有向动态网络的自发恢复

刘雪明 , 闫贤 ,

工程（英文） ›› 2024, Vol. 37 ›› Issue (6) : 224 -230.

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工程（英文） ›› 2024, Vol. 37 ›› Issue (6) : 224 -230. DOI: 10.1016/j.eng.2023.12.007
研究论文

有向动态网络的自发恢复

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Spontaneous Recovery in Directed Dynamical Networks

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摘要

复杂网络系统涵盖了从自然界的生物系统到人工制造的基础设施系统等诸多领域，对故障具有自发恢复能力。例如，大脑在癫痫发作后可能会自发恢复正常，交通堵塞后也可能再次变得顺畅。以往动态网络自发恢复的研究主要局限在无向网络上。然而，在现实世界中，大多数网络是有向的。为填补这一空白，本研究建立了一种节点故障与自发恢复交替发生的有向动态网络模型，同时开发了一套理论工具来分析网络的恢复特性。该工具可准确预测活跃节点的最终比例，预测准确性随网络中双向边比例的增加而降低，这凸显了网络方向性的重要性。根据不同的初始状态，有向动态网络在相同的控制参数下可能表现出不同的稳定状态并呈现出滞后行为。此外，对于小规模网络，活跃节点的比例可能在高低状态之间震荡，这种现象可以模拟重复的故障恢复过程。这些发现有助于阐明系统恢复机制，更好地指导高韧性网络系统的设计。

Abstract

Complex networked systems, which range from biological systems in the natural world to infrastructure systems in the human-made world, can exhibit spontaneous recovery after a failure; for example, a brain may spontaneously return to normal after a seizure, and traffic flow can become smooth again after a jam. Previous studies on the spontaneous recovery of dynamical networks have been limited to undirected networks. However, most real-world networks are directed. To fill this gap, we build a model in which nodes may alternately fail and recover, and we develop a theoretical tool to analyze the recovery properties of directed dynamical networks. We find that the tool can accurately predict the final fraction of active nodes, and the prediction accuracy decreases as the fraction of bidirectional links in the network increases, which emphasizes the importance of directionality in network dynamics. Due to different initial states, directed dynamical networks may show alternative stable states under the same control parameter, exhibiting hysteresis behavior. In addition, for networks with finite sizes, the fraction of active nodes may jump back and forth between high and low states, mimicking repetitive failure-recovery processes. These findings could help clarify the system recovery mechanism and enable better design of networked systems with high resilience.

关键词

网络韧性 / 有向动态网络 / 自发恢复

Key words

Network resilience / Directed dynamical networks / Spontaneous recovery

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刘雪明,闫贤,H. Eugene Stanley. 有向动态网络的自发恢复[J]. 工程（英文）, 2024, 37(6): 224-230 DOI:10.1016/j.eng.2023.12.007

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1 引言

从自然界的生物学和生态学到人造世界的经济和基础设施，许多系统都可以建模为复杂网络[1]。在过去的二十年中，网络科学为我们理解真实网络的特性和功能提供了许多强大的工具[2‒4]，其中网络韧性受到了诸多关注[5‒8]。韧性指的是系统面对内部或外部故障时能够调整自身活动来维持基本功能的能力[9]。由于网络不断受到内部和外界故障的影响，许多研究已经探索了网络如何失去韧性并表现出从功能性到崩溃的突变[8,10‒15]。然而，真实世界的系统可能会自发地从崩溃中恢复，例如癫痫患者可能在发病后自发恢复[16]，金融系统可能在金融危机后自发恢复[17]。

