面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法研究

卢亚菡 ,  杨立兴 ,  杨凯 ,  高自友 ,  周厚盛 ,  孟凡婷 ,  戚建国

工程（英文） ›› 2022, Vol. 12 ›› Issue (5) : 202 -220.

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工程（英文） ›› 2022, Vol. 12 ›› Issue (5) : 202 -220. DOI: 10.1016/j.eng.2021.09.016

面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法研究

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A Distributionally Robust Optimization Method for Passenger Flow Control Strategy and Train Scheduling on an Urban Rail Transit Line

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摘要

新冠病毒肺炎疫情在过饱和城市轨道交通系统中传播风险较高，为降低交叉感染风险，同时缓解车站日益严重的拥挤状况，本文提出了一种面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法。具体地，考虑客流需求和随机客流场景发生概率的双重不确定性，以最小化列车运营时间、平均等待人数和运营风险为目标，构建了基于'均值-CVaR'准则的分布鲁棒优化模型，并推导了其与传统两阶段随机规划模型之间的关系。基于∞-范数非精确集，将该模型等价转化为计算可处理形式，并设计了一种结合局部搜索规则和CPLEX的求解算法。最后，以实际运营数据为背景，通过一系列数值算例验证了所提方法的有效性。

Abstract

Regular coronavirus disease 2019 (COVID-19) epidemic prevention and control have raised new requirements that necessitate operation-strategy innovation in urban rail transit. To alleviate increasingly serious congestion and further reduce the risk of cross-infection, a novel two-stage distributionally robust optimization (DRO) model is explicitly constructed, in which the probability distribution of stochastic scenarios is only partially known in advance. In the proposed model, the mean-conditional value-atrisk (mean-CVaR) criterion is employed to obtain a tradeoff between the expected number of waiting passengers and the risk of congestion on an urban rail transit line. The relationship between the proposed distributionally robust model and the traditional two-stage stochastic programming (SP) model is also depicted. Furthermore, to overcome the obstacle of model solvability resulting from imprecise probability distributions, a discrepancy-based ambiguity set is used to transform the robust counterpart into its computationally tractable form. A hybrid algorithm that combines a local search algorithm with a mixedinteger linear programming (MILP) solver is developed to improve the computational efficiency of largescale instances. Finally, a series of numerical examples with real-world operation data are executed to validate the proposed approaches.

关键词

客流控制 / 列车时刻表 / 分布鲁棒优化 / 随机动态客流 / 非精确集

Key words

Passenger flow control / Train scheduling / Distributionally robust optimization / Stochastic and dynamic passenger demand / Ambiguity set

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卢亚菡,杨立兴,杨凯,高自友,周厚盛,孟凡婷,戚建国. 面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法研究[J]. 工程（英文）, 2022, 12(5): 202-220 DOI:10.1016/j.eng.2021.09.016

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1、 引言

城市轨道交通作为公共交通的“主动脉”，高峰时段的客流需求远远超过运输能力（尤其在换乘站），导致列车持续过载、站台拥挤情况日益严重[1]。同时，由于新冠病毒肺炎疫情（COVID-19）的暴发，为降低交叉感染概率，相关部门对人流密度和车厢满载率提出了更高的要求，这给轨道交通客流组织带来了极大的挑战。随着社会秩序逐步恢复，迫切需要采取切实有效的措施（如限制车厢满载率、确保乘客之间的安全距离等），以保障居民安全出行。

由于客流时空分布与列车时刻表密切相关，相关运营部门通常从客流组织和列车运营组织方面分别对其进行调控：①从客流组织方面，多采取高峰期限流措施。通过控制单位时间内进站客流量以减少站台聚集人数，在降低交叉感染风险的同时提高运营安全；②从列车运营组织方面，主要通过缩短高峰期发车间隔以提高运力[2‒4]，进而最大程度地减少乘客等待时间[5]。此外，对于部分换乘站，在实际运营中换入人数远超站外到达人数。以北京轨道交通西直门站为例（图1），该现象在高峰时段尤为明显。尽管如何应对客流拥挤已成为运营管理部门和诸多学者关注的焦点问题[5‒9]，但既有研究较多关注站外到达客流，忽略了换入客流对本线的影响。鉴于此，有必要从城市轨道交通系统全局角度出发，从列车运营和乘客组织的角度，分析车流和客流之间的耦合关系，并综合考虑站外到达客流和换入客流，构建列车时刻表和客流控制一体化优化模型，实现列车运输能力的精准匹配，有效提升运营服务水平。

图1 北京西直门站客流分布。

在实际运营中，轨道交通客流需求具有较强的不确定性。既有研究[10‒11]通常基于随机场景集刻画不确定客流需求，并通过处理历史刷卡数据以提取场景相关的动态客流数据。然而，随机客流场景的发生概率分布信息在实际运营中难以获取[12‒13]。鉴于此，针对概率分布信息部分已知的情形，本文提出了一种面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法。具体地，图2给出了鲁棒客流控制策略的生成过程，其中蓝色和红色曲线分别表示两个场景中的动态客流需求，紫色曲线代表鲁棒客流控制策略。

图2 鲁棒客流控制策略示意图。

1.1 文献综述

供需不匹配是城市轨道交通客流拥挤的主要原因，现有研究主要从列车运营组织和客流组织方面分别进行调控。具体地，在列车运营组织方面，主要通过优化列车时刻表以匹配时空分布不均衡的客流需求，从而避免运输能力不足或浪费；在客流组织方面，主要采用客流控制、差别定价等措施对动态客流进行管控。此外，既有研究大多借助随机优化、鲁棒优化和分布鲁棒优化方法解决不确定信息下的优化问题。

1.1.1. 客流控制优化问题

在我国轨道交通运营中，如何应对客流拥挤已成为运营管理部门和学者关注的焦点问题。在运输能力有限的条件下，实施客流控制是保证乘客出行安全、提高运力-运量匹配的最佳选择。相关研究可归纳为以下两类。

