非线性弹性薄膜表面效应的尺寸相关性研究

摘要

在Mindlin假设的前提下，考虑了几何非线性条件及表面效应的影响，建立了纳米尺度下尺寸相关的板状各向同性弹性薄膜模型；从哈密尔顿变分原理出发，导出了薄膜的控制方程，用公式明确阐述了由表面张力引起的符合经典板理论且与薄膜变形相关的残余膜力和弯矩；通过微小尺寸薄膜弯曲的算例，说明了表面效应与薄膜厚度的相关性，当薄膜厚度等于或者小于其内禀尺度时，表面效应对薄膜厚度表现出很强的敏感性。

正文

《1 引言》

1 引言

超薄板状结构单元具有优异的物理、化学和力学性能 ^[1], 在微机械系统中具有重要应用, 吸引很多人研究这些结构的力学特性, 为设计和预测这些装置的行为提供依据 ^[2,3]。研究这类微结构单元通常以经典弹性理论为基础, 得到可以预测不依赖结构单元绝对尺寸的作用和响应关系 ^[4,5,6]。这些研究忽略了表面效应的影响, 这对于大多数大尺度结构是合理的, 因为对它们来说, 表面效应的影响与体的影响相比是微小量, 忽略前者对整体的力学行为几乎没有影响。但是, 对于微小尺度的固体来说, 表面效应影响与体的比值增大, 必须予以考虑。

固体的表面是带有特有原子排列和不同于体的属性的微小厚度的区域 ^[2,7]。为了引入表面效应的影响, Gurtin和Murdoch建立了反映表面弹性的通用模型, 将表面看作和体不同性质的二维膜无滑移地黏附在体上, 由于存在表面应力, 导致非经典的边界条件, 它与表面经典的弹性方程结合, 共同组成场方程系统 ^{[8,9,10,11,12]}。Miller 和Shenoy用原子模拟的方法计算了一些材料的表面特征常数, 选择合适的表面层的特征常数后 ^[13], 连续表面模型和原子模拟一样能预测弹性响应, 进而吸引更多人来研究许多纳观固体结构的力学问题 ^{[14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26]}。

笔者研究的目的是在表面弹性理论的基础上, 考虑基底表面正应力影响, 建立非线性尺寸相关的板状弹性薄膜模型, 这是在归纳了Lim和He的基于表面弹性理论基础的非线性尺寸相关的薄板模型, 以及He的引入体基底表面正应力影响下的线性尺寸相关薄板模型基础上建立的 ^[14,15]。Lim和He的模型没有考虑体基底表面正应力的影响, 不能满足Gurtin和Murdoch表面弹性理论的一些表面平衡关系, 而He的模型没有体现非线性项的影响, 没有反映弱作用。笔者提出的新模型既能满足表面平衡关系, 又考虑了非线性项的影响, 使得尺寸相关的薄板理论更加完备。

通过引入体基底表面正应力的影响及采用应变的非线性几何关系, 用能量泛函变分方法, 导出了板状弹性薄膜的控制方程, 更主要的是用公式明确阐述了由表面张力引起的符合经典板理论且与薄膜变形相关的残余膜力和弯矩。为了更好地说明表面效应的影响, 以在平面应变条件下的薄膜弯曲和屈曲为例进行研究, 从中得到以表面弹性常数与体弹性常数之比为内禀尺度的精确解。

《2 建立模型》

2 建立模型

研究一个厚度为常量h的各向同性弹性薄膜结构, 如图1所示。建立笛卡儿直角坐标系x_i (i=1, 2, 3) , 其中x₁ox₂为未发生变形的中面。x₃=h/2处为薄膜的上表面S⁺, x₃=-h/2处为薄膜的下表面S^-。本文重复的下标符合求和约定, 其中拉丁字母下标取值为1, 2和3, 希腊字母下标取值为1和2。薄膜上表面S⁺上的应力定义为τ⁺_iα, 下表面S^-上的应力定义为τ^-_iα, 且满足表面平衡关系 ^[10,12]:

