基于物理信息引导深度学习的建筑响应实时预测方法

周颖 ,  孟诗乔 ,  娄域杰 ,  孔庆钊

工程（英文） ›› 2024, Vol. 35 ›› Issue (4) : 147 -164.

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工程（英文） ›› 2024, Vol. 35 ›› Issue (4) : 147 -164. DOI: 10.1016/j.eng.2023.08.011
研究论文

基于物理信息引导深度学习的建筑响应实时预测方法

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Physics-Informed Deep Learning-Based Real-Time Structural Response Prediction Method

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摘要

高精度、高效率的结构响应预测对于建筑结构的智能防灾减灾，包括震后损坏评估、结构健康监测和建筑物抗震能力评估等至关重要。为了提高结构响应预测的精度和效率，本研究提出了一种基于物理信息深度学习的新型实时结构响应预测方法，该方法通过数据驱动的训练方法和自回归的训练策略，可以预测结构中的大量节点响应。该方法包含一个Phy-Seisformer模型，该模型可将结构的物理信息纳入模型中，从而实现更高精度的预测。实验对象包括4层砌体结构、11层钢筋混凝土不规则结构和21层钢筋混凝土框架结构，以验证所提方法的精度和效率。此外，通过消融实验验证了Phy-Seisformer模型中结构的有效性。通过对比实验，研究了地震波振幅范围对预测精度的影响。实验结果表明，对于不同类型的建筑结构，本文提出的方法可以达到非常高的精度，计算速度比有限元计算至少快5000倍。

Abstract

High-precision and efficient structural response prediction is essential for intelligent disaster prevention and mitigation in building structures, including post-earthquake damage assessment, structural health monitoring, and seismic resilience assessment of buildings. To improve the accuracy and efficiency of structural response prediction, this study proposes a novel physics-informed deep-learning-based real-time structural response prediction method that can predict a large number of nodes in a structure through a data-driven training method and an autoregressive training strategy. The proposed method includes a Phy-Seisformer model that incorporates the physical information of the structure into the model, thereby enabling higher-precision predictions. Experiments were conducted on a four-story masonry structure, an eleven-story reinforced concrete irregular structure, and a twenty-one-story reinforced concrete frame structure to verify the accuracy and efficiency of the proposed method. In addition, the effectiveness of the structure in the Phy-Seisformer model was verified using an ablation study. Furthermore, by conducting a comparative experiment, the impact of the range of seismic wave amplitudes on the prediction accuracy was studied. The experimental results show that the method proposed in this paper can achieve very high accuracy and at least 5000 times faster calculation speed than finite element calculations for different types of building structures.

关键词

结构地震响应预测 / 物理信息引导 / 实时预测 / 地震工程 / 数据驱动的机器学习

Key words

Structural seismic response prediction / Physics information informed / Real-time prediction / Earthquake engineering / Data-driven machine learning

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周颖,孟诗乔,娄域杰,孔庆钊. 基于物理信息引导深度学习的建筑响应实时预测方法[J]. 工程（英文）, 2024, 35(4): 147-164 DOI:10.1016/j.eng.2023.08.011

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1 引言

高精度、高效率的结构响应预测在建筑结构的智能防灾减灾中具有重要意义，尤其是在震后损伤评估、结构健康监测和抗震韧性评估等方面[1]。建筑结构智能防灾减灾的核心之一是结构损坏的智能评估[2]，通过预测和分析结构在外部荷载作用下的响应，可以有效实现实时评估。因此，高精度、高效率的实时结构响应预测技术对于震后损伤评估、结构健康监测及建筑抗震韧性评估等应用至关重要。

地震是造成全球生命和财产损失最大的自然灾害之一。在大地震中，建筑物的损坏或倒塌是造成经济损失和人员伤亡的主要原因[3]。地震灾害发生后，快速对震区建筑物进行震后损伤评估可以为抢救伤员和震后建筑物修复提供重要的决策信息[4]。现有损伤评估方法的一个重要方面是利用数值计算模拟地震灾害[5‒6]。这种方法使用数值计算获得的建筑结构的响应信息来计算建筑结构的损坏程度。此外，计算建筑结构在地震下的响应还可用于结构健康监测[7]以及评估其抗震能力[8]和易损性分析[9‒11]。总之，预测结构对地震的响应至关重要。

目前，高精度的建筑结构地震响应预测方法主要基于有限元时程分析[12]。这种方法存在计算时间长、分析过程复杂等问题，因此无法实现结构响应的实时计算，不利于灾后的快速损坏评估和救援。超级计算机提供了可能的解决方案[13]；然而，由于计算需求量巨大且计算资源有限，限制了其在工程中的广泛应用。

