灰色斜率关联度的改进

摘要

研究了单指标数据序列的几种无量纲化变换及其性质，提出了一种对灰色斜率关联度的改进模型，改进后的关联度能够反映序列的正、负相关关系，并且对原始序列进行无量纲化变换处理时不影响关联系数及关联度的值，还研究了改进的关联度及关联系数的性质。该方法充分利用了序列各时点的信息及正、负相关性，所得关联分析结果较为客观可靠，并且易于在计算机上实现。

正文

《1 引言》

1 引言

灰色系统理论中的关联分析是一种新的因素分析方法, 它主要是通过对系统数据序列的几何关系进行比较来分析系统中各因素间的关联程度^[1], 即认为刻画因素的时间变量之间所表示曲线的几何形状越接近, 就认为它们之间的关联程度越大。因而关联分析是否能真实反映一个系统中各种因素相互影响的关系, 关键是如何计算关联度, 目前关于关联度的量化模型很多, 如邓氏关联度^[1]、灰色B型关联度^[2]、T型关联度^[3]、广义关联度^[4]、灰色斜率关联度^[5]、灰色绝对关联度^[6]、C型关联度^[7]、灰色欧几里德关联度^[8] 等, 这些学者从不同的方面对关联度进行了认真的研究, 都取得了一定的应用效果。但这些关联度大都与邓氏关联度类似, 不能反映正、负相关关系。文献[3]虽然在这方面有所体现, 但有一些缺陷^[9,10]。下面首先介绍单指标数据序列的无量纲化变换, 并就其性质进行讨论;然后针对文献[5]中的灰色斜率关联度进行改进, 并讨论了它的一些性质, 通过实例验证该方法的实用性。

《2 单指标数据序列的变换》

2 单指标数据序列的变换

定义1 设有非负序列X={x (1) , x (2) , …, x (n) }:

若 $d_{1} x (k) = \frac{x (k)}{x (1)}, (k = 1, 2, \dots, n),$ $d_{1} x (k) = \frac{x (k)}{x (1)}, (k = 1, 2, \dots, n),$

则称d₁为初值化变换;

若 $d_{2} x (k) = \frac{x (k)}{\bar{x}}, \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x (i), (k = 1, 2, \dots, n)$ $d_{2} x (k) = \frac{x (k)}{\bar{x}}, \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x (i), (k = 1, 2, \dots, n)$ ,

则称d₂为均值化变换;

$若 d_{3} x (k) = \frac{x (k)}{\max_{k} {x (k)}}, (k = 1, 2, \dots, n) ‚$ $若 d_{3} x (k) = \frac{x (k)}{\max_{k} {x (k)}}, (k = 1, 2, \dots, n) ‚$

则称d₃为百分比变换;

$若 d_{4} x (k) = \frac{x (k)}{\min_{k} {x (k)}}, (k = 1, 2, \dots, n) ‚$ $若 d_{4} x (k) = \frac{x (k)}{\min_{k} {x (k)}}, (k = 1, 2, \dots, n) ‚$

则称d₄为倍数变换。

以上变换{d₁, d₂, d₃, d₄}统称为无量纲化变换。

定理1 上述无量纲化变换{d₁, d₂, d₃, d₄}满足

1) 保号性当x (k) >0时, d_ix (k) >0, (k=1, 2, …, n;i=1, 2, 3, 4) ;

2) 保序性若x (i) <x (j) 时, 则d_lx (i) <d_lx (j) ;

若x (i) >x (j) 时, 则d_lx (i) >d_lx (j) (l=1, 2, 3, 4) 。

证明 1) 对于初值化变换, 当x (k) >0时, 则

$d_{1} x (k) = \frac{x (k)}{x (1)} > 0, (k = 1, 2, \dots, n) ；$ $d_{1} x (k) = \frac{x (k)}{x (1)} > 0, (k = 1, 2, \dots, n) ；$

