基于低色散材料的高效宽带消色差微透镜设计

, , , , , , , , , , 王学倩 , 刘传宝 , 王斐镂 , 罗伟嘉 , 陶承东 , 侯宇煊 , 乔利杰 , 周济 , 孙竞博 , 白洋

工程（英文） ›› 2024, Vol. 38 ›› Issue (7) : 218 -225.

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工程（英文） ›› 2024, Vol. 38 ›› Issue (7) : 218 -225. DOI: 10.1016/j.eng.2023.08.023
研究论文

基于低色散材料的高效宽带消色差微透镜设计

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Highly Efficient Broadband Achromatic Microlens Design Based on Low-Dispersion Materials

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摘要

具有消色差性能的超透镜为具有超紧凑配置的高质量成像提供了新机遇。然而，超透镜制造工艺复杂且聚焦效率低。本研究提出了一种基于低色散材料、精心设计的弧面及厚度分布的设计方法，在波长尺度上实现了消色差微透镜的有效制备。考虑到绝对色差、相对焦距偏移（FLS）和数值孔径（NA），通过我们绘出的几何特征图，可以得到具有一定焦距的微透镜。使用聚焦离子束制备了具有低色散熔融石英的消色差微透镜，获得了精确的表面轮廓。制备的微透镜在410~680 nm可见光波段的平均聚焦效率高达65%，且在白光成像中表现出优异的消色差能力。此外，该设计还表现出偏振不敏感以及近衍射限制的优点。这些结果证明了本研究提出的消色差微透镜设计方法的有效性，扩展了微型光学器件（如虚拟和增强现实、超紧凑显微镜和生物内窥

Abstract

Metalenses with achromatic performance offer a new opportunity for high-quality imaging with an ultra-compact configuration; however, they suffer from complex fabrication processes and low focusing efficiency. In this study, we propose an efficient design method for achromatic microlenses on a wavelength scale using materials with low dispersion, an adequately designed convex surface, and a thickness profile distribution. By taking into account the absolute chromatic aberration, relative focal length shift (FLS), and numerical aperture (NA), microlens with a certain focal length can be realized through our realized map of geometric features. Accordingly, the designed achromatic microlenses with low-dispersion fused silica were fabricated using a focused ion beam, and precise surface profiles were obtained. The fabricated microlenses exhibited a high average focusing efficiency of 65% at visible wavelengths of 410-680 nm and excellent achromatic capability via white light imaging. Moreover, the design exhibited the advantages of being polarization-insensitive and near-diffraction-limited. These results demonstrate the effectiveness of our proposed achromatic microlens design approach, which expands the prospects of miniaturized optics such as virtual and augmented reality, ultracompact microscopes, and biological endoscopy.

关键词

宽带消色差聚焦 / 超材料 / 低分散材料 / 可见光波长 / 微透镜镜）的前景。

Key words

Broadband achromatic focusing / Metamaterials / Low dispersion materials / Visible wavelength / Microlenses

引用本文

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Xueqian Wang,Chuanbao Liu,Feilou Wang,Weijia Luo,Chengdong Tao,Yuxuan Hou,Lijie Qiao,Ji Zhou,Jingbo Sun,Yang Bai,王学倩,刘传宝,王斐镂,罗伟嘉,陶承东,侯宇煊,乔利杰,周济,孙竞博,白洋. 基于低色散材料的高效宽带消色差微透镜设计[J]. 工程（英文）, 2024, 38(7): 218-225 DOI:10.1016/j.eng.2023.08.023

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1 引言

在现代光学系统中，具有色差校正的小型化光学器件在决定高质量精密仪器（如光刻、全彩成像和医学成像系统）的性能方面起着至关重要的作用[1‒3]。为了实现消色差聚焦，通常会将尺寸较大的传统折射光学元件与多个透镜组合，组成体积庞大且笨重的透镜组[4]。

