《1 引言》

1 引言

对于白化权函数f[a1, b1, b2, a2] (见图1) 已知的灰数

《图1》

∈[a1, a2 ], a1<a2邓聚龙教授将其灰度定义为[1]*

《图2》

《图3》

图1 白化权函数f[a1, b1, b2, a2]

图1 白化权函数f[a1, b1, b2, a2]  

Fig.1 Weight function of whitenization f[a1, b1, b2, a2]

灰数的白化权函数f[a1, b1, b2, a2]相当于模糊数学中边界已知之Fuzzy集的隶属函数[2], 在某种意义上亦类似于随机变量的密度函数。这里, 区间[a1, a2]表示灰数

《图4》

的取值范围, f (x) 的数值表达了灰数

《图5》

取某一具体数值x的可能性大小。

在式 (1) 中, 灰度被表达为2部分之和, 其中第一部分代表峰区的大小对灰度的影响, 第二部分代表L (x) 和R (x) 覆盖面积大小对灰度的影响。按照这一定义, 峰区越大, L (x) 和R (x) 的覆盖面积越大, g° (

《图6》

) 就越大。

文献[3]中, 基于灰区间长度l (

《图7》

) 和灰数的均值白化数

《图8》

, Liu Sifeng给出了灰度的一种公理化定义:

《图9》

这里, 在非负性公理、零灰度公理、无穷灰度公理和数乘公理的基础上, 灰度被定义为灰区间长度l (

《图10》

) 与其相应均值白化数

《图11》

的商。

式 (1) 和式 (2) 给出的灰度定义皆存在以下问题:

1) 不满足规范性 显然, 当灰区间长度l (

《图12》

) 趋于无穷大时, 由式 (1) 和式 (2) 定义的灰度皆有可能趋于无穷大。

2) 零心灰数的灰度没有定义 对于零心灰数, 式 (1) 中为b1=b2=0的情形, 式 (2) 中为

《图13》

=0的情形, 这时, 式 (1) 和式 (2) 所给出的灰度皆没有定义。

《2 灰度定义的公理系统》

2 灰度定义的公理系统

灰数是灰色系统之行为特征的一种表现形式[4,5]。灰数的灰度反映了人们对灰色系统认识的不确定程度[5,6,7,8]。因此, 一个灰数灰度大小应与该灰数产生的背景或论域有着不可分割的联系。如果对一个灰数产生的背景或论域及其表征的灰色系统不加说明, 实际上无法讨论该灰数的灰度。例如, 对于灰数

《图14》

∈[160, 200], 如果不说明其产生的背景或论域及其表征的灰色系统, 就很难说清楚它的灰度到底有多大。当它表达的一名中国成年男子的身高 (cm) 时, 人们会觉得这一灰数的灰度很大。因为[160, 200]几乎与中国成年男子身高的背景或论域重合。假若公安机关搜捕一名罪犯, 有人提供信息说罪犯身高在160 cm和200 cm之间, 这样的信息几乎没有任何价值。如果灰数

《图15》

∈[160, 200]表示的是一个人的血压 (收缩压 (mmHg) ) , 那么一般人们会认为这一灰数的灰度不是很大, 因为它的确能为医生提供十分有用的信息。

设Ω为灰数

《图16》

产生的背景或论域, μ (

《图17》

) 为灰数

《图18》

之取数域的测度, 则灰数

《图19》

的灰度g° (

《图20》

) 符合以下公理:

公理1 0≤g° (

《图21》

) ≤1。

公理2

《图22》

∈[a1, a2], a1≤a2当a1=a2时, g° (

《图23》

) =0。

公理3 g° (Ω) =1。

公理4 g° (

《图24》

) 与μ (

《图25》

) 成正比, 与μ (Ω) 成反比。

公理1将灰数的灰度取值范围限定在[0, 1] 区间内。公理2规定白数的灰度为零。白数是完全确定的数, 没有任何不确定的成分。公理3规定灰数产生的背景或论域Ω的灰度为1, 取为灰度的最大值。因为灰数产生的背景Ω一般为人所共知或覆盖了灰数的论域, 故不含任何有用的信息, 其不确定性最大。公理4表明当灰数

《图26》

产生的背景或论域一定时, 灰数

《图27》

之取数域的测度μ (

《图28》

) 越大, 灰数

《图29》

的灰度g° (

《图30》

) 越大。例如, 估计某一实数真值得到灰数

《图31》

, 在估计的可靠程度一定时,

《图32》

的测度越大, 这种估计的意义越小, 不确定性越大;相反,

《图33》

的测度越小, 这种估计的意义越大, 不确定性越小[4,9,10,11,12,13,14]。

定义1 设灰数

《图34》

产生的背景或论域为Ω, μ (

《图35》

) 为灰数

《图36》

之取数域的测度, 则称

《图37》

为灰数

《图38》

的灰度。

定理1 由式 (3) 给出的灰度定义满足灰度定义的4个公理。

证明 公理1 由

《图39》

⊂Ω及测度的性质, 有

《图40》

从而

《图41》

公理2 当a1=a2时μ (

《图42》

) =0, 因此, g° (

《图43》

) =μ (

《图44》

) μ (Ω) =0。

公理3、公理4 显然。

定理2 若

《图45》

1⊂

《图46》

2, 则g° (

《图47》

1 ) ≤g° (

《图48》

2) 。

证明 由

《图49》

1⊂

《图50》

2及测度的性质, 有μ (

《图51》

1) ≤μ (

《图52》

2) , 再由式 (3) 易知

《图53》

《3 合成灰数的灰度》

3 合成灰数的灰度

由于灰数具有可构造性, 因此, 有必要进一步研究合成灰数的灰度。

定义2 设

《图54》

1∈[a, b], a<b;