为了解决这些问题，现有研究提出了三种主要策略。第一种策略是改进求解地震动响应的时程分析方法，例如，改进输入地震动数据预处理方法、结构和构件建模方法以及积分方法[14‒16]。虽然这些改进可以在一定程度上简化时程分析的计算过程，但仍无法实现结构响应的实时计算。第二种策略是通过建立简化模型来大幅降低计算复杂度，以实现极快但精度较低的整体结构响应预测[17]。例如，Hori和Ichimura [18]将建筑物简化为多自由度系统，并通过时程分析方法实现了结构整体响应的实时预测。Lu和Guan [19]则使用层间弯曲剪切模型作为简化模型。通过引入图形处理单元（GPU）进一步加速建筑物响应的计算，因此可在城市层面实现整体结构响应的快速预测。然而，这些方法所使用的模型过于简化，因此只能近似计算结构响应，难以满足精细化损坏评估的需求。此外，简化模型与实际建筑物之间的差异显著，导致响应预测精度相对较低。

最后一种策略是利用机器学习方法，以数据驱动的方式预测结构的地震响应，从而避免了时程分析中复杂的迭代积分过程。Lin等[20]考虑了建筑结构高度和自然振动周期等参数，并使用支持向量机（SVM）来预测楼层的峰值加速度。Oh等[21]使用地震振动平均周期和地面峰值加速度等5个参数作为多层感知器（MLP）的输入，预测了结构的最大位移和最大层间位移比。Papadrakakis和Lagaros [22]提出了一种人工神经网络模型，该模型与基于性能的设计过程相结合，可预测建筑物的非线性地震响应。Yang等[23]在经验模态分解和极限学习机的支持下，对强震地面运动和单自由度系统的地震响应进行了多步预测。Sahoo和Chakraverty [24]提出了一种功能链接神经网络来对高层剪力建筑的地震响应进行预测的方法。Tezcan和Marin-Artieda [25]提出了一种最小二乘SVM方法，用于根据测得的加速度估算位移。

随着深度学习的快速发展，越来越多基于深度学习的、具有强大拟合能力的模型被提出，如卷积神经网络（CNN）[26]、循环神经网络[27]、长短期记忆（LSTM）网络[28]和变压器（Transformer）[29]。Kim等[30]使用CNN预测了非线性磁滞系统的峰值瞬态响应。Kim等[31]的另一项研究使用了贝叶斯深度学习方法，并提供了峰值位移的概率分布。一些研究人员关注结构响应的时间序列预测，基于时间序列信息进行了更精细的预测。Wu和Jahanshahi [32]利用CNN模型研究了多自由度建筑结构的结构动态响应估计和系统识别问题。Gao和Zhang [33]利用LSTM网络实现了结构响应预测。Zhang等[34]提出了一种用于预测非线性结构地震响应的LSTM网络。Zhang等[35]提出了一种物理引导的CNN模型，以提供数据驱动的地震响应预测。预测结果与实际结构振动响应相比在10%的置信区间以内，置信度超过88%。Perez-Ramirez等[36]提出了一种采用贝叶斯训练和互信息的循环神经网络，用于大型建筑物的响应预测。Peng等[37]使用分段线性最小二乘法、前向连接神经网络和LSTM网络，利用自回归方法预测节点的响应时程。对一个六层钢结构模型进行了结构响应预测实验。Eshkevari等[38]受精确数值微分方程求解器的启发，提出了一种DynNet网络，该网络通过构建循环神经元，利用神经连接更新当前时间步到下一时间步的状态。该方法在四自由度结构上进行了测试。

这些方法可用于预测结构响应时程。但是，它们只能预测建筑结构中几个节点或楼层的整体响应时程，无法实现更准确的损坏评估。此外，上述研究并未考虑结构的动力特性等物理信息。相反，这些方法仅利用大量数据或物理规律进行数据驱动拟合。最后，受限于数据驱动模型的拟合能力，目前大多数研究只关注单层结构或简化的多层建筑的响应预测，而非更复杂的高层建筑响应预测。

为解决这些问题，本研究结合结构物理信息，提出了地震作用下大量节点结构响应的实时预测方法。实时响应预测方法引入了建筑结构的动力特性和其他固有的结构信息。通过数值计算产生大量数据，从而预测高层建筑的实时结构响应。此外，本研究还提出了一种基于深度学习的Phy-Seisformer模型，可实现地震作用下的高精度实时结构响应预测。本研究的主要创新点概述如下：

（1）提出了一种新的地震作用下结构响应实时预测方法，该方法可以预测结构中的大量节点响应。尽管预测速度非常快，但其精度与有限元时序分析驱动的计算结果非常接近。

（2）提出了一种新颖的深度学习模型——Phy-Seisformer，该模型使用物理估计器来整合结构动态特征信息。所提出的模型可对各种类型的建筑进行高精度预测。通过利用物理估计器，大大降低了模型拟合的复杂性，从而获得了更好的整体预测效果。