近来，光学超表面的出现为解决这些问题提供了新的机遇[5‒13]。具有波长量级厚度的超表面可以通过调整其纳米结构的几何参数来任意调节光的相位、振幅以及偏振[14]。具体而言，通过使用人工设计的纳米结构来实现聚焦的相位波前，并通过一定的群延迟来消除色散，可以将传统笨重的消色差透镜压缩成一个厚度在波长尺度上的薄层，称为消色差超透镜[15‒28]。根据设计理论，消色差超透镜在整个工作波段内具有完全相同的焦距，呈现完美的消色差成像。但在实际应用中，由于光学响应偏差或实际纳米结构的制造误差，制造出的超透镜在不同波长下仍会显示出不同的焦距范围[29‒34]。在设计过程中，想要达到满足所需光学响应要求的纳米结构，通常需要耗费大量的计算资源和时间，而要制造出具有致密纳米结构的超透镜通常成本高昂[35‒40]。此外，由于纳米结构散射性强，最终成像性能受到弱聚焦效率的限制[41‒44]。

作为微型光学设备的替代技术解决方案，会将传统凸透镜压缩到微米级（称为微透镜）。这些透镜结构简单、紧凑且集成度高，以此为基础还可以设计大规模的微透镜阵列结构 [45‒50]。通过研究材料色散与消色差性能之间的关系，我们发现，采用低色散材料、合理设计的弧面轮廓和整体尺寸，可以使微透镜在不同波长处的焦距偏移（FLS）降低到消色差成像的水平。基于这些发现，我们绘制了可用于不同尺寸微透镜设计的图，所设计透镜均表现出极低的色差，可满足消色差成像的需求。基于该图，本研究利用聚焦离子束（FIB）高效制造出了几种具有不同焦距和尺寸的微透镜，这些透镜由色散极低的熔融石英制成，在410~680 nm的可见光波长范围内具有消色差、偏振不敏感以及高效等特点。

2 结果与讨论

2.1 消色差微透镜设计原理

消色差微透镜的原理如图1（a）所示。通常，聚焦行为会产生一个汇聚的波前，其相位分布φ (r, λ)表示如下[51]：

φ r , λ = - 2 π λ r 2 + f 2 - f + C ( λ )

式中，λ、f和r分别代表波长、焦距和径向坐标；且C(λ)是与径向位置无关的相位，可以作为入射波长的函数任意选择。在此，本研究提出一种具有普适性的选择：   C λ = 2 π α λ λ，其中α(λ)为正值，取决于波长。为了满足等式（1）的要求，在超透镜设计时需要选取精心设计的纳米结构，以在每个r处获得特定的相位调制效果。而在进行微透镜设计时，如果使用的材料折射率为n(λ)，其表面轮廓由d和r确定，其中d是在径向位置r处的透镜厚度，此时该处相位（φ p）可表示为：

φ p = φ d + φ d 1 = 2 π λ n λ d + d 1 ,    d 0 = d + d 1

式中，d 0为微透镜的中心厚度，d为特定半径处的厚度，d 1为微透镜表面到平面1的距离，如图1（a）所示。因此， φ d = 2 π λ n(λ)d是微透镜的透射相位。 φ d 1 = 2 π λ d 1是透镜表面与平面1之间空气中的累积透射相位。因此，当等式（2）中的相位等于等式（1）中的期望波前时，焦距为f的凸透镜的形状可由以下等式得到：

d = - n r 2 + f 2 - f - α + α n n ( n - 1 )

简单起见，可以假设α(λ)等于n(λ)∙d 0。由于材料的色散作用，材料的折射率（n）会随入射波长的变化而变化，因此根据等式（3），微透镜在不同的波长下会有不同的形状，以确保相同的焦距（f）。因此，我们需要以某一个波长为设计波长，确定一个固定的折射率来进行微透镜形状轮廓设计，这个折射率需要使整个设计带宽上的焦距偏移足够小，以满足近似消色差。根据等式（3），此时设计的具有特定形状的微透镜（中心厚度d 0和外半径r 0）会存在色散。

f = r 0 2 - d 0 2 ( n - 1 ) 2 2 ( n - 1 ) d 0
d f = - r 0 2 2 ( n - 1 ) 2 d 0 - d 0 2 d n