（1）基于优化方法的客流控制。基于数学优化方法，诸多学者从车站、线路和网络三个层面分别对城市轨道交通客流控制问题进行了一系列研究，优化目标通常为极小化乘客等待时间。例如，Xu等[6]提出了一类面向城市轨道交通车站的客流控制优化模型，并设计了遗传算法。进一步，Xu等[8]针对城市轨道交通网络客流控制问题，以站外允许进站人数和换乘人数为决策变量，构建了混合整数线性规划（MILP）模型。Shi等[9]建立了以极小化乘客等待时间为目标的城市轨道交通线路客流协同控制优化模型，并提出了一种精细化客流控制策略，保证在给定的运力范围内，最大程度地缓解站台乘客拥挤。Wang等[14]以极小化乘客平均延误时间为目标，构建了一类整数规划模型。Yuan等[15]针对城市轨道交通网络客流控制问题，以极小化乘客总等待时间为目标建立了混合整数线性规划模型，并通过CPLEX进行求解。Meng等[16]借助时空网络建模方法，提出了城市轨道交通线路客流控制优化模型，并设计了基于拉格朗日松弛的启发式搜索算法。

（2）基于仿真方法的客流控制。由于计算机仿真建模能够可视化客流拥挤的发生及演变过程，一些学者借助该方法对轨道交通车站内客流组织问题进行了研究。例如，Hoogendoorn和Daamen [17]建立了微观行人动力学模型，并基于此对大客流场景下里斯本地铁站的安全性进行了评估。为模拟高峰时段北京宣武门站的客流情况，Zhang等[18]利用Vissim软件进行仿真建模。Seriani和Fernndez [19]研究了行人交通管理对乘客上下车时间的影响，并基于实验结果制定了地铁车辆站台和车门处的行人交通管理标准。Fei和Liu [20]利用Anylogic软件构建了客流组织仿真模型，并根据仿真结果准确识别了拥挤站台。此外，Jiang等[21]提出了一类基于Q-learning方法的客流控制与列车跳站协同优化模型。

1.1.2. 列车时刻表优化问题

列车时刻表是城市轨道交通运输组织的基础，其编制质量将直接影响轨道交通运营效率和服务水平。近年来，列车时刻表优化问题受到了广泛关注，例如，为最大程度地减少乘客等待时间，Niu和Zhou [4]为列车时刻表优化问题建立了非线性规划模型，并设计了遗传算法。进一步，Niu和Zhou考虑客流过饱和情况，为该问题提出了一类混合整数非线性规划模型[22]。Li等[23]针对列车时刻表优化问题，基于最小-最大公平性和α公平性准则建立了混合整数规划模型，并设计了基于模拟退火的自适应大邻域搜索算法。Yin等[24]针对列车能力无限制的列车时刻表优化问题，提出了一类混合整数规划模型。Yang等[25]建立了城市轨道交通网络末班车时刻表优化模型，并采用基于拉格朗日松弛的启发式算法进行求解。Liu等[26]考虑城市轨道交通列车运营过程中面临的随机干扰，以最小化能耗和最大化鲁棒性为目标构建了一类列车时刻表优化模型。Huang等[27]为城市轨道交通列车运行调整问题，构建了两类考虑不同恢复策略的混合整数非线性规划模型，并结合大M方法对模型进行线性化重构。Tian和Niu [28]考虑越行策略，提出了一类客流需求驱动的列车时刻表优化模型，并设计了列生成算法。Mo等[29]针对非对称客流分布下的列车时刻表优化问题，以最小化乘客等待时间和旅行时间为目标，构建了混合整数非线性规划模型，该模型能够同时求解最优列车速度曲线、列车时刻表，以及相应的车底周转计划。Qi等[30]以停站方案和列车到发时刻为决策变量，以最小化总运行时间为目标，为列车时刻表优化问题构建了整数线性规划模型。

此外，国内外一些学者针对城市轨道交通客流控制和列车时刻表协同优化问题开展了一系列研究。例如，针对多站协同的客流控制与列车时刻表一体化优化问题，以允许进站人数和列车停站时间为决策变量，建立了一类二次规划模型。Shi等[5]针对客流控制与列车时刻表一体化优化问题，提出了一类整数线性规划模型，并设计了基于邻域搜索和CPLEX的启发式算法。Gong等[32]针对多站协同的客流控制与列车时刻表协同优化问题，以列车发车间隔和允许进站人数为决策变量，提出了一类混合整数线性规划模型，并设计了基于禁忌搜索和CPLEX的启发式算法进行求解。

1.1.3. 不确定性的处理方法

城市轨道交通系统作为一个开放的复杂巨系统，在实际运营中通常面临大量动态和不确定因素[1,11,33‒34]。近年来，随着优化理论的发展，国内外学者对不确定条件下的问题展开了一系列研究，提出了随机规划、鲁棒优化和分布鲁棒优化三类方法。其中，随机规划通常假定不确定参数的概率分布预先完全已知。例如，考虑城市轨道交通系统中的不确定因素，Gong等[35]以列车服务数量、发车间隔和速度曲线选择为决策，提出了一类整数非线性规划模型。针对带有硬时间窗的车辆路径规划问题，Errico等[36]构建了一个两阶段随机规划模型，并设计了精确算法。然而，不确定参数的概率分布在实际中难以精确获得，通常只能通过历史数据进行估计。与随机规划不同，鲁棒优化方法不依赖于不确定参数的具体概率分布，而是针对最坏情况进行优化，以期得到一个所有场景下均适用的方案。例如，为应对不确定客流需求，Yang等[10]提出了基于最大-最小可靠性准则的混合整数线性规划模型，其优化目标为最大化末班车时段换乘成功人数和最小化总运行时间。Qi等[37]研究了客流需求不确定条件下列车时刻表和停站方案协同优化问题，为其建立了整数线性规划模型并通过CPLEX 软件进行求解。基于轻鲁棒技术，Cacchiani等[38]提出了三类列车时刻表和停站方案协同优化模型。

