基于离轴涡旋阵列同步演化的二维粒子组装

, , , , , 丁宁 , 郭各朴 , 屠娟 , 章东 , 马青玉

工程（英文） ›› 2025, Vol. 47 ›› Issue (4) : 149 -161.

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工程（英文） ›› 2025, Vol. 47 ›› Issue (4) : 149 -161. DOI: 10.1016/j.eng.2024.01.032
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基于离轴涡旋阵列同步演化的二维粒子组装

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Two-Dimensional Particle Assembly Based on the Synchronized Evolution of Centrosymmetric Off-Axis Acoustic Vortexes

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摘要

具有零声压中心的涡旋声场能够实现粒子的稳定捕获，通过位置调节可以完成粒子精准操控，然而，由于受环形高声压势垒的制约，两个涡旋间的粒子难以实现融合和组装。本文从二维粒子组装的应用需求出发，提出了一种基于涡旋阵列同步演化的三步相位反转粒子组装方法。首先，利用单侧环形换能器阵列与多路复用技术在二维平面内构建具有预设径向偏移的M个中心对称分布的离轴涡旋阵列，并分析了声场分布特性及影响因素，讨论了不同声源条件下涡旋阵列的形成。然后，分析中心对称分布涡旋阵列同步演化的声场特征，并在相邻涡旋之间引入-2π/M、2π/M和0的涡旋相位差，构造正M边形和M角星形的低声压路径，以及重合的中心涡旋，进而形成始终指向声场中心的声辐射力，实现粒子从涡旋阵列向声场中心的移动、汇聚和组装。最后，构建16路相控实验系统，驱动16阵元平面活塞换能器环形阵列，构建轴对称分布的2涡旋、3涡旋和4涡旋阵列，并实现涡旋向中心的同步移动和声场演化，进一步利用正四边形、四角星形和中心涡旋的低声压声场完成对4个粒子的捕获、移动和中心汇聚，证明利用离轴涡旋阵列的同步演化实现二维粒子组装的可行性。本研究为基于单侧声源阵列的二维粒子组装提出了一种灵活可控的三步相位反转方法，为生物医学应用中细胞和粒子的精确导航与操控提供新技术，促进声镊技术在药物传输和精准治疗中的实际应用。

Abstract

Acoustic-vortex (AV) tweezers ensure stable particle trapping at a zero-pressure center, while particle assembly between two vortex cores is still prevented by the high-potential barrier. Although a one-dimensional low-pressure attractive path of particle assembly can be constructed by the interference between two independent cylindrical Bessel beams, it remains challenging to create two-dimensional (2D) neighboring vortexes using a source array in practical applications. In this paper, a three-step phase-reversal strategy of 2D particle assembly based on the synchronized evolution of a centrosymmetric array of M off-axis acoustic vortexes (OA-AVs) with a preset radial offset is proposed based on a ring array of planar sources. By introducing initial vortex phase differences of −2π/M and +2π/M to the vortex array, low-pressure patterns of an M-sided regular polygon and M-branched star are formed by connecting the vortex cores and the field center before and after the tangent state of adjacent OA-AVs. Center-oriented particle assembly is finally realized by a central AV constructed by coincident in-phase OA-AVs. The capability of particle manipulation in the lateral and radial directions is demonstrated by low-pressure patterns with acoustic radiation forces pointing to the field center during a synchronized central approach. The field evolution is certified by experimental field measurements for OA-AVs with different vortex numbers, initial vortex phase differences, and radial offsets using a ring array of 16 planar sources. The feasibility of particle assembly in two dimensions is also verified by the accurate manipulation of four particles using the low-pressure patterns of a four-sided polygon, a four-branched star, and a central AV in experiments. The three-step strategy paves a new way for 2D particle assembly based on the synchronized evolution of centrosymmetric OA-AVs using a simplified single-sided source array, exhibiting excellent potential for the precise navigation and manipulation of cells and particles in biomedical applications.

关键词

离轴涡旋阵列 / 相位反转法 / 初始相位差 / 粒子组装 / 单侧声源

Key words

Centrosymmetric array of off-axis acoustic vortexes / Phase-reversal strategy / Initial phase difference / Particle assembly / Single-sided ring array

引用本文

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Ning Ding,Gepu Guo,Juan Tu,Dong Zhang,Qingyu Ma,丁宁,郭各朴,屠娟,章东,马青玉. 基于离轴涡旋阵列同步演化的二维粒子组装[J]. 工程（英文）, 2025, 47(4): 149-161 DOI:10.1016/j.eng.2024.01.032

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1 引言

1986年，Ashkin及其团队[1]发现微米级颗粒与中性原子可在光辐射力作用下发生位移。随后，具有良好选择性与精确度的非接触式光镊技术被开发用于微粒与细胞操控[2‒4]。尽管光镊技术已在生物学领域广泛应用，但其在人体内的实际应用仍受限于光穿透深度不足及潜在热效应等固有约束[5‒6]。基于生物医学应用需求，Wu [7]首次提出声镊技术概念。过去二十年间，研究者利用声束的声辐射力（acoustic radiation force, ARF）实现了颗粒/细胞的捕获[8‒10]、分离[11‒12]、悬浮[13]及混合[14]等声学操控。得益于对不同材质和尺寸物体的非侵入操控能力及良好生物相容性，声镊技术在材料科学与生物医学工程领域展现出重要价值。驻波操控是一种典型的集体操控声镊技术，具备二维[15‒17]与三维[18‒20]捕获能力，具有颗粒分选[21‒22]以及图案化排列[23‒25]的功能。然而，驻波波节与波腹会阻碍相邻粒子的运动与组装，且双换能器或反射器的结构配置限制了操控灵活性。相比之下，采用单侧换能器阵列（如单束或全息框架[26‒27]）发出的行波声场可构建更加灵活的选择性声镊操控系统。

