北京2022年冬奥会六足冰壶机器人的机构设计与运动规划

工程（英文） ›› 2024, Vol. 35 ›› Issue (4) : 14 -30. DOI: 10.1016/j.eng.2023.10.018

研究论文

尹科 ^a ,
高岳 ^a ,
高峰 ^b ,
陈先宝 ^b ,
赵越 ^a ,
肖宇光 ^b ,
孙乔 ^b ,
孙竞 ^b

作者信息 +

Mechanism Design and Motion Planning of a Hexapod Curling Robot Exhibited During the Beijing 2022 Winter Olympics Games

Ke Yin ^a ,
Yue Gao ^a^,^* ,
Feng Gao ^b^,^* ,
Xianbao Chen ^b ,
Yue Zhao ^a ,
Yuguang Xiao ^b ,
Qiao Sun ^b ,
Jing Sun ^b ,

Author information +

文章历史 +

Received	Accepted	Published
2023-02-06	2023-10-17
Issue Date
2024-06-12

PDF (5792K)

摘要

带有旋转初速度的冰壶在冰面上滑动时，会发生横向移动，这就是“冰壶现象”。冰壶与冰面之间的摩擦力会随着环境的变化而不断变化，因此，冰壶运动需要高超的技巧和经验。冰壶的投掷一直以来是冰壶机器人设计和控制的一大挑战，现有的冰壶机器人通常采用轮式底盘和抓手组合方案，这与人类的投掷动作有很大区别。本文设计并制造了一款六足冰壶机器人，模仿了人类的踢、滑、推和冰壶旋转的动作，并在2022年北京冬奥会上完成了完美的表演。通过改变腿部配置，机器人能够调整自身形态，从而实现行走和投掷任务之间的平稳切换。机器人的控制参数包括踢速 $v k$ 、推速 $v p$ 、方向角 $θ c$ 和旋转速度 $ω$ ，这些参数通过等效摩擦系数 $μ e q u$ 和前后摩擦比 $e$ 来确定。在模拟和实验中，目标停止点和实际停止点之间的稳定误差分别收敛到0.2 m和1.105 m，实验中显示的误差接近轮椅冰壶运动员的误差。这款机器人有望帮助制冰师调整冰面摩擦或协助运动员训练。

Abstract

When a curling rock slides on an ice sheet with an initial rotation, a lateral movement occurs, which is known as the curling phenomenon. The force of friction between the curling rock and the ice sheet changes continually with changes in the environment; thus, the sport of curling requires great skill and experience. The throwing of the curling rock is a great challenge in robot design and control, and existing curling robots usually adopt a combination scheme of a wheel chassis and gripper that differs significantly from human throwing movements. A hexapod curling robot that imitates human kicking, sliding, pushing, and curling rock rotating was designed and manufactured by our group, and completed a perfect show during the Beijing 2022 Winter Olympics Games. Smooth switching between the walking and throwing tasks is realized by the robot’s morphology transformation based on leg configuration switching. The robot’s controlling parameters, which include the kicking velocity vk, pushing velocity vp, orientation angle θc, and rotation velocity ω, are determined by aiming and sliding models according to the estimated equivalent friction coefficient μequ and ratio e of the front and back frictions. The stable errors between the target and actual stopping points converge to 0.2 and 1.105 m in the simulations and experiments, respectively, and the error shown in the experiments is close to that of a well-trained wheelchair curling athlete. This robot holds promise for helping ice-makers rectify ice sheet friction or assisting in athlete training.

关键词

足式机器人 / 冰壶机器人 / 冬季奥运会 / 机构设计 / 运动规划

Key words

Legged robot / Curling robot / Winter Olympics / Mechanism design / Motion planning

引用本文

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尹科,高岳,高峰,陈先宝,赵越,肖宇光,孙乔,孙竞. 北京2022年冬奥会六足冰壶机器人的机构设计与运动规划[J]. 工程（英文）, 2024, 35(4): 14-30 DOI:10.1016/j.eng.2023.10.018

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1 引言

冰壶是一项非常具有挑战性的冬奥会运动，通常被称为“冰上国际象棋”。当冰壶以顺时针方向旋转投掷在冰面上时，会发生向右的横向移动，这就是冰壶现象。冰壶现象是反常的，因为当冰壶在桌面上滑动时，轨迹会向左偏转。令研究人员难以解释的是，冰壶在桌面上的偏转距离与旋转速度呈正相关，而冰壶在冰面上的旋转距离（通常为0.9~1.2 m）与旋转速度的关系较弱。目前，有两种方法解释冰壶轨迹：直观模型和第一原理模型。

直观模型使用假设模型来预测冰壶轨迹，但未考虑冰壶底部滑行带与冰面之间的微观摩擦机制。滑行带是冰壶底部的一个环形环面（半径为60 mm，宽度为6 mm），将其刮擦获得适当的粗糙度，以达到标准冰壶距离。直观模型通常认为冰壶与冰面之间的摩擦力沿滑行带的圆周分布不均。Denny [1,2]提出了两种不同的模型来解释冰壶现象，但两种模型中的摩擦系数不同。研究人员首先提出了左右摩擦模型，但未能产生净侧向力。然后研究人员引入了前后摩擦不对称模型，此模型考虑了冰屑的影响，能够解释后部摩擦大于前部摩擦时的冰壶方向。Maeno [3,4]提出前后摩擦不对称，但他们认为后半部分摩擦较大是由于前半部分形成的液膜蒸发导致温度降低。在低滑动速度1 m·s^-1下，温度降低1 ℃会导致后半部分摩擦增加26%。Penner [5]提出了滑动圆柱模型，该模型成功解释了旋转倒置玻璃在干燥水平台上滑动时的横向偏转，但难以解释冰壶现象。Shegelski等[6]提出摩擦变化是滑行带和冰面之间形成的液膜所致。他们考虑了一个纯摩擦幅度不对称模型，该模型最初随滑行带的圆周变化，然后通过增加摩擦方向的变化来修改模型[7,8]。然而，这些基于液膜的解释存在争议，因为尚未通过实验证实存在能够满足所提出机制的液态水水量。此外，这些模型普遍存在一个问题：它们与冰壶的角速度有关。为了削弱这种相关性，Shegelski和Lozowski [9]提出了一个基于两个物理过程的枢轴-滑移模型——冰壶围绕滑行带下方的一个点进行短暂的枢轴旋转，然后进行较长时间的滑动，研究人员在方程中引入了1 m的固定冰壶距离，使得冰壶轨迹与初始角速度无关。Mancini和Schoulepnikoff [10]改进了枢轴滑动模型，并认为枢轴与滑动时间的比值取决于冰壶速度，但实验和模型之间的纵向距离和旋转速度存在系统差异。

