《1　前言》

1　前言

强度理论是研究材料破坏原因的理论，以便建立材料的强度条件。各种强度理论都是建立在不同材料、不同应力作用下出现的实验现象的基础上。凡是与实验现象符合准确，又与各种实验现象符合多的强度理论就被广泛应用。笔者就是利用二三百年以来，专家学者做过的，并且被认定的实验现象，对比各种经典强度理论和笔者新提出来的质点平衡应力强度理论[1]，对其准确性和广泛性进行了统计和评述。目的是对经典强度理论和新强度理论有全面而深刻的了解，以便在设计和校核中正确选择其应用哪种强度条件。以保证其工程的安全性。特别是不能用现行弹性理论设计、校核短梁和大型工程的今天（只能用有限元法，用计算机模拟近似计算），寻求新强度理论尤为重要。

《2　材料在拉压扭时屈服与断裂现象[2]》

2　材料在拉压扭时屈服与断裂现象[2]

材料在拉、压、扭实验时屈服与断裂现象如下：

实验 1 脆性材料铸铁试件轴向拉伸时，在横截面上拉断，如图 1 所示。

《图1》

图 1　铸铁单向拉伸横向拉断

Fig. 1　Cast iron under single-direction pulling

实验 2 铸铁试件在扭转时，与轴线成 45°角方向上被拉断，如图 2 所示。

《图2》

图 2　铸铁扭转成 45°角拉断

Fig. 2　The cast iron is destroyed when the torsion angle is 45°

实验 3 低碳钢扭转成垂直剪断，如图 3 所示。

《图3》

图 3　低碳钢扭转与垂直剪断

Fig. 3　Low carbon steel torsion destruction and vertical destruction

实验 4 脆性材料大理石轴向压缩时（夹扳间摩擦较小时），在纵截面上裂断，如图 4 所示，是最大线应变产生的脆断。

《图4》

图 4　大理石压缩纵向裂纹

Fig. 4　The longitudinal crack in the marble

实验 5 铸铁压缩时，在与轴线约成 45°角处断裂，是剪切破坏，如图 5 所示。

《图5》

图 5　铸铁压缩与轴线成 45°角破坏

Fig. 5　The cast iron is destroyed under suppression in the angle of 45°with the axle

实验 6 低碳钢拉伸时，在与轴线成 45°角出现滑移线，是剪切破坏，如图 6a 所示；屈服后，再拉伸出现颈缩现象而拉断，如图 6b 所示。

《图6》

图 6　低碳钢拉伸与轴线成 45°角屈服

Fig. 6　Pulling of low-carbon steel （45°angle with the axle）

实验 7 铸铁二向等应力拉压实验[3]；接近第二强度理论，σ = 0.8σb 时断裂，如图 7 所示。

《图7》

图 7　铸铁二向拉压断裂实验

Fig. 7　Similar with 2nd intensity theory （broke when σ  0.8σb ）

实验 8 实验结论：铸铁二向拉伸不比单向拉伸安全， σ 接近 σb 时断裂[3]，如图 8 所示。

《图8》

图 8　二向拉伸不比单向拉伸安全

Fig. 8　Two-direction pulling is not safer than single-direction pulling

实验 9 实验结论：脆性材料二向压缩与单向压缩无明显差别，如图 9 所示。

《图9》

图 9　脆性材料二向压缩与单向压缩无明显差别

Fig. 9　No difference between bi-direction suppression and one-direction suppression

