Both-Branch Fuzzy Decision and Problems on Decision Discernment

Abstract

This paper proposes the concept of both-branch fuzzy decision on X, which contains neutral universe(X^*≠{x}), and the optimal decision analysis model. In addition, the paper proposes decision judgement theorem, decision discernment theorem, decision surplusage-discarding theorem and hole-digging principle on decision factors universe X. Both-branch fuzzy decision has such characteristics as decision two-direction dependence character, decision piling-synthesis character, decision branch-separating character, decision branch-degeneration character, and decision non-fault character. The research results have found application.

Content

《1 引言》

1 引言

Bezdek J.C. 发表了著名的模糊决策论文^[1,2], 提出了模糊决策分析模型。我国学者陈守煜教授作了深入研究, 提出了系统模糊决策理论^[3,4,5]。这些研究获得工程界的认可并得到了工程应用, 在研究结论中, 模糊决策度满足u_j∈[0, 1]。

在一般工程模糊决策中的决策因素域X是由两部分因素域X⁺, X^-构成, X=X⁺∪X^-, X⁺∩X^-≠>。X⁺上的因素对决策的实现起着“积极”作用 (正向作用) , X^-上的因素对决策的实现起着“消极”作用 (反向作用) 。X⁺, X^-中的因素对决策的实现分别以决策度u⁺_j∈[0, 1], u_j^-∈[-1, 0]表现。X⁺, X^-在决策中表现出“单向特性”。X⁺与X^-的公共因素域X^*=X⁺∩X^-上的因素在决策中表现出“双向特性”, 同时具有u_j⁺∈[0, 1]和u_j^-∈[-1, 0]。一般情形下, ∀x_k∈X^*, |u_j⁺ (x_k) |≠|u_j^- (x_k) |。符合工程实际的模糊决策结论应是u_j⁺与u_j^-的叠加合成:u_j⁺⊕u_j^-。X⁺, X^-同时存在于X之中, 在决策分析中, X⁺, X^-不可以从X中单独分离出来, 更不可以将X⁺, X^-之一丢掉, 它们构成决策结论的矛盾统一体。只有在一类特殊的工程问题中仅存在X⁺ (或X^-) , 即决策只与X⁺ (或X^-) 有关系。在Zadeh L.A.模糊集理论中, 决策度u_j^-∈[-1, 0]无定义。为了研究上面提出的问题, 1998年作者提出双枝模糊集的一般概念和它的基本理论, 为双枝模糊决策的提出作了基础性准备^{[6,7,8,9,10,11]}。

在双枝模糊决策中, 如果X^-=>, 本文结果将退化成依赖于Zadeh L.A.模糊集理论的单枝模糊决策, 从这个意义上说, 单枝模糊决策是双枝模糊决策的特例。双枝模糊决策具有普遍的意义。

本文讨论是以X上的下-非对称双枝模糊集^[8]为理论依据。

《2 具有X*的X上的双枝模糊决策》

2 具有X*的X上的双枝模糊决策

定义2.1 称

$X^{+} = {x_{i} | 0 \leq u^{+} (x_{i}) \leq 1 ‚ i = 1, 2, \dots, α} (2.1)$ $X^{+} = {x_{i} | 0 \leq u^{+} (x_{i}) \leq 1 ‚ i = 1, 2, \dots, α} (2.1)$

是双枝模糊决策因素域X的上域, 映射

$u^{+} : X^{+} \to [0, 1], x \to u^{+} (x) (2.2)$ $u^{+} : X^{+} \to [0, 1], x \to u^{+} (x) (2.2)$

称X⁺上的上-双枝模糊决策, 对于给定的x₀∈X⁺, u⁺ (x₀) 称上枝模糊决策度, X⁺⊂X。

定义2.2 称

$X^{-} = {x_{j} | - 1 \leq u_{j}^{-} (x_{j}) \leq 0 ‚ j = 1, 2, \dots, β} (2.3)$ $X^{-} = {x_{j} | - 1 \leq u_{j}^{-} (x_{j}) \leq 0 ‚ j = 1, 2, \dots, β} (2.3)$

是双枝模糊决策因素域X的下域, 映射

$u^{-} : X^{-} \to [- 1 ‚ 0], x \to u^{-} (x) (2.4)$ $u^{-} : X^{-} \to [- 1 ‚ 0], x \to u^{-} (x) (2.4)$

称X^-上的下-双枝模糊决策, 对于给定的x₀′∈X^-, u^- (x₀′) 称下枝模糊决策度, X^-⊂X。

定义2.3 称X^*是决策因素域X的中性域, 如果X^*满足:

1) X^*=X⁺∩X^-⊂X且X^*≠{x} (2.5)

2) X^*={x_k|0≤u⁺ (x_k) ≤1∧-1≤u^- (x_k) ≤ 0, k =1, 2, …, γ;γ<α, β} (2.6)