第一原理模型侧重于滑行带下的鹅卵石状凸起与冰面之间的相互作用。Nyberg等[11]提出了一个划痕引导模型，他们认为，前半部分粗糙表面引起的划痕会对后半部分的粗糙表面产生相互作用力，这会导致冰壶方向的偏差。研究人员通过用白光干涉仪直接扫描冰面[12]，可以清楚地观察到交叉划痕。然而，对于不规则的鹅卵石状凸起，摩擦力的计算相对困难和复杂，需要进一步研究。综上所述，由于冰壶的摩擦与普通摩擦学原理相悖，因此尚未开发出一个被广泛接受的模型来完全解释冰壶现象。

随着机器人应用的不断扩展，不同领域的新型机器人不断涌现。运动机器人可以为运动员提供陪伴和娱乐，被认为是机器人技术最有前景的领域之一。迄今为止，机器人已被成功用于踢足球、打棒球，甚至进行高山滑雪。如上文分析所示，在冰壶运动中，运动员很难精确控制复杂的冰壶轨迹；然而，由于机器人具有较高的控制精度和可重复性，所以精确控制复杂的冰壶轨迹对机器人来说很轻松。Kawamura等[13]设计了一种固定机制来投掷冰壶，其主要单元大致分为传送板、直线导轨、框架、投掷方向改变机制、推出机制和旋转机制。该机制固定在冰壶赛场上起滑架的安装孔上（即投掷用的踢踏板）。在人机比赛中，运动员和机器人共享一个踢踏板，整个设备的频繁拆卸大大降低了乐趣和效率。与固定机器相比，使用移动平台的机器人在进行人机交替投掷时更加灵活方便。

移动机器人根据驱动方式可分为四类：履带式、轮式、腿式和轮腿式。履带式机器人不适合投掷冰壶，因为它们的履带很容易损坏冰面。单轮和两轮机器人[14‒16]由于使用倒立摆概念具有机械不稳定性和控制复杂性，也不适合需要稳定性和高精度运动控制的冰壶投掷。相比之下，三轮或四轮机器人可以用于投掷冰壶。哈尔滨工业大学开发了一种四轮冰壶机器人，该机器人结合了轮式通用底盘和抓手，底盘使用深纹轮胎以增加摩擦，但这降低了控制精度。Choi等[17,18]设计了一种由抓手、底盘和摄像臂组成的三轮冰壶机器人，采用滑移率控制器，根据车轮和机器人速度之间的差异防止滑移。这两款机器人能够控制冰壶的投掷速度和前进方向，但由于缺乏冰壶的初始旋转运动，冰壶的方向是随机且不可控的。Won等[19,20]进一步改进了三轮机器人的抓手，以获得旋转能力，其投掷速度、方向和旋转速度由携带的人工智能（artificial intelligence, AI）系统给出。一般来说，轮式机器人在稳定性方面具有优势，但会出现滑移现象。此外，由于机器人的前进动力来自车轮与冰面之间的摩擦，因此这种机器人会损坏冰面的表面。

腿式移动机器人因其灵活的配置转换，在冰壶投掷中具有应用前景。此类机器人通常分为两足机器人[21,22]、四足机器人[23,24]、六足机器人[25,26]和八足机器人[27]。考虑到在冰壶投掷中至少需要两条腿来模拟抓手，三条腿来支撑身体，六足或八足机器人更适用于该任务。两轮[28]、四轮[29,30]或六轮腿式机器人[31,32]在地形适应性和快速性方面表现出色。由于其系统稳定性和腿部可重复使用的内在特性，以及支持其设计、控制、步态规划和避障方法的相关理论，如Chen等[31,32]所提出，六轮腿式机器人在冰壶运动中具有很大的应用潜力。在比较八足机器人和六轮腿式机器人后，本文最终选择使用六足机器人来投掷冰壶，因为这种机器人的机制和控制相对简单。

在这项研究中，本文设计了一种六足冰壶机器人，以模仿人类的投掷动作，包括用腿踢击起滑架和用臂推动并旋转冰壶[33]。该机器人通过后腿与起滑架之间的反作用力获得前进动力，而不是通过脚尖与冰面之间的摩擦力，这有效避免了对冰面造成的损坏。为了完成投掷，六足机器人必须在冰面上以3-3步态移动到起滑架处，然后通过两条前腿抓取并投掷冰壶。因此，六足机器人和四足机器人之间的形态转换可以实现行走模式和投掷模式的转换。机器人的抓取和释放冰壶以及支撑、加速和减速机器人主体的功能是通过多功能腿部设计实现的[34]。一个投掷任务涉及瞄准目标方向、机器人和冰壶的协同滑动以及冰壶的单独滑动，据此，本文建立了相应的解析方程模型。机器人控制系统中的输入参数，包括瞄准角度、后腿踢速和前腿推速，是通过计算估计的等效摩擦系数和前后摩擦比计算得到的。摩擦状态则通过基于历史投掷结果的PI（proportional-integral）控制器重新评估。通过反馈控制，投掷模拟和实验中的稳定误差分别收敛到0.2 m和1.105 m。本文的冰壶机器人具有广泛的应用场景。它可以作为娱乐机器人与人类比赛，为玩家创造新颖有趣的体验，也有助于运动员改进训练策略，还可以代替运动员协助制冰师制冰，因为铺设冰面的过程需要优秀的运动员在固定点投掷冰壶，以检测冰面的冰壶状态。

