基于全对称型TRMPC的自动驾驶车辆安全运动规划控制框架

郑浩 ,  李以农 ,  郑玲 ,  Ehsan Hashemi

工程（英文） ›› 2024, Vol. 33 ›› Issue (2) : 161 -175.

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工程（英文） ›› 2024, Vol. 33 ›› Issue (2) : 161 -175. DOI: 10.1016/j.eng.2023.12.003
研究论文

基于全对称型TRMPC的自动驾驶车辆安全运动规划控制框架

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Compliace with ethics guidelines:Hao Zheng, Yinong Li, Ling Zheng, and Ehsan Hashemi declare that they have no conflicts of interest or financial conflicts todisclose.

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摘要

模型失配导致自动驾驶车辆控制层存在多维不确定性，当车辆跟踪由规划层单独优化的理想轨迹时，多维不确定性可能导致潜在危险行为。本研究提出了以安全为导向的运动规划和控制框架以解决此问题。在控制层内，建立包含多维不确定性的动力学模型，并提出全对称型管基鲁棒模型预测控制方案，将不确定系统约束在有界最小鲁棒正不变集内。同时，设计了变截面柔性管，以减少控制器保守性。在规划层内，提出安全集概念以表征多维不确定性下自车和障碍物可能到达的几何边界。安全集提供候选轨迹簇的评估和排序基础。通过自车与障碍物之间安全集的交集检测，实现最优轨迹选取与碰撞缓解策略。数值模拟及硬件在环仿真验证了所提出框架的有效性和实时性。两个典型驾驶场景结果表明，该框架可保证多维不确定性下自动驾驶的安全性。

Abstract

Model mismatches can cause multi-dimensional uncertainties for the receding horizon control strategies of automated vehicles (AVs). The uncertainties may lead to potentially hazardous behaviors when the AV tracks ideal trajectories that are individually optimized by the AV's planning layer. To address this issue, this study proposes a safe motion planning and control (SMPAC) framework for AVs. For the control layer, a dynamic model including multi-dimensional uncertainties is established. A zonotopic tube-based robust model predictive control scheme is proposed to constrain the uncertain system in a bounded minimum robust positive invariant set. A flexible tube with varying cross-sections is constructed to reduce the controller conservatism. For the planning layer, a concept of safety sets, representing the geometric boundaries of the ego vehicle and obstacles under uncertainties, is proposed. The safety sets provide the basis for the subsequent evaluation and ranking of the generated trajectories. An efficient collision avoidance algorithm decides the desired trajectory through the intersection detection of the safety sets between the ego vehicle and obstacles. A numerical simulation and hardware-in-the-loop experiment validate the effectiveness and real-time performance of the SMPAC. The result of two driving scenarios indicates that the SMPAC can guarantee the safety of automated driving under multi-dimensional uncertainties.

关键词

自动驾驶车辆 / 自动驾驶 / 运动规划 / 运动控制 / 管基鲁棒模型预测控制 / 全对称多胞形

Key words

Automated vehicles / Automated driving / Motion planning / Motion control / Tube MPC / Zonotope

引用本文

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郑浩,李以农,郑玲,Ehsan Hashemi. 基于全对称型TRMPC的自动驾驶车辆安全运动规划控制框架[J]. 工程（英文）, 2024, 33(2): 161-175 DOI:10.1016/j.eng.2023.12.003

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1 引言

1.1 动机

自动驾驶车辆因其在增强驾驶安全性、降低能源消耗和优化交通流等方面存在巨大潜力而成为智能交通系统发展的关键环节之一[1‒2]。自动驾驶方案通常为分层架构，包括感知层、规划层及控制层。这些层依赖于传感、网络[3]、复杂算法处理以及电子电气架构的驱动。本研究假设自动驾驶系统的感知层正常运行，重点关注其规划层及控制层。

随着车内先进功能的不断增加，车辆运行阶段的安全至关重要。然而，已有多起涉及自动驾驶车辆的致命事故案例[4‒5]，更凸显了保证自动驾驶安全的重要性和紧迫性。上述事故可归因于自动驾驶车辆面临的三个典型安全问题：功能安全（ISO 26262）[6]、预期功能安全（SOTIF、ISO 21448）[7]以及网络安全（ISO 21434）[8]。三者中，预期功能安全既是当前的学术研究热点，也是自动驾驶大范围应用面临的直接挑战。预期功能安全旨在处理潜在危险行为（potentially hazardous behavior, PHB），包括与规格、性能和态势感知相关的不足或限制，无论有无合理可预见误用，以及周围环境影响（如其他用户、无源基础设施、天气和电磁干涉）。

鉴于此，本研究推断当前自动驾驶运动规划和控制技术也存在属于预期功能安全范畴的问题。例如，模型失配等不确定因素将不可避免地导致未来时域内的控制层误差，而规划层并未考虑控制误差在规划周期内可能的影响。此外，自动驾驶车辆受环境不确定性影响，其执行器和传感器存在一定性能限制。以图1（a）场景为例，自动驾驶中控制不确定性将导致潜在危险行为。然而，迄今为止，大多数研究尚未充分考虑运动控制不确定性对运动规划的影响，控制层跟踪的参考轨迹通常由规划层单独优化。因此，如图1（b）所示，本研究重点在于减少自动驾驶场景类别中可能存在的危险/未知区域。具体而言，本研究生成并跟踪一条可避开障碍物及潜在危险行为的轨迹，并缓解不可避免的碰撞。