为了模拟自发恢复现象，Majdandzic等[18]在无向动态网络中引入了一种恢复机制，并基于Watts模型[19]开发了一种分析网络故障和恢复过程的框架。在单个无向网络中，节点层面的故障恢复机制可能导致网络层面的宏观相位翻转现象，这种现象可以模拟金融市场中反复的非活跃-活跃状态转换[18,20]。在交互动力网络中，出现了具有多个三相点的丰富相图；研究发现，三相点在构建受损相互作用系统的最佳修复策略中起主导作用[21]。这些发现使人们对网络恢复的兴趣日益浓厚[22‒24]。例如，Gong等[25]分析了恢复过程中耦合网络中的级联故障现象，并提出了一种恢复鲁棒性指标来评估耦合网络对级联故障的恢复能力。Danziger和Barabasi [26]提出了一套利用电网故障后数百万恢复时间数据求解恢复耦合问题的理论框架。这些研究为动态网络中的自发恢复提供了理论支持和现实验证。

上述研究主要集中在无向网络上，但现实世界中的大多数真实网络具有方向性，如生物系统中的代谢网络和基因调控网络[13,27]、基础设施系统中的交通网络和电网[28‒29]以及社会系统中的引文网络和信任网络[30]。网络的状态和属性很大程度上受方向的影响，忽略边的方向性可能会导致偏差或对网络的不完全理解。例如，当移除一定比例的节点时，相互依赖的有向Erdös-Rényi（ER）网络会表现出混合相变，这在相互依赖的无向ER网络中是不存在的[31‒32]。然而，现有的网络恢复分析框架均不适用于有向网络。因此对有向动力网络中的自发恢复现象进行充分的理论分析是必要的。

本研究开发了一套有向动态网络恢复分析框架，其中节点的故障和恢复可以反复发生。本研究的分析框架可以准确预测以活动节点分数为特征的网络状态，并且比在无向网络中表现更好。在文献[18]中，无向网络被视为仅有双向边构成的有向网络的一个特殊情形。进一步地，随着双向边比例的增加，预测精度会降低，因为“传输-感染”关系中的随机性随着双向边比例的增加而降低。通过将该框架应用于综合网络，本研究发现在大规模网络中出现了强滞后和一阶相变，在有限尺度有向网络中出现了网络状态翻转现象。此外，本研究分析了网络结构和动力学参数对网络韧性的影响，发现了传播范围越大，系统的可恢复性越差这一现象。

2 有向动态网络的自发恢复建模

本研究建立了一种描述有向动态网络中的自发恢复过程的模型。给定一个由N个节点组成的有向网络，为每个节点分配一个状态：活跃或失效。基于以下假设，节点可能在内部或外部发生故障：① 有向网络中的每个节点在某个时间间隔内都可能以概率 p 发生故障，并且不受其他节点的影响，这称为内部故障 [图1（a）]；②每个节点都可能以概率r失效[图1（b）]，因为其活跃传入邻居节点在所有传入邻居节点中的比例低于外部影响阈值 m f ∈ [ 0,1 ]，该阈值描述了节点受其传入邻居影响的程度。r为外部故障概率，表征故障在网络中传播的速率。阈值m f和r会影响网络的外部故障。

任何发生故障的节点都可以在τ ≠ 0的时间间隔后从内部故障中恢复。也就是说，如果一个节点在t时刻发生内部故障，该节点将在t + τ时刻后自发恢复。此外，任何节点都将在τ'时间间隔后从外部故障中恢复。为了便于后续分析，我们设置τ' = 1 [图1（c）和（d）]。基于这些假设，节点可以在活动状态和故障状态之间切换。采用网络中活动节点z的分数表示网络的状态。

3 网络活跃节点比例理论计算工具开发

本研究开发了一种基于平均场理论（MFT）的计算工具来分析有向动态网络的恢复特性，该工具可用于预测有向动态网络中活跃节点的比例。

如果活跃传入邻居节点的比例小于m f，则称节点处于严重受损的邻域中。参数 E k i n表示入度值为k in的节点处于严重受损邻域的概率。故障节点的平均分数表示为a（0 < a < 1）。根据组合学理论，可以得到 E k i n和a之间的关系：

E k i n = ∑ j = 0 m f k i n k i n k i n - j a k i n - j ( 1 - a ) j

其中，j是活跃传入邻居节点的数量。

此外，具有k in入度值的节点外部故障概率为 r E k i n。节点内部故障的概率与 p和τ的乘积有关，其中 p ∈ [ 0,1 ]，表示节点在单位间隔τ内发生内部故障的概率。因此，我们定义了一个变量 p * = 1 - e x p - p τ 来表示由于内部故障而处于故障状态的节点的时间平均百分比。

