通用最优轨迹规划——基于最小作用量原理实现自动驾驶

工程（英文） ›› 2024, Vol. 33 ›› Issue (2) : 72 -85. DOI: 10.1016/j.eng.2023.10.001

研究论文

黄荷叶 ^a^,^b ,
刘艺璁 ^a ,
刘金鑫 ^a ,
杨奇松 ^c^,^d ,
王建强 ^a ,
David Abbink ^b ,
Arkady Zgonnikov ^b

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General Optimal Trajectory Planning: Enabling Autonomous Vehicles with the Principle of Least Action

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Received	Accepted	Published
2023-02-18	2023-06-05
Issue Date
2024-06-12

PDF (4654K)

摘要

本研究提出了一种通用的智能车辆最优轨迹规划（GOTP）框架，能够有效地避开障碍物，引导智能车辆安全、高效地完成驾驶任务。首先使用五阶贝塞尔曲线生成并平滑沿道路中心线的参考路径。为了使生成的曲线的曲率尽可能连续，笛卡尔坐标被变换。在曲线坐标系中，考虑道路约束、车辆运动学约束，通过采样生成有限的多项式候选轨迹集合。并在选择最优轨迹时，模拟驾驶人驾驶行为，总结驾驶人“趋利避害”操纵特性，提出了基于最小作用量原理的统一自适应目标函数。最后，基于滚动时域优化的思想，输出最优轨迹规划框架，能够协同规划过程动态多性能目标，并选择满足完备性、最优性和智能化的轨迹。大量的仿真和实验结果证明了该框架的可行性和有效性，能有效避开动态和静态障碍物，适用于多源交互交通参与者的各种场景。同时，与驾驶人操纵轨迹对比，所提出的框架能够满足实时安全规划需求。

Abstract

This study presents a general optimal trajectory planning (GOTP) framework for autonomous vehicles (AVs) that can effectively avoid obstacles and guide AVs to complete driving tasks safely and efficiently. Firstly, we employ the fifth-order Bezier curve to generate and smooth the reference path along the road centerline. Cartesian coordinates are then transformed to achieve the curvature continuity of the generated curve. Considering the road constraints and vehicle dynamics, limited polynomial candidate trajectories are generated and smoothed in a curvilinear coordinate system. Furthermore, in selecting the optimal trajectory, we develop a unified and auto-tune objective function based on the principle of least action by employing AVs to simulate drivers’ behavior and summarizing their manipulation characteristics of “seeking benefits and avoiding losses.” Finally, by integrating the idea of receding-horizon optimization, the proposed framework is achieved by considering dynamic multi-performance objectives and selecting trajectories that satisfy feasibility, optimality, and adaptability. Extensive simulations and experiments are performed, and the results demonstrate the framework’s feasibility and effectiveness, which avoids both dynamic and static obstacles and applies to various scenarios with multi-source interactive traffic participants. Moreover, we prove that the proposed method can guarantee real-time planning and safety requirements compared to drivers’ manipulation.

关键词

自动驾驶 / 轨迹规划 / 多性能目标 / 最小作用量原理

Key words

Autonomous vehicle / Trajectory planning / Multi-performance objectives / Principle of least action

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黄荷叶,刘艺璁,刘金鑫,杨奇松,王建强,David Abbink,Arkady Zgonnikov. 通用最优轨迹规划——基于最小作用量原理实现自动驾驶[J]. 工程（英文）, 2024, 33(2): 72-85 DOI:10.1016/j.eng.2023.10.001

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1 引言

1.1 动机

智能车辆（AV）现成为学术与工业领域的研究热点，被认为有助于提高驾驶安全性和机动性。然而，自动驾驶技术的进步面临若干挑战[1‒3]。一个关键的挑战是如何在动态环境中为车辆规划可行的轨迹，使其不与障碍物碰撞，并满足运动学、环境和时间约束[4‒5]。通常，研究者寻求一种安全、高效且可靠的轨迹规划方法，其具有以下能力：①轨迹可行性[4]。生成的轨迹满足计算资源、时间和运动学约束，受控车辆可以在有限的时间内沿着轨迹到达目的地，而不会陷入局部值。②轨迹优化[3]。在规划过程中，AVs需满足多种性能目标，如驾驶安全性、效率和舒适性，旨在以最短路径和最低能量实现最优性能。③方法适应性[5]。利用规划算法规划具体的驾驶策略和驾驶路径，输出的选择需要具备优秀驾驶人应对复杂场景的能力，从而促进AV在各类场景的迁移性。具体来说，交通环境的复杂性、交通参与者的个体随机性、交互博弈性等使得AV在规划过程中需协同动态多目标。这种选择可以通过简单规则避让行为实现，但在保证安全的同时大大降低了通过性。

因此，考虑可行性、最优性和适应性对于AV安全可靠的轨迹规划具有重要意义。本研究旨在设计一种AV轨迹规划方法，能够在任意不确定性场景下，以统一的目标函数规划最优的、完备的轨迹。