声涡旋（acoustic vortex, AV）波束的波前绕声轴螺旋分布，并在声轴上形成相位奇点，其携带轨道角动量（orbital angular momentum, OAM）[28‒29]和中心零声压的环状结构可形成势阱以实现物体的稳定捕获[20]、悬浮[30‒31]、平移[16,18]及旋转[32]。此外，利用聚焦声场产生的沿轴推力和拉力能够实现物体的三维操控。为实现多目标的独立操控，目前已发展出多种技术[26,33‒36]来构建同轴/离轴涡旋声场，包括基于单侧换能器阵列的全息框架[26]或双侧对置阵列结构[33]、声学超表面多比特编码的异常反射[34]、双同轴涡旋声束干涉[35]，以及基于时间反转法的自导航三维声涡旋[36]等。

研究表明，两束平行干涉光束形成的复合光学涡旋的位置可由二者的振幅、间距和相对相位决定[37]。Cheng等[38‒39]通过调节离轴距离、相干参数和传播距离，可实现复合相干涡旋的运动、生成和湮灭。因此，通过声束干涉可调控涡旋势阱的数量、形状和位置，从而实现多捕获目标的移动。2019年，Gong和Baudoin [40]研究了两束平行贝塞尔波的同步演化，证明两个同相声涡旋之间形成相消干涉，构建了一条可用于粒子捕获的低声压路径，从而实现微粒的移动与组装。然而，这种一维低声压路径难以适用于二维分布的多个涡旋。此外，理想贝塞尔涡旋需要无限大阵列的精确调控才能构建[41]，这在实际应用中难以实现[42‒43]。同时，两束平行贝塞尔波的同步接近过程还会受到声源重叠和场域遮挡的影响，因此需采用倾斜声源阵列通过斜入射声涡旋波束来生成复合声场。但两束倾斜波束的交汇区域会随入射角大小不同而变化，其干涉区域的涡旋三维形态与位置特性仍需深入研究。2021年，Ding等[44]通过在传统16阵元环形阵列中引入附加相位延迟，构建了具有沿预定轨迹定向传播的离轴涡旋（off-axis acoustic vortex, OA-AV）声束，为基于涡旋声镊的多目标操作奠定了理论与实验基础。Kotlyar等[45]研究发现，四束平行单环拉盖尔-高斯光束叠加时，其螺旋相位会在复合场中心奇点外围形成高强度势垒，导致光束逐渐接近时难以突破势垒完成微粒组装，因此基于多涡旋的粒子二维组装仍面临关键性挑战。

本研究提出了一种基于离轴涡旋阵列同步演化的三步相位反转粒子组装方法。首先，引入多路复用技术[46]驱动N阵元环形声源阵列，在声场横截面内构建具有预设径向偏移的中心对称分布的M离轴涡旋。然后，在相邻离轴涡旋相切状态前后，引入-2π/M和2π/M的初始涡旋相位差，分别在相邻涡旋中心之间、涡旋中心和声场中心之间形成低声压路径，构建M边形和M角星形两种低声压声场模式，其所产生的指向声场中心的声辐射力可以实现被捕获粒子的移动和中心组装，并通过M个同相离轴涡旋完成捕获粒子在中心区域的聚集。最后，利用16声源环形阵列产生多涡旋声场，通过实验测量中心对称分布的离轴涡旋声场及其在三步相位反转法调控下的同步演化过程，并设计4离轴涡旋构建的四边形、四角星形及中心涡旋，成功实现了4个粒子的精确捕获、移动和中心集聚。本研究所提的三步相位反转法为基于环形阵列的多目标捕获和二维粒子组装提供了新技术，且可以拓展到具有非轴对称分布的三维应用场景，在生物医学工程领域展现出广阔的前景。

2 原理与方法

基于环形声源阵列的离轴涡旋阵列构建原理如图1（a）所示，N个半径为a的平面活塞换能器均匀放置在半径为R的平面上，相邻两个声源方位角为Δφ=2π/N，用相位差为Δϕ=lΔφ的N路正弦波激励声源阵列产生相控声束，在声轴上形成拓扑荷为l的涡旋声场。在圆柱坐标系中，第n个声源Sn 的中心位置坐标为R,φn,0，其空间角度和初始相位分别为φn=n-1/Δφ和ϕ0n=n-1/Δφ，其所激发声波初始相位为ϕn=2πn-1l/N，则Sn 在任意观测点r,φ,z所产生的声压为：

pnr,φ,z=∫02π∫0au0ik0ρ0c02πRnexpik0Rnexpiϕnrn'drn'dφn'