分布鲁棒优化结合了统计学习技术和数学优化方法，其相关理论在运筹优化领域备受关注[39‒40]。例如，Delage和Ye [39]首先提出了相关研究，分别在一阶和二阶矩不等式下构建了分布鲁棒优化模型。Esfahani和Kuhn [40]证明了基于Wasserstein距离非精确集的分布鲁棒优化模型的对偶形式可以被分解为凸优化问题。最近，分布鲁棒优化方法引起了工程领域的广泛关注[41‒47]。针对不确定需求下的调度问题，Shang和You [41]构建了一类两阶段分布鲁棒优化模型。针对有限和无限期的最优控制问题，Van等[42]提出了能够产生鲁棒控制策略的分布鲁棒优化框架。考虑城市和农村公共交通系统一体化优化问题，Shang等[43]以最小化建设成本为目标，建立了一种带有模糊机会约束的分布鲁棒优化模型。对于需求不确定情况下的救灾管理问题，Wang等[44]提出了一类分布鲁棒优化模型以同时优化综合设施位置、库存预置和交付决策。针对城市轨道交通网络末班车协调规划问题，Yang等[45]构建了以最大化换乘成功人数为目标的分布鲁棒优化模型。考虑需求和成本不确定条件下枢纽选址问题，Wang等[46]提出了一类分布鲁棒优化模型，并将该模型等价转化为混合整数线性规划模型以加快求解速度。针对带时间窗的车辆路径问题，Zhang等[47]以最小化客户延误风险为目标，构建了基于Wasserstein距离非精确集的分布鲁棒优化模型。

综上所述，目前关于城市轨道交通客流控制与列车时刻表协同优化问题的研究主要侧重确定的需求情形，针对不确定条件下客流控制与列车时刻表协同优化问题的研究尚有不足。上述所提优化方法中，传统的鲁棒优化方法得到的策略过于保守，在实际运营中往往会导致运力的浪费；随机规划方法需要在优化前给定精确的客流场景发生概率分布，但该分布在实际中很难精确获得；而分布鲁棒优化方法能在考虑客流需求不确定性的同时，利用部分已知信息刻画客流场景发生概率的不确定性，所得优化策略与实际情况更贴近。鉴于此，本文提出一种面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法，并设计有效的求解算法，为城市轨道交通安全、高效运营提供坚实的理论支撑。

1.2 创新点

本文的创新点可归纳如下：

（1）通过构造一系列随机场景来刻画实际运营中的动态不确定乘客需求，并综合考虑场景发生概率分布的不确定性，提出了一种面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化模型。

（2）为便于求解，在∞-范数非精确集下，利用对偶理论将所建模型转化为计算可处理的等价形式，并基于模型特性设计了一种局部搜索算法与CPLEX相结合的高效求解算法，可在较短的计算时间内求得高质量的解，以极小化运营时间、等待人数的期望值和决策的风险值。

（3）为验证所提方法的有效性和实用性，以北京轨道交通实际运营数据为背景设计了一系列数值实验。结果表明，与鲁棒模型相比，本文构建的分布鲁棒模型能够有效避免产生过于保守的优化结果，可以显著提升服务质量，对实际运营具有一定的指导意义；相较于随机规划方法，本文提出的面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法能够更好地规避不确定性带来的风险，使服务鲁棒性更强。

本文的结构如下：第2章给出了详细的问题描述；第3章为该问题构建了随机规划模型和分布鲁棒优化模型；第4章设计了基于局部搜索和CPLEX相结合的求解算法；第5章基于北京轨道交通实际运营数据进行实例分析，验证了本文所提方法的有效性。最后，第6章对本文的研究工作进行总结。

2、 问题描述

针对高峰期轨道交通车站过度拥挤问题，以高峰期乘客过饱和的轨道交通线路为研究对象，考虑邻接线路换入客流的影响，通过协同优化轨道交通线路客流控制策略与列车时刻表，最大程度地减少车站等待人数。以图3为例进行说明，1号线为本文研究对象，该线路具有非换乘站和换乘站两种类型的车站，其中，非换乘站2、3和5仅存在站外到达客流，换乘站1和4的客流则由站外到达和邻线换入乘客两部分组成。站外到达乘客需在站厅排队，等待进站指令；换入乘客可直接走行至1号线的站台等待上车。考虑邻线换入乘客，调整研究线路的列车时刻表，使得列车到站时间与邻线列车的到站时间差接近换乘走行时间，则可使换入乘客尽量直接上车，减少站台聚集人数以降低风险。为进一步确保站台安全，需辅以客流控制策略，如图4所示。客流控制需遵循“先控制进站客流，后控制换乘客流”的原则，通过控制站外到达乘客的进站人数，在保证换入客流优先乘车的同时避免大量乘客涌入站台，从而缓解运输组织压力。

图3 具有换乘车站的城市轨道交通线路示意图。

图4 鲁棒客流控制示意图。（a）非换乘站客流控制过程；（b）换乘站客流控制过程。

此外，城市轨道交通系统作为一个开放系统，时常会受到外界不确定因素的干扰，其客流需求具有较强的随机性。为精准刻画动态随机客流需求，将研究时段离散成一系列时间粒度为tunit的时间段（T={t1,2,...,T}），并构建随机情景集（W={ω1,ω2,...,ωW}），刻画不确定客流需求。基于此，将场景ω中在t时段到达车站k的站外到达乘客和换入乘客数量分别标记为Pkcome,out(t,ω)和Pkcome,tr(t,ω)，其数值可以从自动售检票系统（AFC）的历史客流数据中提取[48]。