$\begin{array}{l} τ_{β i, β}^{+} - σ_{i 3}^{+} = ρ_{0}^{+} \ddot{u}_{i}^{+}, a t x_{3} = h / 2, \\ τ_{β i, β}^{-} + σ_{i 3}^{-} = ρ_{0}^{-} \ddot{u}_{i}^{-}, a t x_{3} = - h / 2 (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} τ_{β i, β}^{+} - σ_{i 3}^{+} = ρ_{0}^{+} \ddot{u}_{i}^{+}, a t x_{3} = h / 2, \\ τ_{β i, β}^{-} + σ_{i 3}^{-} = ρ_{0}^{-} \ddot{u}_{i}^{-}, a t x_{3} = - h / 2 (1) \end{array}$

《图1》

图1厚度为常量的各向同性弹性薄膜示意图

Fig.1 The sketch of the elastic thin film with surface effects

这里σ^±_i3和u^±_i是分别在上下表面t时刻的体应力和位移, ρ^±₀为上下表面层的密度。由于在表面层和层下的体材料之间无滑移, 所以在整个薄膜内位移是连续的。按照Mindlin理论, 薄膜内一点的位移场u_i (包括上下表面层) 可以表述为

$u_{α} = u_{α}^{0} + x_{3} Ψ_{α}, u_{3} = u_{3}^{0} (2)$ $u_{α} = u_{α}^{0} + x_{3} Ψ_{α}, u_{3} = u_{3}^{0} (2)$

这里u $_{i}^{0}$ $_{i}^{0}$ 是在t时刻的中面位移分量, 同时, 按照von Kármán的理论, 典型的非线性应变可写为

$ε_{α β} = ε_{α β}^{0} + \frac{x_{3}}{2} (Ψ_{α ‚ β} + Ψ_{β ‚ α}) (3)$ $ε_{α β} = ε_{α β}^{0} + \frac{x_{3}}{2} (Ψ_{α ‚ β} + Ψ_{β ‚ α}) (3)$

其中

$ε_{α β}^{0} = \frac{1}{2} (u_{α ‚ β}^{0} + u_{β ‚ α}^{0} + u_{3 ‚ α} u_{3 ‚ β}) (4)$ $ε_{α β}^{0} = \frac{1}{2} (u_{α ‚ β}^{0} + u_{β ‚ α}^{0} + u_{3 ‚ α} u_{3 ‚ β}) (4)$

是中面应变。假设上下表面具有相同的材料常数, 由Gurtin和Murdoch给出的上下表面的连续性关系可以表述为

$\begin{array}{l} τ_{α β} = τ_{0} δ_{α β} + 2 (μ_{0} - τ_{0}) ε_{α β} + \\ (λ_{0} + τ_{0}) ε_{v v} δ_{α β} + τ_{0} u_{α ‚ β} ‚ \\ τ_{α 3}^{\pm} = τ_{0} u_{3 ‚ α} (5) \end{array}$ $\begin{array}{l} τ_{α β} = τ_{0} δ_{α β} + 2 (μ_{0} - τ_{0}) ε_{α β} + \\ (λ_{0} + τ_{0}) ε_{v v} δ_{α β} + τ_{0} u_{α ‚ β} ‚ \\ τ_{α 3}^{\pm} = τ_{0} u_{3 ‚ α} (5) \end{array}$

这里的τ_αβ为上下表面上的表面应力。τ₀ 是无约束条件下的残余表面应力, λ₀ 和μ₀分别为上下表面的Lamé系数, 并且δ_ij为Kronecker记号, 当i=j时, δ_ij=1;i≠j时, δ_ij=0。

由于薄膜厚度与其他两个方向相比很小, 薄膜体应力分量σ₃₃与面内应力分量σ_αβ相比很小, 在经典板理论中被忽略了。然而按照假设, 在上下表面上不能满足表面平衡关系式 (1) ;为了满足式 (1) 而考虑弱作用, 假设应力分量σ₃₃沿厚度方向呈线性变化, 并且满足表面平衡条件, 于是应力分量σ₃₃可以写为

$σ_{33} = \frac{1}{2} (σ_{33}^{+} + σ_{33}^{-}) + \frac{1}{h} (σ_{33}^{+} - σ_{33}^{-}) x_{3} (6)$ $σ_{33} = \frac{1}{2} (σ_{33}^{+} + σ_{33}^{-}) + \frac{1}{h} (σ_{33}^{+} - σ_{33}^{-}) x_{3} (6)$