等式（4b）表明绝对色差由材料的色散dn直接引起，并与材料的折射率以及透镜的r 0和d 0值的大小有关。理论上，应该选择折射率大且色散弱的材料，但对于自然界中的材料，二者实际上是互相矛盾的。实际设计中，根据等式（4b）中的第二项所示，我们需要等式（4a）中(n-1)d 0保持不变，以确保焦距（f）与设计值相同，因此材料折射率越高，透镜越薄。由此可知，弱色散是材料选择的首要考虑因素。由于透明材料在可见光范围内通常符合柯西色散模型，而且材料折射率随着波长红移会表现出轻微的单调增加，因此在确定材料后，我们应使用工作宽带最短波长处的折射率（工作带宽内最大折射率）来设计等式（3）中的透镜。

此外，我们可以尝试通过设计合适的尺寸r 0来抑制色差。为了进一步验证消色差性能的有效性，我们根据等式（4a）和（4b），增加焦距的变化率：

F L S = d f f = Δ n d 0 2 n - 1 2 + r 0 2 [ r 0 2 - d 0 2 ( n - 1 ) 2 ] ( n - 1 )

式中， Δ n代表色散水平；η= Δ n/(n-1)是一个关键因子。而在材料性质上，高折射率与低色散又相互矛盾。在400~700 nm的可见光波长处，高色散材料具有高η值。例如，TiO2 （n = 2.338， Δ n = 0.225）的η值为0.168，GaN（n = 2.522， Δ n = 0.253）的η值为0.166。然而，低色散材料的η值通常小得多。例如，SiO2（n = 1.431， Δ n = 0.017）和CaF2（n = 1.442， Δ n = 0.010）的η值分别为0.039和0.022。因此，就FLS而言，低色散也是透镜材料的最佳选择，这与前面的规则一致。

最后一个需要考虑的因素是数值孔径（NA），其表达式为

N A = r 0 r 0 2 + f 2

基于上述讨论，透镜的设计是为了在等式（4）~（6）的某些限制下求解等式（3）。使用熔融石英绘制不同尺寸（r 0和d 0）透镜的焦距、FLS、色散焦距|df|和NA值，结果如图1（b）~（e）所示。

从微型化应用角度来看，横向尺寸最好大于10 μm（r 0 > 5 μm），厚度不大于1.5 μm，半径与厚度的比值大于或等于5。据此，可以在图1（b）中勾勒出一个初始区域，该区域包含从19 μm到宏观尺寸的相当大的焦距可设计范围。从消色差聚焦的角度来看，由于熔融石英的色散较弱，在图1（c）的整个图中，FLS均小于10%。如图1（d）所示，焦距绝对偏移（|df |）随f的增大而迅速增大，对于长焦距透镜来说这一点应该予以考虑。如图1（d）中虚线所示，我们根据瑞利判据 λ m i n N A m a x 2 [52]将|df|的上限设定为13.5 μm。从NA值的角度来看，NA > 0.08 的透镜可确保更好的成像性能，如图1（e）所示。如图1（b）的插图所示，根据厚度（d 0 ≤ 1.5 μm）、几何特征（ r 0 d 0 ≥ 5）和NA ≥ 0.08，从该图可勾勒出具有消色差性能的透镜设计区域，其中f范围为29~201 μm，分别用白色和红色数字表示。

2.2 消色差微透镜的制作与表征

我们根据图1（b）中插图中的区域，选择设计和制备了f = 100 μm的熔融石英透镜。使用椭圆偏振仪（VASE椭圆偏振仪，J.A.Woollam，美国）测得熔融石英的光学常数和色散分别为n = 1.431和 Δ n = 0.017。此外，图2（a）显示熔融石英的平均透射率超过94%。透镜的尺寸选择为d 0 = 1.27 μm和r 0 = 10.65 μm，使用等式（3）计算出的微透镜表面轮廓见图2（b）。制备透镜时，使用FIB在100 μm的基底上直接进行灰度刻蚀而成。使用扫描电子显微镜（SEM；Carl Zeiss AG，美国）和原子力显微镜（AFM；OXFORD，美国）对表面轮廓进行了表征，分别如图2（c）和（d）所示。图2（b）显示，实际表面形状与理论形状接近。值得注意的是，微透镜表面有四条略微突出的线条，这是由FIB分区加工的扫描方式造成的。根据附录A中的图S1，这些线的深度约为15 nm，宽度约为400 nm。这些线的深度明显小于工作波长，因此不会在微透镜内部产生额外的共振。根据等式（2），这些痕迹在传播相位上产生的波前剖面畸变约为1%，因此它们对聚焦和成像性能的影响可忽略不计。此外，我们还对沿白色虚线方向的透镜切片轮廓进行了全波模拟，对有突出线条和理想情况进行了比较。图S1（b）~（f）中结果表明，这些线对透镜聚焦性能几乎没有影响。