对于均值化变换, 当x (k) >0时, 则

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x (i) > 0$ $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x (i) > 0$ , 所以 $d_{2} x (k) = \frac{x (k)}{\bar{x}} > 0, (k = 1, 2, \dots, n)$ $d_{2} x (k) = \frac{x (k)}{\bar{x}} > 0, (k = 1, 2, \dots, n)$ ;

对于百分比变换、倍数变换同理可证。即无量纲化变换满足保号性。

2) 对于初值化变换, 若x (i) <x (j) 时, 则 $d_{1} x (i) = \frac{x (i)}{x (1)} < \frac{x (j)}{x (1)} = d_{1} x (j),$ $d_{1} x (i) = \frac{x (i)}{x (1)} < \frac{x (j)}{x (1)} = d_{1} x (j),$

若x (i) >x (j) 时, 则 $d_{1} x (i) = \frac{x (i)}{x (1)} > \frac{x (j)}{x (1)} = d_{1} x (j);$ $d_{1} x (i) = \frac{x (i)}{x (1)} > \frac{x (j)}{x (1)} = d_{1} x (j);$

对于均值化变换, 若x (i) <x (j) 时, 则 $d_{2} x (i) = \frac{x (i)}{\bar{x}} < \frac{x (j)}{\bar{x}} = d_{2} x (j),$ $d_{2} x (i) = \frac{x (i)}{\bar{x}} < \frac{x (j)}{\bar{x}} = d_{2} x (j),$

若x (i) >x (j) 时, 则 $d_{2} x (i) = \frac{x (i)}{\bar{x}} > \frac{x (j)}{\bar{x}} = d_{2} x (j);$ $d_{2} x (i) = \frac{x (i)}{\bar{x}} > \frac{x (j)}{\bar{x}} = d_{2} x (j);$

对于百分比变换、倍数变换同理可证。即无量纲化变换满足保序性。

《3 灰色斜率关联度的改进及其算法》

3 灰色斜率关联度的改进及其算法

为了克服文献[1,2,3,4,5,6,7,8]中的不足, 对关联度给出一种新的设想。其基本思想为:按照因素时间序列曲线的平均相对变化态势的接近程度来计算灰色关联度。基于这种思想, 改进的灰色斜率关联度的计算方法如下:

对于时间区间[a, b], 0≤a<b , 令

$\begin{array}{l} Δ t_{k} = t_{k} - t_{k - 1}, k = 2, 3, \dots, n, \\ [a, b] = \cup_{k = 2}^{n} Δ t_{k}, Δ t_{k} \cap Δ t_{k - 1} = ϕ, k = 2, 3, \dots ‚ n 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Δ t_{k} = t_{k} - t_{k - 1}, k = 2, 3, \dots, n, \\ [a, b] = \cup_{k = 2}^{n} Δ t_{k}, Δ t_{k} \cap Δ t_{k - 1} = ϕ, k = 2, 3, \dots ‚ n 。 \end{array}$

因而有下面的定义:

定义2 设系统特征函数为X (t) ={x (t₁) , x (t₂) , …, x (t_n) }, 系统行为函数为Y_i (t) ={y_i (t₁) , y_i (t₂) , …, y_i (t_n) } (i=1, 2, …, m) , 称

$\begin{array}{l} ξ_{i} (t) = sgn (Δ x (t), Δ y (t)) [1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} |] / \\ [1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} | + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} - \frac{1}{\bar{y}_{i}} \frac{Δ y_{i} (t)}{Δ t} |] (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} ξ_{i} (t) = sgn (Δ x (t), Δ y (t)) [1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} |] / \\ [1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} | + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} - \frac{1}{\bar{y}_{i}} \frac{Δ y_{i} (t)}{Δ t} |] (1) \end{array}$