式中，(rn', φn', 0)是以Sn 圆心为中心的面元dSn 的坐标；i是虚部；a是面元的半径；u0是声源振速；ω=2πf是角频率；k0=ω/c0是波数；ρ0和c0分别是传播介质的密度和声速；Rn=Rcosφn+rn'cosφn'-rcosφ2+Rsinφn+rn'sinφn'-rsinφ2+z2表示面元dSn 到观测点r,φ,z的距离。进一步，通过N个相控声源辐射声场的声压叠加，得到传统沿轴涡旋声束的声压为：

pr,φ,z=∑n=1N∫02π∫0au0ik0ρ0c02πRnexpik0Rnexpiϕnrn'drn'dφn'

式中，涡旋声束在z = z0平面上的涡旋中心为P0；声源Sn 中心到P0的距离为R0=R2+z02。

如图1（a）所示，在z = z0平面内构建以P0为中心的M个中心对称分布的离轴涡旋阵列，其中第m个离轴涡旋的中心Pm 坐标为rm,φm,z0，φm=2π(m-1)/M（m = 1, 2, ..., M）是其方位角，rm 是涡旋中心的径向偏移。为了构建第m个离轴涡旋声束，需要声源Sn 的初始相位ϕn上附加一个相位延迟来实现波束的定向偏转，其大小由声传播距离的变化量ΔRnm=Rnm-R0决定，其中Pm 和Sn 之间的距离为：

Rnm=rmcosφm-Rcosφn2+rmsinφm-Rsinφn2+z02

因此，Sn 的初始相位可以修正为ϕnm'=ϕn+k0ΔRnm [44]。考虑到中心对称分布的涡旋阵列的rm 相同，利用声场的线性叠加，得到利用环形声源阵列构建的M个定向离轴涡旋声束复合声场的声压为：

pr,φ,z=∑n=1N∫02π∫0au0ik0ρ0c02πRn∑m=1Mexpik0Rn+ϕn+k0ΔRnmrn'drn'dφn'

如图1（b）绘制了中心对称分布的2个和4个离轴涡旋声场横截面的相位示意图，在粒子组装过程中通过逐步减小rm 实现涡旋中心Pm 向声场中心的同步收缩。结果表明，初始相位相同的离轴涡旋在声场中心产生的相位随M的变化而变化。M = 2时，同相离轴涡旋p1和p2的之间相位相反，在涡旋中心之间形成一条低声压路径[40]。随着rm 的减小，两个离轴涡旋同步趋近声场中心，涡旋之间的相位保持不变，低声压路径在p1和p2之间保持。当M > 2时，复合声场会受到离轴涡旋初始相位和空间位置的影响，声场形成螺旋相位分布和中心相位奇点。以M = 4为例，4个同相离轴涡旋在声场中心分别产生0、π/2、π和-π/2相位分布，声场中心产生了一个l = 1的新涡旋。因此，当M ≥ 3时，由同相离轴涡旋组成的中心对称分布阵列会形成一个拓扑荷l =1的中心涡旋，但粒子从涡旋中心向声场中心的运动仍会受到周围高声压势垒的阻碍。为解决这一问题，需通过调整离轴涡旋的初始相位来破坏声场中心新涡旋及其相位奇点。因此，对第m个涡旋引入初始相位βm，则离轴涡旋声场的声压修正为：

pr,φ,z=∑n=1N∫02π∫0au0ik0ρ0c02πRn∑m=1Mexpik0Rn+ϕn+k0ΔRnm+βm rn'drn'dφn'

对于具有固定径向偏移rm的离轴涡旋阵列，相位差β=βm+1-βm为常数，其正负极性代表相邻离轴涡旋之间相位的超前和滞后，每个离轴涡旋的径向偏移和旋转方向分别由附加相移和拓扑荷的极性决定，并进一步决定复合声场的分布和粒子运动。通过适当选择涡旋阵列的相位差和径向偏移量，可以构建出M边形和M角星形的特有低声压路径。

理想流体中尺寸远小于声波波长的粒子具有的Gor’kov势能[47]为：

U=πap3(f0p23ρ0c02-f1ρ0v22)

式中，v是粒子的速度；f0=1-c02ρ0/cp2ρp, f1=2ρp-ρ0/ 

2ρp+ρ0；ap为球形粒子的半径；ρ0和ρp是流体及粒子的密度；c0和cp是流体与球形粒子的声速。通过Gor’kov势能的负梯度计算可以获得作用于粒子的声梯度力（acoustic gradient force, AGF），Zhou等[32]证明焦平面内的径向AGF由声压和涡旋半径决定，聚焦涡旋成功旋转捕获毫米尺度物体的捕获力约为10-9 N量级。

因此，在M个离轴涡旋同步向中心逼近的过程中，被捕获在涡旋中心的粒子可在AGF的作用下沿低声压路径移动，从而形成可控的M边形二维图案，并通过M角星形通道实现中心聚集。然而，要实现粒子从离轴涡旋中心到声场中心的完整组装，仍需对中心对称阵列分布离轴涡旋的径向偏移量和涡旋相位差进行合理优化。