鉴于此，本文在综合考虑动态随机客流和有限运力的基础上，以列车发车间隔、列车到发时刻和控制进站人数为决策变量，以极小化运营时间、等待乘客的期望值和决策的条件风险值（CVaR）之和为目标，构建城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化分布鲁棒优化模型，求解得到能够有效缓解站台乘客拥挤的协同优化方案。

3、 模型构建

在建立模型前，为简化问题，作以下合理假设：

假设1：客流需求及OD结构已知。在高峰时段出行的乘客大都以通勤为目的，其家庭地址和工作地点相对固定，因此，通过统计分析AFC历史数据，即可获得各车站的客流需求和OD比例。类似的假设在既有研究中也被广泛采用[1,8,11]。

假设2：区间运行时间和车站停站时间根据实际运营数据预先给定。

假设3：根据鲁棒客流控制策略放入站台的乘客，均可乘坐后续到达的第一列列车离开车站[4,32]。

基于上述假设，在概率分布信息完全已知的前提下，构建“均值-CVaR准则”下的两阶段随机规划模型；进一步，考虑到实际中场景发生概率分布信息难以获取，引入∞-范数非精确集，提出一种面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化模型。

3.1 两阶段随机规划模型

3.1.1. 符号和决策变量

为便于索引，表1列举了建模过程中涉及的参数、符号、决策变量及其定义。

表1 建模过程中的符号

符号定义
W场景集合，W={ω1,ω2,…,ωW}
S车站集合，S=Sor⋃Str={1,2,…,S}
Sor非换乘站集合
Str换乘站集合
I列车集合，I={1,2,…,I}
T离散时间戳集合，T={1,2,…,T}
k,v车站标号，k,v∈S
ω场景标号，ω∈W
pω场景发生概率
i,j列车标号
t时段标号
tunit单位时间粒度
ti,kr列车i在第k个区段的运行时间
ti,kdw列车i在k车站的停站时间
hi,k列车i与列车i+1在k车站的发车间隔
h̲i,k最小发车间隔
h¯i,k最大发车间隔
T0总运行时间
ti,ka列车到站时刻，表示列车i到达k车站的时刻（决策变量）
ti,kd列车到站时刻，表示列车i离开k车站的时刻（决策变量）
di,k(t)列车运行状态变量，表示列车i在t时刻是否到达k车站（决策变量）
C列车容量
Pkcome,out(t,ω)时段t内，场景ω中k车站的站外到达客流量
Pkcome,tr(t,ω)时段t内，场景ω中k车站的换入客流量
Pi,kon(ω)场景ω中列车i离开k车站的载客量
Pi,kal(ω)场景ω中列车i在k车站的下客量
Pi,kwaita,out(ω)场景ω中在k车站等待列车i的站外到达客流量
Pi,kwait,tr(ω)场景ω中在k车站等待列车i的换乘客流量
Pi,kina,out(ω)客流控制变量，表示在场景ω中，乘坐列车i离开k车站的实际人数（决策变量）
Pi,kinc,out(ω)鲁棒客流控制变量，表示在场景ω中，在鲁棒客流控制策略下能够乘坐列车i离开k车站的人数（决策变量）
Pi,kinc(ω)鲁棒客流控制变量，表示场景ω中允许在k车站乘坐列车i的客流量
Pi,kina(ω)客流控制变量，表示场景ω中在k车站实际乘坐列车i的客流量
δv,k(ω)时段t内，场景ω中到达v车站并前往k车站的客流比例
βv,k(ω)时段t内，场景ω中换入v车站并前往k车站的客流比例

3.1.2. 列车运行状态0~1变量

此外，为刻画列车运行状态，特引入二元变量di,k(t)以指示时段t内列车i是否经过k车站。若di,k(t)=0，则时段t内列车i已经离开k车站；否则，列车i尚未到达或经过k车站。此外，di+1,k(t)-di,k(t)=1表示列车i与列车i+1在k车站的发车间隔。如图5所示，列车i在第二个时段已经过k车站。

图5 列车运行状态变量。

3.1.3. 两阶段随机规划模型

假设随机客流场景发生概率分布信息完全已知，本节构建了一个基于“均值-CVaR”准则的两阶段随机规划模型，其中第一阶段决策列车时刻表，第二阶段优化鲁棒控制策略。

（1）第一阶段模型

min  ζ1 T0+ζ2 [(1-λ) E[Q(d,ξ(ω))]+λ CVaR[Q(d,ξ(ω))]]（1）

s.t.    ti,ka=ti,k-1d+ti,k-1r, ∀i∈I,k∈S\{1}（2）

ti,kd=ti,ka+ti,kdw, ∀i∈I,k∈S（3）

 hi,k=ti+1,kd-ti,kd, ∀i∈I\{I},k∈S（4）

 h̲i,k≤hi,k≤h¯i,k, ∀i∈I\{I},k∈S（5）

hi,k=∑t∈T(di+1,k(t)-di,k(t)) tunit, ∀i∈I\{I},k∈S（6）

di,k(t)≥di,k(t+1), ∀i∈I,k∈S,  t,t+1∈T（7）

T0=∑i∈I\I∑k∈Shi,k+∑i∈I∑k∈Sti,kdw+∑i∈I∑k∈S\Sti,kr（8）

di,k(t)=0,1, ∀i∈I,k∈S, t∈T（9）

约束（1）是目标函数，表示极小化总运行时间、等待人数的期望值和决策风险值；约束（2）和约束（3）描述了列车到发时刻；约束（4）~（6）用于将发车间隔限制在合理范围内，以保证列车运行安全；约束（7）定义di,k(t)为非增变量；约束（8）用于计算总运行时间；约束（9）为二元变量约束。