2 机器人设计

如图1所示，六足冰壶机器人重75 kg，身长0.6 m，身宽0.3 m。前腿和中间腿的小腿和大腿长度相同（0.3 m），而后腿的长度为0.5 m，以获得更长的冲刺距离。机器人共有21个电机，其中18个安装在髋部，用于产生腿部运动，两个安装在前后腿的膝盖上，用于旋转冰壶，另一个安装在身体上，用于驱动手臂。三个集成驱动单元（integrated drive unit, IDU）主要由直流电机、谐波减速器、绝对编码器、驱动器和扭矩传感器组成，为每条腿提供精确的扭矩输出。膝盖和身体上的三个电机在速度模式下工作，便于控制且成本更低。惯性测量单元（inertial measurement unit, IMU）安装在机器人身体上，以获取实际的身体姿态。右后腿编号为1，其他腿按逆时针方向依次编号为2~6。

2.1 冰壶投掷运动

冰壶运动员采用巧妙的方法投掷冰壶。如图2（a）所示，运动员脚上穿着由不同材料制成的两双特殊鞋子。后脚穿着橡胶鞋，以提供相对较高的摩擦力，从而加快身体速度，而前脚上穿着一双塑料鞋，摩擦力较小，以支撑身体的滑动。具体方法如图2（b）所示：首先，运动员瞄准由队友用冰刷标记的目标点。然后，运动员用后腿踢击起滑架，同时用一只手抓住冰壶的手柄，另一只手拿着冰刷以保持身体平衡。接下来，在仅受摩擦力限制的情况下，运动员向前滑行。最后，在到达栏线之前，运动员推动冰壶加速，并使冰壶以一定方向旋转。

受人类动作的启发，机器人采用类似的方法投掷冰壶。首先，机器人通过由激光雷达和摄像头组成的视觉系统瞄准目标方向。雷达用于识别冰面上冰壶的位置，摄像头根据颜色区分冰壶。安装在机器人后侧的机械臂在瞄准前向上延伸，以扩大摄像头的视野，以观察所有冰壶的位置[图3（a）]；瞄准后，机械臂向下缩回[图3（b）]。接下来，机器人前腿上的两个驱动轮开始驱动冰壶旋转。然后，后腿发力踢击起滑架，包括机器人和冰壶在内的整个系统在起滑架的反作用力下向前冲刺[图3（c）]。随后，整个系统的速度在摩擦力的作用下逐渐降低。最后，机器人前腿推动冰壶，并在到达拦线前使冰壶再次加速[图3（d）]。

2.2 形态变换

六足冰壶机器人设计有两个主要功能：行走和投掷。机器人采用3-3步态[35‒36]从体育场外行走至冰壶场地，或在投掷一次后返回至起始区域，这种步态也在其他六足机器人中广泛使用。机器人的形态如图4（a）所示，身体由三角形1-3-5或2-4-6（由相应的足部支撑形成）交替支撑。图4（b）和（c）展示了从行走到投掷的过渡形态。首先，中间腿2和5从反L形态切换到L形态（第2.3节所述），以将质心（center of mass, CoM）位置从形态1-3-4-6调整为形态1-2-5-6，同时前后腿以矩形形态支撑身体。然后，两条前腿折叠成准备抓取冰壶的姿势，中间腿和后腿支撑身体。接下来，机器人降低身体高度，直到前腿中的塑料圆柱体触地；当前腿的圆柱体和后腿的脚尖支撑身体时，中间腿再次切换到反L形态[图4（d）]。最后，机器人进入投掷冰壶的准备形态，其中前腿的塑料圆柱体和中间腿的塑料圆盘提供四个滑动支撑点，两条后腿用橡胶脚尖踢击起滑架，并在滑行过程中保持高于冰面的位置。

2.3 腿部机构设计

四连杆机构广泛用作敏捷足式机器人在矢状面上的腿部机构，如Zhao等[37]、Mao等[38]、Arm等[39]、Kolvenbach等[40]和Boaventura等[41]的研究。这种机构在这些跑步机器人中表现良好，因为在高速奔跑时无需切换腿部配置。在六足冰壶机器人中，腿部配置在L和反L配置之间切换对于形态切换（见第2.2节）至关重要，可重新安排质心位置来避免机器人不稳定。然而，四连杆机构无法主动切换配置，因为在切换瞬间压力角等于90°。因此，本文设计了一种特殊的腿部机构来解决配置切换问题。如图5（a）所示，θ _a、θ _t和θ _s分别是外展角、大腿角和小腿角。腿部在身体和矢状面中的坐标系分别由O_xyz 和O _s- _xyz 表示。位置A是身体和腿部的连接位置。位置B是髋部位置。C ₁（C ₂）是摇杆1（摇杆2）和连杆1（连杆2）的交点，而D ₁（D ₂）是摇杆3（摇杆4）和连杆1（连杆2）的交点。E是大腿和小腿的交点，F表示脚尖位置。这里设计了两个平行四边形机构BC ₁ D ₁ E和BC ₂ D ₂ E来共同驱动小腿。摇杆1和摇杆2由小腿驱动器驱动，并始终保持恒定角度。摇杆3和摇杆4采用了相似的设计。这种设计的优点是至少有一个平行四边形机构始终参与小腿的驱动。当平行四边形机构退化为直线机构时[即当图5（b）中的连杆D ₂ E与连杆C ₂ D ₂重合，或当图5（c）中的连杆D ₁ E与连杆C ₁ D ₁重合时]，另一个平行四边形机构的压力角仍保持锐角，因此可以驱动小腿通过重合姿态。L和反L腿部配置分别如图5（a）和（d）所示，具体的原型设计如图5（e）所示。

