新能源电力系统运行可靠性的全解析评估方法

徐龙勋; 胡博; 邵常政; 谢开贵; 潘聪聪; Heng-Ming Tai; 李文沅

doi:10.1016/j.eng.2024.09.023

Engineering ›› 2025, Vol. 51 ›› Issue (8) : 144 -157. DOI: 10.1016/j.eng.2024.09.023

研究论文

新能源电力系统运行可靠性的全解析评估方法

徐龙勋 ^a ,
胡博 ^a^,^* ,
邵常政 ^a^,^* ,
谢开贵 ^a ,
潘聪聪 ^a ,
Heng-Ming Tai ^b ,
李文沅 ^a

作者信息 +

A Fully Analytical Approach for the Real-Time Dynamic Reliability Evaluation of Composite Power Systems with Renewable Energy Sources

Longxun Xu ^a ,
Bo Hu ^a^,^* ,
Changzheng Shao ^a^,^* ,
Kaigui Xie ^a ,
Congcong Pan ^a ,
Heng-Ming Tai ^b ,
Wenyuan Li ^a

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摘要

可再生能源（RES）具有显著不确定性，这大幅增加了发输电电力系统中功率失衡和切负荷风险。因此，为了指导经济调度决策并降低风险，有必要对系统运行可靠性进行评估。然而，在大量故障场景中执行最优潮流（OPF）计算十分复杂，现有方法难以满足可靠性评估在运行时效性方面的需求。本文提出一种全解析方法，构建能够快速运行的可靠性指标解析函数，并可以在负荷和RES变化时避免重复评估。本方法包括基于均匀设计（UD）法的故障场景筛选和改进型随机响应面法（mSRSM）两部分。故障场景筛选方法在纳入不确定性因素的情况下，可用于选取关键故障场景；而mSRSM则针对所选故障场景，构建切负荷量关于负荷与RES出力的解析函数。通过引入一个与切负荷量对应的光滑虚拟变量，建立其解析函数，使得在负荷和RES出力变化时，可在极短时间内完成可靠性评估，而无需再进行烦琐的OPF计算。算例研究验证了所提方法在实时可靠性评估中的优异性能。

Abstract

Renewable energy sources (RES) have strong uncertainties, which significantly increase the risks of power imbalance and load shedding in composite power systems. It is thus necessary to evaluate the operational reliability for guiding economic dispatch and reducing the risks. Current methods cannot meet the requirement for the operational timeliness of reliability evaluations due to the high computational complexity of the optimal power flow (OPF) calculations of massive contingencies. This paper proposes a fully analytical approach to construct fast-to-run analytical functions of reliability indices and avoid reassessments when the load and RES change. The approach consists of uniform design (UD)-based contingency screening and a modified stochastic response surface method (mSRSM). The contingency screening method is used to select critical contingencies while considering the uncertainties. The mSRSM is used to construct the analytical functions of the load shedding to the load and RES generation for the selected contingencies. An analytical function of a smooth virtual variable that maps to the load shedding is established in such a way that, when the load and RES vary, the reliability can be assessed within a very short time rather than using laborious OPF calculations. Case studies illustrate the excellent performance of the proposed method for real-time reliability evaluation.

关键词

全解析方法 / 改进型随机响应面法 / 多项式混沌展开 / 可靠性评估 / 基于均匀设计的故障场景筛选

Key words

Fully analytical approach / Modified stochastic response surface method / Polynomial chaos expansion / Reliability evaluation / Uniform design-based contingency screening

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徐龙勋,胡博,邵常政,谢开贵,潘聪聪,Heng-Ming Tai,李文沅. 新能源电力系统运行可靠性的全解析评估方法[J]. 工程（英文）, 2025, 51(8): 144-157 DOI:10.1016/j.eng.2024.09.023

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1 引言

可再生能源（RES）因其优越的环境与经济效益，已在全球电力系统中得到广泛应用[1]。国际能源署（IEA）发布的《可再生能源市场报告》[2]显示，全球可再生能源装机容量持续增长，并在2023年迎来空前激增。2022年，中国贡献了近一半全球新增可再生能源装机量；截至2024年，中国在全球年度新增装机量中的占比已达55%。然而，RES不确定性因素增强，使得运行期间实现发电侧与负荷侧的实时平衡更加困难。例如，2016年南澳大利亚大停电中，故障导致电网损失了约52%的风电出力，引发供电不足并导致停电[3]。2021年美国得克萨斯州遭遇极端天气，导致包括RES机组在内的三分之一出力容量被迫关停，运营商紧急实施轮停措施，造成约500万用户断电[4]。多次停电事件表明，在RES不确定性与电力设备随机故障并存的条件下，运行期间关注发电侧与负荷侧的实时平衡很有必要。

电力系统可靠性的基本要求是提供充足且安全的能源。电网运营商必须做出高可靠性的调度决策，以降低故障发生概率并减轻其后果[5]。可靠性评估过程复杂、计算量巨大。现有可靠性评估方法大致可分为两类[6]：蒙特卡罗模拟（MCS）法和状态枚举（SE）法。MCS法依赖采样技术进行评估，但在高可靠系统中，由于收敛时间较长，其效率会显著下降；SE法通过建立可靠性指标与元件可用率之间的显式解析函数，能精确计算可靠性指标。在一个由电网拓扑、出力能力和负荷共同表征的运行状态下，对电力系统进行一次可靠性评估通常需要耗费数小时，导致结果无法满足运行的实时性需求。为此，已有大量研究从减少故障场景数量和简化故障场景分析角度降低计算负担。