实验 10 实验证明，拉伸－剪切破坏比较容易。只有质点平衡强度条件和莫尔强度理论（当拉压强度极限不相等时）与此实验符合，其他强度理论都不符合，如图 10 所示。

《图10》

图 10　拉伸－剪切比纯剪切容易

Fig. 10　Test of pure shear is coincident with balance particle intensity theory

实验 11 实验表明，压缩－剪切破坏比较困难，只有质点平衡强度条件及莫尔强度理论（当拉、压强度极限不等时）与实验符合，如图 11 所示。

《图11》

图 11　压缩－剪切比纯剪切困难

Fig. 11　Stress state of pulling-shearing

实验 12 纯剪切实验：求出低、中碳钢的最大屈服剪应力，与质点平衡强度条件相符合；与第四强度理论及莫尔强度理论相接近；与第三强度理论不符合，如图 12 所示。

《图12》

图 12　纯剪切实验

Fig. 12　Pure shearing test is coincident with balance particle intensity theory

实验 13 淬火钢球压在铸铁板上，铸铁板出现屈服凹坑（屈服破坏），三向压缩破坏，见图 13[3]。

《图13》

图 13　三向压应力状态

Fig. 13　Yield destroy when three-direction stress state

《3　第一强度理论（最大拉应力准则）》

3　第一强度理论（最大拉应力准则）

当主应力 σ1 达到材料的强度极限 σb 时就断裂，其断裂准则为

其强度条件为

式中 n 为安全系数；[ σ ] 为许用拉应力。第一强度理论能解释实验现象 1，脆性材料拉伸时沿横截面断裂，符合良好。又与二向等应力拉伸实验 8 相接近[3]。而对于脆性材料压缩时成 45°角剪切断裂，其理论与实验不符。 对于塑性材料拉伸时出现与拉应力成 45°角屈服破坏，其理论也与实验不符。

《4　第二强度理论 最大伸长线应变准则》

4　第二强度理论 最大伸长线应变准则

《4.1　准则与强度条件》

4.1　准则与强度条件

最大伸长线应变准则，即认为无论什么应力状态，只要线应变最大值 ，达到材料拉断时伸长线应变的极值 ，材料就发生断裂，其断裂准则为

则第二强度理论的强度条件为

《4.2　讨论》

4.2　讨论

1） 最大伸长线应变理论能解释实验 4，大理石受压试块沿垂直于压力方向裂开；因为裂开的方向就是 ε1 的方向。

2） 铸铁的拉—压二向等应力状态试验 7，结果与此理论符合[3]。 式（4）成为

铸铁 μ = 0.23 ~0.27，取 μ = 0.25， 且当 | σ1 |=| –σ2 | 时，式（）成为

式（4b）说明，二向等应力拉压时，拉应力 σ 小于强度极限时就断裂，符合实验 7。

3） 当脆性材料二向受压时，σ1 = 0，| – σ3 |=| – σ2 | = σ，按式（4）断裂条件为

对于铸铁，μ＝0.25 时，

可是实验结果并非如此，而是和单向压缩无明显差别[3]，见实验 9。

4） 当二向等应力拉伸时，由式 （4） 可 得 σ ≈ 1.33σb 。 可见，比单向拉伸强度增加，实验 8 并非如此，而是不比单向拉伸安全。

5） 当 σ2 = σ3 = 0 时，，与第一强度理论完全相同。

《5　第三强度理论（最大剪应力准则）》

5　第三强度理论（最大剪应力准则）

《5.1　准则与强度条件》

5.1　准则与强度条件

最大剪应力准则，只要材料的最大剪应力达到简单拉伸屈服剪应力时，材料就屈服。

三向应力状态下最大剪应力[4]为

于是屈服准则为

强度条件为

《5.2　讨论》

5.2　讨论

1） 由式（5），塑性材料单向拉伸时最大剪应力为

由单向拉伸时斜截面上剪应力的公式[3]

屈服时，由式（5）和式（9）可得

与实验 6 低碳钢拉伸在与轴线 45°角方向上出现滑移线完全相同。

2） 纯扭转时低碳钢被垂直剪断符合实验现象 3，因为由（5）式 ，纯扭转时横截面上的 σs 最大，而塑性材料抗剪能力差，因此，轴被垂直剪断。而铸铁的抗剪能力强，抗拉能力差，被与剪应力成 45°角的主应力拉断，符合实验现象 2。