将式 (1) 代入式 (6) 可得

$\begin{array}{l} σ_{33} = \frac{1}{2} (τ_{β 3 ‚ β}^{+} - τ_{β 3 ‚ β}^{-}) + \\ \frac{1}{h} (τ_{β 3 ‚ β}^{+} + τ_{β 3 ‚ β}^{-} - 2 ρ_{0} \ddot{u}_{3}) x_{3} (7) \end{array}$ $\begin{array}{l} σ_{33} = \frac{1}{2} (τ_{β 3 ‚ β}^{+} - τ_{β 3 ‚ β}^{-}) + \\ \frac{1}{h} (τ_{β 3 ‚ β}^{+} + τ_{β 3 ‚ β}^{-} - 2 ρ_{0} \ddot{u}_{3}) x_{3} (7) \end{array}$

薄膜的材料性质遵循广义三维虎克定律, 则薄膜内部材料的本构关系可以表示为

$σ_{i β} = \frac{E}{1 + υ} (ε_{i β} + \frac{υ}{1 - υ} ε_{γ γ} δ_{i β}) + \frac{υ}{1 - υ} σ_{33} δ_{i β} (8)$ $σ_{i β} = \frac{E}{1 + υ} (ε_{i β} + \frac{υ}{1 - υ} ε_{γ γ} δ_{i β}) + \frac{υ}{1 - υ} σ_{33} δ_{i β} (8)$

式中E是杨氏模量, υ是泊松比。

最后, 定义膜力N_ij, 弯矩M_ij和剪力Q_β为

$\begin{array}{l} Ν_{i j} = \int_{- h / 2}^{h / 2} σ_{i j} d x_{3}, \\ Μ_{i j} = \int_{- h / 2}^{h / 2} σ_{i j} x_{3} d x_{3}, \\ Q_{β} = \int_{- h / 2}^{h / 2} σ_{β 3} d x_{3} (9) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{i j} = \int_{- h / 2}^{h / 2} σ_{i j} d x_{3}, \\ Μ_{i j} = \int_{- h / 2}^{h / 2} σ_{i j} x_{3} d x_{3}, \\ Q_{β} = \int_{- h / 2}^{h / 2} σ_{β 3} d x_{3} (9) \end{array}$

为了导出薄膜的控制方程, 使用Hamilton变分原理

$δ \int_{0}^{t} L d t = 0 (10)$ $δ \int_{0}^{t} L d t = 0 (10)$

式中δ是变分算子, L=T-U+W为能量泛函, T是动能, U是应变能, W是外力势, T, U和W的表达式分别为

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} Τ = \int_{V} \frac{1}{2} ρ \dot{u}_{i} \dot{u}_{i} d V, \\ U = \int_{V} σ_{α β} ε_{α β} d V + \int_{S^{+}} τ_{α β} ε_{α β} d S^{+} + \int_{S^{-}} τ_{α β} ε_{α β} d S^{-}, \end{array} \\ W = \int_{S^{+}} Ρ_{3} u_{3} d S^{+} (11) \end{array}$ $\begin{array}{l} \begin{array}{l} Τ = \int_{V} \frac{1}{2} ρ \dot{u}_{i} \dot{u}_{i} d V, \\ U = \int_{V} σ_{α β} ε_{α β} d V + \int_{S^{+}} τ_{α β} ε_{α β} d S^{+} + \int_{S^{-}} τ_{α β} ε_{α β} d S^{-}, \end{array} \\ W = \int_{S^{+}} Ρ_{3} u_{3} d S^{+} (11) \end{array}$

其中 $\dot{u}$ $\dot{u}$ _i是对时间的微分, ρ是薄膜体内的质量密度, 将式 (2) 至式 (5) 、式 (7) 至式 (9) 和式 (11) 代入式 (10) , 并进行分部积分, 由于薄膜沿厚度方向的影响与其他两个方向相比很小, 可以忽略。沿厚度方向积分, 可得到薄膜面内的运动方程