故障场景筛选是减少故障场景数量的有效方法。文献[7]提出一种高效排序算法，用于筛选高发生概率故障场景，但该方法可能忽略了低发生概率但后果严重的故障场景。文献[8]采用基于灵敏度分析与过载风险的算法，来识别高影响、高过载的故障场景，但未考虑故障场景自身的发生概率。文献[9]研究利用双层优化模型，识别最高风险的故障场景，并通过重复优化，根据风险程度来筛选故障场景。文献[10]将高阶故障场景的后果表示为多个低阶故障场景后果的叠加。文献[11]搜索后果相同的故障场景，并将其合并。基于均匀设计（UD）的方法也已应用于故障场景选择，可通过统计原理获取可靠性指标[12‒13]。此外，机器学习方法也已被应用于识别关键故障场景[14‒15]。在将电力系统极端故障视作关键故障场景的情况下，还可有效制定面向关键负荷的可靠时空恢复策略[16]。文献[17]提出一种基于神经网络的方法，可从历史数据中精确提取运行特征。

故障场景分析的挑战之一在于如何简化优化过程。文献[18]提出冗余约束消除法以简化基于静态安全域理论的最优潮流（OPF）计算，但仍需求解优化模型。文献[19]利用马尔可夫链建立风速与发电机组的多状态模型，并用通用生成函数计算切负荷，但由于多状态模型的离散性，无法对运行状态的连续变化进行可靠性分析。文献[20]构建负荷可行域，通过计算运行点到该域的最小距离求得可靠性评估中的最优切负荷。文献[21‒22]将负荷与RES不确定性作为OPF的参数，分别基于多参数线性优化与拉格朗日乘子理论实现快速可靠性评估，当负荷和RES出力在小范围内变化时，假定切负荷与这些参数的映射关系保持不变，而一旦这些数值超出该范围，映射关系则不再适用。文献[23]利用基于卷积神经网络的回归方法，构建可靠性与不确定性之间的类似关系，但这一黑箱模型可解释性较差，且训练过程中会面临数据规模过大和维度灾难等问题。

上述研究仍有一定的改进空间。

（1）多数故障场景筛选方法未考虑负荷与RES的不确定性。在不同负荷与RES的条件下，故障场景的后果不同，因此上述方法得到的故障场景分析可能失效。尽管机器学习能有效处理不确定性，但在负荷与RES出力变化时，仍需通过烦琐的OPF计算评估可靠性。

（2）虽然简化的故障场景分析方法在考虑不确定性的同时，降低了可靠性评估的计算复杂度，但仍难以满足实时运行的要求。除文献[23]外，现有方法在负荷与RES出力变化时仍需重复执行OPF计算进行可靠性评估，主要原因是尚未建立切负荷与负荷及RES不确定性之间的直接解析关系。

当运行期间发电机组和基本网络拓扑保持不变时，在随机故障场景下，可靠性指标与负荷及RES不确定性之间应当存在一种显式函数关系。目前尚未有研究构建这一函数模型。本文基于多项式混沌展开（PCE）提出了一种全解析模型，以揭示可靠性指标与不确定性之间的解析函数。

PCE通常用于随机方程的不确定性量化模型[24‒25]，该方法将不确定的输出表示为随机变量正交多项式基函数的加权和[26]。据我们所知，尚无研究表明优化模型的变量可用PCE模型表示，这可能是因为优化模型的变量具有非光滑性[27‒28]。随着OPF参数变化，受不等式约束限制的变量虽连续但可能不可微，即呈现非光滑特性。对于非光滑模型，连续可微的PCE收敛速度较慢，并会在不可微点产生误差。为在随机故障场景下将可靠性指标表示为关于负荷与RES不确定性的解析函数，本文对随机响应面法（SRSM）进行改进，建立了一个基于PCE的优化变量解析函数。

本文的主要贡献如下。

（1）建立了负荷和RES不确定性下的可靠性指标解析模型，以取代传统的OPF模型。一旦负荷或RES出力发生变化，可靠性指标可以通过快速运行的解析模型更新，而无需进行烦琐的OPF计算。这对于评估经济调度的可靠性并提供决策指导具有实际意义。

（2）提出了基于UD法的故障场景筛选方法，以减少故障场景数量和计算复杂度。所筛选的故障场景对于不同的负荷和RES均十分关键。因此，无论负荷和RES出力如何变化，仅分析这些关键故障场景即可保证可靠性评估的准确性。

（3）为每个筛选出的故障场景建立了关于负荷和RES的切负荷解析函数。由于该函数受OPF约束而具有非光滑性。为此，本文提出了改进型SRSM（mSRSM），用于表示平滑虚拟变量的PCE模型。通过虚拟变量映射，可进一步得到切负荷解析函数。

本文余下部分的组织结构如下：第2节介绍所提方法的可靠性评估框架；第3节描述了基于UD法故障场景筛选方案的解析方法；第4节给出由mSRSM推导出的可靠性指标解析函数；第5节通过算例研究验证了所提方法的准确性与高效性，并分析了RES不确定性对可靠性的影响；第6节给出结论。

2 问题描述与解决框架

2.1 发输电电力系统可靠性评估概述

电力系统可靠性是指电力系统在既定质量标准和所需电能量的基础上，持续向负荷提供电力和能源的能力。本文的评估对象为不含配电系统拓扑的发输电电力系统。图1展示了电力系统可靠性评估的流程，包括以下三个步骤。

步骤1：故障场景生成。获取一个故障场景并计算其发生概率。故障场景是由不同元件故障组合形成的事件。对于一个拥有N个元件的系统，如果每个元件都既有运行状态，又有停运状态，则总共有