1.2 相关研究

很多研究都集中在动态环境中的实时轨迹规划上。这些算法可以分为五种主要类型：基于图的搜索、采样、人工势场（APF）、人工智能和基于优化的方法[6‒7]。基于图的搜索算法通常将状态空间表示为占据网格，并通过访问网格中的不同状态来提供路径规划的解决方案[8]，如A* [9]、Dijkstra。这种表示允许AVs找到适合低速规划过程的可行解决方案，但在高速行驶中具有挑战性，且计算成本较高。基于采样的代表性算法是概率路线图（PRM）和快速探索随机树（RRT）[10]。RRT允许通过在导航区域进行随机搜索，并在半结构化空间中进行快速规划[11]。但很难生成最优路径，且通常会导致生成的轨迹曲率不连续。Lattice规划器[12‒13]也通过轨迹采样或点阵搜索来进行规划，旨在生成满足车辆运动学约束的平滑且安全的局部轨迹，适用于简单和低速场景，但在复杂交通环境下的应用受限。人工势场法已被广泛验证并应用于多个领域[14‒16]。它能够实现在线动态避障并易于集成至轨迹规划中。然而，局部优化问题限制了其在轨迹可行性方面的应用。虽然近年来研究了逃逸策略、启发式函数等[17‒18]一些策略来解决陷入局部最优的问题，但也增加了参数调整的难度，难以保证搜索算法的收敛性和生成轨迹的最优性、可行性。

随着基于学习的算法的快速发展，基于人工智能或数据驱动的方法在AVs轨迹规划中应用广泛[5,19]。例如，结合端到端决策方法，输入图像被直接转换成AV的控制命令[20]。在高速公路等简单场景中，这种方法比传统方法更有效；然而，由于复杂场景中训练数据的限制和中间输出的缺失，其稳定性和可解释性有待提高[19]。深度强化学习（DRL）也被有效地应用于决策和运动规划。Hoel等[21]结合轨迹规划和DRL，提出了一个灵活的AVs战术决策框架。该框架能够有效地实现与动态环境的交互，但在线规划效率偏低且训练成本较高。Vazquez等[22]提出了一种博弈论模型预测控制器的规划器，该规划器能够输出用于轨迹规划的交互式多智能体神经网络策略。这种规划器在处理静态障碍物场景时表现出色，但在应对复杂的动态交通环境时面临挑战。

在轨迹规划过程中，基于优化方法，离散插值优化算法可以让运动规划器通过考虑可行性、舒适性、车辆动力学等参数，拟合给定的道路描述来绘制轨迹[23‒24]。插值优化算法通常在已有的参考点集内，利用回旋曲线、多项式曲线、贝塞尔曲线和样条曲线，生成一系列动态可行的候选轨迹[25‒26]。例如，在获取障碍物的实时位置时，贝塞尔曲线可以生成安全平滑的无碰撞路径[27]。这类曲线不仅满足其插值点的约束条件，还实现了车辆的动态约束，显著降低了受约束空间的复杂性，并确保了对生成轨迹的精确表达[27]。此外，考虑成本函数的数学优化方法，如期望最大化（EM）规划器[12]，也可以通过分层优化迭代，有效应用于复杂场景。然而，与格子计划器类似，计划器的成本函数采用多种单目标加权方法，这种方法难以确定单个目标的权重以及各种目标之间维数的不一致性。

1.3 贡献和组织

针对现有方法的局限性和AVs实时轨迹规划的性能要求，本文主要研究了：

（1）驾驶人行为策略如何启发车辆轨迹规划过程；

（2）如何确保规划方法的可行性；

（3）轨迹规划过程中如何动态协调多性能目标。

因此，本文提出了一个统一的框架，旨在实现多场景适应与多性能目标协同。如图1所示，本文提出了一个满足可行性、最优性和适应性要求的框架。首先，使用离散插值优化在曲线坐标系中生成参考路径和可行轨迹簇。随后，通过基于最小作用量原理定义了考虑最优性和适应性的统一目标函数，并通过计算每个可行轨迹的实际作用量来选择最优轨迹。最后，基于滚动优化对生成轨迹的速度进行优化，并输出到AVs进行轨迹跟踪和控制。本文的主要贡献如下：

（1）提出了一个风险约束型轨迹规划框架，通过整合滚动优化在动态环境中实现可靠的自动驾驶，确保AVs的轨迹可行性。

（2）结合自然界“最优化”的目的和驾驶人“趋利避害”的特点，提出了一种基于最小作用量原理的通用轨迹规划方法。这在理论上被证明能够实现以人为中心的适应性。

（3）基于驾驶人期望开发了一个统一的目标函数，旨在避免将驾驶过程中的各个目标单独加权，而是统一和自动调整对多个目标的追求，如安全和效率。与现有研究相比，本文提出的通用最优轨迹规划（GOTP）框架可以在复杂的多障碍场景中执行，这些场境是完全通用且符合预期的驾驶行为。

本文的其余部分组织如下。第2节描述了可行轨迹集群的生成。第3节介绍了用于选择最佳轨迹的综合目标函数。验证所提出的算法的实验在第4节中描述。最后，第5节对研究进行了总结。

2 可行轨迹生成

对于AVs来说，轨迹生成主要集中在生成一系列动作，让一个智能体从初始状态到达目标状态。生成可行轨迹簇的整个过程可以分为可行轨迹和速度生成。

2.1 参考路径生成和平滑

通过对大量自然驾驶数据的统计分析（自然驾驶数据库包含33名驾驶人自由驾驶过程的大量数据，在城市道路和高速路段分别采集了469 680帧和278 838帧实验数据）[28]，可以得到驾驶人在驾驶过程中通常尽可能沿中心线行驶的驾驶特性，车辆90%的横向位置都在距车道中心线0.7 m的距离内，从而保证更高的驾驶安全性。