$\begin{array}{l} (Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-})_{‚ β} - Ι \ddot{u}_{α}^{0} = 0 (12) \\ [Μ_{α β} + \frac{h}{2} (τ_{α β}^{+} - τ_{α β}^{-})]_{‚ β} - \\ (Q_{α} + τ_{α 3}^{+} + τ_{α 3}^{-}) - J \ddot{Ψ}_{α} = 0 (13) \\ (Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-})_{‚ β} u_{3 ‚ α} + (Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-}) u_{3 ‚ α β} + \\ (Q_{β} + τ_{β 3}^{+} + τ_{β 3}^{-})_{‚ β} + Ρ_{3} - Ι \ddot{u}_{3} = 0 (14) \end{array}$ $\begin{array}{l} (Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-})_{‚ β} - Ι \ddot{u}_{α}^{0} = 0 (12) \\ [Μ_{α β} + \frac{h}{2} (τ_{α β}^{+} - τ_{α β}^{-})]_{‚ β} - \\ (Q_{α} + τ_{α 3}^{+} + τ_{α 3}^{-}) - J \ddot{Ψ}_{α} = 0 (13) \\ (Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-})_{‚ β} u_{3 ‚ α} + (Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-}) u_{3 ‚ α β} + \\ (Q_{β} + τ_{β 3}^{+} + τ_{β 3}^{-})_{‚ β} + Ρ_{3} - Ι \ddot{u}_{3} = 0 (14) \end{array}$

这里 $Ι = \int_{- h / 2}^{h / 2} ρ d x_{3} = ρ h, J = \int_{- h / 2}^{h / 2} ρ x_{3}^{2} d x_{3} = \frac{ρ h^{3}}{12}$ $Ι = \int_{- h / 2}^{h / 2} ρ d x_{3} = ρ h, J = \int_{- h / 2}^{h / 2} ρ x_{3}^{2} d x_{3} = \frac{ρ h^{3}}{12}$ , 并且可以定义膜力、弯矩和剪力为

$\begin{array}{l} Ν_{α β}^{*} = Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-} ‚ \\ Μ_{α β}^{*} = Μ_{α β} + \frac{h}{2} (τ_{α β}^{+} - τ_{α β}^{-}) ‚ \\ Q_{α}^{*} = Q_{α} + τ_{α 3}^{+} + τ_{α 3}^{-} (15) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{α β}^{*} = Ν_{α β} + τ_{α β}^{+} + τ_{α β}^{-} ‚ \\ Μ_{α β}^{*} = Μ_{α β} + \frac{h}{2} (τ_{α β}^{+} - τ_{α β}^{-}) ‚ \\ Q_{α}^{*} = Q_{α} + τ_{α 3}^{+} + τ_{α 3}^{-} (15) \end{array}$

假如忽略表面应力的影响, 式 (12) 至式 (14) 可退化为经典的板方程。将式 (15) 分别代入式 (12) 至式 (14) 后, 运动方程可以写为

$\begin{array}{l} Ν_{α β ‚ β}^{*} - Ι \ddot{u}_{α}^{0} = 0 (16) \\ Μ_{α β ‚ β}^{*} - Q_{α}^{*} - J \ddot{Ψ}_{α} = 0 (17) \\ Ν_{α β ‚ β}^{*} u_{3 ‚ α} + Ν_{α β}^{*} u_{3 ‚ α β} + Q_{β ‚ β}^{*} + Ρ_{3} - Ι \ddot{u}_{3} = 0 (18) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{α β ‚ β}^{*} - Ι \ddot{u}_{α}^{0} = 0 (16) \\ Μ_{α β ‚ β}^{*} - Q_{α}^{*} - J \ddot{Ψ}_{α} = 0 (17) \\ Ν_{α β ‚ β}^{*} u_{3 ‚ α} + Ν_{α β}^{*} u_{3 ‚ α β} + Q_{β ‚ β}^{*} + Ρ_{3} - Ι \ddot{u}_{3} = 0 (18) \end{array}$

这里的膜力和弯矩包含了依赖于薄膜内位移的表面应力的贡献。将式 (5) 、式 (7) 至式 (9) 代入式 (15) , 可得到膜力、弯矩和剪力的表达式:

$\begin{array}{l} Ν_{α β}^{*} = 2 τ_{0} (δ_{α β} + u_{α ‚ β}^{0}) + \frac{E h}{1 - υ^{2}} \ 5 \\ [(1 - υ) (1 + \frac{l_{1}}{h}) ε_{α β}^{0} + υ (1 + \frac{l_{2}}{h}) ε_{v v}^{0} δ_{α β}], \\ Μ_{α β}^{*} = \frac{E h^{3}}{12 (1 - υ^{2})} [(1 - υ) (1 + 3 \frac{l_{1}}{h}) \cdot \\ \frac{1}{2} (Ψ_{α ‚ β} + Ψ_{β ‚ α}) + υ (1 + 3 \frac{l_{2}}{h}) Ψ_{v, v} δ_{α β} + \\ 3 \frac{l_{3}}{h} ψ_{α ‚ β} + υ \frac{l_{4}}{h} u_{3 ‚ v v} δ_{α β}] - ρ_{0} h l_{5} \ddot{u}_{3} δ_{α β} ‚ \\ Q_{β}^{*} = \frac{E h}{2 (1 + υ)} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) u_{3 ‚ β} + ψ_{β}] (19) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{α β}^{*} = 2 τ_{0} (δ_{α β} + u_{α ‚ β}^{0}) + \frac{E h}{1 - υ^{2}} \ 5 \\ [(1 - υ) (1 + \frac{l_{1}}{h}) ε_{α β}^{0} + υ (1 + \frac{l_{2}}{h}) ε_{v v}^{0} δ_{α β}], \\ Μ_{α β}^{*} = \frac{E h^{3}}{12 (1 - υ^{2})} [(1 - υ) (1 + 3 \frac{l_{1}}{h}) \cdot \\ \frac{1}{2} (Ψ_{α ‚ β} + Ψ_{β ‚ α}) + υ (1 + 3 \frac{l_{2}}{h}) Ψ_{v, v} δ_{α β} + \\ 3 \frac{l_{3}}{h} ψ_{α ‚ β} + υ \frac{l_{4}}{h} u_{3 ‚ v v} δ_{α β}] - ρ_{0} h l_{5} \ddot{u}_{3} δ_{α β} ‚ \\ Q_{β}^{*} = \frac{E h}{2 (1 + υ)} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) u_{3 ‚ β} + ψ_{β}] (19) \end{array}$

式中参数l₁, l₂, l₃和l₄分别为l₁=4 (1+υ) (μ₀-τ₀) /E, l₂=2 (1-υ²) (λ₀+τ₀) /Ευ, l₃=2τ₀ (1-υ²) /Ε, l₄=2 (1+υ) τ₀/Ε, 以及l₅=hυ/6 (1-υ) 。所有这些参数都有长度的量纲。当忽略表面效应的影响后, 即τ₀→0, λ₀→0和μ₀→0, 式 (19) 退化为经典板理论中的膜力和弯矩表达式。

《3 算例》

3 算例

为了论证表面效应的影响, 以简支的条状薄膜的弯曲为例来说明。该条状薄膜在x₂方向为无限长, 在x₁方向为有限长度l。当施加的外载分布不依赖x₂, 且u₂=0时, 由条带支撑平面的变形, 膜力和弯矩可简化为

$\begin{array}{l} Ν_{11}^{*} = 2 τ_{0} + \frac{E h}{1 - υ^{2}} (1 + \frac{η_{1}}{h}) u_{1 ‚ 1}^{0} + \\ \frac{E h}{2 (1 - υ^{2})} (1 + \frac{η_{2}}{h}) u_{3, 1}^{2}, \\ Μ_{11}^{*} = \frac{E h^{3}}{12 (1 - υ^{2})} [(1 + 3 \frac{η_{1}}{h}) Ψ_{1 ‚ 1} + υ \frac{l_{4}}{h} u_{3 ‚ 11}] \cdot \\ - ρ_{0} h l_{5} \ddot{u}_{3}, \\ Q_{1}^{*} = \frac{E h}{2 (1 + υ)} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) u_{3 ‚ 1} + Ψ_{1}] (20) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{11}^{*} = 2 τ_{0} + \frac{E h}{1 - υ^{2}} (1 + \frac{η_{1}}{h}) u_{1 ‚ 1}^{0} + \\ \frac{E h}{2 (1 - υ^{2})} (1 + \frac{η_{2}}{h}) u_{3, 1}^{2}, \\ Μ_{11}^{*} = \frac{E h^{3}}{12 (1 - υ^{2})} [(1 + 3 \frac{η_{1}}{h}) Ψ_{1 ‚ 1} + υ \frac{l_{4}}{h} u_{3 ‚ 11}] \cdot \\ - ρ_{0} h l_{5} \ddot{u}_{3}, \\ Q_{1}^{*} = \frac{E h}{2 (1 + υ)} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) u_{3 ‚ 1} + Ψ_{1}] (20) \end{array}$

