死亡事故发生的概率在 10-5 数量级。

《4.2 引起大于或者等于 1 ， 10 ， 100 ， 1 000 人死亡的所有事故的条件概率的计算》

4.2 引起大于或者等于 1 ， 10 ， 100 ， 1 000 人死亡的所有事故的条件概率的计算

通过表１中的事故数据，统计不同严重程度（死亡人数）事故的发生次数，用其发生频率表征不同严重程度事故发生的条件概率 P（B | A），即实际计算引起大于或者等于 N 人死亡的所有事故的条件概率时，直接应用统计得到的现场死亡人数及其对应的事故发生次数在总的事故发生次数中所占的比例，亦即，用事故发生频率表征不同严重程度事故（与现场死亡人数相对应）发生的条件概率（表 2）。

《表 1》

表 1 从 1902 — 2005 体育场馆重大事故灾害统计表

Table 1 Major accidents' statistics in stadium from 1902 — 2005

《表 2》

表 2 引起大于或者等于 N 人死亡的所有事故的条件概率

Table 2 Conditional probability that brought about all of the accidents whose casualties were equal to or greater than N

《4.3 根据 P（A）× P（B｜A），求出 F（N）》

4.3 根据 P（A）× P（B｜A），求出 F（N）

根据计算得到的体育馆死亡事故发生概率以及引起大于或者等于 1 、 10 、 100 、 1 000 人死亡的所有事故的条件概率，即可得到不同死亡人数事故的发生概率，如表 3 所示，并可据此绘制出 F/N 图（图4) 。

《表 3》

表 3 大于或者等于 N 人死亡的所有事故的累积频率 F（N）

Table 3 Cumulative probability that brought about all of the accidents whose casualties were equal to or greater than N

《图 4》

图 4 体育场馆社会风险 F/N 图

Fig.4 The F/N curve shows the social risk of stadium

《5   结论》

5   结论

目前，国内外对于公共场所人群聚集的社会风险没有能够提出一套风险定量的方法，作者所提出的公共场所人群聚集社会风险计算方法基本解决了这一问题。

通过三个步骤，就可以得到描述某一个特定公共场所社会风险的 F - N 图。但是从计算过程中可以看到，现有的统计资料不易满足模型对数据的要求，所以对数据进行了修正，因此所列计算实例主要用于说明计算步骤，其特定的计算结果尚缺乏统计意义上的验证，仅供参考。

用条件概率的形式给出不同死亡人数事故的发生概率是作者提出的计算方法，计算模型的合理性和可靠性还有待于进一步证实。此外，对于不同的统计时间跨度下计算出来的事故发生概率之间如何进行比较的问题，还需要进一步研究。