2.4 多功能腿部设计

除了行走功能外，冰壶机器人的六条腿还设计有特定的复用功能。如图6（a）所示，膝盖上安装有驱动轮，脚尖上安装有从动轮，髋部上安装有塑料圆柱体。投掷时，两条前腿折叠，使四个驱动轮和从动轮形成四边形包络，以抓住冰壶[图6（b）和（c）]。然后，两个驱动轮同向旋转，以驱动冰壶，两个塑料圆柱体直立以支撑身体。在到达拦线之前，两个从动轮会给冰壶额外的速度，使冰壶与机器人分离。

如图7（a）所示，一个塑料圆盘固定在中间腿的膝盖上。当机器人在冰面上滑行时，橡胶脚尖像起落架一样缩回，滑动的塑料圆盘接触冰面以支撑身体[图7（b）]。塑料圆盘和圆柱筒之间的配合如图3所示。在冰壶与机器人分离后，中腿的橡胶脚尖将接触冰面，以快速减缓机器人身体的速度[图7（c）]。

在投掷冰壶时，后腿从图8（a）所示的位置踢击起滑架至图8（b）所示的位置。在踢腿动作结束时，计划留出微小间隙，使橡胶脚尖离开冰面。与中腿的脚尖类似，在投掷冰壶后，后腿的脚尖接触冰面，以降低投掷冰壶后机器人的滑动速度。

3 建模

当机器人投掷冰壶时，它经历了三个阶段：机器人瞄准、机器人和冰壶一起滑行以及冰壶单独行动。为预测冰壶的轨迹，建立了相应的三个模型。

3.1 机器人瞄准建模

瞄准过程如图9所示。机器人的后腿靠近起滑架，机器人身体必须以θ _c（瞄准校正角）为旋转角，绕两后腿之间的中心点O _c旋转，以使机器人面向目标方向。在旋转前，机器人位置用绿色虚线表示，旋转后的位置由蓝色实线表示。O _b1/O _b2表示旋转前/后的身体中心。O _lr- _xyz 和O _w- _xyz 是激光雷达坐标系和世界坐标系。需要注意的是，如果机器人绕身体中心O _b1旋转，后腿的脚尖将远离起滑架。目标位置

l r t

= [^lr x _t ^lr y _t ^lr z _t]^T在激光雷达坐标系中由激光视觉系统O _lr- _xyz 给出，其在世界坐标系O _w- _xyz 中的位置可表示如下：

P t = R w b 1 l r P t + d l r 0 0 T + P b 1

（1）

式中，d _lr是物体原点与激光雷达坐标系在x方向上的距离，^w P _b1和 P _b1分别是机器人在世界坐标系中的姿态和位置。然后，可以根据4.3节给出的方法获得目标角度θ _c。

旋转前第i条腿在世界坐标系中的脚尖位置表示为P _tipi（i=1, 2, 3, 4, 5或6）。可以通过以下方程获得O _c（P _c）的位置：

P c = (P t i p 1 + P t i p 6) 2

（2）

旋转半径（r）可以写成如下形式：

r = P b 1 - P c 2

（3）

旋转后，身体坐标系O _b1- _xyz 中身体位置的变化可以通过以下方程获得：

b 1 b 2 = r (c o s θ c - 1) r s i n θ c 0

（4）

旋转后的新身体位置（

P b 2

）可以写成如下形式：

P b 2 = P b 1 + R w b 1 P b 1 b 2

（5）

旋转后的新脚尖位置可以通过以下方程获得：

P t i p i' = P b 2 + P t i p i - P b 1 (i = 2, 3, 4, 5) P t i p i' = P t i p i i = 1, 6

（6）

根据插值方法[42]，当机器人身体从

P b 1

移动到

P b 2

，脚尖从

P t i p i

移动到

P t i p i'

(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

)时，机器人可以完成旋转规划，以瞄准目标方向。

3.2 机器人-冰壶组合系统的动态建模

瞄准后，机器人-冰壶组合系统的运动过程可由四个关键帧分为三个阶段（图10）。

阶段1：后腿的脚尖踢击起滑架，产生一段距离d _k，机器人从第一帧移动到第二帧。

阶段2：组合系统在摩擦力的作用下沿固定方向滑行，机器人进入第三帧。

阶段3：前腿将冰壶推过一段距离，机器人进入第四帧。

使用七阶多项式插值生成机器人身体和冰壶（在阶段1和阶段3）在目标方向上的实时位置。实时位置q _int可通过方程（7）获得：

q i n t = c 0 + c 1 t - t 0 + c 2 (t - t 0) 2 + c 3 (t - t 0) 3 + c 4 (t - t 0) 4 + c 5 (t - t 0) 5 - c 6 (t - t 0) 6 + c 7 (t - t 0) 7

(7)

系数可以写成如下形式：

c 0 c 1 c 2 c 3 = q 0 v 0 a 0 2 j 0 6 c 4 = (210 h - T (30 a 0 - 15 a 1 T + 4 j 0 + j 1 T 2 + 120 v 0 + 90 v 1)) 6 T 4 c 5 = (- 168 h + T (20 a 0 - 14 a 1 T + 2 j 0 + j 1 T 2 + 90 v 0 + 78 v 1)) 2 T 5 c 6 = (420 h - T (20 a 0 - 39 a 1 T + 4 j 0 + 3 j 1 T 2 + 216 v 0 + 204 v 1)) 6 T 5 c 7 = (- 120 h + T (12 a 0 - 12 a 1 T + j 0 + j 1 T 2 + 60 v 0 + 60 v 1)) 6 T 7 T h = t 1 - t 0 q 1 - q 0

(8)

式中，

q 0 、 q 1 、 v 0 、 v 1 、 a 0 、 a 1 、 j 0 、 j 1 、 t 0

和

t 1

分别为起始或结束时刻的位置、速度、加速度、急动度和时间；t为当前时间；T和h是插值的时间间隔和位置。边界条件可由以下公式求得：

q 0 q 1 v 0 v 1 a 0 a 1 j 0 j 1 t 0 t 1 = 0 d k o r d p 0 v k o r v p 0000 0 2 q 1 / v 1

(9)