3) 对于任意的x_t∈X^*, t∈ (1, 2, …, γ)

$u^{+} (x_{t}) \oplus u^{-} (x_{t}) \neq 0 (2.7)$ $u^{+} (x_{t}) \oplus u^{-} (x_{t}) \neq 0 (2.7)$

4) 对于所有的x_k∈X^*, k=1, 2, …, γ

$\underset{k = 1, x_{k} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{+} (x_{k}) \oplus \underset{k = 1, x_{k} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{-} (x_{k}) = 0 (2.8)$ $\underset{k = 1, x_{k} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{+} (x_{k}) \oplus \underset{k = 1, x_{k} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{-} (x_{k}) = 0 (2.8)$

定义2.4 映射

$u ∶ X \to [- 1, 0] \cup [0, 1], x \to u (x) (2.9)$ $u ∶ X \to [- 1, 0] \cup [0, 1], x \to u (x) (2.9)$

若满足:

1) X⁺上的正则特性

$\begin{array}{l} \forall x \in X^{+} \subset X, u^{+} (x) \in [0 ‚ 1] ‚ \exists x_{0} \in X^{+} \\ u^{+} (x_{0}) = \underset{i = 1}{\overset{α}{\lor}} u^{+} (x_{i}) = 1 (2.10) \end{array}$ $\begin{array}{l} \forall x \in X^{+} \subset X, u^{+} (x) \in [0 ‚ 1] ‚ \exists x_{0} \in X^{+} \\ u^{+} (x_{0}) = \underset{i = 1}{\overset{α}{\lor}} u^{+} (x_{i}) = 1 (2.10) \end{array}$

2) X^-上的正则特性

$\begin{array}{l} \forall x \in X^{-} \subset X, u^{-} (x) \in [- 1 ‚ 0] ‚ \exists x^{'}_{0} \in X^{-} \\ u^{-} (x^{'}_{0}) = \underset{j = 1}{\overset{β}{\land}} u^{-} (x_{j}) = - 1 (2.11) \end{array}$ $\begin{array}{l} \forall x \in X^{-} \subset X, u^{-} (x) \in [- 1 ‚ 0] ‚ \exists x^{'}_{0} \in X^{-} \\ u^{-} (x^{'}_{0}) = \underset{j = 1}{\overset{β}{\land}} u^{-} (x_{j}) = - 1 (2.11) \end{array}$

3) X^*上的中和特性

所有的x_k∈X^*

$\underset{k = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{k}) \oplus \underset{k = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{k}) = 0 (2.12)$ $\underset{k = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{k}) \oplus \underset{k = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{k}) = 0 (2.12)$

4) u⁺, u^-的单点叠加非零特性

X^*上任意一个元素x_k, k∈ (1, 2, …, r)

$u^{+} (x_{k}) \oplus u^{-} (x_{k}) \neq 0 (2.13)$ $u^{+} (x_{k}) \oplus u^{-} (x_{k}) \neq 0 (2.13)$

称式 (2.9) 确定一个具有中性域X^*的X上的双枝模糊决策。其中:上域X⁺={x₁, x₂, …, x_α}, 下域X^-={x₁, x₂, …, x_β}, |X^-|<|X⁺|, 中性域X^*=X⁺∩X^-={x₁, x₂, …, x_r}, X⁺, X^-, X^*⊂X。

定义2.5 设 $\underset{i = 1}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) ‚ \underset{j = 1}{\sum^{β}} u^{-} (x_{j})$ $\underset{i = 1}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) ‚ \underset{j = 1}{\sum^{β}} u^{-} (x_{j})$ 分别是双枝模糊决策在X⁺上的上-双枝模糊决策的特征值和X^-上的下-双枝模糊决策的特征值, 若

$\underset{i = 1, x_{i} \in X^{+}}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{j = 1, x_{j} \in X^{-}}{\sum^{β}} u^{-} (x_{j}) > 0 (2.14)$ $\underset{i = 1, x_{i} \in X^{+}}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{j = 1, x_{j} \in X^{-}}{\sum^{β}} u^{-} (x_{j}) > 0 (2.14)$

称式 (2.9) 确定一个X上的上-双枝模糊决策;若

$\underset{i = 1, x_{i} \in X^{+}}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{j = 1, x_{j} \in X^{-}}{\sum^{β}} u^{-} (x_{j}) < 0 (2.15)$ $\underset{i = 1, x_{i} \in X^{+}}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{j = 1, x_{j} \in X^{-}}{\sum^{β}} u^{-} (x_{j}) < 0 (2.15)$

称式 (2.9) 确定一个X上的下-双枝模糊决策。

由定义2.1～2.5容易得到:

命题2.1 具有中性域X^*, X上的上-非对称双枝模糊集^[8]生成X上的下-双枝模糊决策。

命题2.2 具有中性域X^*, X上的下-非对称双枝模糊集^[8]生成X上的上-双枝模糊决策。

命题2.3 具有中性域X^*, X上的对称双枝模糊集^[6,7,8]生成X上的双枝模糊决策是无效的。

事实上, 具有中性域X^*, X上的对称双枝模糊集中, |X^-|=|X⁺|, 则有,

$\begin{array}{l} \underset{i = 1, x_{i} \in X^{+}}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{i = 1, x_{i} \in X^{-}}{\sum^{β}} u^{-} (x_{i}) = 0 (2.16) \\ \underset{i = 1, x_{i} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{i = 1, x_{i} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{-} (x_{i}) = 0 (2.17) \end{array}$ $\begin{array}{l} \underset{i = 1, x_{i} \in X^{+}}{\sum^{α}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{i = 1, x_{i} \in X^{-}}{\sum^{β}} u^{-} (x_{i}) = 0 (2.16) \\ \underset{i = 1, x_{i} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{i = 1, x_{i} \in X^{*}}{\sum^{r}} u^{-} (x_{i}) = 0 (2.17) \end{array}$

得不到决策结论。

命题2.4 任何一个具有中性域X^*, X上的对称双枝模糊集生成X上的双枝模糊决策都是无效的, 无论X^*= (X⁺∩X^-) =X还是X^*={x}。

命题2.5 具有X^*, X上的双枝模糊决策如果是有效的, 则这个决策是上-双枝模糊决策或者是下-双枝模糊决策, 二者必居其一。

命题2.6 单枝模糊集 (Zadeh L.A.模糊集) 生成的单枝模糊决策是双枝模糊集生成的双枝模糊决策的特例, 双枝模糊决策是单枝模糊决策的一般形式。

《3 双枝模糊决策判定定理与识别定理》

3 双枝模糊决策判定定理与识别定理

定义3.1 设d_jg⁺, d_jb⁺分别是X⁺⊂X上的上-双枝模糊决策的距优距离和距劣距离^[5],

$\begin{array}{l} d_{j g}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j}))^{p})^{1 / p} (3.1) \\ d_{j b}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+}))^{p})^{1 / p} (3.2) \end{array}$ $\begin{array}{l} d_{j g}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j}))^{p})^{1 / p} (3.1) \\ d_{j b}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+}))^{p})^{1 / p} (3.2) \end{array}$

称d_jg⁺/d_jb⁺是上-双枝模糊决策的优-劣比。g⁺, b⁺分别称作X⁺⊂X上的优等决策向量和劣等决策向量

$\begin{array}{l} g^{+} = (g_{1}^{+}, g_{2}^{+}, \dots, g_{α}^{+})^{Τ} = (1, 1, \dots, 1)^{Τ} (3.3) \\ b^{+} = (b_{1}^{+}, b_{2}^{+}, \dots, b_{α}^{+})^{Τ} = (0, 0, \dots, 0)^{Τ} (3.4) \end{array}$ $\begin{array}{l} g^{+} = (g_{1}^{+}, g_{2}^{+}, \dots, g_{α}^{+})^{Τ} = (1, 1, \dots, 1)^{Τ} (3.3) \\ b^{+} = (b_{1}^{+}, b_{2}^{+}, \dots, b_{α}^{+})^{Τ} = (0, 0, \dots, 0)^{Τ} (3.4) \end{array}$

其中:w_i是X⁺上的权重 $w_{i} \in (0, 1), \underset{i = 1}{\sum^{α}} w_{i} = 1$ $w_{i} \in (0, 1), \underset{i = 1}{\sum^{α}} w_{i} = 1$ ;式 (3.1) 、式 (3.2) 中海明距离p=1, 欧氏距离p=2, r_ij是X⁺上的目标优属度。

定义3.2 设d_jg^-, d_jb^-分别是X^-⊂X上的下-双枝模糊决策的距优距离和距劣距离。

$\begin{array}{l} d_{j g}^{-} = (\underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} (g_{i}^{-} - \bar{r}_{i j}))^{p})^{1 / p} (3.5) \\ d_{j b}^{-} = (\underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} (\bar{r}_{i j} - b_{i}^{-}))^{p})^{1 / p} (3.6) \end{array}$ $\begin{array}{l} d_{j g}^{-} = (\underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} (g_{i}^{-} - \bar{r}_{i j}))^{p})^{1 / p} (3.5) \\ d_{j b}^{-} = (\underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} (\bar{r}_{i j} - b_{i}^{-}))^{p})^{1 / p} (3.6) \end{array}$