2 N

种故障场景。故障场景

s

的发生概率可按如下公式计算：

p s = ∏ j ∈ J U j ∏ l ∈ L A l

（1）

式中，

U j

表示停运元件

j

的不可用率；

J

是所有停运元件的集合；

A l

表示运行元件

l

的可用率；

L

是所有运行元件的集合。本文假设可用率与不可用率在研究时域内保持不变，不考虑其时变特性。

步骤2：故障场景分析。计算在步骤1获得的故障场景下，需要削减的负荷量。这通常通过直流（DC）-OPF模型实现，目标函数为最小化切负荷[20‒22]，而出力成本和RES削减成本则不予考虑。在考虑负荷和RES出力不确定性的情况下，该模型可重构建为一个随机形式：

m i n f L S s = c T P d

(2)

s . t . T = X - 1 A T θ

(3a)

C G ⋅ P G + C R E S ⋅ P R E S - P L f + P L e r r o r + P d = D ⋅ T

(3b)

θ m i n ≤ θ ≤ θ m a x

(3c)

T ≤ T m a x

(3d)

P G m i n ≤ P G ≤ P G m a x

(3e)

0 ≤ P R E S ≤ P R E S f + P R E S e r r o r

(3f)

0 ≤ P d ≤ P L f + P L e r r o r

(3g)

式中，

f L S (s)

表示在故障场景

s

下系统的切负荷量；

c T

为各节点负荷权重，本文设为全1向量；

P d

为负荷需求；

T

和

θ

分别表示支路功率和节点电压相角；

θ m i n

和

θ m a x

分别为电压相角的下限和上限；

T m a x

为支路最大传输容量；

X

为支路阻抗矩阵；

A

为节点-支路关联矩阵；

D

、

C G

和

C R E S

分别为节点-支路、节点-火电机组和节点-RES机组关联矩阵；

P G

和

P R E S

分别为火电机组和RES机组的出力；

P G m i n

和

P G m a x

分别为火电机组出力的下限和上限；

P R E S f

和

P R E S e r r o r

分别为RES出力的预测值和预测误差；

P L f

和

P L e r r o r

分别为负荷的预测值和预测误差。预测误差向量

P e r r o r

是不确定的，假定其服从高斯分布[29‒30]。

P e r r o r = P L e r r o r P R E S e r r o r ∼ N 0, Σ

（4）

式中，

∑

为预测误差的相关矩阵。

目标函数公式（2）旨在最小化切负荷量，并尽可能满足所有负荷需求。公式（3a）~（3g）分别为DC潮流约束、节点功率平衡约束、节点电压相角约束、传输容量约束、出力限值约束（调节、备用功率等）以及切负荷约束。特别指出，每个RES机组出力受其实际最大值限制，该值由预测值和预测误差表征，对应约束公式（3f）。各节点的切负荷量也受实际负荷的限制，该负荷由预测值和预测误差表征，对应约束公式（3g）。

步骤3：可靠性计算。在完成所有故障场景分析后，汇总分析结果，并计算可靠性指标。常用的可靠性指标包括电力不足概率（LOLP）和期望缺供电量（EDNS）。

L O L P = ∑ s ∈ S p s I s

(5a)

E D N S = ∑ s ∈ S p s f L S s

(5b)

式中，S表示所有关键故障场景的集合；I(s)为如下所示的示性函数。

I s = 1, f L S s > 0 0, f L S s = 0

（6）

2.2 挑战与解决框架

在发输电系统可靠性评估中，对大量故障场景及其优化分析进行计算的成本高昂。要将此类可靠性评估应用于运行以指导经济调度，十分困难，主要原因如下：①在给定预测误差

P e r r o r

的情况下，使用OPF模型[公式（2）和公式（3）]分析的故障场景数量巨大；②一旦预测误差

P e r r o r

发生变化，就必须重新执行可靠性评估模型。因此，在系统运行期间采用传统可靠性评估方法既耗时，又浪费大量计算资源。

图2展示了传统方法与本文提出方法的电力系统可靠性评估流程。从图2（a）可以看出，传统方法需要重复调用OPF可靠性评估模型来计算可靠性指标。一旦负荷或出力发生变化，原有的运行可靠性结果就会失效，这对可靠性评估在系统运行中的应用带来了一定挑战。因此，研究

f L S (s)

与

P e r r o r

之间的显式关系很有必要。基于这一显式关系，不需重复执行OPF，就能实时获得可靠性指标。

本文提出了一种全解析方法，用于建立可靠性指标关于负荷和RES不确定性的显式解析函数。图2（b）展示了本方法的可靠性评估流程。首先通过一种故障场景筛选方法来降低计算复杂度。随后，对每一个故障场景，构建关于预测误差的切负荷解析函数

f L S

。最后，在时刻

t

建立可靠性指标的解析模型，用以替代重复的OPF计算。因此，在任意后续时刻

t n

，只需将新的实时负荷及RES出力输入解析模型，即可迅速获得更新后的可靠性指标，从而克服传统方法的缺点。

在本文提出的全解析方法中，故障场景

s

下的

f L S (s)

由一个显式解析函数

F s (⋅)

[公式（7）]表示，以替代公式（2）和公式（3）中的OPF计算。

f L S s = F s P e r r o r

（7）

采用公式（7）替代OPF有两个优势：第一，可显著减少计算时间；第二，当负荷与RES出力发生变化时，只需将新输入值代入公式（7），即可对每个故障场景计算可靠性指标。

这一全解析方法覆盖整个可靠性评估流程，可分为两部分：第一，在故障场景生成中，采用基于UD法的故障场景筛选方法，在考虑预测不确定性的情况下，筛选关键场景，并确定故障场景集合

S

及每个故障场景的概率

p (s)

；第二，在故障场景分析中，建立解析函数

F s (⋅)