式中η₁=2 (λ₀+2μ₀) (1-υ²) /Ε, η₂=2 (λ₀+2μ₀-τ₀) (1-υ²) /Ε为不依赖薄膜几何尺寸的内禀尺度, 在例子中采用的材料常数是由Gurtin和Murdoch给出的 ^[9,10,11,12]。

Set 1:

$\begin{array}{l} E = 5.625 \times 10^{10} Ν / m^{2} ‚ υ = 0.25, \\ ρ = 3 \times 10^{3} k g / m^{3}, \\ λ_{0} = 7 \times 10^{3} Ν / m, μ_{0} = 8 \times 10^{3} Ν / m, \\ τ_{0} = 110 Ν / m, ρ_{0} = 7 \times 10^{- 4} k g / m^{2} (21) \end{array}$ $\begin{array}{l} E = 5.625 \times 10^{10} Ν / m^{2} ‚ υ = 0.25, \\ ρ = 3 \times 10^{3} k g / m^{3}, \\ λ_{0} = 7 \times 10^{3} Ν / m, μ_{0} = 8 \times 10^{3} Ν / m, \\ τ_{0} = 110 Ν / m, ρ_{0} = 7 \times 10^{- 4} k g / m^{2} (21) \end{array}$

为第一种材料的常数。

Set 2:

$\begin{array}{l} E = 17.73 \times 10^{10} Ν / m^{2} ‚ υ = 0.27, \\ ρ = 7 \times 10^{3} k g / m^{3}, \\ λ_{0} = - 8 Ν / m, μ_{0} = 2.5 Ν / m, \\ τ_{0} = 1.7 Ν / m, ρ_{0} = 7 \times 10^{- 6} k g / m^{2} (22) \end{array}$ $\begin{array}{l} E = 17.73 \times 10^{10} Ν / m^{2} ‚ υ = 0.27, \\ ρ = 7 \times 10^{3} k g / m^{3}, \\ λ_{0} = - 8 Ν / m, μ_{0} = 2.5 Ν / m, \\ τ_{0} = 1.7 Ν / m, ρ_{0} = 7 \times 10^{- 6} k g / m^{2} (22) \end{array}$

为第二种材料的常数。

在这里, 薄膜在边界x₁=0和x₁=l处为简单支撑, 则静态平衡方程为

$\begin{array}{l} Ν_{11 ‚ 1}^{*} = 0 ‚ \\ Μ_{11 ‚ 1}^{*} - Q_{1}^{*} = 0 ‚ \\ Ν_{11 ‚ 1}^{*} u_{3 ‚ 1} + Ν_{11}^{*} u_{3 ‚ 11} + Q_{1 ‚ 1}^{*} + Ρ_{3} = 0 (23) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{11 ‚ 1}^{*} = 0 ‚ \\ Μ_{11 ‚ 1}^{*} - Q_{1}^{*} = 0 ‚ \\ Ν_{11 ‚ 1}^{*} u_{3 ‚ 1} + Ν_{11}^{*} u_{3 ‚ 11} + Q_{1 ‚ 1}^{*} + Ρ_{3} = 0 (23) \end{array}$

相关的边界条件为

$\begin{array}{l} u_{1}^{0} = 0, u_{3} = 0, Μ_{11} = 0 \\ 在 x_{1} = 0 和 x_{1} = l 处 (24) \end{array}$ $\begin{array}{l} u_{1}^{0} = 0, u_{3} = 0, Μ_{11} = 0 \\ 在 x_{1} = 0 和 x_{1} = l 处 (24) \end{array}$

在一个正弦变换力P₃=P₀sin (πx₁/l) 的作用下, 薄膜的变形可假设为

$\begin{array}{l} u_{3} = w_{m} \sin (\frac{π x_{1}}{l}), \\ Ψ = Ψ_{m} \cos (\frac{π x_{1}}{l}) (25) \end{array}$ $\begin{array}{l} u_{3} = w_{m} \sin (\frac{π x_{1}}{l}), \\ Ψ = Ψ_{m} \cos (\frac{π x_{1}}{l}) (25) \end{array}$