为了在实验中表征微透镜的光学性能，本研究定制了光学设置，如图3（a）所示。D20的焦距在410~680 nm的宽波段内保持一致，测得的平均焦距为98 μm，如图3（b）所示。这些结果证明，微透镜的消色差性能极佳。如附录A中的图S2所示，实验结果与数值模拟结果也非常吻合，数值模拟结果也预测出了高水平消色差聚焦。

此外，本研究还制作了另外两个不同尺寸和NA值的微透镜（直径D = 29.4 μm、d 0 = 1.54μm、NA = 0.097的D30；D = 10.5 μm、d 0 = 1.05 μm、NA = 0.149的D10）并对其进行了表征和对比。所得的微透镜表面轮廓和消色差聚焦性能结果与D20相似（附录A中的图S3~S5），这证明了本设计方法的通用性。此外，本研究还使用COMSOL Multiphysics软件包（COMSOL Inc.，瑞典）对具有更大尺寸的微透镜（D = 100 μm，NA = 0.264）进行了模拟和分析（附录A中的图S6），这表明本研究的高效消色差设计方法同样适用于大孔径微透镜。

在图3（c）中展示了测试得到的不同入射波长下微透镜D20焦平面上的光强曲线。曲线显示焦斑呈对称分布，这意味着微透镜具有高质量的聚焦效果。此外，我们还进一步分析了三种尺寸微透镜的聚焦性能，如图4所示。从提取的半峰全宽（FWHM）来看，三种微型透镜都显示出接近衍射极限（约 λ 2 N A）的聚焦，与波长呈线性相关[图4（a）中的虚线]。例如，410 nm处的FWHM为1.99 μm，接近1.88 μm的衍射极限。附录A中的图S7显示，在10%的对比度下，410 nm处的调制传递函数（MTF）为262线对(lp)·mm-1。此外，微透镜的斯特列尔比大于0.8，满足衍射极限焦斑的条件。

根据图4（b）所示的焦距，D30、D20和D10的测量FLS值分别为6%、8%和11%。根据归一化强度曲线，D30、D20和D10的|df|值分别为9 μm、10 μm和4 μm，分别接近理论值7 μm、4 μm和1 μm。

图4（c）展示了三个消色差微透镜的聚焦效率，其定义为位于焦平面上的聚焦光斑功率（通过半径为三倍FWHM的孔径的光强度积分）与入射光功率的比值。将相机对准石英基板的透明区域，并将积分区域设置为等于微透镜的直径，随后可进行入射功率测量[27,33,53]。这表明，在整个可见光范围内，D20的聚焦效率在52%~78%之间，而三种不同直径微透镜（D30，66%；D20，65%；D10，66%）的平均效率高于65%。这些值明显高于最近报道的消色差超透镜[54‒56]。图5对超薄消色差透镜在可见波光段上的消色差带宽以及聚焦效率进行了比较。本研究的微透镜具有高聚焦效率以及410~680 nm的宽带工作波长，这表明它们在小型化透镜通常存在的效率和带宽之间的矛盾关系中展现出优异的性能平衡。