称d_jg^-/d_jb^-是下-双枝模糊决策的优-劣比。g^-, b^-分别称作X^-⊂X上的优等决策向量和劣等决策向量

$\begin{array}{l} g^{-} = (g_{1}^{-}, g_{2}^{-}, \dots, g_{β}^{-})^{Τ} = (- 1, - 1, \dots, - 1)^{Τ} (3.7) \\ b^{-} = (b_{1}^{-}, b_{2}^{-}, \dots, b_{β}^{-})^{Τ} = (0, 0, \dots, 0)^{Τ} (3.8) \end{array}$ $\begin{array}{l} g^{-} = (g_{1}^{-}, g_{2}^{-}, \dots, g_{β}^{-})^{Τ} = (- 1, - 1, \dots, - 1)^{Τ} (3.7) \\ b^{-} = (b_{1}^{-}, b_{2}^{-}, \dots, b_{β}^{-})^{Τ} = (0, 0, \dots, 0)^{Τ} (3.8) \end{array}$

其中:w_i′是X^-上的权重, $\bar{r}$ $\bar{r}$ _ij是X^-上的目标优属度。

定理3.1 (上-双枝模糊决策判定定理) X上的双枝模糊决策是上-双枝模糊决策的充分必要条件是X⁺⊂X上的上-双枝模糊决策的优-劣比与X^-⊂X上的下-双枝模糊决策的优-劣比满足:

$(d_{j g}^{+} / d_{j b}^{+}) < (d_{j g}^{-} / d_{j b}^{-}) (3.9)$ $(d_{j g}^{+} / d_{j b}^{+}) < (d_{j g}^{-} / d_{j b}^{-}) (3.9)$

证明:由目标函数F (u_j) 在X上满足F (u_j) =min的准则下, 得到X上的优等模糊决策

$u_{j} = 1 / {1 + [\frac{\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i} - r_{i j}))^{p}}{\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}))^{p}}]^{2 / p}} (3.10)$ $u_{j} = 1 / {1 + [\frac{\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i} - r_{i j}))^{p}}{\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}))^{p}}]^{2 / p}} (3.10)$

利用式 (3.10) 和定义3.1, 3.2就可得到充分必要条件的证明。

定理3.2 (下-双枝模糊决策判定定理) X上的双枝模糊决策是下-双枝模糊决策的充分必要条件是X⁺⊂X上的上-双枝模糊决策的优-劣比与X^-⊂X上的下-双枝模糊决策的优-劣比满足

$(d_{j g}^{+} / d_{j b}^{+}) > (d_{j g}^{-} / d_{j b}^{-}) (3.11)$ $(d_{j g}^{+} / d_{j b}^{+}) > (d_{j g}^{-} / d_{j b}^{-}) (3.11)$

定理3.2由定理3.1直接得到。

定理3.3 (双枝模糊决策的单枝退化定理) 若X^-上的元素在决策中满足

$\forall x_{j} \in X^{-}, u^{-} (x_{j}) = 0 (3.12)$ $\forall x_{j} \in X^{-}, u^{-} (x_{j}) = 0 (3.12)$

则X上的双枝模糊决策退化成X⁺上的上-双枝模糊决策。

定理3.4 (双枝模糊决策-单枝模糊决策定理) X⁺上的上-双枝模糊决策是Zadeh L.A.模糊集理论生成的单枝模糊决策。

定理3.5 (单枝模糊决策的判定定理) X上的双枝模糊决策是Zadeh L.A.模糊集理论生成的单枝模糊决策的充分必要条件是下域X^-, 中性域X^*分别满足

$X^{-} = > ‚ X^{*} = {x_{0}} (3.13)$ $X^{-} = > ‚ X^{*} = {x_{0}} (3.13)$

定理3.3～3.5是直接的数学事实。

利用上面的结果得到:

定理3.6 (双枝模糊决策无效的第一识别定理) 若X⁺⊂X上的上-双枝模糊决策的优-劣比与X^-⊂X上的下-双枝模糊决策的优-劣比满足:

$(d_{j g}^{+} / d_{j b}^{+}) = (d_{j g}^{-} / d_{j b}^{-}) (3.14)$ $(d_{j g}^{+} / d_{j b}^{+}) = (d_{j g}^{-} / d_{j b}^{-}) (3.14)$

则X上的双枝模糊决策是无效的。

事实上, 若 (d_jg⁺/d_jb⁺) = (d_jg^-/d_jb^-) , 就有u_j⁺⊕u_j^-=0, 这说明X⁺上的上-双枝模糊决策结论与X^-上的下- 双枝模糊决策结论相互抵消, X上无决策结论给出, 例如:在经济系统中, 一个经济决策的双枝模糊决策结论是资本投入和所得回报等值, 这个决策结论是无理论与工程意义的。

定理3.7 (双枝模糊决策无效的第二识别定理) 设X是双枝模糊决策的因素域, X⁺X^- , X^* 分别是上域, 下域和中性域, 若

$X^{*} = X^{+} = X^{-} (3.15)$ $X^{*} = X^{+} = X^{-} (3.15)$

则X上的双枝模糊决策是无效的。

定理3.8 (双枝模糊决策存在定理) X上的双枝模糊决策存在的充分必要条件是

$| X^{-} | \neq | X^{+} | (3.16)$ $| X^{-} | \neq | X^{+} | (3.16)$

《4 双枝模糊决策的去余定理与挖洞原理》

4 双枝模糊决策的去余定理与挖洞原理

定理4.1 (上-双枝模糊决策的去余定理) 如果X上的双枝模糊决策是由具有X^*, X上的下-非对称双枝模糊集生成, 而且对于所有的x_j∈X^*, j=1, 2, …, r满足