1.2 相关研究

自动驾驶规划层直接影响行车安全性。在每个规划周期内，规划层给出最佳驾驶行为决策，并生成控制层参考的无碰撞局部轨迹。由机器人领域延伸的启发式路径规划方法，包括A* [9]、Dijkstra [10]及快速探索随机树[11]等。然而，启发式方法较难生成具有连续曲率的平滑轨迹。基于多项式[12]、基于贝塞尔曲线[13]、样条曲线[14]和生成选择[15]等曲线生成方法，可给定平滑轨迹。其中，五次多项式被证明是起始状态和结束状态之间加加速度的最优连接[12]。基于曲线的方法需要对生成轨迹簇进一步评估以选择最优轨迹。基于优化的方法，如人工势场法[16]，可获得理论较优的轨迹。然而，人工势场法和梯度下降方法生成的轨迹可能会陷入局部最小值，从而导致粗糙且意外的轨迹。此外，基于人工智能的运动规划方法，如强化学习和深度学习方法[17]，利用历史数据训练探索，可应对更为复杂的交通场景。基于人工智能的技术可解释性较差，且硬件部署成本较高。本研究所提出框架中规划方法具有可替换性，权衡计算成本与轨迹最优性，规划层所采用的示例方法，通过五次多项式构造平滑曲线，并以考虑障碍物大小的势场函数进行离散评估。

自动驾驶控制层给定执行器输出以跟踪规划层所优化的参考轨迹。目前应用于轨迹跟踪的较为前沿的控制方法，包括动态博弈控制[18]、鲁棒控制[19]、最优控制[20]、强化学习控制[21]和模型预测控制（model predictive control, MPC）[22‒24]。大多方法的主要缺点是未明确考虑自动驾驶车辆的关键安全性约束及执行器约束等。此外，传统鲁棒控制计算繁重，且可能表现过于保守，而强化学习控制则需提高可解释性。相比之下，MPC能够系统利用预测信息，并在约束下处理多输入多输出问题，已被广泛研究并应用于自动驾驶车辆。

然而，传统MPC无法处理模型失配和传感器噪声等不确定性。因此，MPC衍生方法开始考虑不确定性及其未来演化的影响。处理不确定性的MPC衍生方法主要包括：基于有界集描述的鲁棒MPC（robust MPC, RMPC）[25]和基于概率描述的随机MPC（stochastic MPC, SMPC）[26]。值得注意的是，模型失配、未建模动态等诸多不确定性，难以用概率描述。因此，本研究认为RMPC在自动驾驶运动控制任务中比SMPC更有前景。

RMPC方法通过考虑最坏情况来应对所有可能不确定性。最早提出的Min-max RMPC [27]通过在每个时间步求解动态规划问题以保证系统稳定性，但其在线计算成本较高。随后，更为高效的管基RMPC（tube-based RMPC, TRMPC）[28]，以较低的在线计算成本保证了鲁棒约束满足和系统稳定性。TRMPC方法构造了将真实状态始终束紧在内的管道约束。与传统MPC相比，TRMPC的在线计算负载略有增加。

因此，TRMPC方案在自动驾驶车辆的运动控制领域得到了广泛应用，如车辆的横向控制[29]、自动赛车的轨迹跟踪控制[30]、四轮转向车辆的主动安全控制[31]、容错控制[32]以及队列控制[33]等。

然而传统的TRMPC在实际应用中也面临一定的困难。例如，在不确定性未来演化的探索中，集合运算的极高成本通常将计算限制在几个时间步内，阻碍了对无限时域内不确定性影响的评估。

1.3 贡献

受现有运动规划与控制文献启发，本研究的主要贡献是提出一种面向自动驾驶车辆的安全运动规划与控制（safe motion planning and control, SMPAC）框架，以保证多维不确定性下自动驾驶的安全性。图2显示了该研究的总体示意图。

SMPAC的核心思想可概括为：

（1）在控制层内，对不确定性系统的未来演化采用高效可达性分析，并基于全对称多胞形理论开发了一种柔性管基鲁棒MPC（flexible TRMPC, FTMPC）控制器。该控制器可以将所有可能不确定性的未来演化收敛至最小鲁棒正不变集（minimal robust positive invariant, mRPI）内。

（2）在规划层内，提出了安全集的概念。安全集通过考虑控制层的有界多维不确定性来描述自车/障碍物可能到达的几何边界。安全集可保证车辆的真实轨迹始终被限制在安全管内。

此外，SMPAC框架为通用方案，其中规划方法具有可替换性。因此，SMPAC在其他自主系统中同样具备应用潜力，包括但不限于移动机器人、无人水下航行器等。

1.4 论文组织结构

本研究剩余内容如下：第2节介绍集合运算和全对称多胞形的预备知识；在第3节中，建立了具有不确定性的动力学模型，并提出了FTMPC控制器；第4节介绍了基于安全集的运动规划方法，以应对多维不确定性；第5节通过联合仿真（MATLAB/Simulink，R2021b，MathWorks，美国；CarSim，2019版，Mechanical Simulation Corporation，美国）以及硬件在环试验验证了所提出的SMPAC框架；最后，在第6节中给出了结论。

2 预备知识

2.1 集合运算定义

本研究围绕集合论展开，因此首先介绍以下三个基本集合运算。

对于线性矩阵 L ∈ R n l × n，集合 S 1 , S 2 ⊂ R n，以及元素 s 1 , s 2 ∈ R n，

线性映射：

L S 1 = L s 1 | s 1 ∈ S 1

闵可夫斯基和：

S 1   S 2 = s 1 + s 2 | s 1 ∈ S 1 , s 2 ∈ S 2

庞特尼亚金差：

S 1 S 2 = s 1 | s 1 S 2 ⊆ S 1

2.2 全对称多胞形

如图3（a）所示，全对称多胞形为一类中心对称的凸多胞形。

全对称多胞形同时也是超立方体的仿射变换。由 s维超立方体（ B s ⊂ R s）仿射变换的 n维全对称多胞形（ Z ⊂ R n）可表示为：

Z = c G B s = c + G ε | ε ∈ B s , B s = - 1,1 s

式中， c ∈ R n为中心； G = g 1 , g 2 , ⋯ , g s ∈ R n × s为生成器。本研究中，全对称多胞形统一简记为 Z = c , G。