我们假设内部和外部故障是独立的，具有入度值k in 的故障概率为 a k i n = p * + r E k i n - p * r E k i n。对所有节点求和，得到网络中处于故障状态的节点比例：

a r , p * = p * + r 1 - p * ∑ k i n P k i n ∑ j = 0 m f k i n a k i n - j 1 - a j

其中，P(k in)表示入度为k in的节点概率。需要注意的是，如式（2）所示，故障节点的比例与节点的入度有关。这是合理的，因为节点状态会受到入度节点状态的影响，但并不意味节点出度对网络状态没有影响。在节点具有不同恢复率的实验中，我们发现提高具有高出度值节点的恢复率可以促进整个网络的恢复（附录A中的第S1节和图S1至图S3）。

故障节点的平均比例可以通过求解等式（2）得到。在r和p* 的某些值下，等式（2）可能有唯一解；其他r和p* 值下可能有三个解，解的最高值和最低值对应稳定状态，中间值为不稳定状态。平均活跃节点比例可表示为： z = z r , p * = 1 - a，这也表示网络状态。

4 大规模网络中的滞后现象分析

将该分析工具应用于ER网络，发现大规模有向动态网络可能表现出较强的滞后性。在平均度为 k的有向ER网络中，随机选择的节点入度为k in的概率为 P(k in)：

P k i n = N k i n p 2 k i n 1 - p 2 N - k i n ≈ k / 2 k i n k i n ! e - k 2

其中，p表示任意两个节点连接的概率，与有向网络的平均度 k相关：

p = k 2 N - 1

由大量节点组成的ER网络，其度服从泊松分布。对于平均度为 k的有向ER网络，故障节点的比例为：

a r , p * = p * + r 1 - p * ∑ k i n k / 2 k i n k i n ! e - k 2 ∑ j = 0 m f k i n k i n k i n - j a k i n - j 1 - a j

动态网络在一定时间后达到动态平衡。

接下来，我们研究了网络状态在不同的内部和外部故障下是如何变化的。随着p* 的增大，平均活跃节点比例 z减小，并在不同的外部失效概率r下显示出不同的相变[图2（a）]。当r较小时， z持续减小到0，表现出二阶相变。在这种情况下， z有一个解。如果p* 减小， z会按照p* 增大时的曲线增大。当r较大时，网络状态显示突然的一阶相变。在特定的p* 和r值下， z有三个解，其中解的最高值和最低值是稳定状态，中间解为不稳定状态。在p* 增大的方向上， z减小，并在临界点 p 2 *处突变为一个较小值；在p* 减小的方向上， z在另一个临界点 p 1 *不断增大到一个较大值。在高度活跃状态下，许多节点都处于活跃状态，这使得外部失效节点容易恢复；在低活跃状态下，许多节点失效，外部失效容易扩散。因此，临界点 p 2 * > p 1 *，产生滞后。改变m f时也得到了类似的结果（见附录A中的第S2节和图S4）。

接下来，我们在r-p* 空间绘制了相图。如图2（b）所示，两条黑色曲线代表不同的p* 和r下的两个临界点 p 1 *和 p 2 *。空间由两条曲线划分为三个区域：①高活跃区域（A区）；②低活跃区（B区）；③滞后区。在滞后区域， z可高可低，这取决于p* 的变化方向。临界值p* 随着r的增大而减小，临界点 p 1 *在特定点消失，这意味着即使内部失效节点比例p* = 0，网络也无法恢复到高活跃状态。此外，图2中的实线表示理论框架的解析解，与仿真结果吻合良好，在图上用点表示。