为X (t) 与Y_i (t) 在t时刻的灰色斜率关联系数, 其中

$\begin{array}{l} sgn (Δ x (t), Δ y (t)) = {\begin{cases} 1 Δ x (t) Δ y (t) \geq 0, \\ - 1 Δ x (t) Δ y (t) < 0; \end{cases} \\ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x (t), Δ x (t) = x (t + Δ t) - x (t); \end{array}$ $\begin{array}{l} sgn (Δ x (t), Δ y (t)) = {\begin{cases} 1 Δ x (t) Δ y (t) \geq 0, \\ - 1 Δ x (t) Δ y (t) < 0; \end{cases} \\ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x (t), Δ x (t) = x (t + Δ t) - x (t); \end{array}$

$\frac{Δ x (t)}{Δ t}$ $\frac{Δ x (t)}{Δ t}$ 为系统特征函数X (t) 在t到t+Δt的斜率;

$\bar{y}_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} (t), Δ y_{i} (t) = y_{i} (t + Δ t) - y_{i} (t);$ $\bar{y}_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} (t), Δ y_{i} (t) = y_{i} (t + Δ t) - y_{i} (t);$

$\frac{Δ y_{i} (t)}{Δ t}$ $\frac{Δ y_{i} (t)}{Δ t}$ 为系统行为函数Y_i (t) 在t到t+Δt的斜率。

附注当X (t) , y_i (t) (i=1, 2, …, m) 皆为1-时距的离散序列时, X (t) 与Y_i (t) 在t时刻的灰色斜率关联系数公式可以简写为

$\begin{array}{l} ξ_{i} (t) = sgn (Δ x (t), Δ y (t)) [1 + | \frac{Δ x (t)}{\bar{x}} |] / \\ [1 + | \frac{Δ x (t)}{\bar{x}} | + | \frac{Δ x (t)}{\bar{x}} - \frac{Δ y_{i} (t)}{\bar{y}_{i}} |] 。 (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} ξ_{i} (t) = sgn (Δ x (t), Δ y (t)) [1 + | \frac{Δ x (t)}{\bar{x}} |] / \\ [1 + | \frac{Δ x (t)}{\bar{x}} | + | \frac{Δ x (t)}{\bar{x}} - \frac{Δ y_{i} (t)}{\bar{y}_{i}} |] 。 (2) \end{array}$

性质1 任意的系统特征函数X (t) 与系统行为函数Y_i (t) 的灰色斜率关联系数满足

$- 1 < ξ_{i} (t) \leq 1, i = 1, 2, \dots ‚ m 。$ $- 1 < ξ_{i} (t) \leq 1, i = 1, 2, \dots ‚ m 。$

性质2 灰色斜率关联系数ξ_i (t) 满足对称性。

性质3 灰色斜率关联系数ξ_i (t) 只与X (t) , Y_i (t) 的几何形状有关, 而与它们在空间的相对位置无关。

性质4 X (t) 与Y_i (t) 的在t时刻的斜率越接近, 灰色斜率关联系数ξ_i (t) 就越大。

性质5 当X (t) 与Y_i (t) 在t到t+Δt的变化率相同时, 它们的斜率相等, 这时ξ_i (t) =1。

定义3 设X (t) 为系统特征函数, Y_i (t) (i=1, 2, …, m) 为系统行为函数, 称

$ε_{i} = \frac{1}{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - 1} ξ_{i} (t)$ $ε_{i} = \frac{1}{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - 1} ξ_{i} (t)$

为X (t) 与Y_i (t) 改进的灰色斜率关联度。

由上述定义可知, 灰色斜率关联系数反映了2曲线在某一点的平均变化率的一致程度, 而灰色斜率关联度则是表示在整个区间上灰色斜率关联系数的平均值。

定理2 改进的灰色斜率关联度ε_i具有如下性质:

1) -1<ε_i≤1;

2) ε_i只与X (t) , Y_i (t) 的变化率有关, 而与它们在空间的相对位置无关;

3) X (t) 与Y_i (t) 的平均变化率越接近, 则ε_i越大;

4) ε_i具有唯一性、对称性和可比性。

证明 1) 由于-1<ξ_i (t) ≤1, i=1, 2, …, m, 因此 $- 1 < ε_{i} = \frac{1}{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - 1} ξ_{i} (t) \leq 1$ $- 1 < ε_{i} = \frac{1}{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - 1} ξ_{i} (t) \leq 1$ 。