（2）第二阶段模型

Q(d,ξ(ω))=min∑i∈I∑k∈SPi,kwaita,out(ω)（10）

s.t.   （11）

Pi,kwaita,out(ω)=∑t∈Tdi,k(t) Pkcome,out(t,ω),if i=1∑t∈Tdi,k(t) Pkcome,out(t,ω)-∑j=1i-1Pj,kina,out(ω),if i∈I\{1}, ∀k∈S,ω∈W（12）

Pi,kwait,tr(ω)=∑t∈Tdi,k(t) Pkcome,tr(t,ω),if i=1∑t∈T(di,k(t)-di-1,k(t)) Pkcome,tr(t,ω),if i∈I\{1}, ∀k∈S,ω∈W（13）

Pi,kwaita,out(ω)≥0, ∀i∈I,k∈S,ω∈W（14）

Pi,kwait,tr(ω)≥0, ∀i∈I,k∈S,ω∈W（15）

Pi,kina,out(ω)≤Pi,kwaita,out(ω), ∀i∈I,k∈S,ω∈W（16）

Pi,kina(ω)=Pi,kina,out(ω)+Pi,kwait,tr(ω), ∀i∈I,k∈S,ω∈W（17）

0≤Pi,kina,out(ω)≤Pi,kinc,out(ω), ∀i∈I,k∈S,ω∈W（18）

Pi,kinc,out(ω)=Pi,kinc,out(ω´), ∀i∈I,k∈S, ω,ω´∈W（19）

Pi,kinc(ω)=Pi,kinc,out(ω)+Pi,kwait,tr(ω), ∀i∈I,k∈S,ω∈W（20）

Pi,kal(ω)=∑v=1k-1(Pi,vinc,out(ω) δv,k(ω)+Pi,vwait,tr(ω) βv,k(ω)), ∀i∈I,k∈S,ω∈W（21）

Pi,kon(ω)=Pi,kinc(ω),if k=10,if k=|S|Pi,k-1on(ω)+Pi,kinc(ω)-Pi,kal(ω),if k∈S\{1,S}, ∀i∈I,ω∈W（22）

Pi,kon(ω)≤C, ∀i∈I,k∈S,ω∈W（23）

约束（10）是第二阶段优化目标，表示极小化各个场景的等待人数；约束（11）保证了所有乘客均可被服务；站厅等待人数和换入客流量分别通过约束（12）和约束（13）进行计算；约束（14）和约束（15）为非负性约束。此外，约束（16）保证允许进站乘车的乘客数量不超过等待人数；约束（17）用于计算列车i到达车站k时的实际上车人数；约束（18）~（20）保证生成的鲁棒客流控制策略适用于所有随机场景；约束（21）用于计算列车i到达k车站时的下车人数；约束（22）为载客量约束；约束（23）为列车容量约束。

由于各场景的发生概率信息完全已知，等待人数的期望值和CVaR可分别表示为如下形式：

Ep[Q(d,ξ(ω))]=pT Q(d,ξ(ω))（24）

CVaRα,p[Q(d,ξ(ω))]=minϕ∈R+ϕ+11-αEp[max(Q(d,ξ(ω))-ϕ,0)]（25）

为统一形式，引入辅助变量t(ω)，对约束（25）做如下等价转换：

minϕ∈R+ϕ+11-αpTt s.t.Q(d,ξ(ω))-eϕ≤t t≥0（26）

综上，面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化优化问题可表述为以下两阶段随机规划模型：

minζ1 T0+ζ2 (1-λ) pT Q(d,ξ(ω))+λ ϕ+11-αpTts.t.Q(d,ξ(ω))-eϕ≤t, ∀ω∈W t≥0 约束(2)~(23)（27）

需要指出的是，在实际运营中难以获得随机场景发生概率分布的精确值。鉴于此，本文针对概率分布部分已知的情形，进一步提出一种面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法，以期得到与实际情况更为贴近的运营管理策略。

3.2 分布鲁棒优化模型

3.2.1. 数学模型

随机场景发生概率信息部分已知的分布鲁棒优化模型如下：

minζ1 T0+ζ2 supp∈P(1-λ) Ep[Q(d,ξ(ω))]+        λ CVaRα,p[Q(d,ξ(ω))]s.t.  约束(2)~(26)（28）

根据约束（25）和约束（26），约束（28）中目标函数可转化为以下形式：

minζ1 T0+ζ2 supp∈Pminϕ∈R+(1-λ) Ep[Q(d,ξ(ω))]+λ ϕ+11-αEp[t]（29）

由于约束（29）为非线性函数，为便于求解，根据强对偶性交换supp∈Pminϕ∈R+{ }的顺序，将其重构为约束（30），即：

supp∈Pminϕ∈R+(1-λ) Ep[Q(d,ξ(ω))]+λ ϕ+11-αEp[t]= minϕ∈R+supp∈P(1-λ) Ep[Q(d,ξ(ω))]+λ ϕ+11-αEp[t]=minϕ∈R+λϕ+(1-λ) maxp∈PEp[Q(d,ξ(ω))]+λ1-αmaxp∈PEp[t]（30）

综上，分布鲁棒优化模型[约束（ 28）]的等价形式可描述为：

minζ1 T0+ζ2 minϕ∈R+λϕ+(1-λ) maxp∈PEp        [Q(d,ξ(ω))]+λ1-αmaxp∈PEp[t]s.t.   约束 (2)~(23)（31）

在上述分布鲁棒优化模型（31）中，maxp∈PEp[Q(d,ξ(ω))]和Ep[t]均依赖于非精确集。其中，等待人数期望值的最大值（即maxp∈PEp[Q(d,ξ(ω))]）有如下等价形式：

maxp∈PEp[Q(d,ξ(ω))]=maxp∈PpT Q(d,ξ(ω))（32）

此外，约束（28）中的CvaR（即maxp∈PCVaRα,p [Q(d,ξ(ω))]）有如下等价形式：

minϕ∈R+ϕ+11-αmaxp∈PpTt s.t.Q(d,ξ(ω))-eϕ≤t t≥0（33）

3.2.2. ∞-范数非精确集

进行分布鲁棒优化的关键在于获得易于计算的确定等价形式，这通常取决于不确定参数所隶属的非精确集。鉴于此，本文设计了一个∞-范数非精确集[49]，其具有易于计算处理、易于工程实现等优势[50]，定义如下：