此外，全对称多胞形具备以下重要性质。

对于 c 1 , c 2 ∈ R n , G 1 , G 2 ∈ R n × s，全对称多胞形的线性映射及闵可夫斯基和由下式计算：

L c , G = L c , L G
c 1 , G 1 c 2 , G 2 = c 1 + c 2 , G 1 , G 2

全对称多胞形 Z = c , G的尺寸可由其生成器F范数表征：

F r ( Z ) = G F = t r a c e   G T G

全对称多胞形 Z的区间包 □ Z可由下式计算：

Z = c r s G B n

式中， r s ( G )为对角矩阵，对角元素为 r s ( G ) i i = ∑ j = 1 s G i j , i = 1 , ⋯ , n。图3（b）给出了区间包 □ Z的几何解释。

全对称多胞形 Z的P半径定义为：

P r Z = m a x z ∈ ℤ z - c P 2

式中， P = P T ≻ 0为对称正定矩阵。 P在本研究中为单位矩阵，因此 P r Z 为欧氏距离。

本研究中所有定义的集合均由全对称多胞形表示，原因如下：

（1）全对称多胞形可保证本研究中定义的所有集合为紧闭集，并在其内部包含原点；

（2）在FTMPC方法中，式（5）和式（6）的全对称多胞形集合运算可使得不确定系统演化被精确、快速且可视化地探索；

（3）表1表明，全对称多胞形相对于椭球体具有更高精确度，同时比半空间/顶点多胞形具有更低的时间复杂度[34]。

3 柔性管基鲁棒模型预测控制

本节介绍处理多维不确定性的FTMPC控制器，包括对自动驾驶车辆和不确定性进行建模、确定已知约束、评估不确定系统的演化以及设计开发全对称型柔性管。

3.1 车辆动力学及不确定性建模

3.1.1 三自由度车辆模型

权衡模型精度和计算成本，在一定假设条件下[35]，采用由一自由度纵向模型和二自由度自行车模型组成的简化车辆模型。图4描述了具有纵、横及横摆动向力学的车辆模型：

m v ˙ x - v y ψ ˙ = F x T m v ˙ y + v x ψ ˙ = F y f c o s   δ + F x f s i n   δ + F y r I z ψ ¨ = F y f l f c o s   δ + F x f l f s i n   δ - F y r l r

式中， X O Y是地面惯性坐标系， x o y是车辆坐标系。 x o y车身固定坐标中， m是车辆质量， l f和 l r分别为前、后轴距， I z是通过重心绕横摆轴的转动惯量， v x和 v y是车辆的纵、横向速度， ψ为车辆航向角， δ为前轮转角， F x T为轮胎总纵向力， F x i和 F y i ( i = f , r )分别为轮胎的前/后纵向力和侧向力。

假设横向加速度 a y和车辆侧滑角 β较小，且垂直轮胎载荷恒定，简化起见，认为横向轮胎力 F y f和 F y r与轮胎滑移角 α f（前轮）和 α r（后轮）呈线性关系：

F y f = c f α f                  F y r = c r α r                  α f = δ - l f ψ ˙ + v y v x α r = l r ψ ˙ - v y v x      

式中， c f和 c r分别为前后轮等效侧偏刚度。

3.1.2 轨迹跟踪误差模型

利用误差模型跟踪已规划的参考轨迹更为高效。如图5所示， e v、 e y及 e ψ分别是纵向速度、横向距离和航向角相对于参考轨迹的跟踪误差。根据运动学关系， e ˙ v、 e ˙ y、 e ¨ y、 e ˙ ψ及 e ¨ ψ定义为：

e ˙ v = F x T m + v y ψ ˙ - v ˙ x , d e s e ˙ y = v y + v x e ψ e ¨ y = v ˙ y + v x e ˙ ψ e ˙ ψ = ψ ˙ - ψ ˙ d e s e ¨ ψ = ψ ¨

式中， v ˙ x , d e s = v y , d e s ψ ˙ d e s + a x , d e s， v y , d e s为期望横向速度， a x , d e s为期望纵向加速度； ψ ˙ d e s = v x R为期望横摆角速度； R为参考轨迹半径。

根据式（10）和式（11）中的状态变量动力学，结合式（12）中跟踪误差表达式，车辆的连续时间模型为：

x ˙ e = A c x e + B 1 u e + B 2 w d e s + B 3 w c
A c = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - c f + c r m v x c f + c r m - c f l f + c r l r m v x 0 0 0 0 1 0 0 - c f l f - c r l r I z v x c f l f - c r l r I z - c f l f 2 + c r l r 2 I z v x
B 1 = 1 m 0 0 0 0 c f m 0 0 0 c f l f I z , B 2 = - 1 0 0 0 0 - v x - c f l f - c r l r m v x 0 0 0 - c f l f 2 + c r l r 2 I z v x

式中， x e = e v , e y , e ˙ y , e ψ , e ˙ ψ T为状态量； u e = F x T , δ T为控制输入； w d e s = v ˙ x , d e s , ψ ˙ d e s T为参考轨迹信息。加性扰动 w c囊括了所有不利因素引起的内外部不确定性。内部不确定性主要包括纵横向耦合动力学[如式（12）中的 v y ψ ˙项]、时变参数以及未建模动力学等。外部不确定性主要包括传感器噪声和环境干扰等。扰动矩阵 B 3是在自动驾驶设计运行条件所涵盖的场景下确定的。

3.1.3 零稳态误差模型

由于式（13）中 B 2 w d e s项的存在，各维度跟踪误差不会全部收敛至零。因此，在控制输入中加入前馈项以保证零稳态误差。由终值定理可得稳态 x s s和稳态输入 u s s如下：

x s s = 0,0 , 0 , ρ l f m v x 2 C r l - ρ l r , 0 T u s s = - m v ˙ x , d e s , ρ l + K V v x 2 T

式中， ρ = 1 / R为参考轨迹曲率； l = l f + l r为轴距； K V = l r m / c f l - l f m / c r l为转向不足率。