。最终，利用公式（4）计算可靠性指标。

3 基于UD法的故障场景筛选

本节首先描述负荷与RES变量。随后，提出一种基于UD法的故障场景筛选方法，用以筛选关键故障场景集合

S

，从而降低可靠性评估的计算负担。

3.1 负荷与RES变量的相关性变换

针对每个故障场景，OPF模型由解析函数替代，这一函数仅与负荷和RES出力相关。已有研究提出一种适用于能源系统的随机分布式鲁棒优化方法，以降低切负荷风险，优化运行成本[31]。如公式（3f）和公式（3g）的上边界所示，运行中不确定负荷和RES出力的实际最大值由其预测值及预测误差共同进行建模。

当所有预测误差之间相互独立时，矩阵

∑

为对角矩阵，此时可采用服从独立标准高斯分布的向量 ξ 来表示

P e r r o r

。

P e r r o r = Σ 12 ξ

（8）

另外，如果预测误差之间存在相关性，则可采用乔里斯基分解[24]将其转换为相互独立的误差项。经过变换后，

P e r r o r

仍可由向量 ξ 表示。

P e r r o r = L ξ

（9）

Σ = L L T

（10）

综上，服从独立标准高斯分布的随机变量向量 ξ 可用于表示预测误差。

P e r r o r = Σ 12 ξ, i f P e r r o r i s i n d e p e n d e n t L ξ, i f P e r r o r i s c o r r e l a t i v e

（11）

3.2 基于UD法的故障场景筛选流程

如OPF模型所示，不同的负荷与RES出力将导致不同的

f L S

。一个故障的发生概率是恒定的，但在负荷与RES出力存在不确定性的情况下，该故障导致的切负荷量却并不恒定。因此，该故障是否能成为关键故障，取决于其在整个负荷与RES出力随机空间下的切负荷情况。本节提出一种基于UD法的故障场景筛选方案，用于从多水平可靠性评估中判断故障的重要性水平。

负荷与RES出力的特征水平应能够表征其整个随机空间。由于假定预测误差服从高斯分布，根据三西格玛经验法则，可采用七水平模型对这些不确定性进行离散化处理，即取均值的±3、±2、±1和0个标准差（对应编号实验1~7，按数值递增顺序）。将负荷与RES出力视为两个因素，即可构建一项两因素七水平试验。

不同的负荷-RES水平组合将导致不同的

f L S

，并可筛选出不同的故障场景。在具有两个影响因素、七个水平的样本试验中，若采用排列组合方法，需要进行

27

次实验，才能获得完整评估结果，造成较大的计算负担。然而，UD法仅需进行七次实验即可完成。UD法[32]的核心思想是依照均匀性度量准则，将设计点均匀分布在实验域内。这通常借助

U

_r (r^m )或

U r *

(r^m ) UD表实现，其中，r和m分别表示因素数与水平数。

表1至表3列出了

U

₇(7⁴)和

U 7 *

(7⁴) UD表，其附加表见表2和表4。在表1和表3中，每行代表一组实验方案，列对应试验中的各个因素；对于两因素试验，仅需从四列中选取两列即可。不同实验方案的效果通过偏差值进行评估[33]，附加表中给出了偏差最小的最优方案。以两因素七水平UD法为例，由于表4中的列Ⅰ与列Ⅲ组合的偏差值最新，因此选取这两列进行实验，不采用其余列。此外，由于

U 7 *

(7⁴)的偏差值小于

U

₇(7⁴)，故最终采用

U 7 *

(7⁴)表。

两因素七水平UD法共包含七组实验：第一组实验中，向量ξ中负荷预测误差对应的元素取值为水平一（即三个标准差），而RES出力预测误差对应的元素取值为水平五（即-2个标准差）；随后确定公式（3f）与公式（3g）中约束条件的上边界，并计算该组实验下，故障场景s的

f L S, 1 (s)

。同理，第i组实验中，负荷与RES出力预测误差分别取表中第i行列Ⅰ和列Ⅲ的值，进而计算故障场景s的

f L S, i (s)

。

本文将单一负荷水平与RES出力水平下的故障场景筛选视为一组实验，通过UD法安排实验方案，相较于完成

27

组评估方法，显著降低了计算复杂度。负荷与RES出力的数值通过公式（11）计算，其中，随机变量ξ的取值来自

U 7 *

(7⁴)表的列Ⅰ和列Ⅲ。每组实验均可确定各故障场景的风险值。

R i s = p s f L S, i s, i = 1,2, …, 7

（12）

式中，R_i (s)即第i组实验中故障场景s的风险值。

通过设定风险阈值ϵ筛选出每组实验中风险R大于ϵ的关键故障场景，再整合所有实验筛选出的故障场景。为提升计算效率，后续实验将略过已在前序实验中被判定为关键故障的场景，以避免重复计算。基于UD法的故障场景筛选流程如下。

步骤1：依据UD表确定负荷与RES出力的七水平实验方案。对于第i组实验，向量ξ中表征负荷与RES出力的元素分别取该表第i行列Ⅰ和列Ⅲ的水平值，再通过公式（11）计算