3） 当受三向等拉应力（或等压应力）时，σ1 ＝ σ3 ，则式（7）相当应力

说明无论多大等拉应力，材料都不会破坏，这与实际相矛盾。 三向等应力压缩都得出同样结果。 且由式（6）最大剪应力 σmax =0，与实验 13 不符合。

4） 当 σ2 ＝0，且 σ1 = | – σ3 | 时，即二向等应力拉 －压，由式（7）得

说明第三强度理论下，二向等应力拉－压不比单向拉伸或压缩安全，接近实验 7，但是，比第二强度理论 σ = 0.8σb 有误差。

5） 由式（8）可知，三向应力状态与 σ2 无关，不符合实际。从另一角度看：三相拉伸时，若 σ1 ＝σ3 ，且 σ1 和 σ3 远小于 σ2 ，即

故 σ1 和 σ3 在三向应力状态中可以忽略，近似于 σ2的单向拉伸。 单向拉伸不会出现不破坏的情况。 与讨论 3 相矛盾。

因此，出现双剪应力理论（用三个最大剪应力组成强度理论）来修正第三强度理论。

6） 二向等应力拉伸的结论

而当 σ3 ＝ 0，且 σ1 ＝ σ2 时，是二向等应力拉伸，则式（7）成为

说明二向等应力拉伸时，与单向拉伸相同，符合实验 8。

《6　第四强度理论 最大形状应变能准则》

6　第四强度理论 最大形状应变能准则

《6.1　准则与强度条件》

6.1　准则与强度条件

变形能准则：只要形状应变能 uf 达到拉伸屈服时形状应变能 ufu ，材料就屈服了，

屈服准则为

第四强度理论条件为

式中 σr4 称为相当应力。

第四强度理论对于钢、铜、铝等塑性材料拉伸符合程度比第三强度理论好。

《6.2　讨论》

6.2　讨论

1） 当 σ2 = σ3 =0 时，三向应力状态成为简单拉伸（或压缩）。

对于脆性材料 σ1 = σb ，与实验 1 相符合。 成为第一强度理论。

2） 当 σ3 = 0 时，且 σ1 = σ2 = σ，即二向等应力拉伸。

说明二向等应力拉伸与单向拉伸相同，接近第一强度理论，接近实验 8（二向拉伸不比单向拉伸安全），但是，与实验 8 不完全符合。

3） 二向等压应力状态 σ3 ＝0， | – σ1 |=| – σ2 | = σ，

说明二向等压应力状态与单向压缩相同。 与实验 9 完全相同。

4） 当 σ1 = σ2 = σ3 时，σr4 = 0，说明三向等应力拉伸（或压缩）时，无论多大应力都不会破坏[3]！ 与实际不符合（与实验 13 不符合）。

5） 第四强度理论得出塑性材料屈服时，滑移线不与正应力成 45°角。

由该强度理论导出拉－剪组合强度公式为

当 σ = 0 时，成为纯剪切应力状态，式（11a）成为

对于塑性材料，安全系数 n =1 时，式（11b）成为

表明第四强度理论下纯剪切屈服时最大剪应力与屈服应力 σs 间的关系。由此，可得出屈服时滑移线与 σs 间夹角。由简单拉伸屈服时最大剪应力[3]

由式（11c）和式（11d）得

式（11e）表明，最大剪应力  与拉应力 σ 间夹角 α = 30°。 按第四强度理论，滑移线应出现在与正应力 σ 夹角为 30°方向上，而实际是 45°角方向上，说明第四强度理论与实验 6 不完全符合。

6）由式（11b），当 n =1 时， ，纯扭转时，垂直横截面上的 σs 最大，又塑性材料抗剪能力差，因此，扭转时轴成垂直断裂， 符合实验 3。

《7　莫尔的强度理论》

7　莫尔的强度理论

《7.1　准则与强度条件》

7.1　准则与强度条件

考虑到材料抗拉和抗压强度不相等，提出应力圆包络线理论：即工作状态的应力圆，位于包络线内则安全，若相切则断裂。 工程上把包络线简化成直线：作单轴拉伸和单轴压缩极限应力圆的公切线，把此公切线作为包络线。 按最大剪应力准则推导出莫尔的强度理论准则为