将式（16）代入式（13）并定义 x = x e - x s s， u Δ = u e - u s s，可得零稳态误差模型如下：

x ˙ = A c x + B 1 u Δ + B 3 w c

式中，输出量为 y = C c x， C c = I n x， I n x为单位矩阵。

3.1.4 真实系统

通过零阶保持方法进行离散化，可得离散真实车辆模型为：

x k = A x k - 1 + B u k - 1 + w

式中，输出量为 y k = C x k 。此外， x k ∈ R n x， u k ∈ R n u， A = e A c T s ∈ R n x × n x， B = ∫ 0 T s   e A c T s d   t   B 1 = ∑ k = 0 ∞   A c k T s k + 1 k + 1 ! B 1 ∈ R n x × n u， w = ∫ 0 T s   e A c T s d t B 3 w c ∈ R n w， C = C c ∈ R n y × n x， T s为采样时间。

3.2 真实系统全对称多胞形约束

进一步，式（18）的真实系统受全对称多胞形硬约束，可表达为 ∀ k ∈ N +， x k ∈ X = 0 , G x ⊆ R n x， u k ∈ U = 0 , G u ⊆ R n u， w ∈ W = 0 , G w ⊆ R n w。其中，形状生成器 G x ∈ R n x × n a及 G u ∈ R n u × n b为已知矩阵，由车辆系统特性确定，主要包括以下几个方面。

轨迹跟踪约束：

e v ≤ e v m a x e y < 1 2 r w - r v e ψ ≤ e ψ m a x

式中， r w为车道宽度； r v为自车宽度； e v m a x和 e ψ m a x分别为速度误差 e v和航向角误差 e y的最大绝对值。

操纵稳定性约束：车辆侧偏角 β存在经验约束边界，横摆率 ψ ˙也存在极限：

β = v y v x = 1 v x e ˙ y - e ψ ≤ a r c t a n   0.02 μ g ψ ˙ = e ˙ ψ + ψ ˙ d e s ≤ μ y g v x

式中， μ为路面附着系数（ μ y为横向附着系数）； g为重力加速度。

执行器约束：控制输入中 F x T、 δ及其增量 Δ F x T、 Δ δ存在限制：

F x T m i n ≤ F x T ≤ F x T m a x , Δ F x T m i n ≤ Δ F x T ≤ Δ F x T m a x δ m i n ≤ δ ≤ δ m a x , Δ δ m i n ≤ Δ δ ≤ Δ δ m a x

此外，扰动 w由内部扰动 w i n ∈ W i n和外部扰动 w e x ∈ W e x组成，即 W = W i n W e x。其中，可在设计运行条件内比较真实模型（CarSim模型）与式（22）中名义模型的响应差异来确定 w i n。

图6（a）~（c）所示为 W i n在三维及二维的可视化投影。假设 w e x（如传感器噪声边界）已知，则 W 的生成器 G w ∈ ℝ n x × n c 可进 一步 确定 。 图6（d）所示为 W、 W i n及 W e x之间的可视化关系。

3.3 FTMPC控制律及不确定性演化

式（18）中离散真实系统满足有限时间可控性条件[36]。本节将分离真实系统为名义系统和不确定系统，并分别处理。

3.3.1 名义系统

提取式（18）中真实系统的确定性部分，构建不考虑扰动 w影响的名义系统：

x ^ k = A x ^ k - 1 + B u ^ k - 1

式中，所有顶标 a ^表示名义系统相关变量。名义控制量 u ^ k通过求解名义动力学的MPC优化问题获得。

3.3.2 不确定系统

将式（22）的确定性名义系统从式（18）的真实系统中去除，即可得到扰动 w构成的不确定系统：

x ˜ k = A x ˜ k - 1 + B u ˜ k - 1 + w

式中， x ˜ k = x k - x ^ k， u ˜ k = u k - u ^ k。所有顶标 a ˜表示不确定系统相关变量。

由线性二次调节器（linear quadratic regulator, LQR）求解的状态反馈增益用于保证不确定系统的稳定性，即 K = L Q R   A , B , u ˜ k = K x ˜ k。最终，应用于式（18）中真实系统的FTMPC控制律为：

u k = u ^ k + K x ˜ k

因此，式（23）的不确定系统可改写为稳定自治系统：

x ˜ k = A ' x ˜ k - 1 + w

式中，反馈增益矩阵 K构成舒尔稳定矩阵 A ' , A ' = A + B K ∈ R n x × n x。

3.3.3 mRPI及不确定系统稳定性

本小节将利用可达性分析来评估不确定系统的未来演化规律。依据式（5）及式（6）中全对称多胞形性质，式（25）中不确定系统的演化被揭示为：

x ˜ k + h k = A ' h + ⋯ + A ' + I w X ˜ k + h k = 0 , A ' h + ⋯ + A ' + I G w u ˜ k + h k = K x ˜ k + h k U ˜ k + h k = K X ˜ k + h k

式中， h ∈ N +为时间步。 x ˜ k + h k ∈ X ˜ k + h k及 u ˜ k + h k ∈ U ˜ k + h k为预测时域内不确定系统状态量及控制量。 0为零矩阵。

命题1.式（24）的控制律可保证式（23）中不确定系统的稳定性。

证明1. 图7（a）所示为基于CORA工具箱[37]可视化的全对称多胞形 X ˜ k + h k在有限时域（ h = 1000）内不确定系统的演化过程。由图7（a）可看出，随着时间步长的增加， X ˜ k + h k的边界线愈来愈密集。

进一步，基于式（7）中全对称多胞形的尺寸定义，定义 X ˜ k + h k的尺寸变化率如下：

R k + h s i z e = X ˜ k + h + 1 k F - X ˜ k + h k F X ˜ k + h k F

如图7（b）所示，尺寸变化率 R k + h s i z e随时间步增加快速减小，这表明两个相邻全对称多胞形之间的差异快速收敛至零。

综上，得益于舒尔矩阵 A '，式（26）中不确定状态的约束 X ˜ k + h k将快速收敛至最小鲁棒正不变集（ m R P I ⊆ R n x）内。因此，式（24）控制律中 K x ˜ k项可保证式（23）的不确定系统的稳定性。