P e r r o r

。

步骤2：将集合S初始化为空集。

步骤3：在每组实验中，对除集合S外的所有故障场景，求解OPF模型[公式（2）与公式（3）]，并通过公式（12）计算其风险值。

步骤4：筛选出风险值大于阈值ϵ的故障场景，将其纳入集合S。

步骤5：若所有实验均已完成，将集合S中的故障场景输出为关键故障场景。若未完成，则返回步骤3。

4 基于mSRSM的可靠性指标解析模型

本节基于PCE模型，建立所有关键故障场景对应的解析函数[公式（7）]。在含时变随机参数的优化模型中，受不等式约束边界的影响，决策变量的变化虽连续但不可微，而这类变量被称为非光滑变量。例如，在OPF模型中，受预测误差不确定性的影响，决策变量 P_d在公式（3g）的约束下，于约束边界内变化时呈光滑特性，而触及约束边界时则呈现出非光滑特性。切负荷量

f L S

作为 P_d的求和项，取值范围限定在0与负荷总量

c T (P L f

P L e r r o r

）之间。此类非光滑变量关于不确定性负荷与RES出力的解析函数，无法由光滑的PCE模型直接构建[27‒28]。

为此，本节首先提出一种通用的mSRSM方法，建立优化模型中切负荷量关于随机参数的解析函数，并将其应用于可靠性评估中的故障场景分析。进而，基于关键故障场景及其解析函数[公式（7）]，可得出可靠性指标的解析函数。

4.1 决策变量的光滑化处理过程

为获取OPF模型中非光滑决策变量的解析表达式，现定义一个不受约束限制的光滑虚拟变量。当决策变量在约束边界内波动时，虚拟变量与该决策变量取值相等；当决策变量处于约束边界上时，虚拟变量与该决策变量取值不同。不失一般性，本文以切负荷量

f L S

及其虚拟变量

f ˜ L S

为研究对象，二者关系如图3所示，表达式如下：

f L S = 0, f ˜ L S ≤ 0 f ˜ L S, 0 < f ˜ L S < c T P L f + P L e r r o r c T P L f + P L e r r o r, f ˜ L S ≥ c T P L f + P L e r r o r

（13）

换言之，切负荷量

f L S

可视为虚拟变量

f ˜ L S

的截断形式。因此，一旦建立

f ˜ L S

关于随机变量ξ的函数关系，即可通过公式（13）得到

f L S

的解析函数。

4.2 虚拟变量的PCE模型

虚拟变量与随机参数的关系通过PCE来确定。在PCE模型中，随机输出表示为随机输入的函数，其形式为正交多项式基函数的加权和，虚拟变量

f ˜ L S

的解析函数可通过有限项PCE模型建立。

f ˜ L S = a 0 + ∑ i 1 = 1 N d a i 1 ϕ i 1 ξ i 1 + ∑ i 1 = 1 N d ∑ i 2 = 1 i 1 a i 1, i 2 ϕ i 1, i 2 ξ i 1, ξ i 2 + ⋯

（14）

式中，a_i 与a₍_i₎为PCE系数；i₁和i₂为变量标识；ϕ₍_i_₁)(ξ_i_₁)为由ξ_i_₁作为输入的正交多项式基函数；N_d为随机输入变量的个数。

公式（14）的项数可通过下式推导得出：

N P = N d + P! N d! P! - 1

（15）

式中，Nₚ为PCE模型的项数与系数；P为PCE正交多项式基函数的最高阶数。

进一步，可将系数a₍_i₎、a₍_i,i₎整合为系数向量Coef = [a₀, a₁, …,

a N P

]ᵀ，并将所有正交多项式基函数标记为ϕ₁(‧)至ϕ_N_ₚ(‧)。

PCE模型包含两个核心组成部分：正交多项式基函数与PCE系数。基函数可分为一维（1D）输入基函数与多维输入基函数。由于本文中所有变量均服从标准高斯分布[26]，故采用埃尔米特多项式作为1D正交多项式基函数；多维输入变量的正交多项式基函数可通过1D基函数的张量积得到：

ϕ ξ = ϕ ξ 1 ⊗ ϕ ξ 2 ⊗ ⋯ ⊗ ϕ ξ N

（16）

式中，ξ₁、ξ₂、

ξ N d

为向量 ξ 的第N_d个元素。

根据多项式函数的性质，公式（14）中每一项均连续且可微，因此该PCE模型具有光滑性。无论PCE模型采用何种阶数P去直接拟合切负荷，只要在切负荷呈非光滑的区域，总会存在系统误差。因此，在中间过程引入虚拟变量更为合理。

传统上，PCE模型的系数可通过SRSM求解[24]。该方法的核心是选取M个固定样本点，即配点ξ¹, ξ², …, ξ^M，通过公式（2）与公式（3）计算对应的切负荷样本

f L S 1

f L S 2

, …,

f L S M

，再基于配点与切负荷样本的对应关系，采用最小二乘回归法求解PCE系数。

然而，本文中仅部分配点可用于求解虚拟变量的PCE系数。虚拟变量的取值由约束上、下边界内的切负荷量确定，而当切负荷量处于约束边界上时，虚拟变量则无法量化。因此，仅能选取使切负荷量在约束边界内变化的有效配点，适用于虚拟变量分析。

图4对此进行了直观说明。在图4（a）中，根据SRSM方法选取M个配点，并计算优化模型的切负荷样本。可见部分样本落在约束上、下边界上，导致有效样本数量减少。此外，由于不同故障场景下，公式（2）与公式（3）中的参数 X 、 D 、 C_G、 C_RES至少有一项存在差异，对应的切负荷量可能不同，借助固定配点得到的有效配点也会变化。综上，采用相同的固定配点，难以求解所有故障场景下的PCE系数。

本文提出一种迭代拉丁超立方抽样（LHS）法，用于获取有效配点。该方法采用LHS生成配点，而非固定配点，所得配点范围可覆盖整个随机空间，不受不同故障场景下OPF差异的影响。由于公式（14）包含Nₚ个项，待求系数的求解至少需要N_P个有效配点。因此，LHS中唯一的参数，即区间数，应不小于N_P。与SRSM类似，单次抽样得到的有效配点数量不足，故本文提出一种迭代抽样策略：持续抽取配点，直至有效配点的累计数量N_V大于Nₚ。如图4（b）所示，在第一轮迭代中，通过LHS生成配点ξ^1,1, ξ^1,2, …, ξ^1,^M，随后计算所有切负荷样本，并统计有效配点数量；若该数量小于N_P，则再次抽取M个配点。当第u次抽样完成后，若有效配点累计数量N_V大于N_P，则停止抽样，并针对该故障场景建立虚拟变量的PCE模型。