3 数值仿真

由于不同声源到离轴涡旋中心的距离存在差异，所构建涡旋声场的环形声压分布的对称性会随着偏移量的增加而变差，而相位螺旋能基本保持不变[44]。为了提高涡旋定位的精确性，我们模拟M个围绕声轴对称分布的定向离轴涡旋声束，其中心到声轴的偏移量rm 相同。通过调整rm 来改变涡旋阵列的相对位置。为了获得高精度的声场和AGF分布，我们将环形分布的声源阵列理想化为半径R = 30 mm和宽度w = 5 mm的连续相位螺旋圆环，其中f = 500 kHz、c0 = 1500 m∙s-1、l = 1，水中声源表面声压校准为90 kPa （振速u0 = 60 mm∙s-1）。为了便于比较，定义径向偏移比δ=rm/r0来表示离轴涡旋中心和涡旋半径的相对位置。

在z= 200 mm的平面内，M个l = 1的离轴涡旋的半径（涡旋中心到第一声压峰值环区域）r0均为6.0 mm。分别模拟了M = 2且δ = 2、M = 3且δ = 4、M = 4且δ = 5几种条件下的复合涡旋声场。图2（a）和（b）显示了复合涡旋声场横截面的声压和相位分布，当M = 2、3和4时，声场中心附近均匀分布着M个离轴涡旋，均呈现出中心零声压的环形声压分布，涡旋的声压峰值分别为115.0 kPa、117.9 kPa和121.3 kPa。围绕涡旋中心在r = 12 mm范围内（涡旋中心到第一声压谷值环区域）显示0~2π的螺旋状相位分布，证明了M个独立涡旋的形成。图2（c）给出了xoz平面内的轴向声压分布，每个离轴涡旋声束的轨迹均沿z轴逐渐偏离，并以固定的径向偏移量rm 通过预定偏离位置Pm。M = 3时，相邻涡旋的方位角差异为2π/3，在图2（c-ii）中只观察到涡旋中心位于+x轴的涡旋p1。另外，由于环形换能器阵列的指向性产生了相应的主瓣和旁瓣辐射，零声压辐射角在z = 40 mm处产生涡旋波节V [48]，其涡旋节点可以通过声源辐射特性进行调整。

本文进一步探究了同相多涡旋的演化及其实现粒子组装的可行性。Zhang等[49]在非同轴光涡旋叠加研究中表明，当两个涡旋光束外侧光强环相切时，非同轴干涉可以产生一个复杂的奇异分布，这些相位奇点的位置可以用通过光强为零来计算。利用pr,φ,z=0来计算离轴涡旋阵列的相位奇点位置，绘制了如图3所示的不同径向偏移比条件下声场横截面的声压分布及其复声压实部和虚部的等高线分布。在M = 4，δ = 2.5、1.4和0条件下的结果如图3（a-i）所示，当δ = 2.5时，在±x轴和±y轴上分布4个中心对称分布的离轴涡旋，其中虚线圆和箭头分别表示涡旋的位置和运动方向。图3（b-i）给出零等值线分布的复声压实部（蓝色）和虚部（红色）的交点，清晰显示若干个相位奇点，所在位置用“×”标记，与零声压点位置良好吻合。在离轴涡旋阵列向中心靠近过程中，声场中心干涉逐渐增强，低声压区偏离相应的涡旋中心[40]。当δ = 1.4时，如图3（a-ii）所示的涡旋彼此相切，虚线圆给出了涡旋的实际位置。同时，声场中心相位不随δ变化而变化，复合声场中始终存在中心奇异性，此时声场中心会形成一个近似四边形的高声压势垒，在中心周围具有明显的相位螺旋。图3（a-ii）中右下角的相位插图显示声场中心形成一个拓扑荷l = 1的中心涡旋，这阻止被离轴涡旋捕获的粒子继续向声场中心移动。随着δ的进一步减小，高声压势垒的连续性也相应增强，最终在δ = 0时形成环形分布的中心涡旋，因此同相涡旋向中心靠近不能实现粒子的中心积聚。

为了阻止中心涡旋的形成，需要在涡旋阵列向中心收缩过程中破坏声场中心的相位奇点和螺旋相位，因此，在离轴涡旋阵列中引入初始相位差β = -π/2和π/2来调整声场相位分布，构造不同的低声压模式。如图4（a）所示，由于β = -π/2，4个离轴涡旋在声场中心的相位相同，形成了高声压中心，同时除了在±x和±y轴上独立分布的涡旋外，在δ = 2.5时还产生了低声压环形通路。因此，涡旋中心和低声压环顶点形成沿±x和±y轴分布的四条低声压通道，产生粒子从涡旋中心向声场中心的运动和组装路线。随着δ减小，涡旋中心向低声压环方向移动，四条低声压线逐渐缩短，在δ = 1.4时达到相切状态形成一个近似正四边形的低声压通路。β = π/2时，在δ = 2.5时的声压分布如图4（b-ii）所示，涡旋中心与声场中心之间的形成了4个离轴涡旋，但在靠近声场中心一侧存在4个明显的高声压区域，阻止了粒子向声场中心的移动。进一步减小δ至涡旋相切状态，图4（b-ii）中相邻涡旋相位相反形成4条低声压路径，涡旋中心与声场中心之间形成一个四角星形的低声压通路，使粒子的中心聚集成为可行。另外，值得注意的是，图4（a-iii）和（b-iii） β = -π/2和π/2的相位插图显示，两个声场中心分别有0和4π的环形相移，表明声场中心形成了拓扑荷为0和2的中心涡旋。当δ = 0时，4个涡旋重合在声场中心，图4（a-iv）和（b-iv）显示β = -π/2和π/2时的声压分布被4个螺旋相移为2π的涡旋完全抵消，导致复合声场声压为零，失去涡旋声场特性。