3.4 名义系统柔性管

依据式（22）的名义模型，名义系统在预测时域 N p内的预测方程为：

X ^ k = Ψ k x ^ k + Θ k U ^ k

式中，控制时域记为 N c， Θ k ∈ R n x × N p × n u × N c，

Θ k = B 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A N c - 1 B A N c - 2 B ⋯ B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A N p - 1 B A N p - 2 B ⋯ A N p - N c B Ψ k = A , ⋯ , A N p ∈ R n x × N p × n x X ^ k = x ^ k + 1 k T , ⋯ , x ^ k + N p k T T ∈ X ^ k ⊆ R n x × N p X ^ k = 0 , G ^ k x = X ^ k + 1 k T , ⋯ , X ^ k + N p k T T U ^ k = u ^ k + 1 k T , ⋯ , u ^ k + N c k T T ∈ U ^ k ⊆ R n u × N c U ^ k = 0 , G ^ k u = U ^ k + 1 k T , ⋯ , U ^ k + N c k T T

随着集合 X ˜ k + i k以及 U ˜ k + i k的演变，可推导出名义动力学的MPC（名义MPC）优化问题受约束于两个束紧集合，即 X ^ k = X ⊖ X ˜ k以及 U ^ k = U ⊖ U ˜ k = U ⊖ K X ˜ k。

备注1. 依据式（26）可知，随着扰动集 𝕎增大，不确定约束 X ˜ k增大，控制器保守性则随之增强。扰动集 𝕎过大，则可能造成 X ⊖ X ˜ k或 U ⊖ K X ˜ k变为空集，最终导致控制器无解。对于本研究中小节3.2所确定的 𝕎，控制器是可解的。

为了增加名义MPC中二次优化（quadratic programming, QP）问题可行域以减少保守性，本研究以极小计算代价设计了具有可变截面的柔性管约束[29]。状态管与控制管通过 G ^ k x及 G ^ k u参数化表征：

G ^ k x = G ^ k + N p k A ' N p G w ⋯ A ' 3 G w A ' 2 G w G ^ k + N p k A ' N p G w ⋯ A ' 3 G w 0 ⋮ ⋮ ⋯ 0 0 G ^ k + N p k A ' N p G w 0 0 0 G ^ k + N p k 0 0 0 0
G ^ k u = G ^ k + N c k u K A ' N c G w ⋯ K A ' 3 G w K A ' 2 G w G ^ k + N c k u K A ' N c G w ⋯ K A ' 3 G w 0 ⋮ ⋮ ⋯ 0 0 G ^ k + N c k u K A ' N c G w 0 0 0 G ^ k + N c k u 0 0 0 0

式中， X ^ k + N p k = X ⊖ X ˜ k + N p k = 0 , G ^ k + N p k x , U ^ k + N c k = U ⊖

K X ˜ k + N c k = 0 , G ^ k + N c k u。

最后，名义MPC在柔性管约束下的优化问题为：

m i n   V N p X ^ k , U ^ k = X ^ k T Q c X ^ k + U ^ k T R c U ^ k + ρ ε 2 s . t .   X ^ k ∈ X ^ k , U ^ k ∈ U ^ k

式中， ρ ∈ R n ε × n ε为松弛因子 ε的权重矩阵。 Q c ∈ R n x × N p × n x × N p及 R c ∈ R n u × N c × n u × N c为名义权重矩阵。此外，最终的全对称多胞形约束可通过式（4）转化为半空间约束，以使得QP求解更为高效快速[38]。

命题2.式（24）的控制律可保证式（22）中名义系统的稳定性。

证明2.当初始名义状态量 x ^ t作为控制律参数在每个采样时间（ t > 0）优化时，式（22）中名义系统已被证明是渐进稳定[28]。该优化问题中包含重要约束 x t ∈ x ^ t m R P I。换而言之，在 t时刻，最优初始名义状态栏 x ^ t *及最优名义控制序列 U ^ t *由以下QP问题计算给出：

x ^ t * , U ^ t * = a r g   m i n x ^ t , U ^ t   V N p t U ^ t ∈ U ^ t , x t ∈ x ^ t m R P I

本研究中， x ^ t从上一时间步的真实状态和控制输入推导得到，以测量不确定状态 x ˜ t并确定3.2小节中的内部扰动集合，即 x ^ t = A x t - 1 + B u t - 1。 t时刻的不确定状态 x ˜ t满足： x ˜ t = x t - x ^ t = w ∈ W。由此可知， t时刻的真实状态 x t也满足上述重要约束，即 x t = x ^ t + w ∈ x ^ t W ⊂ x ^ k m R P I。因此，控制律中式（32）的名义MPC项可保证式（22）中名义系统的稳定性。

4 基于安全集的运动规划

本节将提出一种Frenet坐标中考虑多维不确定性的运动规划算法，包括安全集、轨迹生成、排序和碰撞检测等流程。

4.1 安全集

3.3小节已通过可达性揭示了不确定系统的演化机理，并证明mRPI集合可以有效地描述由自车跟踪控制层引起的所有可能不确定性。mRPI所代表的不确定区域可能会导致潜在碰撞风险。因此，本研究提出了安全集的概念来描述自车和障碍物在多维不确定性影响下可能到达的几何边界。安全集将在后续规划相关小节中定义并应用，以保证运动规划的安全性。

4.1.1 自车安全集

自车安全集主要考虑其自身形状、位置及航向角 ψ。

（1）形状和位置：自车的形状位置集合 V s l由物理尺寸集合 V p d和跟踪误差不确定性 m R P I 12构成。

对于前者 V p d，如图8（a）所示，选取一全对称多胞形，使其包含静止自车的物理边界。该全对称多胞形即被定义为物理尺寸集合 V p d ⊆ R 2，其可有效表征自车的原始形状和位置。

对于后者 m R P I 12，得益于第3节中FTMPC控制器的管约束设计，车辆的纵横向跟踪误差边界取决于mRPI集的第一及第二维度影响。因此， m R P I 12被定义为自车在纵横向跟踪误差的可达集。依据不确定系统的演化机理， m R P I 12可在有限的安全时域 N s a f e或无限时域内计算相应的可达集。