式中，

v k

和

v p

分别是终点时刻的踢击速度和推送速度。

阶段2第k时刻组合系统的加速度a _cs(k)和速度v _cs(k)可以写成如下形式：

m r + m c a c s (k) = - μ r m r g - μ c m c g v c s (k) = v k + ∑ i = 0 k a c s (i) ∆ T

(10)

式中，

u r

、

u c

、

m r

和

m c

分别是机器人和冰壶的摩擦系数和质量；g和ΔT分别是重力加速度和采样间隔。

在阶段3，机器人和冰壶的实时速度可以通过能量守恒来计算。组合系统的总能量E_v (t)在时间k-1时为

E v k - 1 = m r v r (k - 1) 2 2 + m c v r k - 1 + v r c k - 1 2 2

(11)

式中，v _r为机器人速度，v _rc为冰壶相对于机器人的速度，v _rc(k-1)等于v _p(k-1)。

从时间k-1到k，摩擦消耗的能量E _f(k)为

E f k = - μ r m r g v r k - 1 + v r k ∆ T 2 - μ c m c g v r k - 1 + v r c k - 1 + v r k + v r c k ∆ T 2

(12)

在时间k时，组合系统的总能量为

E v k = m r v r (k) 2 2 + m c v r k + v r c k 2 2

(13)

根据在k-1和k时刻的能量守恒，有

E v k = E v k - 1 + E f k

(14)

现在，可以将式（11）至式（13）代入等式（14），机器人速度可以写成如下形式：

p 1 = m r + m c 2 p 2 = m c v r c k + 0.5 μ r m r g ∆ T + 0.5 μ c m c g ∆ T p 3 = 0.5 m c v r c k 2 - 0.5 m r v r k - 1 2 - 0.5 m c v r k - 1 + v r c k - 1 2 + 0.5 μ r m r g v r k - 1 ∆ T + 0.5 μ c m c g × v r k - 1 + v r c k - 1 + v r c k v r k = - p 2 + p 2 2 - 4 p 1 p 3 2 p 1

(15)

冰壶的速度可以写成如下形式：

v c k = v r k + v r c k

(16)

3.3 冰壶滑行的建模

本文提出了一个滑行模型来分析冰壶的运动轨迹。如图11所示，冰壶在冰面上以线性速度Ṙ沿φ方向滑动，以旋转速度

θ ˙

旋转，以公转速度

φ ˙

公转。φ+π/2平面通过冰壶中心，将冰壶分为前后两部分。每部分的质量为m_c /2，摩擦系数分别为μ _f和μ _b。

假设半块冰壶的质量集中在滑行带与前进方向（φ方向）的交点处。φ方向的前后部分的速度（v _fr和v _br）都等于R，而横向（φ+π/2方向）的速度（v _ft和v _bt）可以写成如下形式：

v f t = R φ ˙ + r (θ ˙ + φ ˙) v b t = R φ ˙ - r (θ ˙ + φ ˙)

(17)

前后部分的前向速度和侧向速度之间的角度（λ _f 和 λ _b）分别表示如下：

λ f = R φ ˙ + r (φ ˙ + θ ˙) R ˙ λ b = R φ ˙ - r (φ ˙ + θ ˙) R ˙

(18)

前后部分的摩擦力（f _f和f _b）分别表示如下：

f f = μ f m c g 2 f b = μ b m c g 2

(19)

前后部分的摩擦力可以进一步分解为向前摩擦力（f _fr和f _br）和侧向摩擦力（f _ft和f _bt），如下所示：

f f r = f f c o s λ f f f t = f f s i n λ f f b r = f b c o s λ b f b t = f b s i n λ b

(20)

冰壶滑行的动力学方程可以写成如下形式：

I c θ ¨ = - (f f t + f b t) r m c a t = f b t - f f t m c a r = - f b r - f f r

(21)

式中，

θ ¨

、I _c、a _t和a _r分别是冰壶的旋转加速度、转动惯量、侧向加速度和前进线性加速度。

4 模型分析与匹配

本节建立了上述模型与实际机器人控制系统之间的关系。首先，系统分析了这些模型中所有参数对冰壶轨迹的影响。大多数次要参数设置为固定值，关键参数（包括踢击速度、推送速度和瞄准方向）设置为可变值。其次，由于一次投掷的持续时间较短，冰和冰壶之间的摩擦状态（等效摩擦系数和冰壶前后部分的比率）被认为保持不变，并通过模型匹配进行估计。接下来，根据摩擦确定输入机器人控制器的三个关键参数。最后，根据历史投掷误差调整实际摩擦。

4.1 参数对冰壶运动的影响

阶段3结束时的速度（v _c3）是上述滑动模型的初始速度Ṙ，它决定了前向位移和弯曲距离，而v _r3是机器人的相应速度。踢击速度v _k、阶段2的持续时间t _p2和推击速度v _p是投掷任务中的三个输入参数。阶段1和阶段3的持续时间t _p1和t _p3可以通过等式（9）中的相应速度和距离获得。表1列出了几个典型参数，图12显示了机器人和冰壶的相应速度。表2列出了它们在特定临界时间点的能量，其中E _cs1、E _c3、E _r3、E _cs3、ΔE _cs3和η分别是阶段1结束时组合系统的总能量、冰壶与机器人分离前的能量、分离前机器人的能量、分离前组合系统的总能量、分离前组合系统的损失能量和投掷率（E _c3/E _cs1）。在图12中，曲线1、曲线2和曲线3在阶段2具有相同的踢击速度和持续时间，但推送速度不同。因此，曲线在阶段1和阶段2保持不变。然而，它们在阶段3的持续时间不同，其中时间随着推击速度的减小而增加。曲线2具有最长时间t _p3和最长的滑行距离；因此，在完全分离前的损失能量最大，为9.3984 J，这与最低效率33.58%一致。与曲线1、曲线2和曲线3相比，曲线4、曲线5和曲线6在阶段2具有更长的持续时间，导致阶段2的滑动距离更长，从而降低了效率。阶段2的持续时间对机器人和冰壶的速度来说是一个相对次要的因素，因为速度仅降低了0.03 m·s^-1。曲线1、曲线7和曲线8具有不同的踢击速度，但在阶段2和阶段3具有相同的推送速度和持续时间；曲线8具有更高的踢击速度，导致在分离前滑动距离更长，因此能量损失更多，效率更低。在实际的机器人控制器中，阶段2的持续时间t _p2固定为0.3 s，而关键的投掷速度v _c3由包括踢击和推送速度的主要因素调整。