因此，基于4个离轴涡旋向中心收缩的声场演化，本文提出了一种三步相位反转法实现粒子从离轴涡旋中心向声场中心的移动和组装。首先，在较大径向偏移比时利用β = -π/2构建正四边形的低声压通路，完成捕获粒子的环形组装；然后，在离轴涡旋阵列同步收缩到高声压环处于相切状态时，反转涡旋阵列相位差，利用β = π/2构建四角星形的低声压通路，使捕获在环上的粒子向声场中心移动；最后，在涡旋中心重叠时，通过β = 0的同相涡旋阵列形成中心涡旋，实现粒子的稳定中心积聚。

图5展示了4个离轴涡旋向中心同步收缩时，声压谷点沿x方向的分布曲线，其中蓝色和红色线分别表示涡旋中心和声压谷点的位置，涡旋初始相位差的转换由不同颜色的阴影表示，三步相位反转的变化过程的颜色由浅至深。结果表明，β = -π/2时，离轴涡旋阵列向中心收缩的过程中，声压谷点的半径小于径向偏移距离，并在x = 7.5 mm处经过较小的波动后稳定在正四边形上；在δ = 1.4的相切状态时，β = π/2的引入使得声压谷点迅速出现在x = 0 mm处，因此随着径向偏移量的进一步减小，声压谷点位置保持不变；在δ = 0时，β = 0的同相涡旋形成稳定的中心涡旋，实现粒子的中心组装。

为了证明离轴涡旋阵列向中心收缩的同步演化过程中，三步相位反转法实现粒子组装的能力，我们采用了半径ap=λ/10、密度ρp = 918 kg∙m-3、声速cp = 1900 m∙s-1的聚乙烯球形粒子计算了其涡旋阵列中受到的AGF。图6（a）显示了β = -π/2、π/2和0时横截面的Gor’kov势能和AGF分布。δ = 2.2、1.7、1.4、1.1和0五个位置的粒子受力显示，β = -π/2时所有的AGF都从内和外两侧指向正四边形的低势能位置；而在相切状态，且β = π/2时，AGF沿着四角星形的低势能通路指向声场中心；当β = 0时，涡旋内的AGF均指向声场中心。结果证明在声场演化的过程中，涡旋中心捕获的粒子所受到的声辐射力均指向声场中心，实现粒子向内的单向移动和中心组装。

我们进一步绘制了不同径向偏移比条件下，粒子沿x正方向受到的AGF分布[图6（b）]，绿色箭头代表朝向声场中心的正AGF，黑色虚线标记了最大AGF的位置，零AGF表示粒子平衡位置。在第一步的粒子组装过程中，随着δ减少，δ = 2.2、1.7和1.4时的最大AGF分别为2.14 × 10-12 N、6.6 × 10-12 N和1.28 × 10-11 N，分别位于x = 15.9 mm、10.6 mm和9.8 mm处。在正AGF驱动下，被捕获粒子从x = 9.5 mm处向声场中心移动，并在x = 7.5 mm的低势能两侧稳定下来；在δ = 1.4时反转相位，最大AGF的位置和静态平衡点不断向声场中心移动。如图6（b-iv）和（b-v）所示，当δ = 1.4和1.1时，位于x = 6.8 mm处的最大AGF分别为1.87 × 10-12 N和 6.94 × 10-12 N。粒子被正AGF推动向x = 0 mm的静态平衡位置移动。δ = 0和β = 0时，在x = 3.0 mm的高声压环内形成中心涡旋，AGF进一步增强，最大AGF达到6.77×10-11 N，粒子被捕获在x = 0 mm的静态平衡位置处。因此，基于4个离轴涡旋向中心同步靠近的二维粒子组装，可以通过所提出的三步相位反转法完成，具体的声场演化的过程见附录A中视频S1。

为了证明所提出的三步相位反转法在离轴涡旋阵列粒子组装应用中的通用性，我们在相同条件下模拟了3个和5个离轴涡旋声场的同步演化，其中涡旋阵列相位差分别为±2π/3和±2π/5。图7（a）和（b）分别绘制了3个和5个离轴涡旋在相位反转状态前后横截面内的相位示意图和声压分布，声场中心区域的相位分别如图7（b）的插图所示。计算得到3个和5个离轴涡旋阵列在相位反转时δ = 1.15和1.7。β = -2π/3和-2π/5时，中心区域的相位分布显示l = 0。β = 2π/3和2π/5时为l = -1和2。结果证明，涡旋相位差β =-2π/M（M = 3或5）时离轴涡旋声场形成了正三边/正五边形的低声压通路，而β = 2π/M时形成了三角/五角星形的低声压通路，这与理论预期结果完全相同。