因此，根据驾驶人的驾驶特点，采用类人驾驶思维来体现驾驶人在生成AVs参考路径时追求中线行驶的现象。此外，曲率连续性对于确保可行的轨迹至关重要。假设结构化道路的精确航路点已经给出，本文可以避免全局规划的采样过程。当考虑局部规划时，本文采用贝塞尔曲线来生成和平滑参考路径。与其他曲线生成方法相比，贝塞尔曲线在路径生成效率和灵活性方面具有一定优势，可确保生成轨迹的局部平滑性和曲率连续性[29]。五阶贝塞尔曲线用于平滑参考路径。表达式是：

P t = 1 - t 5 P 0 + 5 1 - t 4 t P 1 + 10 1 - t 3 t 2 P 2 + 10 1 - t 2 t 3 P 3 + 5 1 - t t 4 P 4 + t 5 P 5

（1）

式中，

P i (i = 0,1, …, 5)

表示五阶贝塞尔曲线的六个控制点，

t

表示时间参数。考虑到贝塞尔曲线的性质，五阶贝塞尔曲线具有二阶导数；因此，曲率

ρ

满足等式（2）。

ρ t = P' t × P n t P' t 2

（2）

式中，

P' t

和

P n t

分别代表控制点的一阶和n阶导数。

当平滑整个路径时，两条贝塞尔曲线在拼接位置满足连续性约束条件：①这些位置是连续的；②切线向量是连续的；并且③曲率是连续的。如图2所示，使用量化贝塞尔曲线作为基本框架生成的参考路径可以满足曲率连续性。假设车辆匀速行驶，不考虑沿z轴方向的上下运动；然后，在结构化道路上，可以将车辆的状态分解成四维状态

(x, y, θ i, ρ)

。转向角

θ i

和贝塞尔曲线在沿路径的点

P t = (x (t), y (t))

处的曲率

ρ t

被定义为：

θ i = t a n - 1 x ˙ y ˙, ρ t = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 32

（3）

式中，

x ˙ 、 y ˙

和

x ¨ 、 y ¨

分别是自车车辆的横向和纵向速度和加速度。

2.2 可行路径簇生成

轨迹生成目标是遵循道路约束并符合道路的几何形状，以在驾驶过程中实现更好的舒适性和曲率连续性。因此，必须将笛卡尔坐标转换成曲线坐标，以便在行驶过程中为车辆生成可行的路径簇[25]。首先，通过将参考路径上的点映射到曲线坐标系来从笛卡尔坐标映射参考路径。沿着道路中心线的弧长

s

、横向偏移

l

和参考路径从笛卡尔坐标系转换到曲线坐标系。

基于曲线坐标系，以参考路径为基线，采用与曲线坐标系轴对应的两个参数来表示可行路径簇生成路径的状态。给定在生成路径的当前位置的弧长

s i

和横向偏移

l i

，当采样终端状态时，在结束位置的弧长

s f

和横向偏移

l f

用于生成各种路径的设计参数。如图3所示，本文通过在曲线坐标系中沿s轴横向移动参考路径来生成一组可行路径簇。横向偏移可以满足通过改变它来覆盖道路而产生的所有可能的路径。此外，沿曲线坐标的路径生成更加贴近驾驶操作的真实性，同时，将微分方程约束应用于生成的路径，以确保满足道路条件和车辆动力学的要求。

然后，本文应用三次多项式来平滑生成路径的曲率，以实现从初始横向偏移到采样结束偏移的平滑过渡，并使用横向偏移的一阶和二阶导数来计算它们的曲率[30]。

l s = a s 3 + b s 2 + c s + d, s i ≤ s < s f s f, s f ≤ s

（4）

d l d t s = 3 a s 2 + 2 b s + c, s i ≤ s < s f 0, s f ≤ s

（5）

d 2 l d t s = 6 a s + 2 b, s i ≤ s < s f 0, s f ≤ s

（6）

式中

, a 、 b 、 c 、 d

是三次多项式的系数，可以根据边界条件（如初始和最终位置和速度）来确定。三次多项式的边界约束和车辆与基线之间的航向角差

θ (s)

的约束可以写成：

l s 0 = l 0, l s f = l f, l s i = l i

（7）

d l d t s i = t a n θ s i, d l d t s f = 0

（8）

θ s 0 = θ 0, θ s f = θ f, θ s i = θ i

（9）

在路径生成过程中，需要对车辆运动学模型进行详细描述；车辆运动学模型可以由等式（10）表示。

x ˙ = v c o s θ, y ˙ = v s i n θ, θ = t a n - 1 (y ˙ / x ˙), θ ˙ = v ρ

（10）

式中，

(x, y)

是位置；

θ

是车辆速度角；

v

是速度；

ρ

是曲率。考虑到运动和动态特性存在限制，必须在运动学模型中检查曲率和加速度，以确保合理转向行为的物理可行性，并提高横向跟踪和控制的安全性和平稳性[31]。

在生成可行路径时，整个过程分为路径生成和速度规划。对于速度的部分规划和消除，曲率差分约束运动方程，车辆运动用距离而不是时间来表示。因此，一个变换可以自然地将路径生成分解为空间路径生成和速度生成。采用上述方法可以生成与车速无关的路径。此外，在曲率约束之后生成的路径与参考路径趋势一致，保持固定的横向偏移并形成可行路径簇，如图3所示。