3.3节的滑行模型是一个直观模型，而不是原始模型，但经过参数匹配后，它仍然符合测量的轨迹，并很好地预测了轨迹。要确定投掷后具有相同初始速度v _c3的冰壶的计算轨迹，有三个重要参数：前后冰壶的摩擦系数比（μ _b/μ _f）、等效摩擦系数μ _equ和初始角速度ω。

首先，为了与冰壶现象保持一致，需要调整比率e以产生正确的偏转方向和轨迹幅度。对于逆时针旋转的冰壶（图11），如果比率e > 1，后部的侧向摩擦力

f b t

将大于前部的侧向摩擦力

f f t

。冰壶在等式（21）中的侧向加速度方向将与

f b t

的方向一致，这表明冰壶的轨迹将向左偏转。如果比率0<e<1，轨迹偏转的方向将与冰壶现象相反。如果比率e = 1，冰壶现象将消失。在

v c 3

= 2.5 m·s^-1、

ω

= 30 r·min^-1和

μ e q u

= 0.01的条件下，具有不同

e

和旋转方向的轨迹如图13所示。冰壶距离与比率e呈正相关，且e越接近1，变化率就越高。这种现象很容易解释，因为当e接近1且变化不大时，前后摩擦系数将发生很大变化，而当e大得多时，即使e变化很大，前摩擦系数也将始终接近零，后摩擦系数将接近0.02。根据测量轨迹中观察到的结果，实际冰壶距离为1~1.3 m。因此可以估计e的值在10~40波动。

冰壶滑行模型中的第二个参数是等效摩擦系数，可以写成如下形式：

μ e q u = μ f + μ b 2

(22)

各部分的摩擦系数与等效系数之间的关系可以通过以下方式获得

μ f = 2 μ e q u e + 1 μ b = 2 e μ e q u e + 1

(23)

图14展示了在相同的条件下，具有不同等效系数的冰壶的计算轨迹。条件为：v = 2.5 m·s^-1，ω = 30 r·min^-1，e = 1或30。等效摩擦系数

μ e q u

越大，滑动和旋转距离越短。向前滑动距离与等效摩擦系数

μ e q u

之间存在非线性关系，当

μ e q u

较大时，距离的变化率较低。

冰壶初始旋转速度的方向和幅度对冰壶轨迹有显著影响。在相同的条件下，即v _c3 = 2.5 m·s^-1和e = 30，不同初始ω的轨迹如图15所示。初始ω仅对冰壶旋转距离有很大影响，对前进距离没有影响。根据冰壶运动员的经验，从分离到停止，冰壶应旋转3~4圈。为了符合实际经验并减少变量的数量，初始ω设定为30 r·min^-1（冰壶和驱动轮的半径比为2.2）。

4.2 模型匹配

冰壶的计算轨迹必须与测量轨迹相匹配。关键策略是调整比率e以获得实际的弯曲距离，并估算等效摩擦系数以控制前向位移，这可以通过以下方程获得

μ e q u = v c 3 2 2 g l

(24)

式中，l为测量轨迹的总长度。

如图16所示，当冰壶以不同的初始速度沿冰壶中心轴（θ _c = 0°）投掷时，测量轨迹（共10次实验）用虚线标记，可以很容易地测量出实际冰壶距离，即从停止点到中心轴的距离偏差。表3列出了相应轨迹的具体信息。分离瞬间的初始速度v _c3约为2.3~2.5 m·s^-1。实际摩擦系数对实际前进距离和冰壶距离有很大影响。使用等式（24）估算相应的等效摩擦系数，不同部分不同比例的摩擦系数可以从等式（23）中获得。记录计算轨迹和测量轨迹中停止点的误差；如果所有投掷任务的摩擦系数比例e = 30，则误差将小于最小白色圆盘的半径（0.15 m）。在图16中，用实线进一步标记了摩擦系数比例e = 30的计算轨迹，并与测量轨迹吻合良好。

4.3 确定参数

冰壶的实际测量轨迹由以下参数确定：踢击速度v _k、持续时间t _p2、推动速度v _p、初始旋转速度ω、初始瞄准方向θ _c、摩擦系数

μ e q u

和比率e。为了减少变量的数量，持续时间和旋转速度分别设置为0.3 s和30 r·min^-1。实际摩擦系数是随时间变化的，最初设置为0.01，这是其他文献[3,11,43]中报道的新冰面上的典型值。根据4.2节的匹配分析，初始比率e设置为30是合理的。通过小间隔计算一系列轨迹，以确定最佳参数，包括v _k、v _p和θ _c。图17展示了以0.05 m·s^-1、0.05 m·s^-1和0.1°的固定间隔进行的搜索结果。评价指标是通过计算轨迹中的停止点与视觉系统中的目标点P _t之间的距离误差的倒数所计算出来的圆的半径，因此具有最大半径的圆的相应参数为最佳参数。图17（a）和（b）是当冰壶以初始ω = 30 r·min^-1和-30 r·min^-1投掷到中心时的搜索结果，而图17（c）和（d）是到达一般目标点[38.61 -0.563]^T的相应结果。在图的每一部分中，右侧的图片显示了v _k-v _p平面的垂直视图。图18显示了使用图17中的最佳参数搜索结果计算出的轨迹。对于投掷任务中的每个目标点，都有两条关于轨迹起点和终点之间直线的对称轨迹，这两条轨迹的初始旋转速度相反，速度分别相同，分别为v _k和v _p。具体来说，图18（a）和（b）中的轨迹关于方向为0°的直线对称，而图18（c）和（d）中的轨迹关于方向为-0.85°的直线对称。