进一步沿+x轴提取离轴涡旋阵列向中心同步靠近过程中复合声场的径向声压分布，M = 3和5的结果如图7（c）和（d）所示，其中x轴上不同颜色的实心点代表相应的涡旋中心。如图7（c）所示，M = 3时，当δ从2.2下降到1.15，声压谷点的位置从x = 8.3 mm移动到x = 6.8 mm。在δ = 1.15相位反转前后，低声压模式从三角形演变为三角星形。同时，x = 0和6.8 mm处形成了两个声压谷点。x = 6.8 mm处涡旋中心的外部声压谷点随着δ减少而逐渐前进，当δ = 0.8时达到x = 4.5 mm，涡旋继续向中心同步靠近，在δ = 0时稳定在x = 0 mm处。同样，图7（d）中5个离轴涡旋的声压谷点逐渐接近声场中心，最终在δ = 0和β = 0时，由中心涡旋实现稳定的粒子中心聚集。δ = 2.2且β = -2π/5、δ = 1.7且β = -2π/5、δ = 1.7且β= 2π/5、δ = 1.2且β = 2π/5以及δ = 0且β = 0时，离轴涡旋声场的声压谷点位置分别位于x = 13.6 mm、x = 7.5 mm、x = 0 mm、x = 0 mm和x = 0 mm处。在离轴涡旋同步向中心接近的过程中，声压谷点的向中心的移动证明了粒子组装的可行性。3个和5个离轴涡旋阵列向中心靠近的声场演化详见附录A中视频S2和视频S3。

涡旋阵列的初始相位和空间位置会影响第m个离轴涡旋在声场中心的相位，其值为2πm/M。因此，当M个同相离轴涡旋（β = 0）干涉时，会形成一个拓扑荷l = 1的中心涡旋，阻碍粒子从涡旋中心向声场中心移动。为了消除中心声涡旋的高声压势垒，需要在涡旋阵列中引入β = -2π/M和2π/M的相位调制。附录A中图S1展示了M = 3、4、5和6时，离轴涡旋在相切状态下横截面的相位分布示意图和模拟的相位分布。当β = -2π/M时，第m个离轴涡旋在声场中心产生的相位为2πm/M - 2πm/M = 0，此时形成一个l = 0的中心高声压分布，粒子被捕获在低声压正M边形上。当β = 2π/M时，相位为2πm/M + 2πm/M = 4πm/M，M > 3时会形成一个l = 2中心涡旋。而对于M = 3的特殊情况，相位为0、4π/3和8π/3，产生一个l = -1的中心涡旋。随着涡旋声场演化形成M角星形的低声压通路，粒子将在AGF的作用下从涡旋中心运动至声场中心。因此在涡旋相切状态前后反转M个离轴涡旋的相位差-2π/M和2π/M，可以有效地破坏中心涡旋的高声压势垒。通过调节离轴涡旋阵列的涡旋数量和径向偏移比，可以在二维空间优化低声压图案的形状和尺寸，实现粒子向声场中心的精确移动，最终通过同相涡旋叠加强化中心涡旋，实现捕获粒子的中心组装。

通过对优化后的环形声源阵列引入附加相位偏移，理论上可以构建任意数量中心对称分布的离轴涡旋阵列，并构造M边形和M角星形等低声压图案。然而，实验中难以实现环形声源所需的连续相位螺旋分布，因此，需要采用N个换能器构建环形阵列的离散模型。如附录A中图S2所示，采用16个（实验用）换能器的环形阵列模拟了不同径向偏移下4个离轴涡旋声场横截面的声压分布。结果表明，两种情况下的4离轴涡旋声场形状和位置基本一致。但值得注意的是，用16声源阵列所构建的4离轴涡旋声场的环形声压分布的均匀性和连续性明显下降，且干扰更为显著。此外，根据奈奎斯特定理[50]，由N个声源组成的环形阵列可生成的离轴涡旋最大数量为M = N/2。因此，采用更多声源的环形阵列可以构建更多数量和更高质量的离轴涡旋阵列。

4 实验测量

将16个半径a = 2.5 mm，频率f = 500 kHz的圆形平面活塞换能器均匀分布在一个三维打印的半径R = 30 mm的丙烯腈丁二烯苯乙烯共聚物（ABS）环形支架上，换能器空间夹角差为Δφ=2π/16，将相邻两个圆形换能器的驱动信号相位差设定为2π/16。水中声速c0 = 1500 m∙s-1，换能器表面振速u0 = 60 mm∙s-1。实验测量系统框图如图1（a）所示，由计算机通过WIFI模块进行数据传输，控制现场可编程门阵列（FPGA; EP4CE6E22C8N, Altera Corporation, USA）输出16路频率为500 kHz的相控方波信号，分别经过带通滤波和功率放大后输出幅度和相位可控的正弦信号。在运动控制器（Newport ESP301, Newport Corporation, USA）和LabView程序的控制下，步进电机（Newport M-ILS250, Newport Corporation, USA）驱动水听器对声场进行二维扫描，每一点的测量波形由数字示波器（Agilent DSO9064A, Agilent Corporation, USA）采集并存储到计算机中，进一步通过数据处理实现声场声压和相位分布的重建。