$\underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{j}) \oplus \underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{j}) = 0 (4.1)$ $\underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{j}) \oplus \underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{j}) = 0 (4.1)$

则X^*上的因素x₁, x₂, …, x_r在决策中是多余的。

定理4.2 (下-双枝模糊决策的去余定理) 如果X上的双枝模糊决策是由具有X^*, X上的上-非对称双枝模糊集生成, 而且对于所有的x_i∈X^*, i=1, 2, …, r满足

$\underset{i = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{i = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{i}) = 0 (4.2)$ $\underset{i = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{i}) \oplus \underset{i = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{i}) = 0 (4.2)$

则X^*上的因素x₁, x₂, …, x_r在决策中是多余的。

由定理4.1, 4.2直接得到双枝模糊决策的因素域上的挖洞原理:

在一个双枝模糊决策中, 决策因素域X上总存在这样一些因素, 它们构成中性域X^*={x₁, x₂, …, x_r}, 当这些因素在决策中满足

$\underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{j}) \oplus \underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{j}) = 0 (4.3)$ $\underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{+} (x_{j}) \oplus \underset{j = 1}{\sum^{r}} u^{-} (x_{j}) = 0 (4.3)$

则X^*可以从X中挖去。

由挖洞原理直接得到

定理4.3 (决策结论不变性定理) 在双枝模糊决策中, 如果X上的元素x_j, j=1, 2, …, r构成的中性域X^*满足 (4.3) , 则X上的双枝模糊决策结论与这些元素存在无关。

《5 双枝模糊决策及其优化模型》

5 双枝模糊决策及其优化模型

《5.1X+上的上-双枝模糊决策优化模型》

5.1X+上的上-双枝模糊决策优化模型

设系统由q个决策构成, 其中有n个决策满足约束条件构成决策集

$D = {d_{1}, d_{2}, \dots ‚ d_{n}} (5.1)$ $D = {d_{1}, d_{2}, \dots ‚ d_{n}} (5.1)$

决策优化在D上进行的, 与D以外的决策无关。

设系统有α个目标组成对决策D的评价目标集

$Ρ = {p_{1}, p_{2}, \dots p_{α}}$ $Ρ = {p_{1}, p_{2}, \dots p_{α}}$

m个目标对n个决策的评价得到目标特征值矩阵

$\bar{R}^{+} = [\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1 n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{α 1} & x_{α 2} & \dots & x_{α n} \end{matrix}] = (x_{i j}) (5.2)$ $\bar{R}^{+} = [\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1 n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{α 1} & x_{α 2} & \dots & x_{α n} \end{matrix}] = (x_{i j}) (5.2)$

用目标对于优的相对隶属度公式^[5], 由式 (5.2) 得到目标相对优属度矩阵

$R^{+} = [\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & \dots & r_{1 n} \\ r_{21} & r_{22} & \dots & r_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ r_{α 1} & r_{α 2} & \dots & r_{α n} \end{matrix}] = (r_{i j}) (5.3)$ $R^{+} = [\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & \dots & r_{1 n} \\ r_{21} & r_{22} & \dots & r_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ r_{α 1} & r_{α 2} & \dots & r_{α n} \end{matrix}] = (r_{i j}) (5.3)$

优等决策的相对优属度

$g^{+} = (g_{1}^{+}, g_{2}^{+}, \dots, g_{α}^{+})^{Τ} = (1, 1, \dots, 1)^{Τ} (5.4)$ $g^{+} = (g_{1}^{+}, g_{2}^{+}, \dots, g_{α}^{+})^{Τ} = (1, 1, \dots, 1)^{Τ} (5.4)$

劣等决策的相对优属度

$b^{+} = (b_{1}^{+}, b_{2}^{+}, \dots, b_{α}^{+})^{Τ} = (0, 0, \dots, 0)^{Τ} (5.5)$ $b^{+} = (b_{1}^{+}, b_{2}^{+}, \dots, b_{α}^{+})^{Τ} = (0, 0, \dots, 0)^{Τ} (5.5)$

或者:

$\begin{array}{l} g^{+} = (\underset{1, j = 1}{\overset{n}{\lor}} r_{1 ‚ j}, \underset{2, j = 1}{\overset{n}{\lor}} r_{2 ‚ j}, \dots, \underset{α, j = 1}{\overset{n}{\lor}} r_{α ‚ j})^{Τ} (5.6) \\ b^{+} = (\underset{1, j = 1}{\overset{n}{\land}} r_{1 ‚ j}, \underset{2, j = 1}{\overset{n}{\land}} r_{2 ‚ j}, \dots, \underset{α, j = 1}{\overset{n}{\land}} r_{α, j})^{Τ} (5.7) \end{array}$ $\begin{array}{l} g^{+} = (\underset{1, j = 1}{\overset{n}{\lor}} r_{1 ‚ j}, \underset{2, j = 1}{\overset{n}{\lor}} r_{2 ‚ j}, \dots, \underset{α, j = 1}{\overset{n}{\lor}} r_{α ‚ j})^{Τ} (5.6) \\ b^{+} = (\underset{1, j = 1}{\overset{n}{\land}} r_{1 ‚ j}, \underset{2, j = 1}{\overset{n}{\land}} r_{2 ‚ j}, \dots, \underset{α, j = 1}{\overset{n}{\land}} r_{α, j})^{Τ} (5.7) \end{array}$

u_j, u_j^c分别表示决策j对优的相对隶属度和对劣的相对隶属度, u_j^c =1-u_j。

设系统中α个目标具有不同的权重, 而且

$w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{α})^{Τ}, \underset{i = 1}{\sum^{α}} w_{i} = 1 (5.8)$ $w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{α})^{Τ}, \underset{i = 1}{\sum^{α}} w_{i} = 1 (5.8)$

决策j的向量:

$r_{j} = (r_{1 j}, r_{2 j}, \dots, r_{α j})^{Τ} (5.9)$ $r_{j} = (r_{1 j}, r_{2 j}, \dots, r_{α j})^{Τ} (5.9)$

它与优等决策的差异用权距离d_jg⁺表示:

$d_{j g}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j})^{p})^{1 / p} (5.10)$ $d_{j g}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j})^{p})^{1 / p} (5.10)$

它与劣等决策的差异用权距离d_jb⁺表示:

$d_{j b}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+})^{p})^{1 / p} (5.11)$ $d_{j b}^{+} = (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+})^{p})^{1 / p} (5.11)$

由式 (5.10) , (5.11) 分别得到加权距优距离D_jg⁺, 加权距劣距离D_jb⁺,

$\begin{array}{l} D_{j g}^{+} = u_{j} d_{j g}^{+} = \\ u_{j} (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j})^{p})^{1 / p} (5.12) \\ D_{j b}^{+} = u_{j}^{c} d_{j b}^{+} = \\ (1 - u_{j}) (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+})^{p})^{1 / p} (5.13) \end{array}$ $\begin{array}{l} D_{j g}^{+} = u_{j} d_{j g}^{+} = \\ u_{j} (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j})^{p})^{1 / p} (5.12) \\ D_{j b}^{+} = u_{j}^{c} d_{j b}^{+} = \\ (1 - u_{j}) (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+})^{p})^{1 / p} (5.13) \end{array}$

目标函数:

$\begin{array}{l} \min {F (u_{j}^{+}) = (D_{j g}^{+}^{2} + D_{j b}^{+}^{2}) = \\ u_{j}^{+ 2} (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j}))^{p})^{2 / p} + \\ (1 - u_{j}^{+})^{2} (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+}))^{p})^{2 / p}} (5.14) \end{array}$ $\begin{array}{l} \min {F (u_{j}^{+}) = (D_{j g}^{+}^{2} + D_{j b}^{+}^{2}) = \\ u_{j}^{+ 2} (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (g_{i}^{+} - r_{i j}))^{p})^{2 / p} + \\ (1 - u_{j}^{+})^{2} (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (r_{i j} - b_{i}^{+}))^{p})^{2 / p}} (5.14) \end{array}$

令式 (5.14) 满足:

$d F (u_{j}^{+}) / d u_{j}^{+} = 0$ $d F (u_{j}^{+}) / d u_{j}^{+} = 0$

利用式 (5.4) , (5.5) 得到简化模型:

$\begin{array}{l} u_{j}^{+} = 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (1 - r_{i j}))^{p} / \\ \underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} r_{i j})^{p})^{2 / p}] \\ j = 1, 2, \dots, n 。 (5.15) \end{array}$ $\begin{array}{l} u_{j}^{+} = 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} (1 - r_{i j}))^{p} / \\ \underset{i = 1}{\sum^{α}} (w_{i} r_{i j})^{p})^{2 / p}] \\ j = 1, 2, \dots, n 。 (5.15) \end{array}$

《5.2X-上的下-双枝模糊决策优化模型》

5.2X-上的下-双枝模糊决策优化模型

由5.1节容易得到

$\begin{array}{l} u_{j}^{-} = 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} (- 1 - \bar{r}_{i j}))^{p} / \\ \underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} \bar{r}_{i j})^{p})^{2 / p}] (5.16) \end{array}$ $\begin{array}{l} u_{j}^{-} = 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} (- 1 - \bar{r}_{i j}))^{p} / \\ \underset{i = 1}{\sum^{β}} (w_{i^{'}} \bar{r}_{i j})^{p})^{2 / p}] (5.16) \end{array}$