2 方法论

2.1 总体流程

图1是本文提出的基于深度学习和物理信息的结构响应时程实时预测方法的流程图。首先，建立结构的细化有限元（FE）模型，并选择大量地震波作为有限元弹性或弹塑性时程分析的输入。上述方法可用于获得地震作用下结构中所有节点的加速度、速度和位移响应时程。尽管高精度FE模型的计算复杂度较高，但其较高的计算精度使得通过大量数值模拟能够生成高精度结构响应数据。随后，在结构动态信息提取模块中，将建筑物的有限元模型简化为集总质量模型，其中有限元模型中的每个楼层被简化为一个质点。在提取简化模型中的楼层结构特征（包括楼层质量和楼层刚度）后，将这些特征输入到Phy-Seisformer模型中。最后一部分是基于深度学习的结构响应时程实时预测模型，称为Phy-Seisformer。模型输入为地震波和结构动态信息，模型输出为结构楼层所有节点的响应时程预测值。响应预测是通过自回归机制实现的。在处理完整地震波时，模型会进行多次自回归迭代计算。因此，所提出的方法可以预测任意长度地震波作用下结构响应的时程。在Phy-Seisformer模型的训练阶段，需要使用FE计算结果创建一个数据集，用于模型参数优化。在模型推理阶段，只需输入地震波和结构动态信息，即可实现结构响应的快速预测，其速度比FE计算快数千倍。结构响应快速预测的结果可用于建筑物损坏等方面的精细化实时评估。

基于物理信息实时结构响应预测方法可有效实现非线性结构响应预测，这主要体现在两个方面。一方面，用于训练Phy-Seisformer模型的数据集是通过非线性FE计算得出的，因此模型的训练数据集本身就具有非线性特征。另一方面，更关键的是，可以通过结构信息提取获得结构楼层的非线性刚度信息，然后将其输入Phy-Seisformer模型。通过Phy-Seisformer模型中的物理估计器模块，可根据结构的非线性刚度信息对集中质量模型进行弹塑性时程分析。因此，该模型可以处理非线性结构信息并进行响应预测。

2.2 结构动态信息提取模块

本研究提出的结构动态信息提取模块的主要功能是提取后续Phy-Seisformer模型所需的楼层结构信息，包括楼层质量和楼层刚度。结构信息提取过程示意图如图2所示。在本研究中，地震波输入是单向的。因此，只需提取FE模型在地震波作用方向上的楼层质量和刚度。

楼层质量是所有结构构件的质量和楼层附加质量的总和。连接上层和下层的结构构件（如柱和墙）的质量在上层和下层之间均匀分布。附加质量是永久荷载和活荷载的等效质量，其具体数值可通过建筑结构设计荷载规范确定[39]。

楼层刚度信息的提取较为复杂。采用经验公式的计算方法[40]不可避免地存在比较大的偏差，需要针对不同的结构采用不同的计算方法，因此过程相对比较复杂。由于FE模型已知，可以通过FE计算获得更精确的结构刚度。在计算特定楼层的刚度时，需要固定上下层所有节点的横向位移，并在特定楼层施加与质量成比例的横向力。之后计算楼层上所有节点的平均位移，并将其视为楼层位移。然后，将横向力除以位移，得出楼层刚度。为了使简化模型的动态特性更接近FE模型的动态特性，应通过刚度缩放使简化模型的第一周期与FE模型在选定方向上的主周期相等。该周期的计算公式如下：

T = 2 π ( M K - 1 ) 1 / 2

式中，T表示FE模型在选定方向上的主周期； M 为质量矩阵； K 为刚度矩阵。因此，为了使简化模型和FE模型的周期相等，可以将简化模型的整体刚度乘以系数S。S的计算公式如下：

S = ( T ' / T ) 2

式中，S表示简化模型的刚度缩放因子；T′是简化模型的第一周期。

2.3 Phy-Seisformer模型的详细结构

本研究提出的Phy-Seisformer模型包括一个物理估计器模块、两个特征提取模块和一个特征聚合模块。其中，每个模块都包含一个SeisBlock模块，该模块主要由多头自注意力机制组成。由于充分考虑了包含楼层质量和楼层刚度的结构动态信息，Phy-Seisformer可以直接预测楼层上所有节点的响应时程。物理估计器的输入为结构动态信息和地震波，输出为楼层响应时程预测值。两个特征提取模块的输入分别是地震波和物理估计器计算结果。由于结构响应不仅与地震波有关，还与结构的历史响应时程有关[37]，因此两个特征提取模块还需要将结构在之前多个时间步的响应时程作为输入。Phy-Seisformer中特征聚合模块的输入是两个特征提取模块的输出，特征聚合模块的输出是结构楼层节点响应的预测值。Phy-Seisformer模型的详细结构图如图3所示。

本研究所提出的Phy-Seisformer模型采用自回归预测方法来预测结构响应。本研究提出的结构响应预测方法是对输入地震波进行分段迭代处理，而不是直接处理整个地震波。在每次迭代预测过程中，模型预测的结构响应输出值将作为后续模型预测的输入分量之一。本研究采用的自回归预测方法示意图如图4所示。在自回归过程中，通过固定模型时间维度上单一输入和输出数据的长度，简化了模型的训练过程，实现了对任意长度地震波输入的结构响应时程预测。此外，该方法不是纯粹的自回归过程，它依赖于历史结构响应，并将地震波结果和物理估计器作为输入。因此，迭代误差对预测精度的影响大大降低。最后，这种方法可以大大扩展训练集中的样本数量，充分利用有限的数据集，实现数据的实质性放大。本节的其余部分将介绍Phy-Seisformer模型的各个模块。