网络是否会出现滞后现象不仅取决于p* 和r，还受m f的影响，因为m f与r共同决定了外部失效的传播。我们进一步绘制了一个三维图像，以显示迟滞何时出现在m f -r-p* 空间中。当m f过大（m f > 0.8）或过小（m f < 0.15），不存在迟滞[图2（c）]。如果m f太大，故障将迅速传播到其他节点，网络将迅速达到低活跃稳态；如果m f太小，网络将达到高活性稳态。迟滞的出现是由较小的内部失效概率和适度的外部失效传播决定的。需要注意的是，3D相图并非完全平滑；这是因为节点的度数是整数，且分布不均匀。

同样值得注意的是，本研究中的网络状态是用活跃节点的平均比例定义的。许多过去的网络韧性的研究中使用巨型连接分量（GCC）的大小来表示网络的功能组件。我们通过使用 GCC的大小作为定义网络状态的指标来研究网络恢复，发现恢复特性相似。发生一阶相变的临界点与网络状态由活跃节点的平均比例定义的情况相同（详情见附录A中的第S2节）。

5 小规模动态网络中的翻转现象研究

在大规模网络中，由于初始网络状态不同，会出现滞后现象。也就是说，如果网络最初处于低活跃状态，则在重复的失效-恢复过程后，网络将保持在低活跃状态；如果网络最初处于高活跃状态，则最终将保持在高活跃状态。相反，在小规模网络中，我们发现网络可能在高活跃和低活跃状态之间翻转。

如图3所示，在具有50个节点的小规模ER网络中，活跃节点的比例在两个区域之间翻转，这两个区域以 z h i g h ≈ 0.89和 z l o w ≈ 0.23为中心。状态翻转现象的出现是由活跃节点和失效节点配置的随机性导致的。具有高度活跃节点的特定配置将迅速恢复大多数节点，将网络推向高活跃状态，而具有高度失效节点的配置将迅速传播故障，并将网络推向低活跃状态。值得注意的是，状态翻转现象并不总是出现在有限网络中。当动态参数设置为大规模网络的滞后区域时，翻转现象比其他区域更为常见。

此外，我们还发现了随机正则（RR）和无标度（SF）网络中的状态翻转现象，如图3所示。为了阐明网络结构特性对这一现象的影响，我们在具有不同平均度数和度数分布指数的网络中进行了实验（详见附录A中的图S5至图S8）。我们观察到，在以低平均度为特征的网络中，网络主要处于低活跃状态，状态翻转现象可能不会表现出来。随着网络密度的增加，状态翻转现象变得更加明显，导致网络保持高活跃状态的持续时间延长。这一结果表明，较高的平均度可以促进网络内更大程度的自发恢复（详见附录A中的图S9和图S10）。在SF网络中，随着度分布指数的增加，度异质性降低，网络保持高活跃状态的持续时间会减少。这表明增强度异质性可以促进网络恢复（详见附录A中的图S11）。

在小规模网络中，网络状态可能在高活跃状态和低活跃状态之间切换，活跃节点的平均比例可能会随着内部失效节点比例的增加出现振荡，如图4所示。这种振荡是由活跃节点和失效节点配置的随机性引起的。我们绘制了p* 和r空间内网络状态的相图，该空间由高活跃区域、低活跃区域和振荡区域组成。随着网络规模的增大，振荡幅度减小，相图中的振荡区域减小。当网络规模足够大时，振荡区域就会消失。也就是说，活跃节点和失效节点不同配置引起的随机性的影响随着网络规模的增加而减小和消失。

6 有向网络与无向网络自发恢复性能比较

如图2（b）所示，使用本研究的分析框架计算得到的临界点（黑色实线）与模拟结果（白色点）非常吻合。在针对无向网络开发的框架[18]中，理论结果与模拟结果之间存在显著差距。这是因为平均场方法假设网络是无限的，而模拟所用的网络是有限的；我们还发现，“传输-感染”关系中的对称性对理论与模拟之间的一致性有很大影响。