因此，形状位置集合表达式为 V s l = V p d m R P I 12 = c e , G s l ⊆ R 2。图8（b）绘制了形状位置集合 V s l 与 m R P I 12及物理尺寸集合 V p d之间的可视化关系。

（2）航向角影响：形状位置集合 V s l为自车静态描述，当自车行驶时，自车安全集应考虑航向角 ψ的影响。因此，本研究引入旋转矩阵 R m ( ψ )来修正形状位置集合 V s l的生成器 G s l：

R m ψ = c o s ψ - s i n ψ s i n ψ c o s ψ

如图9（a）所示，旋转矩阵 R m ( ψ )应在不改变 V s l中心的条件下修改其生成矩阵。因此，考虑航向角 ψ的自车安全集可表达为 c e , R m ( ψ ) G s l。

备注2. 此外，还需考虑航向角误差 e ψ的影响， e ψ受mRPI集的第四维度约束，即存在上下界， e ψ m i n ≤ e ψ ≤ e ψ m a x。因此，考虑航向角误差的自车安全集 V e ψ可简化为 V e ψ m i n与 V e ψ m a x的并集：

V e ψ = c e , R m ( e ψ m i n ) G s l ⋃ c e , R m e ψ m a x G s l

V e ψ可简化为相应的区间包 □ V e ψ，并将 □ V e ψ依据航向角 ψ旋转即可获得最终的自车安全集 V s。如图9（b）所示即为自车安全集 V s。

4.1.2 障碍安全集

记第 i  ( i = 1 , ⋯ , n o)个障碍物为 o b s i，自车对 o b s i状态的观测或预测同样存在有界误差[39]，可用障碍物误差集合 O e i ⊆ R n x描述。与自车安全集的生成过程类似，首先对第 i个障碍物定义一个物理尺寸集合 O p d i ⊆ R 2。然后，基于障碍物物理尺寸集合 O p d i、障碍物误差集合 O e i以及障碍物航向角 ψ o i，计算出第 i个障碍物包含不确定性边界的可达集 O s i ⊆ R 2，即为障碍物安全集。

4.2 候选轨迹生成

Frenet坐标系 s轴为最右侧车道的中心线， d轴垂直于 s轴。原点与笛卡尔坐标系原点重合，并随自车沿 s轴移动。五次多项式已被证明为 t 0处起始状态与 t 1处结束状态之间加加速度最优连接[12]。因此， s和 d方向的运动可分别用四次和五次多项式描述：

s t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 d t = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t 3 + b 4 t 4 + b 5 t 5

式中， a 0 ~ 4及 b 0 ~ 5为 t时刻待定系数。初始状态及结束状态为：

s t 0 , s ˙ t 0 , s ¨ t 0 , d t 0 , d ˙ t 0 , d ¨ t 0 s ˙ t 1 , s ¨ t 1 , d t 1 , d ˙ t 1 , d ¨ t 1

此外，所有起始状态与上一控制周期结束时车辆状态一致，以确保轨迹连续性。结束状态 s ¨ t 1、 d ˙ t 1以及 d ¨ t 1被置为零以确保车辆稳定性。给定结束速度 s ˙ t 1和结束位置 d t 1两个序列，使得候选轨迹可覆盖所有车道。将 s ˙ t 1和 d ( t 1 )两个序列进行正交组合，得到如下矩阵方程：

T 1 P 1 = S 1 , T 1 ∈ R 5 × 5 , P 1 ∈ R 5 × n s , S 1 ∈ R 5 × n s T 2 P 2 = S 2 , T 2 ∈ R 6 × 6 , P 2 ∈ R 6 × n d , S 2 ∈ R 6 × n d

式中， T 1 、 P 1 、 S 1以及 T 2 、 P 2 、 S 2表达式见附录A。矩阵 P 1的第 p  ( p = 1,2 , ⋯ , n s)列对应于 s ˙ t 1 p条件下 s t的多项式参数，且 0 ≤ s ˙ t 1 p ≤ s ˙ t 1 m a x。平均加速度 s ˙ t 1 p - s ˙ t 0 t 1 - t 0应满足舒适性要求。矩阵 P 2的第 q ( q = 1,2 , ⋯ , n d)列对应于 d t 1 q条件下 d ( t )的多项式参数， d t 1 q不应超出道路边界。

如图10所示，通过求解 P 1和 P 2可以得到 n t条候选轨迹，其中， n t = n s × n d。

4.3 风险评估及轨迹排序

对候选轨迹进行离散采样，然后从风险评估 J r i s k、乘坐舒适度 J c o m及轨迹稳定性 J s t a三个维度进行排序。总成本函数 J t o t a l定义为：

J t o t a l = k r i s k J r i s k + k c o m J c o m + k s t a J s t a

式中， k r i s k、 k c o m及 k s t a为对应权重系数。

4.3.1 风险评估

风险评估指标 J r i s k主要考虑道路边界（可穿越或不可穿越车道线）以及各种大小的障碍物（如其他车辆、意外掉落的货物等）影响。

（1）道路边界描述：通过三角函数生成道路边界 U r o a d的周期性势场，以处理多车道问题。 U r o a d ∈ 0,1，表达式为：

U r o a d = 1 2 R A d c o s   2 π d r w + 1 R A d = p m + 1 2 s g n   d + s g n   d - d c n 1 - p m

式中， s和 d为自车Frenet坐标； r w为道宽； R A d为随 d坐标变化的振幅； p m ∈ 0,1表示可跨越车道线处风险值； d c n为最左侧车道中心线的 d坐标。图11所示为道路势场。

（2）基于障碍物安全集 O s i的障碍物描述：图12（a）、（b）所示为第 i个障碍物的势场，由指数函数生成，并考虑相对速度 Δ v ( i )和障碍物大小影响。 U o b s ( i ) ∈ 0,1，表达式为：