2.3.1 物理估计器

在模型的物理估计器部分，该模块的输入是结构动态信息和地震波，输出是对楼层整体响应时程的预测值。由于这部分的计算过程利用了楼层质量和刚度，并嵌入了结构动力学方程，因此在计算过程中充分考虑了物理信息，而不是单纯利用数据来拟合深度学习模型。所提出的物理估计器模块简化了从地震波到结构响应直接拟合的复杂拟合问题。这就将地震波与结构中任意节点的拟合问题转化为结构响应的近似计算结果与精确计算结果之间的拟合问题。这种简化方法大大降低了地震作用下结构响应预测模型的复杂性，也降低了基于深度学习的模型拟合难度。

具体计算方法使用了简化的数值计算方法快速计算楼层的响应预测值，并将其输入特征提取模块。数值计算方法可以使用任意的多自由度结构响应计算方法。本研究采用Newmark-β方法[41]进行计算。Newmark-β法的基本假设是加速度在 [ t , t + Δ t ]时间间隔内线性变化，其表达式为

u ˙ t + Δ t = u ˙ t + [ ( 1 - γ ) u ¨ t + γ u ¨ t + Δ t ] Δ t
u t + Δ t = u t + u t Δ t + [ ( 1 / 2 - β ) u ¨ t + β u ¨ t + Δ t ] Δ t 2

式中， u、 u ˙和 u ¨分别表示楼层位移、速度和加速度；γ和β是常数； C 表示阻尼矩阵； G 表示荷载矢量。根据结构动力学方程，结构必须满足以下等式：

M u ¨ t + Δ t + C u ˙ t + Δ t + K u t + Δ t = G t + Δ t

将公式（3）和公式（4）代入公式（5），可以得到如下方程：

K ^ u t + Δ t = G ^ t + Δ t

式中， K ^和 G ^ t + Δ t可表示为

K ^ = K + γ β Δ t C + 1 β Δ t 2 M
G ^ t + Δ t = G t + Δ t + M 1 β Δ t 2 u t + 1 β Δ t u ˙ t + 1 2 β - 1 u ¨ t +     C γ β Δ t u t + γ β - 1 u ˙ t + γ 2 β - 1 Δ t u ¨ t

通过求解公式（6），并将 u t + Δ t分别引入公式（3）和公式（4）以计算 u ˙ t + Δ t和 u ¨ t + Δ t。这样就得到了楼层响应的估计值。在本研究中，阻尼矩阵采用瑞利阻尼[42]，其表达式为

C = a 0 M + a 1 K

a 0和a 1 [42]这两个重要参数的计算方法见公式（10）。

a 0 a 1 = 2 ξ ω 1 + ω 2 ω 1 ω 2 1

式中，ξ为阻尼系数。ω 1和ω 2分别为结构的一阶和二阶固有频率。假设结构的FE模型是弹性模型。在这种情况下，简化集总质量模型的刚度矩阵保持不变，且阻尼矩阵是一个恒定值。但是，当FE模型是弹塑性模型时，刚度矩阵会随着楼层位移的变化而变化。变化的刚度矩阵可以通过结构动态信息提取模块中获得的楼层刚度曲线逐步计算出来。将其代入上式，即可计算出弹塑性模型结构响应的近似值。

2.3.2 特征提取模块

在本研究提出的特征提取模块中，首先使用标记嵌入模块对输入特征进行预处理和添加，这让特征通道的数量增加到了512个，并在特征融合中发挥作用。标记嵌入模块主要通过全连接网络或一维CNN实现。标记嵌入模块将地震动和结构响应历史信息作为输入进行整合。位置嵌入用于保留输入数据之间的时间关系[43]。标记嵌入模块的表达式为公式（11）。

D = ∑ k = 1 N ( M L P ( E t - i , k , E t - i + 1 , k , … , E t , k , E t + 1 , k , … , E t + j , k ) +   M L P ( R T H t - i , k , R T H t - i + 1 , k , … , R T H t - 1 , k ) ) + P E

式中，k表示建筑物中要预测的节点；D表示标记嵌入模块的输出结果；t为当前时间步长；E表示地面运动数据；RTH表示响应时程数据；N为节点总数；PE表示位置嵌入[43]；MLP表示多层感知器；i和j分别表示历史时程和预测时程。在完成数据预处理后，SeisBlock模块根据变换器模型进行编码。如图5所示，SeisBlock模块由两个多头线性自注意力模块、一个前馈模块、多个随机失活层和层归一化层（LayerNorm）组成。此外，图5还显示了多头线性自注意力模块的结构图。如式（12）所示，SeisBlock的输入特征根据通道维度的大小被等分为八等份，每个子输入有64个通道，分别作为查询、键和值进行计算。

D h = s o f t m a x Q W h Q ( L h P K W h K d k × L h V V W h V

式中，P、Q和V分别代表关键度量、查询度量和值度量；L是投影层中的全连接层；WQ 和WV 表示多头线性自注意力模块中的可训练权重；D是线性自注意力模块的输出；h代表多头线性自注意力模块中的一个头。得到8个输出特性后，将所有特征在通道维度上进行串联，并通过线性层映射得到输出结果F，其表达式可以用公式（13）来表示。