2.3 速度生成

在收集了大范围的候选路径之后，适当的执行速度应该满足以下特征：①连续的速度和加速度；②当以该速度沿着轨迹行驶时，车辆没有侧向运动；③基于加速能力的可行速度限制；以及④需要考虑的软约束，如交通规则和特定的道路条件限制，以实现可行性。参考文献[25]，本文采用梯形框架进行速度规划。

本文采用多项式方法来平滑梯形速度框架下的梯形速度曲线，并避免不利后果，如速度突然变化导致的极端条件，从而降低舒适性。因此，可以分别通过求导和速度积分容易地获得加速度

a t

和路径长度

s t

。参数为：初始速度

v 0

、初始加速度

a 0

、最终速度

v f

和最终加速度

a f

、总路径长度

s f

、最终时间

t f

和未知参数

{a, b, c}

。基于梯形速度分布，速度可以被描述为时间的三次多项式函数，以下的等式给出了其对应关系：

v t f = v 0 + a t f + b t f 2 + c t f 3 = v f

（11）

a t f = a 0 + 2 b t f + 3 c t f 2 = a f

（12）

s t f = v 0 t f + 12 a t f 2 + 13 b t f 3 + 14 c t f 4 = s f

（13）

利用上述公式可以得到多项式平滑后的梯形曲线，保证了加速度和速度平滑的连续性。在实际规划过程中，必须根据实际情况进一步优化速度，并根据不同情况下的速度约束进行动态调整。此外，真实车辆实验中的加速和减速设置相对保守，以确保当线性速度曲线的加速度超过约束时，由三次多项式速度曲线产生的加速度在某些点不存在。

3 轨迹评估和优化

在给定滚动模式中的轨迹规划过程，必须在利用交通环境的结构特征生成可行的有限候选轨迹曲线之后优化和选择最优路径。本节介绍了一个通用的轨迹优化框架，该框架具有一个统一的、自动调整的目标函数，该目标函数采用最小作用量原理来选择最优解。

3.1 基于最小作用量原理的目标函数

轨迹规划子系统对于AVs处理复杂的驾驶场景、其他道路使用者不可预测的行为以及驾驶安全性、效率和驾驶人舒适性的需求至关重要。当执行运输任务时，这个子系统的功能类似于驾驶人的大脑。设计规划算法的关键挑战是如何像人一样行动，通过向驾驶人学习来提高适应性，并获得最佳策略。

为了实现AVs的拟人驾驶，首先考虑驾驶人在驾驶过程中的操纵行为（战术和操作），然后提取驾驶人关注的相关属性，分析要追求的主要目标。最后，通过模仿驾驶人的战术和操作决策策略，本文开发了一个通用的轨迹规划方法。大多数司机在驾驶时追求的基本目标是效率和安全。根据Aart和van Schagen [32]的研究，行驶速度与行驶安全之间存在关系，安全程度随着速度变化率的增大而降低。其他研究也得出了类似的结果[33‒34]，这证实了主要目标之一是驾驶安全。进一步的心理学研究[35]揭示了驾驶人总是寻求更快地到达他们想要的目的地。研究表明，对安全和效率的追求是普遍的。

在建立考虑安全和效率的目标函数时，本文提出驾驶人大脑中的追求可以被描述为追求自然界中各种目标的一种极端状态。AVs的拟人化驾驶过程可以看作是自然规律制约AVs与交通环境相互作用的结果。因此，为了解释驾驶人在驾驶过程中对最优路径的选择，本文引入了最小作用量原理[28]揭示“趋利避害”的驱动机制。最小作用量原理表明，当有多种方法来实现一个过程时，自然总是选择时间和能量消耗最少的一个。虽然根据类比熵的概念，一个系统的能级决定了状态的稳定性，但系统稳定时处于安全状态，对高效率的追求体现在缩短驱动时间上。驾驶过程中对安全和效率的追求也可以用拉格朗日量

L

对时间

t

积分来表示，其中，

L = L x, x ˙ = T - U

，

T

是动能，

U

是势能，

x 、 x ˙

分别是小路段的横向坐标的长度及其斜率。

具体来说，最小作用量原理的引入是受相关力学原理和质点运动过程中最优路径的哈密顿框架建模过程的启发，如图4所示。如果一个物理系统的行为描述是依赖于时间的，则该系统被称为动态系统。系统的行为可以正式描述为相空间或“状态空间”中的运动。人-车-路系统是客观存在的广义动态系统。最小作用量原理可以表示一个物理系统，该系统使用T和U来表示拉格朗日量与时间的积分。在由自由质点组成的系统中，基于最小作用量原理，质点从点1到点2的真实运动导致作用量有最小值。当实际作用

S = ∫ t 0 t f L d t

取极值时，

δ S = 0

，变分问题中的广义坐标描述了力学系统的规律。

t 0

和

t f

是车辆的开始和结束时间点，

L

是实际过程的拉格朗日量。因此，为AVs建立一个追求安全和高效的目标函数可以转化为寻找作用量最小的路径。此外，使用

S *

来表示虚拟机械系统中对应于车辆实际作用量的最小值。

3.2 路径计算和选择

AV以最小的成本到达目标区域，同时避开障碍物并满足相应的约束。它的线性时不变系统动力学表达为[36]：

X t + 1 = A X t + B u t

（14）

Y t = C X t + D u (t) ∈ ℛ (t)