得到N_V个配点后，即可通过公式（17）求解虚拟变量的PCE系数。

C o e f = Φ T Φ - 1 Φ T Y

（17）

Y = f L S, V 1 f L S, V 2 ⋮ f L S, V N V, Φ = ϕ 1 ξ V 1 ϕ 2 ξ V 1 ⋯ ϕ N P ξ V 1 ϕ 1 ξ V 2 ϕ 2 ξ V 2 ⋯ ϕ N P ξ V 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ϕ 1 ξ V N V ϕ 2 ξ V N V ⋯ ϕ N P ξ V N V

（18）

式中，

f L S, V 1

f L S, V 2

, …,

f L S, V N V

为N_V个有效配点的对应切负荷样本；ϕ₁(

ξ V k

), …, ϕ_N_ₚ(

ξ V k

)为以有效配点

ξ V k

为输入的正交多项式基函数，其中，k = 1, 2, …, N_V。

4.3 可靠性指标的解析函数

本文将

f L S

与其

f ˜ L S

的关系表示为公式（13），其中，

f ˜ L S

由PCE模型[公式（14）]构建。一旦计算出所有关键故障场景下的

f L S

，即可通过公式（4）求得可靠性指标。但不同故障场景对应的OPF模型存在差异，部分场景易于获取有效配点，另一些场景则恰恰相反，因此各场景的抽样迭代次数也有所不同。对于部分故障场景，有效配点难以获取，为获得足量有效配点而进行无限制抽样是不现实的。

为提升计算效率，本文设定两个迭代次数上限n₁与n₂以终止抽样，并基于这两个阈值将所有故障场景划分为E、F、G三类集合。若某一故障场景在n₁次抽样迭代内，通过LHS得到的所有配点均无效，则该场景归入集合E；若故障场景s经过n₂次迭代后，有效配点累计数量N_V(s)小于N_P，则该场景s归入集合F；其余满足N_V(s)大于N_P的故障场景归入集合G。

由于集合E、F中故障场景的N_V不足，无法求解对应的PCE模型系数，因此在建模过程中需忽略这些场景下的切负荷情况，进而将此场景下PCE模型输出值近似估算为常数0。而在集合G的故障场景中，能够抽取到足量的有效配点，其切负荷量可由PCE函数表征。

mSRSM构建切负荷量

f L S (s)

解析函数的流程如下。

步骤1：根据公式（13）构造虚拟响应函数

f ˜ L S (s)

，并令N_V(s) = 0。

步骤2：单次抽样中，通过LHS选取M个配点。

步骤3：根据步骤2生成的配点，确定对应的切负荷量

f L S

；利用公式（11）计算负荷预测误差

P L e r r o r

与RES出力预测误差

P R E S e r r o r

，并通过公式（2）和公式（3）计算切负荷量样本。

步骤4：统计切负荷样本中取值介于0与

c T (P L f

P L e r r o r

）之间的数量，据此更新N_V(s)，并保存相应配点。

步骤5：若满足以下任一条件，则停止抽样；否则返回步骤2：①迭代n₁次后，当前所有实际切负荷量均处于边界上，即N_V(s) = 0；②迭代n₂次后，N_V(s) < N_P，此时n₁ < n₂。

步骤6：结合全部有效配点及其对应的切负荷量样本，通过公式（17）求解虚拟响应函数

f ˜ L S (s)

的系数。

步骤7：利用公式（13）推导得到解析函数，即公式（7）。

最后，在完成所有故障场景下

f L S

的解析函数构建后，基于公式（1）、公式（4）、公式（13）及公式（14）的解析表达式，建立可靠性指标的全解析模型：

L O L P = ∑ s ∈ S p s s g n f L S s

(19a)

E D N S = ∑ s ∈ S p s f L S s

(19b)

式中，sgn

(⋅)

为符号函数；p(s)由公式（1）计算得出；

f L S (s)

由公式（13）计算得出；

f ˜ L S (s)

则由公式（14）与公式（17）联立求解。

图5给出了该全解析方法的流程图。在故障场景生成阶段，首先筛选出严重故障场景集合S，再确定每个场景对应的概率p(s)；在故障场景分析阶段，通过mSRSM构建各严重故障场景对应的解析函数[公式（7）]，进而得到可靠性指标的全解析模型[公式（20）]。

由于各故障场景的分析过程相互独立，建模时可采用并行计算方法提升求解效率。

5 算例研究

本文基于三个系统对所提全解析方法开展性能验证，分别为Roy Billinton测试系统（RBTS）[34]、可靠性测试系统（RTS）-79 [35]及RTS-96 [36]。算法验证在一台搭载3.0 GHz英特尔酷睿i5-12500H处理器、含16 GB内存的台式机上完成，通过MATLAB R2019a实现。

设定所有负荷服从高斯分布，其均值等于峰值负荷，标准差为均值的5%。选取部分机组并将其替换为RES机组，该类机组出力同样服从高斯分布，均值等于原机组最大出力，标准差为均值的15%。在RTS-79与RTS-96的测试中，均采用6核并行计算方案。经由SE法与所提方法，分别输入多组不同的随机负荷及RES出力样本，并对输出结果进行评估。