D = W D D 1 D 2 … D 8

式中，D表示多头线性自注意力模块的最终输出；WD 表示线性层的参数。如图5所示，前馈模块的网络结构包括两个卷积层、两个随机失活层和一个整流线性单元[44]。

最后，对SeisBlock的输出进行单独处理。然后，该输出被输入第一方面的后续特征聚合模块中。然而，通过全连接层，编码特征被映射到所有节点响应时程的维度上，结合地面实况计算损失函数。需要注意的是，这一操作的目的是为了在模型训练阶段获得更好的参数训练效果；因此，这一操作仅在模型训练阶段进行，在推理阶段并不使用。

该输出被馈送到第一方面中的后续特征聚合模块中。

2.3.3 特征聚合模块

在特征聚合模块中，首先将两个特征提取模块提取的特征相加，然后使用SeisBlock模块进行计算。再采用全连接层将计算结果映射到每个待预测节点，得到同一楼层多个节点的响应预测值。在模型训练阶段，两个特征提取模块和特征聚合模块的结果必须经过全连接层的处理。随后，计算并添加损失函数。在模型的推理阶段，特征聚合模块的输出结果将作为最终的预测结果。

3 结构响应实时预测方法实验

本节介绍了4层砌体结构、11层钢筋混凝土不规则结构和20层钢筋混凝土框架结构中多层建筑的数据集生成、模型训练和模型测试。为了验证方法的有效性，为每栋建筑建立了弹性和弹塑性FE模型。随后，测试了Phy-Seisformer在预测弹性和弹塑性模型结构响应时程方面的精度和效率。实验中测试的响应包括加速度、速度和位移。此外，还进行了消融实验，以验证Phy-Seisformer中物理估计器的有效性。此外，还通过对比实验研究了地震波振幅范围对预测精度的影响。

3.1 数据集生成与实验细节

3.1.1 地震波选择

本研究选取了200个地震波，这些地震波来自太平洋地震工程研究（PEER）地动数据库，并已编入建筑抗震设计规范[45]。考虑到实验中使用的所有建筑结构都位于上海，我们选择合适地震波的方法参考了上海《建筑抗震设计规范》[45]中列出的反应谱。上海的反应谱如图6所示。反应谱的表达式为

α = 0.45 α m a x + ( 10 η 2 - 4.5 ) α m a x T n T n < 0.1 η 2 α m a x 0.1 ≤ T n < T g ( T g / T n ) γ η 2 α m a x T g ≤ T n < 5 T g [ η 2 0 . 2 γ - η 1 ( T - 5 T g ) ] α m a x 5 T g ≤ T n < 6.0 [ η 2 0 . 2 γ - η 1 ( 6 - 5 T g ) ] α m a x 6.0 ≤ T n < 10.0

式中， α为地震影响系数； α m a x为地震影响系数的最大值； η 1为直线下降段下降斜率调整系数； η 2为阻尼调整系数；T g为特征周期；T n为结构自振周期。为了选择合适的地震波进行实验，我们采用了一种特定的方法来计算PEER数据库中每个地震波与上述代码中列出的规范反应谱之间的均方误差（MSE）。最后，我们选择了186个均方差最小的地震波，加上《建筑抗震设计规范》[45]中推荐的14个地震波，建立了一个包含200个地震波的实验数据集用于我们的实验。通过这种方法，我们旨在确保所选地震波符合上海地区的特点，并符合推荐的抗震设计规范。对于弹性模型的时程分析，输入地震波不需要调幅。而在弹塑性模型的时程分析中，输入地震波的振幅被调整为350～3500 mm·s-2范围内的随机数。输入地震波的时间间隔为0.02 s。总共随机选择了140个地震波作为训练集，20个作为验证集，40个作为测试集。所选地震波的具体信息见附录A中的表S1。

3.1.2 数据扩充

由于本研究提出的Phy-Seisformer模型可以进行自回归预测等迭代预测，并进一步扩展数据集以发挥深度学习的优势，因此本研究通过重叠分区的方法来扩展数据集。在模型的训练阶段，输入到Phy-Seisformer的结构历史响应是地面实况；因此，训练集中的每个批次都可以在完整的地震波序列中重叠采样，而不是严格按照自回归方法的时间顺序采样。利用基于重叠的数据分割技术为Phy-Seisformer模型生成训练数据集。具体来说，将单个地震波对应的序列划分为数千个等长的时间序列段。相邻片段的起始时间步长仅相差一个时间步长。利用这种基于重叠的分割方法，大大扩展了有限的地震时间序列数据，提高了Phy-Seisformer模型的训练效果。这种操作可以产生重叠的训练数据，从而大大增加了用于训练的数据集数量。在模型推理阶段，必须按时间顺序逐步输入地震波信息。