U o b s i = e x p   - D i s Δ v ( i ) + ϵ         Δ v i ≥ 0 0         Δ v i < 0 D i s i = s - s i r i ε s 2 + d - d i l i ε d 2

式中， ϵ = 0.0001为防止奇异值产生而设置的安全系数； D i s ( i )为相对距离函数； s i和 d i为第i个障碍物的Frenet坐标； r i和 l i为区间包 □ O s i在s-d平面上投影的宽度和长度； ε s及 ε d分别为形状参数和强度参数。

考虑由自车和障碍物的速度不确定性所引起的最坏情况。可能的最大相对速度为 Δ v ( i ) = v x m a x - v i m i n。其中， v x m a x = v x + e v m a x， e v m a x受mRPI集的第一维度约束； v i m i n为障碍物安全集 O e i约束所包含的最小障碍物速度点。如图12（c）所示，相对速度越高，障碍物势场能量越强。

此外，通过式（8）获得障碍物安全集 O s i的外近似 □ O s i。 □ O s i可简化障碍物尺寸对障碍物势场的影响。如图12（d）所示，障碍物尺寸越小，障碍物势场能量越弱。

备注3. 当感知层确定障碍物为活物（人或动物）时， U o b s ( i )则被设置为较大固定值。

（3）风险评估指标 J r i s k：将每条轨迹中所有离散采样点的势场值相加，归一化后得到 J r i s k：

J r i s k = ∑ j = 1 n s p   U r o a d + ∑ i = 1 n o   U o b s i m a x   ∑ j = 1 n s p   U r o a d + ∑ i = 1 n o   U o b s i

式中， n s p为离散采样点数； n o为障碍物数。

4.3.2 乘坐舒适性

乘坐舒适性指数 J c o m主要考虑所有离散采样点的曲率 κ j及航向角增量 Δ ψ j ( j = 1 , ⋯ , n s p )影响：

J c o m = ∑ j = 1 n s p   κ j 2 + Δ ψ j m a x   ∑ j = 1 n s p   κ j 2 + Δ ψ j + ϵ

式中， κ j ( t ) = s ˙ ( t ) d ¨ ( t ) - d ˙ ( t ) s ¨ ( t ) s ˙ 2 ( t ) + d ˙ 2 ( t ) 3 / 2； Δ ψ j = ψ j - ψ t 0； ψ t = a r c t a n   s ˙ ( t ) d ˙ ( t )； ϵ防止奇异值产生。

4.3.3 轨迹稳定性

轨迹稳定性指标 J s t a考虑当前候选轨迹与上一周期参考轨迹差异( Δ s j , Δ d j)的影响，以避免参考轨迹剧烈变化：

J s t a = ∑ j = 1 n s p   Δ s j 2 + Δ d j 2 m a x   ∑ j = 1 n s p   Δ s j 2 + Δ d j 2

4.4 基于安全集的避撞策略

尽管4.3小节中的代价函数可实现风险评估，但并未针对避撞而在轨迹中施加硬性约束。本节将通过自车安全集 V s和障碍物安全集 O s i之间的交集判断，实现高效碰撞检测。具体通过算法1实现，并尽可能降低在线计算负担。依据4.3小节中候选轨迹的碰撞风险由低到高依次检测，当检测到无碰撞轨迹时立即停止。若所有轨迹均存在潜在碰撞风险，则通过碰撞点处的碰撞缓解函数 J m i t来选取参考轨迹：

J m i t = k 1 c v + k 2 c θ + k 3 r v

式中， c v为碰撞速度； c θ为碰撞角度； r v为相对体积； k 1、 k 2及 k 3为权重系数。碰撞角度分为全重叠碰撞、1/3重叠近碰撞及2/3重叠碰撞[22]。

算法1中，自车安全集半径 R v及第 i个障碍物安全集半径 R o i由式（9）中全对称多胞形P半径计算。对被检测轨迹的 n s p个离散采样点，计算集合 V s与 O s i的中心之间的欧氏距离 E d ( i , j )。仅当 E d ( i , j )小于车辆半径和障碍物半径之和时，即 E d ( i , j ) ≤ R v + R o ( i )，才进行交集判断。

完成第4节中所有步骤，图13所示即为MATLAB/Simulink仿真中某一时刻轨迹规划（无控制）示例。

5 结果与讨论

本节将基于MATLAB/Simulink与CarSim联合仿真以及硬件在环试验平台，验证所提出SMPAC框架的可行性。

5.1 硬件在环试验

（1）试验平台：本研究将通过硬件在环试验平台验证所提出SMPAC框架的实时性，实时环境由“Simulink Desktop Real-time”模块提供。图14（a）为硬件在环试验平台示意图，图14（b）为平台物理连接。上位机（i7‒9700K，Intel，美国）、移动实时目标机（M3，Speedgoat，瑞士）以及包含信号传输组件的执行器，三者之间实时通信。主要组件包括控制局域网（CAN）卡（Leaf Light v2，Kvaser，瑞典）、数据采集卡（NI USB-6002，美国国家仪器公司）、电机（86EBP159ALC，北京时代超群电器科技有限公司，中国）、电机驱动器（ZDM-2HA865，北京时代超群电器科技有限公司，中国）和协议转换模块（CAN to RS485，EBYTE，中国）。

（2）对照组及测试场景：在统一SMPAC框架下，将所提出FTMPC控制器与零稳态误差TRMPC控制器（记为ZMPC）以及零稳态误差LQR控制器（记为ZLQR）进行比较。零稳态误差由式（16）中前馈项提供。SMPAC框架提供自车的决策、规划及跟踪能力。表2总结了SMPAC框架参数，主要包括车辆、规划层及控制层信息。

本节提供两个典型驾驶场景进行验证和评估。表3总结了测试场景的详细信息，包括交通参与者、开始状态和结束状态。表4给出了三个控制器在两种场景下的跟踪误差表现。

5.2 场景1

场景1中，自车位于2车道，前方存在一辆静止故障车辆（不可跨越的大型障碍物），左右车道各一辆环境车。正常路面的摩擦系数为 μ = 0.95，而故障车使得2车道0~60 m处存在机油污染，导致路面摩擦系数降低为 μ = 0.3。在该场景中，自车在车辆操控极限下运行，对自动驾驶运动规划和控制算法提出了较大的挑战。

