锥形凹模缩口力的理论计算与试验验证

摘要

缩口力是导致薄壁筒形件缩口失稳的重要因素。为了提高缩口力的计算精度，M·B·斯德洛日夫和E·π·翁克索夫综合考虑板厚变化、加工硬化及磨擦等因素的影响，分别提出了圆筒形件缩口力的计算方法；通过实例对该两种方法的计算结果进行了分析，并与实验数据做了比较。结果表明，两种方法的计算结果十分接近，而且与实验数据相吻合。

正文

《1 引言》

1 引言

金属收颈罐在包装工业中应用广泛, 如二片、三片易拉罐、喷雾罐等^[1]。关于金属收颈罐缩口的成形问题, 用工程解析法求解时, 一般都假定成形过程中毛坯厚度均匀、材料为理想塑性, 但求得的结果与实际情况不相符合^[2,3]。为了提高缩口力的计算精度, М·В·斯德洛日夫和Е·П·翁克索夫分别提出了求解圆筒形件缩口力的方法^[4,5]。为了验证这两种方法的真实性, 笔者通过实例计算, 与试验结果进行了分析比较。

《2 不考虑板厚变化及硬化效应影响的缩口力》

2 不考虑板厚变化及硬化效应影响的缩口力

图1所示为筒形薄壁毛坯在锥形凹模内的缩口成形过程。设毛坯厚度为t, 半径为R₀, 缩口后的半径为r₀ (R₀, r₀均为中性面半径) , 凹模与毛坯之间的摩擦系数为μ, 锥形凹模半锥角为α。

假设:

·忽略厚向应力的影响, 变形可视为平面应力状态;

·摩擦不改变其主轴方向, 板厚方向即为主方向之一。

《图1》

图1 缩口成形过程及变形区应力分布

Fig.1 Distribution of stress in deformation zone while necking

圆筒形件缩口变形区由两段组成:在第Ⅰ段内毛坯与凹模的圆锥型腔接触;第Ⅱ段毛坯不与凹模接触, 中心面弯曲半径为R₀的自由弯曲。不考虑板厚变化及硬化效应影响的锥形凹模缩口力的数学表达式为^[4]

$σ_{ρ \max} = - σ_{s} (1 + μ \cot α) (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}) (3 - 2 \cos α) (1)$ $σ_{ρ \max} = - σ_{s} (1 + μ \cot α) (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}) (3 - 2 \cos α) (1)$

《3 考虑板厚变化及硬化效应的影响》

3 考虑板厚变化及硬化效应的影响

考虑板厚变化与硬化效应的影响, 求解缩口应力主要有两种的方法:一是М·В·斯德洛日夫方法^[4];二是Е·П·翁克索夫方法^[5]。

《3.1 М·В·斯德洛日夫方法》

3.1 М·В·斯德洛日夫方法

1) 考虑硬化效应的影响

假设材料为线性硬化材料, 即平均流动应力 $σ_{s} = σ_{0} + D \bar{ε}_{θ}$ $σ_{s} = σ_{0} + D \bar{ε}_{θ}$ , 其中切向平均应变 $\bar{ε}_{θ} = 1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}$ $\bar{ε}_{θ} = 1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}$ 。将平均流动应力 $σ_{s} = σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})$ $σ_{s} = σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})$ 代入式 (1) 即得

$\begin{array}{l} σ_{ρ \max} = - [σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})] (1 + μ \cot α) \cdot \\ (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}) (3 - 2 \cos α) (2) \end{array}$ $\begin{array}{l} σ_{ρ \max} = - [σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})] (1 + μ \cot α) \cdot \\ (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}) (3 - 2 \cos α) (2) \end{array}$

式中D为硬化模量。

2) 考虑厚度变化的影响

引入厚度变化假设, 即毛坯缩口部分的最终厚度与半径ρ成线性关系。在缩口变形过程中毛坯厚度变化对缩口毛坯上的应力σ_ρmax的影响, 可以采用在不考虑厚度变化的计算公式 (2) 中引入一个厚度影响系数k的办法, 近似地予以考虑。将 $k = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{\frac{R_{0}}{r_{0}}})$ $k = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{\frac{R_{0}}{r_{0}}})$ 引入式 (2) , 即得到锥形凹模缩口力为

$\begin{array}{l} σ_{ρ \max 1} = - \frac{1}{2} [σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})] (1 + \sqrt{\frac{R_{0}}{r_{0}}}) \cdot \\ (1 + μ \cot α) (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}) (3 - 2 \cos α) (3) \end{array}$ $\begin{array}{l} σ_{ρ \max 1} = - \frac{1}{2} [σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})] (1 + \sqrt{\frac{R_{0}}{r_{0}}}) \cdot \\ (1 + μ \cot α) (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}) (3 - 2 \cos α) (3) \end{array}$

《3.2 Е·П·翁克索夫方法》

3.2 Е·П·翁克索夫方法

1) 考虑厚度变化的影响已考虑板厚变化的平衡方程为[1]

$ρ \frac{d σ_{ρ}}{d ρ} + σ_{ρ} (1 + ρ \frac{d t}{t d ρ}) + σ_{s} (1 + μ \cot α) = 0 (4)$ $ρ \frac{d σ_{ρ}}{d ρ} + σ_{ρ} (1 + ρ \frac{d t}{t d ρ}) + σ_{s} (1 + μ \cot α) = 0 (4)$