强度条件为

式中 σrm 为相当应力，σ1 ，σ3 为主应力，σtu ， 为材料拉伸极限强度和许用应力，σcu ，为材料压缩极限强度和许用应力。

《7.2　讨论》

7.2　讨论

1） 对于压缩时不破坏的塑性材料，如低碳钢可认为抗压强度极限 σc 为无限大，则式（13）成为

即对于塑性材料莫尔强度理论化成第一强度理论。因此，莫尔理论对塑性材料不太适用。

2） 对于 σt = σc 的材料，莫尔的理论又化为最大剪应力理论，式（13）成为

当 σ1 = σ3 时仍然出现 σrm = 0。 材料不被破坏。

3） 莫尔理论适用于拉、压强度性能不等的脆性材料，如铸铁、球墨铸铁、高合金钢等。

铸铁的抗压强度极限比抗拉强度极限高出 4 — 5 倍[3]，取 σct = 4σtu ，代入式（ 12 )，得

当 σ1 ＝ σ3 ＝ σ 即三向等应力拉伸时

相当应力不为零，这比第三强度理论接近了实际，不是多大应力都不破坏。

由莫尔强度准则，式（14a）为

式（14b）为三向等应力拉伸的结论， 即比单向拉伸安全。这与实验 8 的结论相反（不比单向拉伸安全）。即莫尔强度理论与实验 8 不符合。

4） 当 σ3 为压应力时，对于铸铁式（14）成为

当 σ1 ＝σ3 ＝σ 时

与二向拉压实验 7 完全符合。

5） 铸铁二向压缩时，σ1 =0，| – σ2 |=| – σ3 |=σ，则式（14）成为

则 σ＝ 4σs， 说明二向压缩比单向安全；不符合实验 9。

6） 莫尔强度理论得出拉 －剪比纯剪切容易。把式（6）代入式（12）， 得

对于 σtu ≠ σcu 的材料，则

则 σ3 为拉应力时，σrm >，即拉应力使剪切变得容易。 当 σ3 为压应力时，σ3 为负值，则 σrm < ，说明压缩使剪切变得困难。 即莫尔强度理论符合实验 10 和实验 11。

当 σtu = σcu 时，1 – σtu /σcu =0，得不出上述结论。

说明莫尔强度理论只适用于拉压性能不同的材料。

7） 当 σtu = σcu 时，式（13）成为第三强度理论：

8） 当 σtu ≠ σcu 时，最大剪应力为

式（15b）与式（6）对比，由于 σtu < σcu ，则有

这表明莫尔强度理论的剪应力比第三强度理论的剪应力要大，说明与实验 12 值接近（使表 1 中第三强度理论中的剪应力  增大）。

《8　二向应力状态下质点平衡应力的强度理论[1]》

8　二向应力状态下质点平衡应力的强度理论[1]

《8.1　准则与强度条件》

8.1　准则与强度条件

文献[1]提出了二向应力状态的质点平衡强度理论：

1） 最大拉应力准则（适用于脆性材料）

强度条件为

式中

当  时，为二向拉伸应力状态，式（17）成为

用主应力表示时，

当 σ1 ＝σ2 ＝σ，安全系数 n ＝1 时，

由式（20a）可得

2） 屈服准则（适用于塑性材料）

按屈服准则，式（16）应写成

则强度条件为

《8.2　讨论》

8.2　讨论

1） 二向等应力拉伸时，由式（20b）

说明二向等应力拉伸，最大拉应力小于单向拉伸。符合实验 8：不比单向拉伸安全。

2） 由式（20），当 σ2 = 0 时，得   ，为单向拉伸或压缩，同第一强度理论，符合实验 1。

3） 当 σ3 =0，且 | – σ1 |=| – σ2 | 时，式（20）为二向等应力压缩状态

 ，则

接近符合实验 9。

4） 当 σ3 =0，σ1 =| – σ2 |= σ 时，为二向等应力拉－压应力状态，得出

5） 当 σx = σy =0 时，成为纯剪切应力状态， 式（21）成为

上式说明最大剪应力发生在与主应力（对角线）成 45° 角方向上，与实验 6 符合（质点平衡应力 σ cosα，而单向拉伸剪应力为 。

6） 拉伸（弯曲）－剪切（扭转）准则与强度条件

当 σy = 0 时，α = arctg | σy /σx | = 0，式（ 16 ）及式（21） 成为拉伸（弯曲）– 剪切（扭转） 应力状态（见图 10 所示）。

对脆性材料其断裂准则为

塑性材料的准则为

其强度条件为

当为压  剪二向应力状态时 （见图 11），式（23′）成为

对比式（23′）与式（25），显然， ，说明拉－剪比压－剪容易破坏。符合实验 10 和实验11。这是由于式（23′）中的  为非平方项，才出现 σ 为负值时和 σ 为正值时有不同结论。