3.1.3 评估指标

本实验使用的评估指标可大致分为精度和速度。选择平均绝对误差（MAE）、MSE和皮尔逊系数（R）作为评价模型预测准确性的指标。相对于FE方法的计算速度用于衡量模型的推理速度。需要注意的是，MAE和MSE的具体数值与实验中的地震振幅有关。本实验的归一化地震振幅为3.5，经Phy-Seisformer处理后恢复为原始振幅。为了建立统一的评估标准，在计算MAE和MSE时，使用了与3.5地震振幅相对应的响应时程，而不是恢复到原始振幅的响应时程。此外，实验中所有评价指标的值都是测试集中40个地震波的平均值。公式（15）～（18）给出了指标的定义。

M A E = 1 L s ∑ i y i - y i '
M S E = 1 L s ∑ i y i - y i ' 2
R = ∑ i y i - y ¯ y i ' - y ' ¯ ∑ i y i - y ¯ 2 ∑ i y i ' - y ' ¯ 2
η r = t s t f

式中， y i和   y i '分别表示结构响应时间序列中第i个时间步的预测值和实际值； y ¯和 y ' ¯分别表示结构响应时间序列中所有时间步的预测值和实际值的平均值；L s是整个序列的长度；η r是推理的相对速度；t s和t f分别表示使用Phy-Seisformer和FE时程分析计算地震作用下结构响应所需的时间。

3.1.4 实验细节

在本研究中，所有FE计算均使用Abaqus 2020进行。采用了隐式计算方法，该方法要求在模拟的每个增量步骤前进行平衡迭代。如果在某一增量步长内未满足平衡条件，则将增量步长减半，然后重复计算，直至达到收敛。初始增量步长将保留用于后续计算。如果增量步长减小到最小预设值，则计算终止。在本研究中，初始增量步长设置为0.02 s，最小增量步长为1×10-8 s。这些参数是在考虑计算精度和效率之间的权衡后选择的。建筑结构的材料属性将在第3.2和3.3节中详细阐述。

本实验使用的损失函数是MSE损失，其表达式为公式（19）：

J = 1 N d ∑ i = 1 N d ∑ j = 1 N t ( y i j - y ^ i j ) 2 + ( y i j ' - y ^ i j ) 2 + ( y i j ″ - y ^ i j ) 2

式中， J表示损失函数值；N d表示训练数据的批量大小；N t表示单次预测的总时间步数。其中，y、 y '和 y ″分别代表特征聚合模块和两个特征提取模块的输出， y ^是地面实况。在本实验中，在Phy-Seisformer模型的自回归过程中，每个输入结构历史响应的时间步数为150步，每个预测的时间步数为20步。在物理估计器中，γ和β分别为0.5和0.25。

由于单个模型的输入并非完整的地震波，而是局部地震波，因此对模型输入进行归一化处理非常重要。由于训练集中地震波振幅的变化，地震波与结构响应之间的关系只能通过归一化来拟合。如第3.5节所述，将所有输入Phy-Seisformer模型中的地震波的振幅统一调整为3.5。结构响应的振幅使用相同的比例进行缩放。需要注意的是，这些调整仅在Phy-Seisformer模型计算过程中进行，而不是在FE计算过程中进行。此外，当Phy-Seisformer输出预测结果时，将其除以先前的缩放比，以恢复实际响应值。实验使用了Adam优化器[46]。模型训练包括100个历元，学习率为0.00005。所有FE计算均使用Abaqus软件完成，Phy-Seisformer模型的训练使用Pytorch [47]实现。实验在Intel® Xeon® Gold 6248 CPU@2.50 GHz和NVIDIA Telsa V100 GPU上进行。

3.2 弹性模型的结构响应预测实验

3.2.1 案例1——四层砌体结构的弹性模型

本研究对一个四层砌体结构进行了实验[图7（a）]。结构采用砖砌体作为承重建筑材料，层高3.85 m。在用于实验的有限元模型中[图7（b）]，砖砌体的弹性模量和泊松比分别设置为6304 MPa和0.15。此外，砌体结构还包括混凝土结构柱和楼板。混凝土楼板选用抗压强度标准值为25 MPa的C25混凝土，结构采用屈服强度标准值为3×105 kPa的HPB300钢筋。由于实验采用的是弹性FE模型，因此只考虑了材料的线性相作为材料属性。结构的阻尼比为0.05。由于该建筑的X向极易受到地震作用的影响，因此地震波从X方向作用于该建筑。实验选取了大楼四层和屋顶的所有节点，分别为386个和446个节点。该模型针对这些楼层所有节点的加速度、速度和位移时程进行了训练和测试。实验中考虑的响应时程为绝对加速度、绝对速度和绝对位移。实验的详细统计结果见表1至表3。图8提供了结果的可视化图，描述了位于结构顶部（屋顶）的节点在新一代衰减（NGA）03806地震波影响下的加速度、速度和位移的时程预测结果。实验结果表明，本文提出的方法可以对砌体结构进行高精度的响应时程预测。此外，该方法的预测速度比有限元计算快约5000倍。