以LOLP与EDNS这两项指标的平均绝对百分比误差（MAPEs）作为性能评价标准，其定义如下：

M A P E L O L P = 1 N S ∑ q = 1 N S L O L P q, p r o p o s e d - L O L P q, S E L O L P q, S E × 100 %

(20a)

M A P E E D N S = 1 N S ∑ q = 1 N S E D N S q, p r o p o s e d - E D N S q, S E E D N S q, S E × 100 %

(20b)

式中，NS为算例分析中的样本数量；SE为状态枚举法。

5.1 mSRSM的精确度验证

本文对RBTS进行改造，用于测试mSRSM的精确度。RBTS由6个母线、9条输电线路及11台机组构成，总装机容量为240 MW，峰值负荷为185 MW。在改造后的RBTS系统中，将母线#1和母线#2上的两台20 MW机组替换为RES机组。故障场景枚举至4阶故障，采用SE法进行可靠性评估，平均耗时为15.8 s。

表5给出了采用SRSM与mSRSM构建可靠性指标解析函数的结果。SRSM中PCE的最大阶数分别设为P = 1和P = 3，测试所用配点数量为PCE维度的两倍[27]；mSRSM的参数则设置为：M=N_P、n₁=1、n₂=10。由表5可见，SRSM无法精确求解LOLP与EDNS，原因是其对应的MAPE数值较大，且当P取值越高时，误差更为显著。这一现象可能源于线性优化模型与非线性PCE的过拟合问题。而mSRSM对应的MAPE要小得多，因此本文采用了mSRSM，构建可靠性评估的解析模型。

表6给出了未考虑基于UD法的故障场景筛选时，采用mSRSM的全解析方法所得到的评估结果。表中涉及的参数包括：抽样配点数量M、mSRSM流程步骤5中条件①对应的迭代次数上限n₁，以及条件②对应的迭代次数上限n₂。表6旨在分析上述三个参数对MAPE精确度和计算耗时的影响。Card(E)表示集合E中的故障场景数量，即集合E的基数，Card(F)与Card(G)的定义同理。Card(G)数值越大，表明模型精确度越高，LOLP与EDNS的MAPE越小。

图6为所提方法与SE法在LOLP和EDNS上的分位数-分位数（Q-Q）对比图，此时参数设置为M = Nₚ、n₁ = 2、n₂ = 30。Q-Q图绘制两种方法下概率密度函数（PDFs）的分位数，并对比其与直线y = x的贴合程度，验证两种方法结果的相似性。当Q-Q图越贴近直线y = x时，表明两种方法的PDFs越相似。由图6可推断，mSRSM具备优异的计算精确度，这是因为针对大部分故障场景所构建的解析模型均具备准确性。图7为LOLP与EDNS的直方图。根据该直方图，调度人员可在给定负荷与RES出力不确定性的调度场景下，获取这两项指标的变化范围及极值。

mSRSM的主要误差源于集合E和F中，故障场景所设的函数取值为常数0。如表6所示，mSRSM的误差随集合G基数的增大而减小。同时可在表6中观察到，MAPE_LOLP始终大于MAPE_EDNS。根据公式（4），可靠性指标EDNS是

f L S (s)

的连续函数，而LOLP则为分段函数。因此，分段点附近的任何微小误差都可能导致LOLP出现阶跃式变化。

建模过程的耗时受M、n₁、n₂这三个参数影响，但可靠性评估阶段的耗时则不受这三个参数制约。此外，由于评估采用全解析函数计算，复合电力系统可靠性评估的耗时远低于建模耗时。

本文还针对mSRSM的参数开展了灵敏度测试。图8展示了在表6中不同M、n₁、n₂的参数组合下，两项指标的MAPE及集合G基数。由图8可见，当M、n₁、n₂取值独立增大时，MAPE_LOLP与MAPE_EDNS均呈下降趋势，而建模耗时的变化趋势则与两项MAPE指标完全相反。n₁和n₂取值越大，意味着需要通过更多次迭代，为部分故障场景的虚拟变量逼近获取配点。同时，M取值越大，也会使每次迭代得到的配点数量增加，进而导致建模耗时上升。在mSRSM流程步骤5中，提前跳出循环的故障场景数量减少，从而构建出这些场景的切负荷解析模型，而非直接将函数取值设为常数0，这使得集合E和F的基数减小，集合G的基数增大。因此，随着两项MAPE的降低，mSRSM的精确度也随之提升。

5.2 基于UD法的故障场景筛选优势

本节探究基于UD法的故障场景筛选进行可靠性评估的优势。测试系统采用改进型RTS-79系统，该系统包含24个母线、38条输电线路及32台机组。其中，母线#18（容量为400 MW）、母线#13（容量为2 × 197 MW）、母线#15（容量为12 MW）、母线#2（容量为20 MW）和母线#7（容量为100 MW）所接机组均被替换为RES机组。系统总装机容量为3405 MW，峰值负荷为2850 MW。本测试在枚举故障场景时至多考虑至三阶故障的工况。结果显示采用SE法评估单个样本的平均耗时为187 s。

研究分别在采用与未采用基于UD法的故障场景筛选工况下，运用所提方法开展可靠性评估，参数设置为M = Nₚ、n₁ = 2、n₂ = 30，阈值ϵ的取值由比例系数ρ、最高阶故障场景的中位数概率与系统总负荷三者的乘积确定[11]。通过调整比例系数ρ的取值，可实现对基于UD法的故障场景筛选结果的自适应调控。表7中列出了计算耗时与评估误差，表中，“‒”代表未采用基于UD法进行故障场景筛选的可靠性评估方案。由表7可知，ρ的取值越小，所提方法的评估结果精确度越高；若不采用基于UD法的故障场景筛选时，所提方法虽能达到最高评估精确度，但计算效率最差。当ρ = 0.5时，所提方法的最大MAPE仍低于文献[37]中的对应结果。