P={p = p0+ ς|eTς = 0, ς∞≤Ψ}（34）

式中，p0为名义概率分布，可以从实际运营中不同日期的数据中获取；ς表示波动向量；Ψ∈[0,1]为波动上界。

3.2.3. 确定等价形式

基于上述∞-范数非精确集，分布鲁棒优化模型（28）可根据如下定理进行等价转化。

定理1.假设概率分布P属于∞-范数非精确集，分布鲁棒优化模型（28）可重构如下：

minζ1 T0+ζ2 λϕ+(1-λ) p0TQ(d,ξ(ω))+ΨTη+ΨTγ+λ1-αp0Tt+ΨTη´+ΨTγ´s.t.eμ-η+γ=Q(d,ξ(ω)) eμ´-η´+γ´=t Q(d,ξ(ω))-eϕ≤t t≥0 η≥0,γ≥0,η´≥0,γ´≥0 约束 (2)~(23)（35）

式中，μ,η,γ,μ´,η´,γ´∈R×RW×RW×R×RW×RW是辅助变量，Ψ = eΨ。

证明：在∞-范数非精确集下，约束（32）有如下等价形式：

maxp∈PpTQ(d,ξ(ω))=p0TQ(d,ξ(ω))+maxς{ςTQ(d,ξ(ω))|ςTe=0, ς∞≤Ψ}（36）

式中，ς∞=maxω∈Wςω。

根据强对偶性，约束（32）和约束（33）的对偶形式分别为：

minμ,η,γp0TQ(d,ξ(ω))+ΨTη+ΨTγs.t.eμ-η+γ=Q(d,ξ(ω)) η≥0,γ≥0（37）

minμ´,η´,γ´ϕ+11-αp0Tt+ΨTη´+ΨTγ´ s.t.eμ´-η´+γ´=t Q(d,ξ(ω))-eϕ≤t t≥0 η´≥0,γ´≥0（38）

综上，在∞-范数非精确集下，分布鲁棒优化模型的确定等价形式为：

minζ1 T0+ζ2 λϕ+(1-λ) p0TQ(d,ξ(ω))+ΨTη+ΨTγ+λ1-αp0Tt+ΨTη´+ΨTγ´s.t.   eμ-η+γ=Q(d,ξ(ω))          eμ´-η´+γ´=t          Q(d,ξ(ω))-eϕ≤t          t≥0          η≥0,γ≥0,η´≥0,γ´≥0          约束 (2)~(23)（39）

证明完毕。

3.2.4. 模型复杂性分析

模型（35）包含三类决策变量：列车时刻表相关变量、鲁棒客流控制相关变量和辅助变量。该问题的规模取决于车站、列车、离散时段和场景数量，如表2所示。

表2 分布鲁棒模型决策变量及约束条件的数量

Variables or constraintsTotal number
Decision variables ti,ka,ti,kd2 (I S)
Decision variables di,k(t)I S T
Decision variables Pi,kina,out(ω),Pi,kinc,out(ω)2 (I S W)
Decision variables μ,μ´2
Decision variables η(ω),γ(ω),η´(ω),γ´(ω)4 W
Train timetable Eq. (2)I (S-1)
Train timetable Eq. (3)I S
Train timetable Eqs. (4)‒(6)3 (I-1) S
Train timetable Eq. (7)I S (T-1)
Train timetable Eq. (8)1
Train timetable Eq. (9)I S T
Robust passenger flow control Eq. (11)S W
Robust passenger flow control Eqs. (12)‒(23)12 I S W
Remaining constraints in the model Eq. (35)8 W

4、 模型求解

为求解上述优化模型，设计了一种结合局部搜索规则（LS）和CPLEX的启发式算法：首先将分布鲁棒优化模型分解为两个子问题（详见4.1节），再对每个子问题分别使用LS算法或CPLEX进行求解（详见4.2节）。

4.1 算法框架

为提高计算效率，本文设计了一种基于局部搜索和CPLEX相结合的启发式算法，算法框架如图6所示。具体地，将原问题分解为两个问题：主问题为列车时刻表问题（记为MP），对应第一阶段优化模型；子问题为鲁棒客流控制问题（记为SSP），对应第二阶段优化模型。通过局部搜索算法对主问题进行搜索，将可行的列车时刻表传递给子问题，并利用CPLEX对子问题进行求解，将求解结果反馈给主问题，通过逐步迭代，以得到较优的轨道交通运输组织方案。

图6 算法框架图。

此外，进一步分析SSP模型特性，发现不同场景之间的鲁棒客流控制耦合约束为难约束，难以利用CPLEX快速求解[11]。鉴于此，将SSP分解为一系列相互独立、基于单个场景的子问题SCP，并将各SCP中最小目标值反馈至SSP中，并在SSP中添加有效不等式（41），以缩小SSP的解空间，从而提升计算效率，即：

Pi,kinc,out,SSP←min{Pi,kina,out(ω1),Pi,kina,out(ω2),...,Pi,kina,out(ωW)}（40）

Pi,kinc,out(ω)≥Pi,kinc,out,SSP, ∀i∈I,k∈S,ω∈W（41）

式中，Pi,kinc,out,SSP为各SCP中最小目标值。

4.2 局部搜索算法

局部搜索算法是一种逐步寻优的邻域搜索算法，包含编码、初始解的生成、邻域结构、终止条件四部分。

4.2.1. 编码及初始解的生成

由于区间运行时间和车站停站时间为固定值，当列车发车间隔确定时，即可获得整个列车时刻表。鉴于此，本文设计了一种基于发车间隔的编码方式，标记为H={h1,1,h2,1,...,hi,1,...,hI-1,1}，其中hi,1为前车i与后车i+1在始发站的发车间隔。