7） 第三、第四及质点平衡应力的强度理论拉（弯）– 剪（扭）公式对比。

第三强度拉 – 剪条件[3]为

第四强度拉－剪条件[3]为式（11a），即

质点平衡应力强度条件为式（24），即

当 σ = 0 时，成为纯剪切应力状态，则式（24）、式（26）和式（11a）成为

当安全系数取 1 时，对于塑性材料，许用拉应力为屈服拉应力， [ σ ] = σs ，剪应力为屈服剪应力，为最大剪应力，则式（27）、式（28）、式（29）成为

8） 下面用扭转实验来检验式（27′）、式（28′）和式（29′）符合和准确程度。

碳素钢扭转实验求最大屈服剪应力。 材料为低碳钢 Q235 和中碳钢 45 号，其实验值及其与理论值对比见表 1。

《表1》

表 1　最大屈服剪应力的实验值与其理论值比较表

Comparison between test results and theoretical value of the maximum yield shear stress

说明：

1）扭转剪应力公式

式中 是指 ρ =R 时的点受到最大剪应力。

开始出现屈服时，屈服扭矩对应的最大剪应力就是最大屈服剪应力，因此可用式（30） 求得。而式[5]

是横截面全都达到屈服时的屈服剪应力。此时，沿横截面均布，角应变（逐渐增大，而  保持不变。可见，已不符剪切虎克定律条件，也不符合弹性理论小变形的条件。因此，求最大屈服剪应力时，要用式（30）而不用式（31）。

2） 由比较表 1 明显可见，质点平衡强度准则得出的  与实验符合；第四强度理论与实验接近；而第三强度理论与实验不符合。

《9　三向应力状态质点平衡强度理论[1]》

9　三向应力状态质点平衡强度理论[1]

《9.1　三向质点平衡的强度条件》

9.1　三向质点平衡的强度条件

三向应力状态质点平衡应力[1]的强度条件为

用主应力表示的三向质点平衡强度条件为

《9.2　讨论》

9.2　讨论

1） 当主应力 σ3 =0 时，成为二向应力状态强度条件式（19），

符合实验 8 和实验 1。

2） 当 σ1 = σ2 = σ3 时，成为三向等应力拉伸，式（33）成为

当安全系数 n ＝1 时，

就屈服或断裂。 解决了第三、第四强度理论的无论多大等应力都拉不断的错误结论。 不是不断裂，而是 σ 达到 0.58σb 时就断裂。

3） 质点平衡应力下的二向纯剪切应力状态当 σx = σy = σz =0，时，又 ，

由三向应力状态质点平衡应力的条件式（32）可得

上式就是质点平衡应力下的纯剪切应力状态。说明屈服剪应力发生在与主应力成 45°角方向上，而二向纯剪切主应力在单元体对角线方向上，即主应力 σs 与 x 轴成 90°角方向上，与实验 6、实验 3 完全符合。

《10　结论》

10　结论

强度理论与 13 个实验现象的符合情况汇总于表 2。 从表 2 可见，质点平衡强度理论，符合实验中的 12 个，而且符合程度最好。 其次是第四强度理论符合 9 个实验；莫尔强度理论符合 9 个实验。 第三强度理论符合 5 个实验，第二强度理论符合 3 个实验，第一强度理论符合 2 个实验。

《表2》

表 2　强度理论与13 个实验现象符合程度表

Comparison between 13 test results and intensity theory

说明： “√”号表示与实验现象完全符合；“≈√”表示与实验现象近似符合；空格表示与实验现象完全不符合

各强度理论与实验的符合程度也不相同。如目前应用最广的第四强度理论，其塑性材料滑移线的理论角度是 30°角，与塑性材料拉伸实验滑移线在与拉应力成 45°角，其相差为 15°角，因此，认为该强度理论与实验 6 为近似符合。

从表 2 可以看出，质点平衡新强度理论不仅与实验现象符合最多，而且符合准确，特别是解决了第三、第四强度理论无法解决的理论与实际的矛盾（二向、三向等应力拉或压时相当应力为零，即无论多大应力都不会破坏），解决了莫尔强度理论不能完全解决拉强度极限相等时的拉 －剪比压 －剪容易破坏的实验现象。

大理石压缩实验 4 出现纵向裂纹现象，除第二强度理论外，其余所有强度理论都无法解释，因为大理石是各向异性材料，而所有的强度理论都是适用于各向同性材料的。因此，花岗岩压缩破坏不在各向同性强度理论中讨论。