（15）

式中，

X t

是状态向量，

u t

是输入向量。

A, B

是状态转换系数，

C, D

是输出系数。此外，对于环境中静态和动态障碍物的存在，车辆具有动态约束。因此，车辆的局部约束由输出集

ℛ (t)

描述。等式（14）是车辆的状态空间模型，等式（15）是状态和输入需要满足的约束条件，

ℛ (k)

是需要满足时间

t

的约束条件，输出状态向量满足：

Y t ∈ ℛ (t)

。

滚动优化通过考虑目标函数和约束条件，迭代求解问题，可以在有限时间内获得最优输入。因此，优化过程在有限的域内进行，执行新的控制输入以形成新的状态，并基于当前状态输出下一次优化，直到达到目标集

Φ

。因此，所得到的轨迹包括一系列局部最优的片段。目标函数可以在滚动时域中表示为：

S = ∑ k = 0 ∞ J (u t, x t, Φ)

（16）

S * = m i n ∑ τ = 0 H w J u t + τ | t, X t + τ | t, Φ + Z (X (t + H w + 1), Φ)

（17）

式中，

J (*)

是成本函数，

Φ

是目标集。

u t + τ | t

和

X t + τ | t

分别表示在时间

t

到未来时间

t + τ

的控制输入值和预测值。

H w

是一个后退域，

Z (*)

代表终止惩罚项。具体来说，参考现有的研究[37]进行动态参数调整，后退域

H w

被设置为15。

AV在复杂的交通环境中行驶，其中有许多车辆、骑行人、行人和道路设施。车辆之间的动态相互作用可以描述系统动力学。多车辆系统可分为多个两车系统。然后，根据典型的跟车场景划分车辆之间的交互，如图5所示。具体来说，当车辆行驶时，其驱动力将车辆从起点移动到终点。当没有换道（LC）过程时，驾驶人的目标驱动力只存在于纵向；当驾驶人选择改变车道时，由于横向运动，驾驶人的目标驱动力将具有横向分量。在驾驶过程中具体考虑了道路交通限速的纵向约束和道路交通标线的横向约束。跟车过程中的拉格朗日方程为：

L i = T i - U i = 12 m i v i 2 - ∫ t 0 t f R i - G i, x v i, x + F l i, 2 - F l i, 1 - G i, y v i, y d t - ∫ t 0 t f F j i v i - v j d t

（18）

式中，

i

代表车辆

i

；

m i

是车辆

i

的质量；

v i

和

v j

分别是车辆

i, j

的速度；下标

x

和

y

分别表示纵向和横向方位。

G i

是驾驶目标驱动车辆的虚拟驱动力，

R i

是交通规则对驾驶人的纵向约束阻力。

R i

、

G i

的定义可以参考文献[38]。

F l i, 1

、

F l i, 2

代表两条车道线对目标车辆的横向约束力，

F j i

代表车辆

j

对车辆

i

造成风险的外力。

由驾驶人内心目标引起的虚拟驱动力可以用等式（19）表示：

G i = m i g s i n φ i, x, s i n θ i, x = ξ v d e r v l

（19）

式中，

g

是重力加速度；

φ i

是驾驶人对车辆

i

行驶速度的追求，具体地说，

φ i, x

是指在纵向方向上；

ξ

是一个常数，通常当车辆从0加速到平均道路速度（100 km∙h^-1）时，平均加速度约为0.28g，因此在本文中

ξ

= 0.2；

v d e r

是驾驶人的期望速度；

v l

是车道速度限制。

车道边界（如车道线）限制了车辆的横向运动。通常，研究人员使用弹簧模型来描述这种约束[30‒31]：

F l i = 1.5 m i B l l w 2 - r l i

（20）

式中，

B l

代表道路边界的线型（例如，设置

B l = 2

为虚线，

B l = 3

为实线），

r l i

是车辆与道路边界之间的距离，

l w

是车道宽度。

在驾驶过程中，本车的速度以及本车与周围车辆的相对速度直接关系到潜在的碰撞风险。通常，自车的速度越高，碰撞风险越大。本车与周围车辆之间的相对速度越大，对前后车辆的交通干扰和潜在影响就越大。因此，纵向方向上的车辆安全裕度与自车速度和相对速度呈正相关，并且受到驾驶人的椭圆形观察角度分布的限制。横向安全裕度与驾驶人的风险敏感度有关，也受车道限制的影响。考虑到横向速度的有限变化，裕度只能与动态相对距离相关。

此外，考虑到驾驶人的视觉识别能力在驾驶过程中受到显著影响，例如，随着车速增加，视野变得更窄。因此，类似于社会力量[14,39]将驾驶人的视野分布视为一个椭圆，考虑到车辆沿纵轴和横轴行驶对道路交通环境造成的风险存在显著差异，最终将风险分布构造成一个长短轴动态变化的椭圆分布。特别描述了纵向和横向动态安全裕度。

r x = r i j, x + Ψ v i x, v i x - v j x Δ t

（21）

r y = r i j, y + ϵ

（22）

式中，

Ψ (*)