4.4 模型调整方法

在投掷开始时，冰壶与冰面之间的实际摩擦力是未知的，滑动模型参数的初始值只能通过经验获得。应根据前一次投掷的结果来校正实际参数和估计参数之间的误差。对于第一次投掷，初始独立参数μ _equ和e分别设置为0.01和30。然后，可以使用4.3节给出的搜索方法来确定相关参数，即踢击速度v _k、推击速度v _p和初始瞄准方向θ _c。两个经典PI控制器被用来来校正滑动和旋转距离的误差。

踢击前冰壶的初始位置可以写成如下形式：

w c 1 = R z θ c P b c 1 + P w b

(25)

式中，

b c 1

是从机器人身体中心到身体坐标系中冰壶的位置向量；

w b

是由视觉系统给出的世界坐标系中的身体位置。

R z (·)

是围绕z轴的旋转矩阵。滑动距离

l t ̃

的误差可以估算如下：

l t ̃ = w P c d 2 - P w P c 1 2 - w P c a 2 - P w P c 1 2

(26)

式中，

w c d 2

和

w c a 2

分别是冰壶在世界坐标系中的期望停止位置和实际停止位置。

由于初始方向偏差θ _c不为零，因此无法使用模型匹配方法（4.2节）直接测量冰壶距离；但是，在方向调整后，可以在初始机器人坐标系中完成测量。冰壶距离

l c ̃

的误差可以按如下方式计算：

l c ̃ = (P w c d 2 - P w c a 2) T · R z θ 010

(27)

第k次实验（k≥2）中的独立参数调整如下：

μ e q u k = K p μ l t ̃ (k - 1) + K i μ ∑ i = 1 k - 1 l t ̃ (k - 1) + μ e q u k - 1 e k = K p e l c ̃ k - 1 + K i e ∑ i = 1 k - 1 l c ̃ (k - 1) + e k - 1

(28)

式中，K _p、K _i、K _p _e 和K _i _e 分别为μ _equ和e的比例增益和积分增益。

5 模拟与实验

5.1 模拟

采用上述方法进行了五组模拟，每组包含10次，以分析将冰壶投掷到目标点时的收敛性。如图19（a）所示，在每组模拟中，选择均匀分布在蓝色圆圈外缘和圆形区域中心的四个点为目标停止点，并用星号表示，实际停止点用圆圈表示。参数列于表4中，在所有模拟中，实际摩擦系数

μ e q u

和比率e均设置为0.01和25。使用30 r·min^-1的初始顺时针旋转速度（

ω i n i t

）来生成向右弯曲的投掷，反之亦然。在第一次模拟中，

μ e q u

和e的估计参数存在± 10%和±20%的偏差。图19（b）显示了目标停止点和实际停止点之间的距离误差。在模拟1和模拟2中，当估计的

μ e q u

小于实际值时，误差大于零，反之亦然。在模拟3中，绝对误差从3.6 m迅速收敛到0.7 m，然后缓慢降低到稳定的绝对误差0.2 m。应注意的是，通过缩小4.3节的搜索间隔，可以进一步降低模拟中的稳定误差，但是搜索时间将呈立方增加。因此，在所有模拟和实验中，v _k、v _p和θ _c的区间被分别设置为0.025 m·s^-1、0.025 m·s^-1和0.1°，以平衡误差和效率。图19（c）中的箱形图显示了每组中的误差圆的半径，其中两个有限异常值来自每组中的前两次投掷模拟。在第四组模拟中，25%和75%分位数之间的最大偏差为0.113~0.693 m，而第五组中的最小偏差为0.111~0.403 m。第一组中前五个模拟的轨迹收敛过程如图20所示。

5.2 实验

在实验过程中，机器人在冰面上以六足状态行走，并在投掷冰壶时以四足状态爬行。完成投掷后，机器人必须以六足状态返回起滑架附近，然后切换为四足状态进行下一次投掷。投掷过程的循环如图21所示。首先，机器人处于六足状态[图21（a）]；准备寻找起滑架[图21（b）]，并将中间腿从L形切换为反L形，以便将质心定位在由中间腿和后腿组成的支撑多边形内[图21（c）]。然后，它将前腿从垂直状态切换为水平抓取状态[图21（d）]；降低高度，并将后腿放在起滑架上[图21（e）]。接下来，机器人在后腿和中间腿的支撑下调整瞄准方向[图21（f）]。它将中间腿向后旋转以支撑身体，同时前腿上安装有塑料圆柱[图21（g）]。机器人用后腿踢击起滑架以加速[图21（h）]，与冰壶一起滑动[图21（i）]，并用前腿推动冰壶以再次加速[图21（j）]。投掷后，机器人的中间腿切换为反L形并支撑身体，后腿并拢[图21（k）]。前腿切换为垂直状态行走[图21（l）]。最后，中间腿旋转为L形，以3-3步态行走。详细的形态转换视频已在附录A的视频S1中提供。具体的投掷过程如图22所示。机器人和冰壶组合的加速过程可分为三个阶段，如图10所示。投掷后，冰壶在摩擦力的作用下会向前滑行并旋转。向大本营投掷的经典动作见附录A中的视频S2。

5.2.1 误差测量实验

冰壶运动轨迹受踢击速度v _k、推送速度v _p和方向角θ _c的误差以及实际摩擦系数μ _equ和比率e的影响。前三个误差是固有的，取决于机器人性能，其余的是外在的，取决于环境温度、冰面铺设的持续时间以及冰面上的划痕。与模拟类似，三组实验中选定了三个关键点（用星号标记）作为目标停止点，如图23（a）所示。小圆圈表示每组中10次重复实验的实际停止点分布，实验条件列于表5，所有30次实验均使用相同的输入参数，包括初始顺时针角速度30 r·min^-1、等效摩擦系数0.01和比率30。根据4.3节所述的方法搜索了三组输出参数，包括踢击速度、推送速度和方向角。当估计的摩擦系数大于实际值时，目标停止点与实际停止点之间的距离误差小于零。每组中误差圆的半径在图23（c）中用箱形图表示；根据估计和实际摩擦系数的偏差确定的平均值分别为0.798 m、1.488 m和2.868 m。第三组实验的最大偏差为1.312~3.694 m。第一组实验中的所有实际轨迹如图24所示。随着实验次数的增加，滑行距离缓慢减少，这是因为摩擦系数随着时间的推移以及实验过程中产生的划痕的增加而增加。