此外，初始解X0以随机方式生成，并根据算法1检验其可行性。若该初始解是可行解，则将其作为初始解；否则，重复以上操作，直至生成一个可行初始解。

4.2.2. 邻域结构

邻域是从当前解产生其他解的途径，对算法搜索速度和解的质量均有影响。记当前迭代次数为n，第n次迭代中邻域为N(Xn-1)，候选集为N(Xn-1)={Xn,1,Xn,2,...,Xn,c,..., Xn,m}，其中Xn,c代表一个候选解，c为候选解标号。具体地，通过在Xn-1上加减一个微小的整数向量Δn以生成邻居解，即Xn,c=Xn-1+Δn，其中Δn的数值是随机生成的。此外，通过算法1检验每个解的可行性，若为可行解，则将该可行解加入邻域中；否则，重复以上操作，直至生成可行解。

4.2.3. 终止条件及算法流程

本文设置两种终止条件：①若当前迭代次数n超过了提前设定的最大迭代次数nmax，则终止；②记当前最好的解未被更新的次数为y，若当前最好的解在连续M次迭代中均未更新，则终止，并将当前最好的解作为模型的近似最优解。综上，算法的流程如算法2所示，其中，记第n次迭代的最优目标值为fn，第n次迭代中最好的解为Xn，当前最好的解为X*，当前最优目标值为f*。

5、 算例分析

为验证模型和算法的有效性，本节基于北京轨道交通实际运营数据设计了多组数值实验。算法基于Windows 10环境下MATLAB 2014a编程实现，实验运行环境为：Intel i5-10500 CPU和16GB RAM。

5.1 输入参数

本文以北京轨道交通15号线为例（图7）进行了数值试验，该线路是一条连接居民区与工作区的重要线路，其客流具有明显的不均衡性，如图8所示。具体地，考虑规划时间域为上午7：00~10：00，将其离散成时间粒度为1 min的180个时段（即T = {1,2,...,180}）。为刻画客流需求的不确定性，考虑3个客流场景，并设置其名义发生概率分布p0T=(0.20,0.30,0.50)，概率波动上界Ψ=0.02,0.06,0.10。

图7 北京轨道交通15号线示意图。

图8 站外到达客流示意图。

接下来，基于上述参数设置进行了一系列数值实验，其中5.2节分析了分布鲁棒优化模型（35）的性能，5.3节将随机规划模型（27）和分布鲁棒优化模型进行对比分析。此外，5.4节分析了鲁棒优化模型[见附录A中的模型（S2）]和分布鲁棒优化模型的性能差异。最后，5.5节进行了灵敏度分析。

5.2 分布鲁棒优化模型实验结果分析

通过改变α、λ和Ψ的取值进行多组实验，结果如表3和图9所示。分析结果可以看出，最优目标值与波动参数和风险规避系数之间均呈正相关关系，这是因为Ψ代表不确定概率的波动上界，Ψ值越大，说明决策者所掌握的概率分布信息越粗糙，导致决策结果越糟糕；风险规避系数α=1代表决策者极度厌恶风险，所得优化方案为过于保守的策略，对应较大的目标值。上述实验结果说明，在实际中，风险偏好和场景发生概率信息的不确定程度是优化客流控制与列车时刻表的关键参数。因此，风险厌恶的决策者应选择更大的α和λ，并尽可能地获得更多的概率分布信息。

表3 分布鲁棒优化模型的实验结果

Risk-aversion parameter αTradeoff coefficient λAdjustable parameter Ψ
0.020.060.10
Objective valueCPU time (s)Objective valueCPU time (s)Objective valueCPU time (s)
0.950.117 767 833.34641336.64517 769 921.01281181.03117 771 819.64381657.806
0.517 771 866.84971482.18117 772 870.78181234.46217 773 845.50561615.507
0.917 775 309.91801352.34117 775 484.84241251.80217 775 659.48881646.706
0.050.117 766 970.08041471.17317 769 336.22101177.69817 771 531.41781472.486
0.517 767 989.37491580.82017 770 350.01121574.83817 772 497.58731338.949
0.917 768 991.00451476.09717 771 316.98631169.67417 773 422.76901461.012

图9 分布鲁棒优化模型计算结果。（a）
α=0.95
；（b）
α=0.05
。

为进一步说明效果，给出α=0.95、λ=0.10、Ψ=0.02时所得列车时刻表，如图10所示，其中红色线段代表满载区段。从图中可以看出，在客流需求较大的高峰时段（如7：00~7：42），优化后的列车发车间隔较小，可见本文所提方法能够得到需求驱动的列车时刻表，提高运力-运量的匹配。接下来，以α=0.95、λ=0.10、Ψ=0.02时的算法收敛曲线（图11）为例，对算法的收敛特性进行说明。可以看出，在前15次迭代时目标函数下降速度较快，在迭代20次后逐渐趋于稳定。这说明本文所提“LS+MILP”算法在求解分布鲁棒优化模型（35）时较为有效。

图10 当
α=0.95
、
λ=0.10
、
Ψ=0.02
时，优化后的列车时刻表。

图11 当
α=0.95
、
λ=0.10
、
Ψ=0.02
时，所提LS + MILP算法的收敛曲线。

接下来，进一步探讨权重系数λ对分布鲁棒优化模型的影响。设置α=0.50，Ψ分别为0.02和0.06进行两组实验，结果如图12所示。可以看出，当α和Ψ固定时，随着λ的增加，等待人数的期望值不断增大，而CVaR值呈相反趋势。此外，当λ=0.5时，等待人数的期望值和CVaR值较为接近，这是因为此时决策者的风险偏好是中性的。上述实验结果说明了本文所提方法可为生成符合决策者实际需要的方案提供一定的支持，为决策者提供了获得个性化管理方案的机会。实际中，决策者应根据自身偏好（或实际需求），合理设置权重系数。