表8统计了不同ρ下的故障场景数量，结果表明，基于UD法的故障场景筛选有助于减少入选的故障场景数量及其基数。同时可在表8中发现，在整个故障场景空间中，影响切负荷量的集合G仅占较小比例。随着ρ值减小，集合G内更多故障场景被纳入建模流程，参与切负荷解析模型构建的故障场景规模相应扩大。与此同时，切负荷量被设为常数0的故障场景数量随之减少。最终，研究所提方法中，MAPE_LOLP与MAPE_EDNS均降低。

图9展示了所提方法与SE法下LOLP和EDNS的Q-Q图。对于同一抽样样本，所提方法计算得到的LOLP与EDNS值随ρ值降低而增大，且此时数值点在直线y = x附近。随着ρ值进一步降低，所提方法计算出的LOLP和EDNS值与采用SE法的计算值愈发接近。图10所示的可靠性指标直方图同样表明，ρ值越小，所提方法对应的直方图柱高与SE法对应的柱高吻合度越高。未被纳入建模流程的故障场景风险水平较低，对可靠性指标的贡献度有限，因此其对评估精确度的影响可忽略不计。

当ρ值较小时，全解析方法需要更长时间来建模，原因是所提方法需将更多故障场景的切负荷量构建为解析函数模型。相反，与mSRSM的参数影响规律不同，ρ值增大时，评估耗时也会上升，这是因为故障场景解析模型的数量相应增多。上述结果表明，基于UD法的故障场景筛选方法可在保证评估精确度处于可接受范围的前提下，显著缩短建模耗时。

5.3 RES出力不确定性对可靠性的影响

本研究采用改进型RTS-96系统，评估RES出力不确定性对系统可靠性的影响。这一系统由三个改进型RTS-79系统构成，这三个系统中相同位置的机组均被替换为RES机组。RTS-96为大型电力系统，包含73条母线、120条输电线路及96台机组。该系统的常规总装机容量为10 215 MW，峰值负荷为8550 MW。而在本测试中，改进型RTS-96系统的峰值负荷提升至9405 MW。本研究对综合故障与机组故障的枚举分析考虑至三阶，对支路故障的枚举则仅考虑至一阶。测试涉及的故障场景共计706 337个，单个样本的评估耗时约为1.5 h。

研究针对RES出力的预测误差及其标准差设计了4种测试工况，表9给出了mSRSM在参数ρ = 0.1、M = Nₚ、n₁ = 2、n₂ = 30时的测试结果。值得注意的是，采用SE法评估单个样本的平均耗时为1.34 h。由表9可知，所提方法在精确度与评估时间两方面均表现优异。经基于UD法的故障场景筛选后，入选的故障场景数量占总场景数的比例不足13%。随着RES出力预测误差的增大，所提方法的评估误差仅出现小幅上升。如图11所示，该误差增幅主要由少数极端样本导致。综上可认为，在绝大多数工况下，mSRSM计算得到的可靠性指标与SE法的计算结果高度吻合。

鉴于全解析方法的评估精确度处于可接受范围，下文所有可靠性评估结果均通过所提全解析模型计算得出。测试过程中，对负荷与RES出力分别进行了10 000次抽样。不同RES出力预测误差下，表10和表11分别给出了LOLP与EDNS可靠性指标的统计特征（即均值、方差与偏度）。上述统计量反映了不同不确定性条件下的系统可靠性特征。由表9与表10可见，RES出力预测误差越大，对应的统计特征值也越大。具体分析如下。

（1）均值。均值偏大表明，RES出力预测误差越大，导致系统发生切负荷的风险越高。若电力系统中RES出力提升，火电机组出力会相应下调，但此举对系统可靠性的影响较小；反之，若RES出力不足，则会更易出现系统出力远低于负荷需求的极端场景，进而降低系统可靠性。

（2）方差。RES出力输入值的强不确定性，会导致样本输出结果产生较大波动（即方差偏大）。

（3）偏度。偏度越大，说明样本呈更强的右偏分布特征，这一现象由高切负荷风险故障场景数量的增加而形成。

综上，表9中不同RES出力预测误差下的精确度验证结果表明：RES出力预测误差越大，可靠性指标的波动性越强。另外，即便预测误差随时间推移逐渐增大，所提方法仍能保持较高的计算精确度。因此，对于建模耗时较长的大规模电力系统，基于前期预测结果构建全解析模型具备可行性。

6 结论

为满足发输电电力系统运行可靠性快速评估的需求，本文构建了关于负荷与RES出力不确定性的可靠性指标全解析函数。本研究采用基于UD法的故障场景筛选方法，筛选出适用于多负荷、多RES出力的关键故障场景。同时，本研究提出mSRSM方法，用于构建故障场景的切负荷量解析函数。本文方法引入光滑虚拟变量，对切负荷量进行拟合，从而能够应用PCE法求解可靠性指标的解析函数。本文方法所构建的全解析模型，可在负荷与RES出力发生波动时，通过简单函数运算完成可靠性评估，无需反复进行OPF计算。

算例分析结果表明，本文所提方法在精确度与计算效率上均表现优异，能够满足运行可靠性实时评估的计算要求。此外，这一全解析模型还可实现在不同RES出力场景下，求解可靠性指标的统计特征。

为缩短建模耗时，可在虚拟变量的PCE建模过程中引入分类器，用于判断配点的有效性，而OPF仅用于计算有效配点的切负荷量。还可通过并行计算进一步提升模型的运行效率。此外，本文所提方法对OPF模型无特殊限制，因此可拓展至其他优化模型的解析表达式求解中。

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