式中w_m是待定的最大变形, ψ_m是特定的最大转角, 显然, 该假设满足边界条件式 (24) 。

由式 (23) 的第1式可以看出N₁₁是一个常量, 可认为它等于常量N, 意味着从式 (23) 可以得到

$\begin{array}{l} Ν_{11}^{*} = 2 τ_{0} + \frac{E h}{1 - υ^{2}} (1 + \frac{η_{1}}{h}) u_{1, 1}^{0} + \\ \frac{E h}{2 (1 - υ^{2})} (1 + \frac{η_{2}}{h}) u_{3 ‚ 1}^{2} = Ν (26) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ν_{11}^{*} = 2 τ_{0} + \frac{E h}{1 - υ^{2}} (1 + \frac{η_{1}}{h}) u_{1, 1}^{0} + \\ \frac{E h}{2 (1 - υ^{2})} (1 + \frac{η_{2}}{h}) u_{3 ‚ 1}^{2} = Ν (26) \end{array}$

将式 (25) 代入式 (26) , 并对x₁=0到x₁=l进行积分, 同时使用面内的边界条件, 可得到常量N为

$Ν = 2 τ_{0} + \frac{E h}{4 (1 - υ^{2})} (1 + \frac{η_{2}}{h}) (\frac{π}{s})^{2} (\frac{w_{m}}{h})^{2} (27)$ $Ν = 2 τ_{0} + \frac{E h}{4 (1 - υ^{2})} (1 + \frac{η_{2}}{h}) (\frac{π}{s})^{2} (\frac{w_{m}}{h})^{2} (27)$

式中s=l/h。

将式 (25) 和式 (27) 及应力条件代入式 (20) 的第2式和第3式, 可得弯矩和剪力为

$\begin{array}{l} Μ_{11}^{*} = - \frac{E h}{12 (1 - υ^{2})} [(1 + 3 \frac{η_{1}}{h}) Ψ_{m} h + υ \frac{l_{4}}{h} w_{m} \frac{π}{s}] \ 5 \\ \frac{π}{s} \sin (\frac{π x_{1}}{s h}), \\ Q_{1}^{*} = \frac{E h}{2 (1 + υ)} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) \frac{w_{m}}{h} \frac{π}{s} + Ψ_{m}] \cos (\frac{π x_{1}}{s h}) (28) \end{array}$ $\begin{array}{l} Μ_{11}^{*} = - \frac{E h}{12 (1 - υ^{2})} [(1 + 3 \frac{η_{1}}{h}) Ψ_{m} h + υ \frac{l_{4}}{h} w_{m} \frac{π}{s}] \ 5 \\ \frac{π}{s} \sin (\frac{π x_{1}}{s h}), \\ Q_{1}^{*} = \frac{E h}{2 (1 + υ)} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) \frac{w_{m}}{h} \frac{π}{s} + Ψ_{m}] \cos (\frac{π x_{1}}{s h}) (28) \end{array}$

将式 (27) 和式 (28) 及力的条件代入式 (23) 的第2式, 可得w_m和Ψ_m的关系式为

$Ψ_{m} = ζ \frac{w_{m}}{h} (29)$ $Ψ_{m} = ζ \frac{w_{m}}{h} (29)$

式中

$\begin{array}{l} ζ = - [υ \frac{l_{4}}{h} (\frac{π}{s})^{3} + 6 (1 - υ) (1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) \frac{π}{s}] / \\ [(1 + 3 \frac{η_{1}}{h}) (\frac{π}{s})^{2} + 6 (1 - υ)] ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} ζ = - [υ \frac{l_{4}}{h} (\frac{π}{s})^{3} + 6 (1 - υ) (1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) \frac{π}{s}] / \\ [(1 + 3 \frac{η_{1}}{h}) (\frac{π}{s})^{2} + 6 (1 - υ)] ‚ \end{array}$