3.2.2 案例2——11层钢筋混凝土不规则结构的弹性模型

图9是本次试验中使用的11层钢筋混凝土不规则结构的有限元模型示意图和结构照片。建筑物每层高度为3.9 m，建筑材料包括C20混凝土（抗压强度标准值为20 MPa）和HPB300钢筋（屈服强度标准值为3×105 kPa）。由于采用的是弹性FE模型，因此只考虑了材料的线性阶段。对于振幅较小的地震，弹性FE模型的模拟结果较好。结构的阻尼比选为0.0605。所有地震波都施加在Y方向，这是对该建筑抗震最不利的方向。如图9中红色标记所示，选择4层、8层和屋顶的所有节点进行实验，这包括四楼的8个节点、8楼的50个节点和顶楼（屋顶）的50个节点。对加速度、速度和位移时程分别进行了训练和预测。实验中考虑的响应时程为绝对加速度、绝对速度和绝对位移。表4至表6列出了各楼层的加速度、速度和位移响应时程的统计值。图10是预测结果的可视化图，显示了在NR1.1-6地震波激励下，结构顶部（屋顶）节点的加速度、速度和位移的时程预测结果。实验结果表明，Phy-Seisformer模型的预测结果与FE模型的计算结果非常接近，而且计算速度明显提高。

3.2.3 案例3——21层钢筋混凝土框架结构的弹性模型

图11显示了本次实验中使用的21层钢筋混凝土框架结构的有限元模型示意图和结构照片。建筑物每层高度为3.81 m，每三层包括一个由桁架组成的2 m高的加固层。结构材料包括C30混凝土（抗压强度标准值为30 MPa）、C40混凝土（抗压强度标准值为40 MPa）和HPB300钢筋（屈服强度标准值为3×105 kPa）。与之前的实验类似，采用了弹性FE模型，只考虑了材料的线性阶段。结构的阻尼比选为0.0871。由于Y方向是对该建筑抗震最不利的方向，因此所有地震波都施加在Y方向上。实验选取了5层、10层、15层、20层和顶层的所有节点，图11中用红色标出，包括5层71个节点、10层151个节点、15层73个节点、20层73个节点和顶层（屋顶）73个节点。此外，对加速度、速度和位移时程的训练和预测是分别进行的。在本实验中，加速度响应时程是相对于地面的，而速度和位移响应时程分别是绝对速度和绝对位移。表7至表9列出了各楼层加速度、速度和位移响应时程的统计值。图12是预测结果的可视化图，显示了在NGA01817地震波激励下，结构顶部（屋顶）节点的加速度、速度和位移的时程预测结果。这验证了Phy-Seisformer模型在预测高层建筑结构响应方面的准确性和高效性。

3.3 弹塑性模型的结构响应预测实验

3.3.1 案例4——四层砌体结构的弹塑性模型

本研究中使用的四层砌体结构与第3.2.1节中使用的结构相同，只是本实验中使用了弹塑性材料。根据《混凝土结构设计规范》[48]中概述的规范，采用非线性模型模拟混凝土材料的行为。图13和图14显示了混凝土材料的压缩和拉伸应力-应变曲线，以及用于钢筋非线性建模的双线性各向同性硬化模型。砌体的复杂非线性行为的建模方式与Clementi [49]所描述的相同。在FE计算中，砌体材料在单轴压缩和单轴拉伸下的应力-应变本构关系如图15所示。所有其他试验参数与第3.2.1节所述参数相同。表10至表12列出了各楼层的加速度、速度和位移响应时程的预测统计值。此外，图16展示了预测结果的可视化，描述了在NGA01585地震波冲击下，结构顶部（屋顶）节点的加速度、速度和位移的时程预测值。实验结果验证了所提出的结构响应预测方法可以为考虑弹塑性建模的砌体结构提供较高的预测精度。此外，由于FE弹塑性计算明显比弹性计算耗时更多，与FE计算相比，本研究提出的方法在预测使用弹塑性材料的模型的结构响应时速度更快。

3.3.2 案例5——11层钢筋混凝土不规则结构的弹塑性模型

本次试验中使用的11层钢筋混凝土不规则结构与第3.2.2节中描述的建筑物相同，但使用的是弹塑性材料而非弹性材料。混凝土和钢筋的非线性建模方法与第3.3.1节所述方法相同。除材料特性外，其他试验参数与第3.2.2节中的参数相同。表13至表15列出了各楼层的加速度、速度和位移响应时程的统计值。图17是预测结果的可视化图，显示了在NGA01585地震波作用下，结构顶部（屋顶）节点的加速度、速度和位移的时程预测结果。从实验结果可以看出，与弹性FE模型的预测结果相比，采用弹塑性模型的Phy-Seisformer的结构响应预测精度较低。然后，速度和位移的时程预测取得了相对相似的结果。

3.3.3 案例6——21层钢筋混凝土框架结构弹塑性模型

本次试验中使用的22层钢筋混凝土框架结构与第3.2.3节中描述的结构相同。该建筑材料的非线性建模曲线与第3.3.1节所述曲线相同。除弹塑性材料外，所有其他试验参数均与第3.2.3节所述相同。表16至表18列出了各楼层的加速度、速度和位移响应时程的统计值。图18是预测结果的可视化图，显示了在NGA02074地震波激励下，结构顶部（屋顶）节点的加速度、速度和位移的时程预测结果。实验结果表明，所提出的Phy-Seisformer可以利用弹塑性模型数据集对超高层建筑实现较高的预测精度和实时预测速度。