根据相控涡旋声束的形成原理[44,46]，为了产生一个拓扑荷为l的涡旋声束，第n个声源的激励信号为Sn=Acosωt+2πn-1l/N+k0ΔRnm，其中A和k0ΔRn分别表示由径向偏移决定的声压振幅和附加相位。因此，为了构建涡旋相位差为β的M个离轴涡旋，第n个声源的激励信号为：

Sn=∑m=1MAcosωt+2πn-1l/N+k0ΔRnm+βm

其可以简化为Sn=Ancosωt+Φn，通过对每个声源的幅度An 和相位Φn精确调整可形成所需声场。

用16个平面换能器的实验环形阵列，构建了M = 2且δ = 2、M = 3且δ = 4、M = 4且δ = 5的同相离轴涡旋声场，并以1.0 mm的运动步长进行扫描测量。图8给出z = 200 mm横截面内的声压和相位分布，其与图2中的模拟结果基本一致，每个离轴涡旋的实际位置与预先设置坐标相吻合。随着M的增加，图8（a-i）~（a-iii）中离轴涡旋的能量分散，高声压环形分布的不均匀性和不对称性更加明显，图8（b-i）~（b-iii）中的螺旋相位分布基本保持不变，证明了离轴多涡旋阵列声场的形成。

进一步地，将三步相位反转法应用于中心对称的4离轴涡旋阵列，构建不同径向偏移比条件下的复合声场。图9展示了z = 200 mm横截面内的声压和相位分布。如图9（a-i）和（b-i）所示，在β = -π/2且δ = 2.5时，4个离轴涡旋中心位于r = 15 mm处，且沿x和y轴和中央的低声压环连通，而声场中心形成一个明显的高声压区域。当δ = 1.4时，图9（a-ii）显示一个具有高声压中心的近似环形的低声压通路，且图9（b-ii）显示中心区域不具有相位螺旋。当β = π/2时，声场中心产生了一个如图9（a-iii）所示的低声压四角星形图案，其零声压涡旋中心位于声场中心，图9（b-iii）显示声场中心为相位奇点，围绕中心产生拓扑荷l = 2的螺旋分布。此外，在δ = 0且β = 0时，图9（a-iv）和（b-iv）中环形声压和相应的相位螺旋证明在中心形成了l = 1的中心涡旋，声场实验结果与模拟结果一致，中心对称分布的离轴涡旋阵列的演化规律证明其实现捕获粒子向中心移动和组装的可行性。

为进一步验证三步相位反转法实现二维粒子操控和组装的可行性，我们建立了如图10（a）所示的实验系统。将换能器水平置于在水箱底部，离轴涡旋声束垂直向上传播，控制液面高度到换能器表面的垂直距离为z = 200 mm。在水面放置密度略小于水的聚乙烯球形粒子，粒子直径在0.6~1.2 mm之间，利用数码相机（MVC3000F，Microview公司）从上方拍摄粒子运动并保存在计算机中进行分析。在β = -π/2且δ = 1.4、β = π/2且δ = 1.4、β = 0且δ = 0条件下，利用4个离轴涡旋开展了粒子操控和组装实验。实验视频如附录A中的视频S4至视频S6所示，并以相应条件下的声压分布作为背景来标定涡旋中心。

在涡旋势阱的作用下，4个离轴涡旋分别捕获4个粒子。在β = -π/2且δ = 1.4条件下（视频S4），4个粒子分别被捕获在低声压通道的四条边上，实现了如图10（b-i）所示的稳定捕获。引入β = π/2，如图10（b-ii）所示，4个粒子沿着四角星形的四条低声压通道分布移动到声场中心，彼此靠近形成粒子簇。视频S5显示，粒子簇偏离声场中心时，四周高声压的势垒作用使得粒子迅速向中心运动，最终稳定在四角星形的低声压中心。由于所形成的l = 2的中心涡旋声压较低，粒子簇的旋转不明显。最后，当δ = 0且β = 0时，声场中心形成了l = 1的中心涡旋，如视频S6和图10（b-iii）所示，粒子簇被稳定地控制在涡旋中心，并在轨道角动量的作用下沿逆时针方向快速旋转，实现了粒子在二维平面内的中心移动和集聚，这证明三步相位反转法在二维粒子操控和中心组装中的应用可行性。

5 讨论

研究[44]表明，定向离轴涡旋最大径向偏移由声源阵列的参数、换能器指向性、波束的轴向距离等因素决定。对于径向偏移较大的离轴涡旋，由于涡旋中心与声源间距离的变化所引入的声压衰减和相位滞后，会在声压环和相位螺旋处产生更严重的声场畸变。虽然离轴涡旋阵列可以更大的范围内形成，但如附录A中图S3所示，声压幅度和相位分布都明显扭曲。因此，在实际的粒子组装应用中，离轴涡旋的最大径向偏移比应通过环形阵列半径、传输距离、涡旋半径和阵列数来优化。