5.2.2 反馈控制实验

如图25（a）所示，为测试投掷任务的收敛性，进一步完成了对每个目标点的10次投掷实验。初始参数包括等效摩擦系数

μ e q u

、比率e和旋转速度

ω i n i t

，分别设置为0.01、30和-30 r·m^－1。如图25（b）所示，经过两次实验后，三组实验的距离误差从2.214 m减小到约1.1 m。图下方的箱形图显示，大多数实验结果集中在误差圆内，最大半径为1.105 m [第三组实验的结果如图25（c）所示]。与仿真结果类似，异常值仅出现在前几次实验中，主要源于初始估计的摩擦系数与实际值之间的误差。使用反馈控制器来估计等效摩擦系数以收敛误差；第k次实验的估计值列于表6中。在稳定阶段（经过两次实验后）捕捉到

μ e q u

呈上升趋势，这与误差测量中的实验结果一致（5.2节）。图26展示了第一组10个反馈控制实验中的实际轨迹，其中目标点是圆形区域的中心。前几次实验的实际停止点集中在半径为1.83 m的红色圆圈的外边缘，而最后几次实验的实际停止点则位于半径为0.61 m的蓝色圆圈的外边缘。

5.2.3 人机竞赛

为了评估机器人的实战能力，本文分别安排了冰壶机器人与健全运动员和轮椅运动员之间的比赛。根据正式比赛规则，每队交替投掷8个冰壶，最终得分是冰壶最接近圆心的数量。实际投掷场景如图27所示。在比赛中，机器人投掷红色冰壶，运动员使用黄色冰壶。两场比赛的实时进展如图28和图29所示，其中分数记录在子图的左上角。附录A的视频S3和视频S4中也提供了比赛视频。最终，冰壶机器人以两分之差输给了健全运动员，但以一分之差击败了轮椅运动员。比赛结果存在差异的主要原因是健全运动员和轮椅运动员使用不同的方法投掷和控制冰壶。在机器人和轮椅冰壶运动员投掷冰壶后，没有安排运动员在冰壶运动过程中擦拭冰面以进一步控制冰壶轨迹。相比之下，健全运动员安排另一名运动员快速擦拭冰面以减少摩擦并使滑动距离更长。因此，健全运动员通常以相对较低的速度投掷冰壶，并通过擦拭冰面进一步控制轨迹。未来，如果开发出专业的擦拭机器人，机器人将取得更好的比赛成绩。

6 讨论

冰壶与冰面之间的滑动模型在机器人的投掷任务中起着重要作用。滑动距离和冰壶距离主要取决于等效摩擦系数、摩擦比和旋转速度。然而，许多文献报道，冰壶距离对旋转速度的依赖性较弱，并且总是偏离0.9~1.2 m [3,9,11,12,44]。为了避免旋转速度的影响，本文提出的模型在模型匹配、模拟和实验中采用了固定的初始旋转速度30 r·min^-1。当比率等于30时，实现了比中心白圈半径（0.15 m）更短的模型匹配误差0.124 m。值得注意的是，该模型是一个直观模型，而不是基于第一原理的模型，然而它仍然可以快速预测冰壶的轨迹，并为后续的投掷实验生成控制参数。

4.3节搜索参数的小间隔可以进一步减少模拟中的误差，但同时搜索时间会迅速增加。然而，误差的减小受到机器人系统随机误差以及估计摩擦系数与实际摩擦系数间误差的限制。前者是固有的，由控制系统的精度决定，后者是外在的，可以通过反馈控制进行修改。如果随机误差大于搜索精度，缩短间隔将毫无意义。在实验中，通过反馈控制，实际稳定误差可以收敛到1.105 m，接近轮椅冰壶运动员的水平，而模拟中的误差为0.2 m。

7 结论

本研究设计并制造了一种冰壶六足机器人，用于进行冰壶运动。该机器人模仿人类动作，包括踢、滑、推和旋转。本文冰壶六足机器人是第一个成功进行冰壶运动的足式机器人，与现有的轮式冰壶机器人相比，它不仅克服了机器人滑倒和冰面损坏的问题，而且在冰壶投掷方面也取得了优异的成绩。机器人可以通过形态变换完成行走和投掷任务，腿部机构设计中采用了两个平行四边形机构，其中至少有一个机构始终保持平行四边形结构，以实现腿部结构切换。机器人腿部的复用设计实现了多种功能，包括抓取、旋转和推动冰壶，以及支撑、加速和减速机器人身体。系统地建立了机器人瞄准、机器人与冰壶组合滑行以及冰壶单独滑行的模型，以预测冰壶的轨迹。经过模型分析和匹配，选择μ _equ = 1和e = 30作为第一次投掷的初始输入参数。通过搜索方法确定机器人投掷任务中的控制参数，包括踢击速度v _k、推出速度v _p和方向角θ _c，搜索区间分别为v _k = 0.025 m·s^-1、v _p = 0.025 m·s^-1和θ _c=0.1°，以确保良好的精度和效率。在五组模拟中，经过两次投掷任务后，误差从3.6 m快速收敛到0.7 m，然后借助PI控制器缓慢达到0.2 m的稳定误差。在三组误差测量实验中，由于摩擦系数与前一次投掷相比缓慢增加，误差逐渐增加并发散。进一步完成了基于历史误差适应环境变化的反馈控制实验，在所有实验组中经过两次投掷后实现了1.105 m的投掷误差。最后，通过人机比赛进一步验证了本文的机器人在冰壶投掷中的出色表现。

未来，将继续研究冰壶与冰面相互作用的第一原理模型，以预测冰壶轨迹。此外，将通过优化形态转变来缩短时间，提高效率。

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