具体而言，如表3所示，自车为中大型轿车，以20 m⸱s-1初速度沿2车道中心线行驶，周围存在三个障碍。障碍物1是一辆试图从1车道60 m处变道至2车道的卡车，变道前、后速度分别为15 m⸱s-1及20 m⸱s-1。障碍物2是位于本车正前方60 m处的静止故障轿车。障碍物3是一辆沿着3车道中心线以25 m⸱s-1速度匀速行驶的轿车。

图15（a）~（c）所示为基于FTMPC、ZMPC及ZLQR三种控制器SMPAC框架的安全集和轨迹。浅蓝色线表示自车在每个规划周期的参考轨迹。红点、绿色方块和蓝色菱形分别代表自车、障碍物2和障碍物3的真实轨迹（包含CarSim车辆动力学）。此外，图15每秒绘制自车和障碍物安全集的全对称多胞形，其中不同颜色表示不同车辆。图15（d）为图15（c）的局部放大图。图15（e）~（g）所示为每个规划周期内自车的参考速度（浅蓝色线）和实际速度（红线）。图15（h）~（n）所示为三种控制器在控制输入、跟踪性能和自车重要动力学参数的对比。具体指标包括总纵向力、转向角、横向误差、航向角误差、速度误差、横摆角速度、横向加速度。

在场景1中，自车作出决策，从2车道变道至3车道，以避免与静止障碍物2发生碰撞。变道过程可概括为三个步骤。首先，自车从2车道中心线向3车道边界靠近，并减速至约10 m⸱s-1，准备换道。其次，当环境车辆（障碍物3）通过后，自车完成变道，并将速度维持一小段时间。最后，自车将其横向位置调整至3车道中心线，加速并保持至约25 m⸱s-1。

（1）安全满足：如图15（a）、（b）所示，在SMPAC框架中，FTMPC与ZMPC控制器均可在多维不确定性影响下避免碰撞。然而，所提出的基于FTMPC控制器的SMPAC框架可使自车更加远离障碍物，因此更为安全。如图15（c）、（d）所示，ZLQR控制器使得自车安全集 V s与障碍物安全集 O s 2在4.6 s处相交，存在潜在碰撞风险。因此，所提出的基于FTMPC的SMPAC框架可最大限度保证操作极限工况下的驾驶安全性，而传统运动规划控制框架则可能表现出一定的危险行为。

（2）跟踪性能：图15（h）~（n）及表4均表明，在操纵极限下，FTMPC在三种控制器中表现出最优的跟踪性能和车辆稳定性，并且相比ZMPC与ZLQR存在显著改进。因此，所提出的FTMPC控制器具有更好的鲁棒性。

5.3 场景2

场景2中，自车前方存在一辆违规静止的自行车（不可跨越的小障碍物），并且左右车道上各有一辆环境车辆。在此场景中，自车运行在常规工况，考验算法的保守性。

具体而言，如表3所示，自车为一辆中大型轿车，以20 m⸱s-1初速度沿2车道中心线行驶，周围存在三个障碍。障碍物1是一辆试图从1车道60 m处变道至2车道的卡车，变道前、后速度分别为15 m⸱s-1与20 m⸱s-1。障碍物2为一辆非法静止的自行车，位于自车前方80 m处，2车道中心线右侧1 m处。障碍物3是一辆沿着3车道中心线以20 m⸱s-1恒定速度行驶的轿车。

与场景1类似，图16（a）所示为自车及障碍物的安全集。图16（b）所示为自车在每个规划周期的规划速度和实际速度。值得注意的是，图16（a）、（b）中所有对照组轨迹几乎重叠，因此只显示了一组。图16（c）~（i）所示为自车控制输入、跟踪性能以及重要动力学参数。

在场景2中，自车作出决策，从2车道中心线向3车道边界偏移一段横向距离，以避免与静止障碍物2发生碰撞。避撞过程可概括为三个步骤。首先，自车从2车道中心线向3车道横向偏移一段距离，并逐渐减速。其次，在避开障碍物2后，自车重新回到2车道中心线处，并减速至约10 m⸱s-1。最后，自车沿2车道中心线行驶，并加速至约20 m⸱s-1。

（1）安全满足：如图16（a）、（b）所示，在SMPAC框架下，三种控制器均能在多维不确定性下实现避撞，且三者之间差异可忽略不计。因此，所提出的基于FTMPC的SMPAC框架可在常规工况下保证驾驶安全性。

（2）跟踪性能：由图16（c）~（i）及表4均可看出，得益于式（16）中前馈控制项，FTMPC、ZMPC及ZLQR的跟踪误差均较小，且三者差异可忽略不计。因此，所提出的FTMPC控制器在常规工况下具有较低的控制保守性。

6 结论

所提出的SMPAC框架可解决自动驾驶中控制层所面临的多维不确定性影响。控制层中所建立的包含多维不确定性的动力学模型，可准确描述真实的车辆系统。基于柔性管的FTMPC控制器可保证鲁棒稳定性并将不确定的演化边界约束在有界mRPI集内。规划层中所引入的安全集，可严格表征自车或障碍物可能到达的几何边界。基于安全集的轨迹规划和避撞策略，可减少多维不确定性所引起的潜在危险行为。硬件在环试验给出了两类典型场景，包括操控极限下的主动变道场景和常规工况下的避撞场景。试验结果验证了SMPAC框架的安全性、有效性和实时性。因此，针对预期功能安全问题，SMPAC框架可有效减少自动驾驶场景类别中可能存在的危险/未知区域。

进一步研究方向包括：①通过现代线性化方法处理车辆系统强非线性，进一步缩小扰动集，降低SMPAC整体框架的保守性；②在SMPAC框架中嵌入最先进的运动规划方法，以提高复杂交通场景下的自动驾驶能力。

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