由灰色斜率关联系数及灰色斜率关联度的定义, 性质2至性质4显然。

附注 1) ε_i的正负反映2个因素变量间的相关性质, ε_i>0表示正相关, 即X (t) 的增 (减) 将直接导致Y_i (t) 的增 (减) ;ε_i<0表示负相关, 即X (t) 的增 (减) 将直接导致Y_i (t) 的增 (减) ;ε_i=1表示2个因素变量完全相关。

2) ε_i不再是一个相对值, 而成为一个绝对值, 因而ε_i具有可比性。

定理3 设原始序列均为非负序列, 若序列进行无量纲化变换{d₁, d₂, d₃, d₄}, 则改进的灰色斜率关联度与无量纲化变换方法无关。即经过初值化变换d₁、均值化变换d₂、百分比变换d₃、倍数变换d₄不改变改进的灰色斜率关联度的值。

证明 1) 设对原始序列进行初值化变换d₁, 记变换后的序列为X′和Y′_i由于 ${\bar{x}}^{'} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x^{'} (t) = \frac{1}{n x (1)} \sum_{i = 1}^{n} x (t) = \frac{\bar{x}}{x (1)} ‚ Δ x^{'} (t) = x^{'} (t + Δ t) - x^{'} (t) = \frac{Δ x (t)}{x (1)}$ ${\bar{x}}^{'} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x^{'} (t) = \frac{1}{n x (1)} \sum_{i = 1}^{n} x (t) = \frac{\bar{x}}{x (1)} ‚ Δ x^{'} (t) = x^{'} (t + Δ t) - x^{'} (t) = \frac{Δ x (t)}{x (1)}$ 。

同理可得: ${\bar{y}}^{'}_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y^{'}_{i} (t) = \frac{\bar{y}_{i}}{y (1)},$ ${\bar{y}}^{'}_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y^{'}_{i} (t) = \frac{\bar{y}_{i}}{y (1)},$

$\begin{array}{l} Δ y^{'}_{i} (t) = y^{'}_{i} (t + Δ t) - y^{'}_{i} (t) = \frac{Δ y_{i} (t)}{y (1)}, \\ ξ^{'}_{i} (t) = sgn (Δ x^{'} (t), Δ y^{'} (t)) [1 + | \frac{1}{{\bar{x}}^{'}} \frac{Δ x^{'} (t)}{Δ t} |] / \\ [1 + | \frac{1}{{\bar{x}}^{'}} \frac{Δ x^{'} (t)}{Δ t} | + | \frac{1}{{\bar{x}}^{'}} \frac{Δ x^{'} (t)}{Δ t} - \frac{1}{{\bar{y}}^{'}_{i}} \frac{Δ y^{'}_{i} (t)}{Δ t} |] = \\ sgn (Δ x^{'} (t), Δ y^{'} (t)) ［ 1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} |] / \end{array}$ $\begin{array}{l} Δ y^{'}_{i} (t) = y^{'}_{i} (t + Δ t) - y^{'}_{i} (t) = \frac{Δ y_{i} (t)}{y (1)}, \\ ξ^{'}_{i} (t) = sgn (Δ x^{'} (t), Δ y^{'} (t)) [1 + | \frac{1}{{\bar{x}}^{'}} \frac{Δ x^{'} (t)}{Δ t} |] / \\ [1 + | \frac{1}{{\bar{x}}^{'}} \frac{Δ x^{'} (t)}{Δ t} | + | \frac{1}{{\bar{x}}^{'}} \frac{Δ x^{'} (t)}{Δ t} - \frac{1}{{\bar{y}}^{'}_{i}} \frac{Δ y^{'}_{i} (t)}{Δ t} |] = \\ sgn (Δ x^{'} (t), Δ y^{'} (t)) ［ 1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} |] / \end{array}$