2.3 消色差成像能力

为了进一步鉴定消色差成像能力，本研究还搭建了另一种光学装置，如附录A中的图S8所示。实验中我们使用卤素灯（GCI-060101，大恒光学，中国）作为白光源，采用美国空军（USAF）分辨率测试板（R3L3S1N，Thorlabs，美国）作为实验对象，如图4（d）所示。根据微透镜的尺寸，视场中的每组元件（由一个阿拉伯数字或三条平行线组成）均分别成像。如图4（e）中的D20形成的图像所示，即使在白光照明下，色差也能得到很好的校正，并且由于微透镜的四重对称结构，最终形成了偏振不敏感的高分辨率成像。图像上可清晰识别的最小特征尺寸为3.34 μm，与上述衍射极限值接近。此外，由于照明光源中蓝色波长的效率较高，图像呈现出轻微绿色，可以通过调节入射光的三原色的比率来进行修正。高性能消色差透镜是显微生物样本彩色成像的理想选择。图4（g）~（j）为一组染色洋葱细胞、鸟羽、浆果绒毛和草履虫样本的显微图像。图4（k）~（n）为D20消色差微透镜在白光下的成像结果。在洋葱细胞样本中，可以清楚地观察到相对真实的形态和细胞壁结构，表明该透镜具有优异的色差和单色像差校正能力。

3 讨论

本研究提出了在可见光范围内使用低色散材料和弧面设计消色差微透镜的通用设计方法。通过综合设计透镜的总体尺寸、绝对和相对色差以及NA值，本研究绘制出了焦距可设计范围为29~201 μm的微透镜设计图，在实验中，这些微透镜也显示出良好的消色差聚焦和成像性能。理论上，超透镜也可以实现理想的消色差聚焦。然而实际中，由于所制备纳米结构的相位调制能力有限，容易偏离理想的相位以及群延迟，再加上复杂的制造工艺造成的误差，超透镜仍然不可避免地存在一定的色差。与超透镜相比，本研究的微透镜在理论上表现出一定的FLS；然而，通过使用低色散材料、弧面设计以及透镜尺寸调整可以对偏移进行更大程度的校正。此外，微透镜表现出更高的聚焦效率和NA值，且展现出优异的消色差性能。所制备微透镜的厚度可控制在1 μm左右，这种波长可比拟的厚度使其适用于微型仪器设计。本研究的设计和制造工艺已经大大简化，这使得微透镜的焦距、色散参数和效率可以通过材料选择和结构定制来实现接近理论设计的结果。本研究所采用的FIB工艺在步骤简化、精确表面轮廓构造、时间和成本方面具有显著优势。最后，在可见光范围内，各种NA微透镜的平均消色差聚焦效率超过65%。不过本研究的设计也存在一些限制，需要在未来工作中进一步解决：由于材料折射率有限，为了实现波长可比拟的厚度，微透镜的NA和尺寸在一定程度上受到限制，这也进一步导致成像范围有限。在今后的研究中，我们将研究如何使用超薄消色差微透镜来增加视场。

综上所述，本研究设计并制备了一种在可见光下具有高效率的宽带消色差微透镜。这为微型光学器件以及消色差成像拓宽了道路，且有望将其应用于高度集成半导体、超微型显微镜、可穿戴设备、光纤集成以及生物内窥镜等。

4 方法

4.1 微透镜制备

使用蔡司CrossBeam 340（德国）聚焦离子束装置以100 pA的电流确定微透镜的表面轮廓。通过离子溅射在熔融石英衬底上沉积15 nm的金膜，使材料导电，满足FIB工艺要求，在随后的离子轰击处理中，将微透镜区域中的金膜去除。然后校准束流，校正图像色散，防止离子轰击位置随分区扫描而移动。扫描模式固定为双向，精确控制离子束剂量，以制备出精确且连续的微透镜表面轮廓。

4.2 光学表征

在实验设置[图3（a）]中，利用超连续谱激光器（SuperK FIU-15，NKT Photonics，丹麦）作为光源（410~680 nm），并使用声光可调谐滤波器将每个入射波长的带宽设置为10 nm。然后，使用一个与管透镜（f = 200 mm，TTL200-A，Thorlabs）配对的物镜（40×，NA = 0.65，Olympus，日本）来接收通过微透镜的光，物镜沿z轴以1 μm的步长在0~200 μm的范围内移动。最后，使用电荷耦合器件记录透射光的三维强度分布。

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