4 消融实验和对比实验

4.1 消融实验

为了验证物理估计器在Phy-Seisformer模型中的有效性，我们对物理估计器进行了消融实验。我们选择了弹塑性模型中11层钢筋混凝土不规则结构中屋顶的加速度响应时程作为消融实验的数据集。测试模型为Phy-Seisformer和不带物理估计器的Phy-Seisformer，以及相应的特征提取模块。实验结果见表19。两种模型在NGA06163和NGA02646地震波输入下的预测结果对比见图19。实验结果表明，添加了物理估计器的模型可以充分利用结构信息，显著提高响应时程预测的准确性。

4.2 地震波振幅对比实验

在弹塑性模型的时程分析中，由于构件的损坏和刚度退化，时程分析的计算结果随着地震波振幅的变化而发生显著变化。本实验旨在探索两种地震波振幅条件下预测精度的差异。在《建筑抗震设计规范》[50]中，上海的抗震设防烈度为7度，结构设计时对应的地震波振幅为2200 mm·s-2。因此，本研究使用相同的200个地震波，在350～2200 mm·s-2和350～3500 mm·s-2两个振幅范围内进行对比实验。数据集使用了11层钢筋混凝土不规则结构顶层（屋顶）所有节点的加速度时程。表20列出了实验结果，其中每个网格中斜线前后的两个数据点分别代表地震波振幅350～2200 mm·s-2和350～3500 mm·s-2两种情况下的实验结果。结果表明，当使用Phy-Seisformer模型对弹塑性模型进行时程预测时，预测结果随地震波振幅范围的变化而变化。当地震波振幅较小时，预测精度相对较高。

4.3 模型选择对比实验

在结构响应预测领域，基于LSTM的模型[33‒34]是最常用的模型之一，也是现有研究中预测精度最高的模型。为了验证本研究提出的Phy-Seisformer模型与现有模型相比的有效性，我们进行了对比实验。为确保Phy-Seisformer与LSTM之间的公平比较，LSTM模型仅替换了Phy-Seisformer中的SeisBlock部分，而模型的其他部分（包括物理估计器）则保持不变。LSTM模型采用了与SeisBlock相同的输入和输出，采用了与Meng等[51]提出的相同的序列到序列结构。对比实验选取弹塑性模型中11层钢筋混凝土不规则结构中屋顶的加速度响应时程作为数据集。实验结果如表21所示，表明Phy-Seisformer在建筑结构响应预测方面明显优于基于LSTM的模型。

5 讨论

本研究提出了一种对建筑结构中多个节点进行高精度实时响应预测的新方法。通过结合结构的物理信息，所提出的方法实现了快速、准确的结构响应预测。通过在各种建筑物上进行一系列实验，验证了所提模型的有效性、准确性和计算效率。针对不同类型的建筑结构，验证了所提方法的有效性。所提出的方法具有在土木工程领域广泛应用的潜力，尤其适用于与各种建筑结构响应相关的快速预测任务。它可以为结构健康监测、地震损坏评估以及建筑韧性评价等其他重要方面提供重要支持。然而，本研究提出的方法并未考虑建筑结构中不同节点之间的空间关系。因此，未来的研究应探索如何纳入这些空间关系，以提高该方法的预测精度。此外，本研究提出的方法还存在一个重要的局限性，那就是它不适用于建筑结构响应过大而导致倒塌的情况。在这种情况下，大变形是一个关键因素，但本文提出的方法并没有考虑结构的大变形。因此，它不能用于分析和预测建筑物在极端荷载条件下的行为。提高Phy-Seisformer模型实际应用性的一个潜在研究方向是增强其在不同建筑结构之间的迁移性。

6 结论

本研究提出了一种基于深度学习和物理估计器的地震作用下高精度实时结构响应时程预测方法。所提出的方法可以预测众多节点的加速度、速度和位移响应时程，从而为后续的结构损伤评估提供必要的输入。此外，本研究还提出了一种基于变压器模型和数值计算方法的Phy-Seisformer模型。通过物理估计器将结构物理信息整合到数据驱动的计算过程中，从而使模型获得更好的预测结果。并且所提出的方法可以轻松应用于高层建筑的结构响应预测。实验结果表明，所提出的方法可以对各种结构进行持续准确的预测，包括4层砌体结构、11层钢筋混凝土不规则结构和21层钢筋混凝土框架结构。值得注意的是，在弹塑性计算中预测建筑物的响应时程时，Phy-Seisformer的预测速度比FE计算至少快一万倍。针对不同类型的建筑结构，对所提出方法的有效性进行了验证。消融实验表明，本研究提出的Phy-Seisformer模型中的物理估计器能够有效利用结构物理信息，取得比简单地动输入更好的预测结果。本研究还考察了不同振幅范围的地震动输入对模型预测效果的影响。试验结果表明，当地震波振幅较小时，模型的预测精度较高。未来的研究应侧重于提高地震波振幅范围更广时的实时结构响应预测的预测效果。

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