将式 (27) 至式 (29) 及力的条件代入式 (23) 的第3式, 可得

$\begin{array}{l} \frac{1 - υ^{2}}{E} Ρ_{0} = [2 \frac{ξ}{h} + \\ \frac{1}{4} (1 + \frac{η_{2}}{h}) (\frac{π}{s})^{2} (\frac{w_{m}}{h})^{2}] \frac{w_{m}}{h} (\frac{π}{s})^{2} + \\ \frac{(1 - υ)}{2} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) \frac{π}{s} + ζ] \frac{w_{m}}{h} (\frac{π}{s}) (30) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{1 - υ^{2}}{E} Ρ_{0} = [2 \frac{ξ}{h} + \\ \frac{1}{4} (1 + \frac{η_{2}}{h}) (\frac{π}{s})^{2} (\frac{w_{m}}{h})^{2}] \frac{w_{m}}{h} (\frac{π}{s})^{2} + \\ \frac{(1 - υ)}{2} [(1 + 2 \frac{l_{4}}{h}) \frac{π}{s} + ζ] \frac{w_{m}}{h} (\frac{π}{s}) (30) \end{array}$

式中ζ= (1-υ²) τ₀/Ε。

给定施加的外力, 即可得到确定的挠度。同样, 面内的膜力也可由式 (27) 导出, 对式 (26) 积分可得面内位移。

当忽略表面效应的影响, 即ζ=0, η₂=0及式 (23) 中的l₄=0和η₁=0, 可以看出由式 (30) 确定的无量纲的力 (1-υ²) P₀/Ε与无量纲的最大挠度w_m/h之间的关系是与薄膜的绝对尺寸不相关的。按照式 (21) 和式 (22) 确定的内禀尺度, 对于Set 1有ζ=1.833 nm, η₁=766.7 nm, η₂=763.0 nm, l₄=766.3 nm;对于Set 2有ζ=8.89×10^-3 nm, η₁=-3.137×10^-2 nm, η₂=4.915×10^-2 nm, l₄=2.435×10^-2 nm。在这两种情况下, 内禀尺度ζ远小于内禀尺度η₁和η₂, 因此, ζ影响较弱, η₁和η₂影响较大。当薄膜厚度等于或者小于内禀尺度的量级时, η₁/h和η₂/h就会对式 (30) 描述的响应关系产生很大影响。为了直观地描述该响应关系, 取薄膜跨度与厚度之比s=10, 分别对这两种材料作图可得不同厚度下的应力-挠度曲线图图2和图3。

《图2》

图2Set 1中材料不同薄膜厚度的无量纲力与挠度的关系

Fig.2 The relation between dimensionless load and deflection of the film with various thicknesses for data Set 1

《图3》

图3Set 2中材料不同薄膜厚度的无量纲力与挠度的关系

Fig.3 The relation between dimensionless load and deflection of the film with various thicknesses for data Set 2

由图2和图3可以看出, 随着无量纲挠度的增大, 无量纲力增大得更快, 它们之间的关系呈非线性变化;在相同的无量纲挠度下, 对于Set 1, 薄膜厚度≤10 μm量级, 对于Set 2, 薄膜厚度≤1 nm量级时, 无量纲力差别较大, 说明表面效应明显;对于Set 1, 薄膜厚度>10 μm量级, 对于Set 2, 薄膜厚度>1 nm量级时, 无量纲力差别较小, 随着薄膜厚度的继续增大, 无量纲力与无表面效应的情况相比几乎无差别, 说明表面效应不明显。因此, 由图2和图3可知, 无量纲力与无量纲挠度关系曲线是与薄膜厚度相关的, 且由材料的内禀尺度决定。同时, 从另一个角度也证明, 在处理许多大尺度的宏观问题时, 表面效应对计算结果的影响可以忽略不计。

《4 结论》

4 结论

笔者提出了研究静态和动态的纳米厚度弹性薄膜的大变形模型, 在采用Mindlin理论的基础上, 拓展了卡门的几何非线性弹性板理论。同时, 新模型通过引入体基底上沿表面的正应力的影响, 满足了由Gurtin和Murdoch提出的表面平衡关系, 得出的精确的膜力和弯矩的表达式中包含了表面的贡献, 并且与薄膜的位移场是协调一致的, 这清楚地说明微结构的弹性响应是与尺寸相关的。通过计算分析简支条状薄膜的弯曲问题, 可以得出当薄膜的厚度等于或者小于它的内禀尺度的量级时, 薄膜的弹性行为对尺度非常敏感;反之, 当薄膜的厚度远大于其内禀尺度时, 薄膜的弹性行为对尺度不敏感。这样, 在微电子机械系统和纳米电子机械系统中, 运用新模型可以更简便准确地分析和设计薄膜结构。

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