是正相关函数；

Δ t

代表后退时间步长；

ϵ

是横向安全裕度；

r i j, x

、

r i j, y

分别为车辆

i

和

j

在纵向和横向的跟车距离。因此，交通参与者之间的相互作用可以表示为：

F j i = 12 m j v j 2 r i j 1 r x 2 - 1 r y 2

（23）

对于任何驾驶场景，假设交通系统中有

n

辆车辆，车辆

i

的拉格朗日可以描述为：

L i = 12 m i v i 2 - ∫ t 0 t f R i - G i, x v i, x + F l i, 2 - F l i, 1 - G i, y v i, y d t - ∫ t 0 t f ∑ j = 1 n - 1 F j i v i - v j d t

（24）

针对驾驶人追求的安全和效率目标，建立了反映车辆

i

稳定状态的拉格朗日量

L i

。此外，效率可以表示为驾驶过程中消耗的时间。根据最小作用量原理，生成可行路径的成本

S r i s k

可以定义为：

S r i s k = ∫ t 0 t f L i d t = ∫ t 0 t f T i - U i d t

（25）

3.3 速度优化

在时间窗内优化和调整车辆驾驶策略之后，获得最佳动态目标函数为：

S r i s k * = m i n ∑ τ = 0 H w ∫ t 0 t f L i u t + τ | t, X t + τ | t, Φ d t + Z (X (t + H w + 1), Φ

（26）

通过以上步骤计算出最优路径后，最优路径就是满足“

F = m a

”的路径。因此，计算最小值

S R i s k

来求解此路径是合适的，变分法一般用于求解泛函极值。

a r g S r i s k * = a r g m i n ∑ τ = 0 H w ∫ t 0 t f L i u t + τ | t, X t + τ | t, Φ d t + Z X t + H w + 1, Φ = 0

（27）

式中，

S r i s k *

是理论最小作用量，是各轨迹实际作用量

S r i s k

的极值。这个过程的拉格朗日值的变化是0。此外，为了方便起见，在每个时间点将拉格朗日值分解到笛卡尔坐标系，并通过考虑后退最优搜索(

t + τ

)来更新。

L x = 12 m i v i, x 2 - ∫ t 0 t f R i - G i, x v i, x + ∑ j = 1 n - 1 F j i, x v i, x d t L y = 12 m i v i, y 2 - ∫ t 0 t f F l i, 2 - F l i, 1 - G i, y v i, y + ∑ j = 1 n - 1 F j i, y v i, y d t

（28）

因此，需要使用欧拉-拉格朗日方程计算等式（28），其形式为：

d d t ∂ L ∂ q ˙ - ∂ L ∂ q = 0

（29）

因此，对于每步时间

t

，欧拉-拉格朗日方程被替换以获得相应轨迹

T r a O

的最佳速度(

v i, x, v i, y

)。

m i v ˙ i, x - R i - G i, x + ∑ j = 1 n - 1 F j i, x = 0 m i v ˙ i, y - F l i, 2 - F l i, 1 - G i, y + ∑ j = 1 n - 1 F j i, y = 0

（30）

3.4 算法框架

整个过程的实现算法（GOTP）如表1所示。具体来说，可以从四个方面来描述：

（1）生成参考中心线；

（2）生成轨迹簇和相应的速度；

（3）计算可行轨迹的作用；

（4）输出最优轨迹对应的速度。

此外，在获得候选轨迹以寻求期望的多性能最优轨迹后，基于时间窗内的滚动时域优化进一步调整车辆驾驶策略[12]。通过满足曲率连续性和碰撞避免等约束，利用连续滚动动态搜索获得最优解。

具体来说，假设AV的上层（行为规划层）要求自车完成从

t 0

到

t 1

的换道，则车辆需要完成横向的

∆ l

和纵向的

∆ s

移动。并且

s

和

l

可以转化为

s (t)

和

l (t)

。通过获得每个周期的有限组侧向轨迹候选，完成整个规划过程，计算每个可行轨迹的作用，就可以获得满足驾驶人期望的最优轨迹和参考速度。

具体步骤如图6和图7所示。本文设计了一条多车道高速公路，有多个障碍物和两条行驶车道。当车辆检测到障碍物（红色矩形）时，当前车道被视为危险候选车道。基于不同车道的碰撞率，车辆改变车道以避开障碍物。同时，考虑到对效率和舒适性的追求，车辆将试图沿着车道的中心线行驶，并选择最短的路径。因此，图6所示的最低成本轨迹是绿色轨迹。在图6中，轨迹2、4、6、8和10与红色矩形障碍物交互，从而生成与障碍物的时空冲突点。因此，这些轨迹被认为是不安全的。为了找到可行的轨迹，本文使用确定性规划器重新扫描和评估轨迹。选择最佳轨迹的原理如图7所示。为了满足最优性，在搜索最优轨迹的过程中需要同时进行多目标的权衡。例如，方法A和B的计算过程可能找到安全但不一定是最优的轨迹，并停止搜索。相比之下，本文的方法模拟驾驶人的优化过程，并找到满意的解决方案。在此基础上，迭代搜索最优解。

4 实验和结果分析

在本节中描述了在典型交通场景中进行的模拟和实车实验，以验证所提出的自动驾驶汽车GOTP框架的性能，包括其可行性、最优性和适应性。在Matlab仿真实验中，比较了该框架与传统算法在不同场景下的有效性。在实车测试中，在清华大学课题组拥有的车辆上进行道路实验，以确保结果的直观性和安全性。根据设定的导航点预先设定静态障碍物位置和动态障碍物范围，然后获取真实的驾驶人数据进行对比和验证。