《图55》

2∈[c, d], c<d, 则称

《图56》

为灰数

《图57》

1与

《图58》

2的并。

灰数的并相当于对若干灰数进行“堆积”或“归并”, 其结果自然是灰度增大。

定理3 g° (

《图59》

1∪

《图60》

2 ) ≥g° (

《图61》

k) , k=1, 2。

证明 由

《图62》

1∪

《图63》

2⊃

《图64》

k, k=1, 2和定理2易知定理3成立。

定义2和定理3皆可以推广到有限个灰数求并的情形。

定义3 设

《图65》

1∈[a, b], a<b;

《图66》

2∈[c, d], c<d, 则称

《图67》

为灰数

《图68》

1与

《图69》

2的交。

灰数的交相当于对若干个灰数进行综合加工、提炼, 能够使人们对灰色系统的认识逐步深化, 其结果自然是灰度减小[8,9]。

定理4 g° (

《图70》

1∩

《图71》

2) ≤g° (

《图72》

k) , k=1, 2。

证明 由

《图73》

1∩

《图74》

2⊂

《图75》

k, k=1, 2和定理2易知定理4成立。

定义3和定理4皆可以推广到有限个灰数求交的情形。

定理5 设

《图76》

1⊂

《图77》

2, 则有

《图78》

证明 由

《图79》

1⊂

《图80》

2, 得

《图81》

1∪

《图82》

2=

《图83》

2,

《图84》

1∩

《图85》

2=

《图86》

1, 从而

《图87》

当灰数

《图88》

1,

《图89》

2关于测度μ独立时, 还可以得到更为有趣的结果。

定理6 设μ (Ω) , 灰数

《图90》

1,

《图91》

2关于测度μ独立, 则有

1) g° (

《图92》

1∩

《图93》

2 ) =g° (

《图94》

1) ·g° (

《图95》

2) ;

2) g° (

《图96》

1∪

《图97》

2) =g° (

《图98》

1) +g° (

《图99》

2) -g° (

《图100》

1) ·g° (

《图101》

2) 。

证明 1) 由μ (Ω) =1, 且灰数

《图102》

1,

《图103》

2关于测度μ独立, 有

《图104》

2) 同理

g° (

《图105》

1∪

《图106》

2) =μ (

《图107》

1∪

《图108》

2) =

μ (

《图109》

1) +μ (

《图110》

2) -μ (

《图111》

1) ·μ (

《图112》

2) =

g° (

《图113》

1) +g° (

《图114》

2) -g° (

《图115》

1) · g° (

《图116》

2) 。

例 考虑掷一个均匀六面体骰子所得的点数, 此时背景或论域为

Ω={1,2,3,4,5,6}

设灰数

《图117》

1∈{1, 2},

《图118》

2∈{2, 3, 4}, μ为概率测度, 则

《图119》

满足独立性条件, 显然,

g° (

《图120》

1) =μ (

《图121》

1) =13,

g° (

《图122》

2) =μ (

《图123》

2) =12,

g° (

《图124》

1∩

《图125》

2) =μ (

《图126》

1∩

《图127》

2) =

16=g° (

《图128》

1) · g° (

《图129》

2) ,

g° (

《图130》

1∪

《图131》

2) =μ (

《图132》

1∪

《图133》

2) =23=

g° (

《图134》

1) +g° (

《图135》

2) -g° (

《图136》

1) ·g° (

《图137》

2)

与定理6中的结论一致。

《4 结语》

4 结语

灰数的合成方式将对合成灰数的灰度及相应灰信息的可靠程度产生一定的影响。一般地, 灰数求并后灰度增大, 而合成信息的可靠程度会有所提高;灰数求交后灰度减小, 而合成信息的可靠程度往往会降低。在解决实际问题的过程中, 当需要对大量灰数进行筛选、加工、合成时, 可以考虑在若干个不同的层次上进行合成, 逐层提取信息。在合成过程中, 采用间层交叉进行并、交合成, 以保证最后筛选出的信息在可靠程度和灰度方面都能满足一定的要求。在不确定性信息分析中, 通过对不确定性信息的合成、提炼, 人们希望尽可能地减小其不确定性、提高其可靠性。基于灰数的合成对合成灰数的灰度及相应灰信息的可靠性的影响分析, 不难发现, 不确定性和可靠性是一对矛盾。根据实际问题的研究需要, 有时要求不确定性必须减小到某一水准, 而对可靠性的要求允许适当放宽;有时则要求有较高的可靠性, 允许适当放宽对不确定性的要求。一般可按照具体问题的背景进行取舍。