$[1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} | + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} - \frac{1}{\bar{y}_{i}} \frac{Δ y_{i} (t)}{Δ t} |]$ $[1 + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} | + | \frac{1}{\bar{x}} \frac{Δ x (t)}{Δ t} - \frac{1}{\bar{y}_{i}} \frac{Δ y_{i} (t)}{Δ t} |]$ 。

由于Δx′ (t) Δy′ (t) 与Δx (t) Δy (t) 的符号相同, 因此

$\begin{array}{l} sgn (Δ x (t), Δ y (t)) = sgn (Δ x^{'} (t), Δ y^{'} (t)) 。 \\ 故 ξ_{i} (t) = ξ^{'}_{i} (t) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} sgn (Δ x (t), Δ y (t)) = sgn (Δ x^{'} (t), Δ y^{'} (t)) 。 \\ 故 ξ_{i} (t) = ξ^{'}_{i} (t) 。 \end{array}$

2) 同理可证, 对原始序列进行均值化变换d₂、百分比变换d₃、倍数变换d₄也不改变改进的灰色斜率关联度的值。

《4 实例》

4 实例

例1 已知x₀为参考序列, x₁, x₂, x₃为比较序列, 其具体数据如下:

$\begin{array}{l} x_{0} = (1.0, 2.0, 2.5, 2.5, 3.0, 5.0, 6.0) ‚ \\ x_{1} = (1.0, 1.8, 2.3, 2.4, 2.8, 4.8, 5.8) ‚ \\ x_{2} = (1.0, 1.8, 2.3, 2.0, 3.0, 4.1, 5.7) ‚ \\ x_{3} = (1.0, 2.2, 2.5, 2.1, 3.0, 4.1, 5.8) 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} x_{0} = (1.0, 2.0, 2.5, 2.5, 3.0, 5.0, 6.0) ‚ \\ x_{1} = (1.0, 1.8, 2.3, 2.4, 2.8, 4.8, 5.8) ‚ \\ x_{2} = (1.0, 1.8, 2.3, 2.0, 3.0, 4.1, 5.7) ‚ \\ x_{3} = (1.0, 2.2, 2.5, 2.1, 3.0, 4.1, 5.8) 。 \end{array}$

由文献[1]给出的关联度计算公式得

$r_{01} = 0.754 2 ‚ r_{02} = 0.684 5 ‚ r_{03} = 0.754 4$ $r_{01} = 0.754 2 ‚ r_{02} = 0.684 5 ‚ r_{03} = 0.754 4$

故灰色关联序为

$r_{03} > r_{01} > r_{02}$ $r_{03} > r_{01} > r_{02}$

实际上, 由x₀, x₁, x₂, x₃发展态势的直观可知, x₁与x₀的发展态势的接近程度要比x₂, x₃的发展态势的接近程度更近些, 因此, 按文献[1]中的公式计算的结果与实际情况不一致。

按改进的灰色斜率关联度计算公式计算的结果为

$ε_{01} = 0.978 315 ‚ ε_{02} = 0.905 299 ‚ ε_{03} = 0.892 95$ $ε_{01} = 0.978 315 ‚ ε_{02} = 0.905 299 ‚ ε_{03} = 0.892 95$

灰色关联序为

$ε_{01} > ε_{02} > ε_{03}$ $ε_{01} > ε_{02} > ε_{03}$

此结果与序列的实际发展态势比较接近, 说明该方法比较客观、实用。

《5 结论》

5 结论

研究了单指标数据序列的几种无量纲化变换及其性质, 提出了一种对灰色斜率关联度的改进模型, 改进后的关联度能够反映正、负相关关系, 并且对原始序列进行无量纲化变换处理时不影响关联系数及关联度的值, 还研究了改进的关联度及关联系数的性质。该方法充分利用了序列各时点的信息及正、负相关性, 所得关联分析结果较为客观可靠, 并且易于在计算机上实现。此方法为解决灰色关联分析问题, 特别是当灰色关联系数负相关时提供了一条新的途经。

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