其中, w_i′是β个目标的权重, $w^{'} = {w_{1^{'}} ‚ w_{2^{'}} ‚ \dots, w_{β^{'}}} ‚ \underset{i = 1}{\sum^{β}} w_{i^{'}} = 1$ $w^{'} = {w_{1^{'}} ‚ w_{2^{'}} ‚ \dots, w_{β^{'}}} ‚ \underset{i = 1}{\sum^{β}} w_{i^{'}} = 1$ ; $\bar{r}_{i j} \in R^{-}, R^{-}$ $\bar{r}_{i j} \in R^{-}, R^{-}$ 是目标相对优属度矩阵。

《5.3X上的双枝模糊决策优化模型》

5.3X上的双枝模糊决策优化模型

X上的双枝模糊决策是X⁺上的上-双枝模糊决策u⁺_j与X^-上的下-双枝模糊决策u^-_j的叠加合成

$u_{j} = u_{j}^{+} \oplus u_{j}^{-} (5.17)$ $u_{j} = u_{j}^{+} \oplus u_{j}^{-} (5.17)$

《5.4X上满足挖洞原理的双枝模糊决策优化模型》

5.4X上满足挖洞原理的双枝模糊决策优化模型

$\begin{array}{l} u_{j} = u_{j}^{+} \oplus u_{j}^{-} = \\ 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{α - r}} (w_{i} (1 - r_{i j}))^{p} / \underset{i = 1}{\sum^{α - r}} (w_{i} r_{i j})^{p})^{2 / p}] \oplus \\ 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{β - r}} (w_{i^{'}} (- 1 - \bar{r}_{i j}))^{p} / \underset{i = 1}{\sum^{β - r}} (w_{i^{'}} \bar{r}_{i j})^{p})^{2 / p}] (5.18) \end{array}$ $\begin{array}{l} u_{j} = u_{j}^{+} \oplus u_{j}^{-} = \\ 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{α - r}} (w_{i} (1 - r_{i j}))^{p} / \underset{i = 1}{\sum^{α - r}} (w_{i} r_{i j})^{p})^{2 / p}] \oplus \\ 1 / [1 + (\underset{i = 1}{\sum^{β - r}} (w_{i^{'}} (- 1 - \bar{r}_{i j}))^{p} / \underset{i = 1}{\sum^{β - r}} (w_{i^{'}} \bar{r}_{i j})^{p})^{2 / p}] (5.18) \end{array}$

其中:u_j⁺∈[0, 1], u_j^-∈[-1, 0]

《5.5X上双枝模糊决策模型的讨论》

5.5X上双枝模糊决策模型的讨论

由式 (5.18) 得到:

1) 若u_j⁺⊕u_j^-<0, X上的双枝模糊决策是下-双枝模糊决策, 决策结论决定于因素集X^-。

2) 若u_j⁺⊕u_j^->0, X上的双枝模糊决策是上-双枝模糊决策, 决策结论决定于因素集X⁺。

3) 若u⁺_j⊕u_j^-=0, 双枝模糊决策无效, 下-双枝模糊决策与上-双枝模糊决策相互抵消, 决策没有工程意义。

4) 若X^-=>, 且X^*={x₀},

$u_{j} = u_{j}^{+} (5.19)$ $u_{j} = u_{j}^{+} (5.19)$

其中:u_j∈[0, 1] 。这是建立在Zadeh L.A.模糊集理论下的单枝模糊决策模型^[5]。

5) 若X⁺=>, 且X^*={x₀},

$u_{j} = u_{j}^{-} (5.20)$ $u_{j} = u_{j}^{-} (5.20)$

显然, 给出的决策结论与式 (5.19) 的决策结论性质相反。

《5.6因素权重的集值迭代选择》

5.6因素权重的集值迭代选择

设X⁺={x₁, x₂, …, x_α}是上-双枝模糊决策因素集, Y={y₁, y₂, …, y_p} 是关于X⁺上的因素评价集, 选初值q, 1≤q<<t;取y_j∈Y, 1≤j≤p完成下列迭代过程:

第1步, 在X⁺中选取最重要的q个因素, 得到X⁺的子集

$X_{1}^{(j)} = {x_{i, 1}^{(j)}, x_{i, 2}^{(j)}, \dots, x_{i, q}^{(j)}} \subset X^{+} (5.21)$ $X_{1}^{(j)} = {x_{i, 1}^{(j)}, x_{i, 2}^{(j)}, \dots, x_{i, q}^{(j)}} \subset X^{+} (5.21)$

第2步, 在X⁺中选取最重要的2q个因素, 得到X⁺的子集

$\begin{array}{l} X_{2}^{(j)} = {x_{i, 1}^{(j)}, \dots, x_{i, q}^{(j)}, x_{i, q + 1}^{(j)}, \\ \dots, x_{i, 2 q}^{(j)}} \subset X^{+} (5.22) \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{2}^{(j)} = {x_{i, 1}^{(j)}, \dots, x_{i, q}^{(j)}, x_{i, q + 1}^{(j)}, \\ \dots, x_{i, 2 q}^{(j)}} \subset X^{+} (5.22) \end{array}$