4.1 换道仿真实验

换道场景在实际交通中是典型和频繁的。一个成功的换道轨迹规划器首先要保证不与其他障碍物发生碰撞，同时满足效率和舒适性等多个目标的追求。

为了定性展示所提方法的优势，图8显示了一个典型换道场景的示例。黄色车辆代表自车，绿色、蓝色和紫色车辆代表周围车辆。在规划过程中，为了更好地可视化规划过程，本文使用动态滚动规划来进一步演示规划器预测未来某个时间的位置。当同一时间轴上的两辆车的位置不重叠时，发生安全变道，如图8（a）~（c）所示。然而，如果随着时间的推移，安全间隙很短，那么时空位置就会有重叠。图8（d）示出了一个例子。此外，相应的过程可以通过车辆相互作用位置的时空演变来描述，如图8（e）所示。

基于Matlab自动驾驶工具箱，将提出的方法与Matlab的车道变换决策逻辑和轨迹规划算法进行了比较。时间间隔（THW）被设定为一个安全约束条件，用于评估特定交通状况的危险程度，以便进行比较。如表2所示，通过在周围车辆恒定速度（CV）和恒定加速度（CA）的两种情况下将所提的方法与基于THW安全约束的规划方法进行比较，结果表明所提的方法在多车辆变道的情况下表现良好。在多车环境下，由于周围多辆车需要并道，目标车道的间隙不够大；因此，需要找到合适的安全边界来完成变道。与THW方法相比，提出的GOTP框架在满足效率要求的同时，对于在这种具有挑战性的情况下寻找安全换道轨迹是可扩展的。

4.2 多车道超车仿真实验

4.2.1 案例研究1

当静态和移动障碍物同时存在时，会出现具有挑战性的驾驶场景，如多车道超车。为了定性地展示所提方法的优势，在典型的超车场景中测试了GOTP。图9（a）示出了自车沿着道路中心线行驶。静态障碍物位于当前车道和左侧车道。自车必须规划一条从起点到终点的合理可行的轨迹。GOTP框架计算从每个可能的曲线到最近的障碍的距离，以确定允许的速度。图9（b）中标记为“GOTP”的轨迹是由所提出的规划器找到的全局最优轨迹。为了比较，本文输出了基于APF和A*方法规划的轨迹。表3列出了具体的计划路径长度和时间。结果表明，GOTP能以最短的规划路径和规划时间有效地确定全局最优轨迹。APF可能陷入局部最优过程，导致最长的规划路径和时间。A*得到的曲线偏离了道路中心线，轨迹质量不高。图9（c）显示了嵌入GOTP的自车车辆的纵向和横向速度曲线。由于加速度的约束控制，车速平稳变化，避免了LC过程中车辆的突然加速或快速减速，保证了轨迹生成的舒适性。

4.2.2 案例研究2

再者，AVs在动态交通中行驶时前方有障碍物，包括各种情况下的快慢车并道，往往需要完成连续超车的任务。图9（d）显示了迎面而来的双车道公路上超车场景的初始配置，周围车辆以10 m·s^-1的恒定速度行驶。超车场景要求快速车辆理解周围车辆的潜在LC意图，并做出适当反应以完成超车。自车必须在不与周围车辆发生碰撞的情况下决定超车时机和超车过程的最佳轨迹。

实验表明，自车在超车过程中会稍微加速，以利用第一辆和第二辆迎面而来的车辆之间的空间进行超车。同时，自车避免与其车道上的所有车辆相撞。在有移动障碍物的情况下，必须考虑滚转规划，并且所有障碍物都要进行安全测试，以避免碰撞。所以在动态规划的过程中，通过不断的优化，如表3所示，所提GOTP找到了一条安全连续的超车曲线；但是基准（A*和APF规划器）很难在各种参数设置下完成连续超车的过程。

不同情况下的测试结果表明，GOTP可以在各种挑战性场景中实现安全舒适的轨迹，避开静态和移动障碍物。此外，这种方法可以提供适当的加速度来控制车辆进行节流和制动。使用适当的速度来确保车辆以安全的速度行驶。

4.3 实车测试

此外，本文使用真实的车辆来测试所提出的规划方法。基于一个实车平台，首先收集经验丰富的驾驶人的驾驶数据。采用两个经典的驾驶人模型——跟驰模型（Gipps）和LC轨迹模型（MOBIL）[40‒41]——比较GOTP框架和现有的典型驾驶人模型之间的差异。在典型的跟车、超车和后车加速场景中测试和验证这些模型，并将它们与经验丰富的驾驶人的驾驶轨迹进行比较。

在分析动态交互交通中AVs的“感知-决策-控制”过程时，可以通过比较相同条件下自车驾驶人、GOTP框架和Gipps/MOBIL模型的一些评价指标来量化轨迹规划的性能。基于速度变化和行驶轨迹特征，本文选择了三个度量标准：速度相似性、平均时间一致性和加减速的关键时刻。图10示出了冲突车辆在跟车场景中由于前方自行车障碍物的干扰而突然刹车，并且自车驾驶人GOTP采取行动以避免碰撞。结果表明，自车驾驶人和GOTP的速度曲线相似（两条速度曲线都经过了平滑和简化），临界加速和减速时刻达到了高度一致（