式中已引入塑性条件σ_θ=σ_s, 且t和σ_s为变量。

假设整个变形区均匀变厚, 即厚度为

$t = t_{0} \sqrt{\frac{R_{0}}{ρ}} (5)$ $t = t_{0} \sqrt{\frac{R_{0}}{ρ}} (5)$

于是式 (4) 变为

$ρ \frac{d σ_{ρ}}{d ρ} + \frac{σ_{ρ}}{2} + σ_{s} (1 + μ \cot α) = 0 (6)$ $ρ \frac{d σ_{ρ}}{d ρ} + \frac{σ_{ρ}}{2} + σ_{s} (1 + μ \cot α) = 0 (6)$

2) 考虑硬化效应的影响

假设材料为线性硬化材料, 即平均流动应力 $σ_{s} = σ_{0} + D \bar{ε}_{θ}$ $σ_{s} = σ_{0} + D \bar{ε}_{θ}$ , 因切向平均应变 $\bar{ε}_{θ} = 1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}$ $\bar{ε}_{θ} = 1 - \frac{r_{0}}{R_{0}}$ , 故平均流动应力 $σ_{s} = σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})$ $σ_{s} = σ_{0} + \frac{D}{2} (1 - \frac{r_{0}}{R_{0}})$ 。将此式代入式 (6) 得

$ρ \frac{d σ_{ρ}}{d ρ} + \frac{σ_{ρ}}{2} + [σ_{0} + D \frac{R_{0} - ρ}{R_{0}}] (1 + μ \cot α) = 0 (7)$ $ρ \frac{d σ_{ρ}}{d ρ} + \frac{σ_{ρ}}{2} + [σ_{0} + D \frac{R_{0} - ρ}{R_{0}}] (1 + μ \cot α) = 0 (7)$

利用边界条件ρ=r₀时, σ_ρ=0求得式 (7) 的解为

$\begin{array}{l} σ_{ρ} = - 2 (1 + μ \cot α) [σ_{0} (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{ρ}}) + \\ D (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{ρ}} + \frac{r_{0}}{3 R_{0}} \sqrt{\frac{r_{0}}{ρ}}) - \frac{ρ}{3 R_{0}}] (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} σ_{ρ} = - 2 (1 + μ \cot α) [σ_{0} (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{ρ}}) + \\ D (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{ρ}} + \frac{r_{0}}{3 R_{0}} \sqrt{\frac{r_{0}}{ρ}}) - \frac{ρ}{3 R_{0}}] (8) \end{array}$

将ρ=R₀代入式 (8) , 并考虑由直变弯和由弯变直引起的应力附加值2Δσ_ρ, 即得

$\begin{array}{l} σ_{ρ \max 2} = - 2 (1 + μ \cot α) (3 - 2 \cos α) \cdot \\ {σ_{0} (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{R_{0}}}) + D [\frac{2}{3} - (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{3 R_{0}}}) \sqrt{\frac{r_{0}}{R_{0}}}]} (9) \end{array}$ $\begin{array}{l} σ_{ρ \max 2} = - 2 (1 + μ \cot α) (3 - 2 \cos α) \cdot \\ {σ_{0} (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{R_{0}}}) + D [\frac{2}{3} - (1 - \sqrt{\frac{r_{0}}{3 R_{0}}}) \sqrt{\frac{r_{0}}{R_{0}}}]} (9) \end{array}$

《4 缩口力计算值与实验结果的比较》

4 缩口力计算值与实验结果的比较

将表1中的σ₀, R₀, r₀, D, α, μ数据代入式 (3) 和式 (9) , 分别求出σ_ρmax1和σ_ρmax2如表1所示。缩口实验分A, B, C三组进行, 实验设备为300 kN和100 kN万能材料试验机。实验时不加润滑剂, 其他实验条件和试验结果见表1。由表1可知, 两种计算结果非常接近。与试验结果比较, 两种理论计算值略偏大, 其最大误差为11.7%, 最小误差为3.37%, 平均误差为6.23%。理论计算值偏大的原因是М·В·斯德洛日夫和Е·П·翁克索夫均采用了线性硬化假设, 其流动应力σ₀比材料实际流动应力略偏大。

《5 小结》

5 小结

1) 实例计算与试验结果表明, 考虑板厚变化及硬化效应影响的两种计算结果十分接近, 且与试验值相吻合。由此可见, 两种计算方法均可用于缩口力的计算和冲压设备的选择。

2) 在求解缩口力时, М·В·斯德洛日夫是引入厚度影响系数 $k = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{\frac{R_{0}}{r_{0}}})$ $k = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{\frac{R_{0}}{r_{0}}})$ 来处理板厚变化的影响;Е·П·翁克索夫是用整个变形区厚度变化规律为 $t = t_{0} \sqrt{\frac{R_{0}}{ρ}}$ $t = t_{0} \sqrt{\frac{R_{0}}{ρ}}$ 的假设来处理板厚变化的影响。而在处理硬化效应影响时, Е·П·翁克索夫是沿变形区逐段求解, М·В·斯德洛日夫则是对无硬化影响的计算结果做最后修正, 方法相对简单。因此, М·В·斯德洛日夫方法更适合于工程应用。

表1 理论计算结果与试验值的比较

Table 1 The comparison of the theoretic evaluation and verification

《图2》

注^[6]:1.σ₀从试件上取料, 采用单向拉伸确定D, n值后得出。2.摩擦系数μ采用常规物理试验、无润滑剂的实验值。

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