……

第S步, 在X⁺中选取最重要的Sq个因素, 得到X⁺的子集

$\begin{array}{l} X_{s}^{(j)} = {x_{i, 1}^{(j)}, x_{i, 2}^{(j)}, \dots, x_{i, s q}^{(j)}} \subset X^{+} (5.23) \\ X_{s - 1}^{(j)} \subset X_{s}^{(j)} (5.24) \end{array}$ $\begin{array}{l} X_{s}^{(j)} = {x_{i, 1}^{(j)}, x_{i, 2}^{(j)}, \dots, x_{i, s q}^{(j)}} \subset X^{+} (5.23) \\ X_{s - 1}^{(j)} \subset X_{s}^{(j)} (5.24) \end{array}$

若自然数k满足t=kq+r, 1≤r≤q, 迭代过程终止于第k+1步

$X_{k + 1}^{(j)} = X^{+} (5.25)$ $X_{k + 1}^{(j)} = X^{+} (5.25)$

计算

$m (u_{i}) = \frac{1}{k + 1} \underset{s = 1}{\sum^{k + 1}} (\frac{1}{p} \underset{j = 1}{\sum^{p}} x^{F s (j)} (u_{i})) (5.26)$ $m (u_{i}) = \frac{1}{k + 1} \underset{s = 1}{\sum^{k + 1}} (\frac{1}{p} \underset{j = 1}{\sum^{p}} x^{F s (j)} (u_{i})) (5.26)$

由归一化得到

$w_{i} = m (u_{i}) / \underset{i = 1}{\sum^{α}} m (u_{i}) (5.27)$ $w_{i} = m (u_{i}) / \underset{i = 1}{\sum^{α}} m (u_{i}) (5.27)$

w_i是x_i∈X⁺的权重, w_i∈ (0, 1) , x^{Fs (j)} (u_i) 是特征函数

《6 双枝模糊决策算法与应用》

6 双枝模糊决策算法与应用

《6.1双枝模糊决策算法》

6.1双枝模糊决策算法

step 1: 决策因素域的极性分解:

X⁺, X^-, X^*。

step 2: 构造目标相对优属度矩阵:R⁺, R^-; $R^{+} = (r_{i j}), R^{-} = (\bar{r}_{i j})$ $R^{+} = (r_{i j}), R^{-} = (\bar{r}_{i j})$ 。

step 3: 计算加权距优距离:D_jg⁺, D_jb⁺; D_jg^-, D_jb^-和权重w, w′。

step 4: 计算X⁺上的上- 双枝模糊决策度u_j⁺, X^-上的下-双枝模糊决策度u_j^-;u_j⁺∈[0, 1], u_j^-∈[-1, 0]。

step 5:完成满足挖洞原理的u_j⁺与u_j^-的叠加合成:

$u_{j} = u_{j}^{+} \oplus u_{j}^{-}$ $u_{j} = u_{j}^{+} \oplus u_{j}^{-}$

step 6: u_j的极性识别与输出。

step 7: END。

《6.2双枝模糊决策算法框图》

6.2双枝模糊决策算法框图

双枝模糊决策算法框图见图1, 图中给出决策的算法过程与决策输出的识别与判定。

《6.3应用》

6.3应用

上述研究成果在市场位置选择中的应用见文献[12]。

《7 讨论》

7 讨论

在工程的模糊决策中, 如果决策者丢掉X^-或者忽视X^-存在于X中 (此时u_j^-=0) , 只考虑X⁺存在而得到的决策值u_j=u_j⁺⊕u_j^->η, η∈[0, 1];反之, 决策者丢掉X⁺或者忽视X⁺存在于X中 (此时u_j⁺=0 ) , 只考虑X^-存在而得到的决策值u_j=u_j⁺⊕u_j^-<φ, φ∈[-1, 0];决策结论η或φ是不可信的。如果忽视X^-的存在, 决策者得到的决策结论是u_j = u_j⁺=0.8 (u_j=u_j⁺⊕u_j^-变成u_j=u_j⁺) 而X^-上的决策结论是u^-_j=-0.5, 则真实的决策结论应该是u_j=u_j⁺⊕u_j^-=0.8-0.5=0.3, 这意味着这个决策只有3成希望, 决策者应该放弃这个决策, 否则决策结论只能给决策者带来沮丧。在工程决策中, 人们对于每一项决策的制定都要进行“正”, “反”两个方面的考察, 这个思维过程是提出双枝模糊决策的研究思想和研究目的。

《图1》

图1 具有X^*的X上的双枝模糊决策算法框图

Fig.1 Algorithm graph of both-branch fuzzy decision on X with neutral-universe X^*

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