2022年，Wang等[51]基于有限声源离散环形阵列的相干叠加原理研究了涡旋生成原理。通过Jacobi-Anger展开式给出了拓扑荷为l的声涡旋所需最少声源Nmin=2l+1。随后该团队进一步探究了原子相控阵列辐射光学涡旋场的拓扑结构与偏振特性[52]，并论证了产生特定拓扑荷矢量涡旋所需的最小声源数。2013年，Yang等[53]推导出N个声源环形阵列可产生的最大拓扑荷为lmax=FixN-1/2（Fix表示向零取整），其中l = 1的声涡旋所需最少声源Nmin = 3。因此，本研究构建M > 1个l = 1的中心对称分布的离轴涡旋阵列时，最少声源数为Nmin≥2M。如附录A中图S1所示，引入β = -2π/M和2π/M到中心对称分布的M个离轴涡旋时，具有M边形低声压通道的声场会生成l = 0的中心高声压分布，而具有M角星形低声压通道的声场会产生l = -1（M = 3）或l = 2（M > 3）的中心涡旋，因此，所提出的三步相位反转法仅适用于满足M≥3的涡旋阵列。对于M = 2的特殊情况（附录A中视频S7），两个同相离轴涡旋中心间可构建一维低声压路径实现粒子向声场中心输运，最终无需相位反转即可完成中心聚集。附录A中图S4中，M = 2的数值模拟和实验测量的声压和相位分布与两束逼近的贝塞尔声束的分布特征相似，这为Gong和Baudoin [40]的结论提供了新的证据。本研究采用单侧环形阵列构建了多个离轴涡旋，解决了贝塞尔涡旋在实验中难以实现的问题。相较于基于两束平行贝塞尔声束的一维粒子组装，基于三步相位反转法的中心对称分布离轴涡旋阵列的同步演化可以构建位置可控的M边形和M角星形低声压模式，在二维粒子组装中更具普适性。此外，由于离轴定向涡旋声束能灵活引导声束轨迹通过预设位置，所提出的方法还可拓展应用于复杂生物环境中的三维避障粒子组装。

众所周知，随着拓扑荷的增大涡旋声压降低，同时涡旋半径增大。计算得到，p0 = 90 kPa时，l = 1、2、3和4的4个离轴涡旋最大AGF分别为1.4 × 10-11 N、4.5 × 10-12 N、1.76 × 10-12 N和7.0 × 10-13 N，对应峰值声压为121.3 kPa、118 kPa、111 kPa和94 kPa，表明捕获能力随l的增加而减弱。前人研究[54]表明，两个高阶Laguerre-Gauss光涡旋的相位奇点可通过干涉分离并分裂为多个一阶涡旋，不同阶离轴涡旋的仿真和实验结果均验证了这一现象。本研究对l = 2、3和4的4个中心对称分布的离轴涡旋阵列进行声场仿真，其横截面的声压和相位分布如附录A中图S5所示，证明相位奇点的分裂会严重影响声场精确调控和粒子操控，因此当前研究仅采用l = 1来构建中心对称的阵列。

研究[15,55‒60]表明，涡旋声镊操控粒子所需的声辐射力范围为10-6~10-12 N。本研究在声源声压为90 kPa的条件下，利用连续与16阵元环形换能器模型仿真得到如附录A中图S6所示的4个中心对称分布的离轴涡旋阵列的声压、Gor’kov势能及径向AGF分布。结果显示，连续分布与16阵元声源阵列所产生的最大AGF分别为1.01 × 10-11 N和2.46×10-12 N。虽然离轴涡旋阵列的AGF弱于聚焦涡旋声镊，但仍足以操控纳米至微米级的药物和生物颗粒。如附录A中图S7所示，利用1、2和3环声源阵列构建中心对称分布的4个同相离轴涡旋声场，可获得其声压和相位分布。进一步地，利用三环阵列在β = -π/2、π/2和0条件下构建了中心对称分布的4个离轴涡旋声场，其在z = 200 mm横截面内的声压和相位分布如附录A中图S8所示，其低声压四边形和四角星形分布与如图4（a-iii）和（b-iii）所示的单环阵列所构建声场高度吻合。由于多环声源阵列具有更精确的相位精度和更强的干涉效应，所构建的离轴涡旋具有更独立的声场分布、更高峰值声压、更小涡旋半径和更均匀相位螺旋，从而可提升操控性能。因此，本研究所提出的三步相位反转法同样适用于多环声源阵列，有望实现更精准高效的粒子操控和组装应用。

6 结论

本文基于环形声源阵列的相位调控，提出了一种三步相位反转法实现中心对称离轴涡旋阵列的二维粒子组装。数值模拟与实验测量证明，通过引入-2π/M、+2π/M和0的涡旋相位差，可分别构建M边形和M角星形的低声压路径以及增强的中心涡旋。本文采用16阵元换能器环形阵列，构建了2、3和4离轴涡旋阵列，并利用4离轴涡旋阵列在相切条件下的相位反转实现了4个粒子的捕获、移动和中心集聚，证明三步相位反转法实现粒子组装的可行性。进一步研究表明，离轴涡旋径向偏移决定低声压通路的图案形状与尺寸，可通过零声压和零AGF设计声场分布和粒子操控移动轨迹以及中心组装方案。所提出的自组装方法通过离轴涡旋阵列的同步演化构建具有特定图案的低声压通路，能更好地实现二维粒子组装与中心聚集效果。另外，通过独立设置各离轴涡旋的径向偏移，可将二维低声压图案拓展为具有非轴对称场分布的三维结构，促进此技术在复杂生物环境中的粒子捕获、移动与组装应用。

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