∆ t c 1

≤

0.17 s, ∆ t c 2

≤

0.25 s

）。例如，GOTP输出的减速峰值力矩与驾驶人的制动行为一致。

图11（a）~（c）分别示出了三种不同情况（跟车、超车和后车加速）的结果。具体地，在图11（a）、（c）中，在跟车和后方车辆加速场景中，与典型的Gipps模型相比，GOTP可以在加速和减速的速度跟踪和预警方面驱动车辆以与驾驶人具有高相似性。具体来说，平均速度大于Gipps车型，在确保驾驶安全的同时实现了更高的效率。在图11（c）中，GOTP和Gipps模型感知到由于后方车辆加速引起的车辆之间的相对距离和速度的变化，因此，他们采取加速行为，提高速度。驾驶人存在盲点，对潜在风险不敏感，这增加了自车的风险。因此，GOTP模型允许多方向的风险敏感性。

如图11（b）所示，与MOBIL相比，GOTP方法与超车场景中的驾驶人速度具有更高的一致性。对周围车辆的切入反应更加敏感。相比之下，MOBIL在减速过程中反应较慢，导致切入过程中平均速度较高，以较高的效率降低了安全性。通过在不同场景下对实车进行测试，结果表明GOTP在纵向和横向全向场景下具有更强的风险敏感性，能够针对不同场景实现高效安全的动态平衡，并追求输出轨迹的最优性。

4.4 讨论

在复杂的动态碰撞场景中，驾驶人、提出的GOTP和经典方法的作用不同，导致不同的应用结果。如图12所示，识别人类对紧急情况和潜在危害的自然反应对于在不确定情况下做出安全决策至关重要。一个有趣的讨论话题是，在多大程度上可以利用人类对风险敏感的自然行为来开发安全系统。司机每次看路，都会重新规划一个驾驶政策。驾驶人通过经验获得当前的车辆驾驶策略。然而，由于驾驶人的局限性（包括不同的驾驶经验和驾驶风格），基于经验的政策在极端场景下会失效，并导致交通事故。

经典方法通常基于规则，试图预先确定如何处理每个障碍物时，困难是显而易见的：①很难理解和预测障碍物如何与自车相互作用，因此它们的跟随运动难以描述，很难用约束和规则来表征；②当多个障碍物阻塞道路时，无法找到满足所有预定决策的轨迹概率大大提高，从而导致规划的失败。因此，在不同场景下，会增加应用的失败概率。

针对现有智能车辆轨迹质量评估函数形式多样、权重分配主观性强、场景适应性差等问题，本文提出了基于最小作用量原理的轨迹规划方法。GOTP方法将规划过程分为可行轨迹生成和轨迹决策两个阶段，学习优秀驾驶人操纵机制建立了兼顾安全与高效的轨迹质量综合评价函数，实现不同场景下智能车辆轨迹质量评估函数的客观表达，可用于解决复杂环境下轨迹规划问题。追求“趋利避害”是AVs会遵循的统一规则。滚动优化概念可以确定每个时刻的优化性能指标。借助于一个与交通参与者交互关系相关的动态目标函数设计，有利于规划时跳出局部最优值，完成全局优化。同时，由于GOTP算法在目标函数的设计中考虑了与周围交通参与者（动态车辆和其他道路使用者）的相互作用，风险有界约束理论上可以使AVs在动态环境中实现安全驾驶。基于仿真和实车验证，GOTP可用于解决复杂环境下的轨迹规划问题，并确保车辆在优化求解过程中获得积极的性能。

此外，如图13所示，在不同场景下进行轨迹规划时，需要实现驾驶安全性、高效性、舒适性等多性能目标，达到所输出轨迹的路径最短、能量最少的最优性能。而基于最小作用量原理的GOTP框架，是从大量驾驶人自然驾驶数据中挖掘行为特性，并与自然界物理系统属性相结合，能够规避驾驶人的有限理性和认知偏差。特别地，由于统一的目标函数，可以有效地避免在不同场景中分别调整不同目标的权重的需要。相反，可以实现根据驾驶人的内在需求在各种情况下追求目标的动态平衡。

5 结论

本文提出了一种通用的自动驾驶汽车最优轨迹规划框架，该框架适用于各种类型的道路，并使自动驾驶汽车能够有效地避开动态和静态的周围障碍物。GOTP框架基于最小作用量原理的统一目标函数，符合驾驶人“趋利避害”的特性，可实现运行过程中安全、高效多目标优化和适应性。并基于滚动时域优化的思路，集成结构通过考虑风险约束、基于模型的反馈控制和连续优化来解决轨迹优化问题，从而产生在典型场景中具有积极性能的轨迹。

通过在换道场景、多车道超车场景的仿真验证和多类型实车实验验证，实验结果表明，基于最小作用量原理的轨迹规划算法可以有效地应用于安全变道、安全裕度保持和连续超车等场景。它考虑了驾驶人的行为特征和决策过程所需的速度，同时保持安全高效的驾驶，碰撞避免率达100%，换道成功率达87%，并能实现连续超车换道行为。与现有研究工作相比，所提出的规划器的优势在于能够在复杂的多类型场景下安全高效执行，并符合优秀驾驶人动态多目标的预期行为策略。未来的工作包括输入不确定性交互对象来源，如动态骑行人、行人等，以期扩展GOTP框架动态安全边界和通用优化目标。

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