图12 不同权重系数
λ
下，等待人数的期望值与CvaR值。（a）
α=0.50
，
Ψ=0.02
；（b）
α=0.50
，
Ψ=0.06
。

5.3 分布鲁棒优化模型与随机规划模型对比分析

随机规划方法仅适用于场景发生概率分布信息完全已知的情况，即Ψ=0。通过改变α和λ的取值进行6组实验，结果如图13所示。可以看出，随机规划模型的目标值与权重系数和风险规避系数之间均呈正相关关系。

图13 随机规划模型的实验结果。

为更好地对比分析分布鲁棒优化模型和随机规划模型的性能，本节定义了分布鲁棒模型的分布鲁棒代价Price（即两种模型目标值的比较指标）：

Price=(DRO*-SP*)SP* 100%

式中，DRO*和SP*分别代表分布鲁棒优化模型和随机规划模型的最优目标值。

通过改变α、λ和Ψ的取值进行多组实验，结果如表4所示。其中，Price的结果均为正数，代表随机规划模型的最优目标值总是小于分布鲁棒优化结果，说明决策者掌握的概率分布信息越精确，所得鲁棒客流控制策略和相应的列车时刻表越有效。此外，Price的数值均未超过0.051640%，说明分布鲁棒优化模型仅需付出较小的代价，即可抵御概率分布的不确定性。

表4 分布鲁棒代价

Risk-aversion parameter αTradeoff coefficient λAdjustable parameter Ψ
0.020.060.10
0.950.10.006055%0.017805%0.028491%
0.50.002938%0.008588%0.014072%
0.90.000492%0.001476%0.002459%
0.050.10.025960%0.039281%0.051640%
0.50.012523%0.025810%0.037899%
0.90.006915%0.020006%0.031858%

5.4 分布鲁棒优化模型与鲁棒优化模型分析

进一步，通过改变概率分布波动上界Ψ的取值，对分布鲁棒优化模型与鲁棒优化模型进行对比分析，结果如图14所示。从最优目标值来看，鲁棒优化模型的最优目标值总是大于分布鲁棒优化模型，这主要是因为鲁棒优化方法针对最坏情况进行优化，导致所得策略过于保守。根据实验结果，可以得到以下结论：①分布鲁棒优化模型在解的质量和稳定性方面均优于鲁棒优化模型；②决策者若极度厌恶风险，应采用鲁棒优化方法来得到保守策略；否则，分布鲁棒优化方法更加适用。

图14 分布鲁棒优化模型和鲁棒优化模型的结果。

5.5 灵敏度分析

最后，为分析系数（ζ1和ζ2）对分布鲁棒优化模型的影响，令ζ2ζ1={∞,100 000,10 000,1000,100,1,0.01,0.0001,0}进行9组实验，结果如表5所示。可以看出，当ζ2/ζ1在[0.01, ∞]时，Obj. 2的最优值保持不变，直至ζ2ζ1=0.00001；当ζ2ζ1=0时，即仅以极小化总运行时间（Obj. 1）为目标时，Obj. 2的最优值迅猛增加，这说明仅考虑乘客利益或仅考虑运营商利益均会给另一方造成一定的损失。此外，为对比分析不同系数下分布鲁棒优化模型和鲁棒优化模型的性能，进一步计算了分布鲁棒代价Price，如图15所示。可以看出，Price的数值均不超过4%，说明分布鲁棒优化模型仅需付出较小的代价, 即可抵御概率分布的不确定性。

表5 当、、时，灵敏度分析结果

Instanceζ1ζ2ζ2/ζ1Objective valueObj. 1Obj. 2CPU time (s)
Case 101.000 00∞166 970.080176.000166 970.0801563.642
Case 20.000 011.000 00100 000166 970.082176.000166 970.0801169.072
Case 30.000 101.000 0010 000166 970.098176.000166 970.0801355.917
Case 40.001 001.000 001000166 970.256176.000166 970.0801376.100
Case 50.010 001.000 00100166 971.840176.000166 970.0801172.356
Case 61.000 001.000 001167 146.080176.000166 970.0801401.422
Case 71.000 000.010 000.011845.701176.000166 970.0801181.674
Case 81.000 000.000 010.000 01177.677176.000167 697.5391721.266
Case 91.000 0000176.000176.000352 150.9611099.210

图15 不同系数下分布鲁棒优化模型的分布鲁棒代价。

综上，从列车运营组织或客流组织方面分别进行优化，难以最大程度地缓解城市轨道客流拥挤。为实现列车运输能力的精准匹配、有效提升运营服务水平，决策者应采用面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的分布鲁棒优化方法，并根据实际需求灵活设置ζ1和ζ2。

6、 结论

为缓解城市轨道交通乘客过度拥挤问题，考虑动态随机客流以及客流场景发生概率的不确定性，本文基于“均值-CVaR准则”，以极小化总运行时间、等待乘客的期望值和CVaR值为目标，以鲁棒客流控制策略、列车到发时刻为决策变量，分别提出了面向城市轨道交通客流控制与列车时刻表一体化的随机规划模型和分布鲁棒优化方法。进一步，借助∞-范数非精确集，将所构建的分布鲁棒优化模型等价转化为计算易处理形式。此外，推导了分布鲁棒优化模型与两阶段随机规划模型和传统鲁棒优化模型之间的关系。为提高计算效率，设计了一种结合局部搜索规则和CPLEX的启发式求解算法。最后，基于北京轨道交通实际运营数据设计了多组数值算例，验证了所提方法的有效性和优越性，结果表明：分布鲁棒优化模型在解的稳定性方面优于随机规划模型；在解的质量和稳定性方面均优于鲁棒优化模型。

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