MFT通常适用于随机模型。在恢复模型中，故障或恢复通过“传输-感染”关系传播。在无向网络中，“传输-感染”关系是完全对称的而不是随机的。对于每对节点“A-B”，节点A是节点B的传输节点，节点B也是节点A的传输节点。相比之下，在普通的有向网络中，这种关系接近随机。无向网络可以被视为有向网络的特殊情况，每条边都是双向的。在普通的有向网络中，双向边的比例通常很低。因此，我们假设，随着双向边比例的增加，分析框架的准确性会降低。

为了验证这一假设，我们保留了有向网络中每个节点的度数，并改变了双向边的比例b。采用我们提出的理论工具，由于网络的入度和出度都保持不变，因此理论值保持不变。 随着双向边比例b的增加[图5（a）]，活跃节点部分的仿真曲线向右移动。这表明“传输-感染”关系中的对称性有助于提高网络活跃性。我们进一步绘制了r-p *相图，并发现随着双向边比例b的增加，理论结果与模拟结果之间的差距增加，验证了我们的假设[图5（b）]。这是因为随着b的增加，“传输-感染”关系中的随机性减少。此外，我们发现，由不同双向边比例b引起的网络活动性差异随着r值增加到足够大而减小，并且在r = 0.9935附近，不同r值下的临界点重合[图5（c）]。如果r继续增加，那么网络活跃性之间的差异可能会发生反转，具有较大b值的网络的临界点可能会小于具有较小b值网络的临界点。

此外，我们将失效恢复模型应用于SF和RR网络，发现与ER网络中的结果相似（详见附录A中第S3节）。在SF网络中，随着度分布指数的增加，活跃节点的比例降低，这表明度异质性有助于增加网络活性。

7 结论

当网络中的节点或边发生故障时，现实世界中的许多系统可能会表现出自发恢复，这可以看作是系统韧性的重要表现。以往关于动态网络自发恢复的研究主要集中在无向网络上，而现实世界中的许多网络都是有向的。为了填补这一空白，我们建立了一个模型，其中节点可以交替发生故障和恢复。此外，我们还开发了一套理论工具来分析有向动态网络的自发恢复，并证明了该工具对网络中最终活跃节点比例的预测能力。研究发现，该工具能够准确预测最终活跃节点的比例，预测精度随着网络中双向边比例的增加而降低，这凸显了方向性在网络动力学中的重要性。此外，我们发现有向动力网络在相同的控制参数下可能表现出交替的稳定状态和滞后行为。

我们的研究结果对于理解系统恢复机制以及设计各类高韧性网络系统（如交通、通信和生物系统）具有重要贡献。例如，增加网络中双向边的比例来增强其抗故障能力。此外，在有向动态网络中观察到的交替稳定状态和滞后现象表明，对使网络从故障中恢复进行干预时可能需要仔细考虑初始状态和控制参数。

本研究中采用非马尔可夫恢复模型，其中故障节点将在一定时间后恢复（如 τ = 100）。我们将其与马尔可夫恢复进行了比较。在马尔可夫恢复中，故障节点在每个模拟步骤中都有固定的恢复概率（如1/τ = 0.01），发现当其他参数相同时，具有马尔可夫恢复的网络比具有非马尔可夫恢复的网络具有更高的活跃状态；此外，发生一阶相变的临界点更多。这表明马尔可夫恢复可以提高网络恢复能力，这是合理的，因为失效节点可以在马尔可夫恢复的每一步恢复，并且该节点的恢复可以触发更多节点恢复（见附录A中的图S12）。

未来的研究方向包括研究不同类型的有向边（如抑制性和兴奋性连边）对网络恢复特性的影响，以及对真实网络的研究。真实网络中的恢复过程可能存在不同的特性，例如滞后状态之间的转换比合成网络的状态转换更平缓（见附录A中的图S13）。此外，网络可能具有高阶结构，这会显著影响动力学[33‒36]。高阶网络结构如何影响网络恢复的问题值得进一步研究。此外，对理论预测的实验验证可以为真实世界中的有向动力网络恢复机制提供有价值的见解。最终，更好地了解有向动态网络的恢复特性可以为各类高韧性网络系统的设计和管理提供指导。

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