物理引导的深度网络模型用于铣削动力学预测

朱锟鹏 ,  李俊

工程（英文） ›› 2025, Vol. 55 ›› Issue (12) : 71 -85.

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工程（英文） ›› 2025, Vol. 55 ›› Issue (12) : 71 -85. DOI: 10.1016/j.eng.2024.09.027
研究论文

物理引导的深度网络模型用于铣削动力学预测

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Physics-Guided Deep Network for Milling Dynamics Prediction

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摘要

铣削力是理解切削机理和控制加工过程的关键。传统的铣削力模型由于简化条件以及模型构建所包含知识的不完整性，预测精度有限。另一方面，由于缺乏物理引导，数据驱动模型缺乏可解释性，难以推广到实际应用中。为应对这些难题，本研究提出了一种由铣削动力学引导的深度网络模型，用于预测不同切削工况下的瞬时铣削力和主轴振动。本研究利用铣削动力学模型生成数据集对深度网络进行预训练，然后整合实验数据对模型进行微调，以提高模型的泛化能力和精度。此外，将振动方程作为物理约束纳入损失函数中，增强了模型的可解释性。本研究还开展了铣削实验以验证所提模型的有效性，结果表明，融入的物理知识可提高网络的学习能力和可解释性；预测结果与实测值吻合良好，平均误差低至2.67%；与纯数据驱动模型相比，预测精度提高了24%。

Abstract

Milling force is key to the understanding of cutting mechanism and the control of machining process. Traditional milling force models have limited prediction accuracy due to their simplified conditions and incomplete knowledge contained for model construction. On the other hand, due to the lack of guidance from physics, the data-driven models lack interpretability, making them challenging to generalize to practical applications. To meet these difficulties, a deep network model guided by milling dynamics is proposed in this study to predict the instantaneous milling force and spindle vibration under varying cutting conditions. The model uses a milling dynamics model to generate data sets to pre-train the deep network and then integrates the experimental data for fine-tuning to improve the model’s generalization and accuracy. Additionally, the vibration equation is incorporated into the loss function as the physical constraint, enhancing the model’s interpretability. A milling experiment is conducted to validate the effectiveness of the proposed model, and the results indicate that the physics incorporated could improve the network learning capability and interpretability. The predicted results are in good agreement with the measured values, with an average error as low as 2.6705%. The prediction accuracy is increased by 24.4367% compared to the pure data-driven model.

关键词

铣削力 / 动力学 / 物理引导网络 / 预测

Key words

Milling force / Dynamics / Physics-guided network / Prediction

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朱锟鹏,李俊. 物理引导的深度网络模型用于铣削动力学预测[J]. 工程（英文）, 2025, 55(12): 71-85 DOI:10.1016/j.eng.2024.09.027

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1 引言

铣削因其能够高效地利用多种材料制造出精度较高的复杂零件，已成为应用最为广泛的加工工艺之一。铣削力是影响铣削加工过程的一个重要因素[1]。通过预测铣削力，可及时调整工艺参数，抑制刀具磨损和振动，使生产在合理的铣削工况下进行，具有重大意义。准确的建模有助于更有效地进行参数优化和稳定性分析[2]。目前的铣削力预测模型包括基于物理的模型、数据驱动模型和混合模型。

常用的基于物理的模型包括基于实验的经验公式[3‒4]、基于力学的解析方法[5‒6]以及基于切削载荷理论的机械模型[7]。机械模型因具备对瞬时力进行建模的能力，其应用比其他两种模型更为广泛，但其实时性能仍有待提升。因此，一些研究人员基于力[8‒9]、振动[10‒11]及二者融合[12‒13]之间的物理转换关系，开发了铣削力重构模型。然而，这些物理模型在未知工况下的泛化能力仍然有限。Altintas等[14]指出，尽管在过去60年里，人们对加工动力学的理解有了显著提高，但动力学预测的准确性仍受到测量不确定性、机床结构和加工过程中的非线性以及机床和零件时变动力学的影响。

数据驱动模型被开发用于加工过程建模[15]，这类模型能够直接从数据中提取特征和模式，无需复杂的数学建模以及对加工过程动力学的深入理解。它们可以通过机器学习方法学习复杂的结构动力学[16]，并解决加工过程中高度不确定的问题[17]。一些研究人员建立了从电流到力的映射[18‒19]、从振动到力的映射[20]以及从铣削工况到力的映射[21‒22]，无需进行物理建模和频响函数测试。与物理模型不同，数据驱动模型通常通过映射关系纳入更多影响铣削力的因素。然而，由于缺乏明确的机制，其可解释性较差，这导致在实际任务中难以应用[23]。此外，有效训练样本的缺乏通常会导致模型的泛化能力受限。

为解决物理模型和数据驱动模型存在的局限性，混合模型正受到越来越多的关注。Navarro-Devia等[24]指出，将人工智能（AI）算法与物理知识相结合的混合模型，可能为铣削动力学问题提供有前景的解决方案。Zhong等[25]强调，传统机器学习可融入人类领域专业知识，有助于改善人机交互与通信。实验已证明，融合理论分析与大数据的集成方法能显著提高机床系统的控制精度[26]。Attia等[16]提到，物理模型与数据驱动模型相结合的混合模型，在处理加工领域的建模问题时具有更强的灵活性。混合建模主要有三种关键方法。

（1）通过专门设计的数据驱动模型结构嵌入先验知识。Xu等[27]将网络输出设计为刀齿单元力的向量和，得到了与实测值高度吻合的近似力。Agarwal等[28]在多层感知机之后连接机械模型进行力估计，避免了系数确定问题。Xie等[29]在综合几何加工信息图像上用卷积层替代复杂计算，实现了高精度的铣削力预测。Zhu等[30]提出了一种用于自适应分量检测的傅里叶滤波解调方法，提高了轴承故障分类的准确性。Li和Zhang [31]堆叠循环神经网络（RNN）单元层以迭代计算线性化状态空间方程的残差，增强了风力发电机疲劳损伤评估的鲁棒性。Hanachi等[32]使用正则化粒子滤波对经验模型和神经网络的刀具磨损预测结果进行加权，显著校正了物理模型的误差。这些模型有效提高了预测性能，但由于结构专门设计，难以扩展到更复杂的系统。

（2）利用物理信息引导数据驱动模型的学习。Rahimi等[33]采用自激振动理论引导AlexNet模型区分瞬态状态下的强迫振动与颤振，使误差检测率低至1.1%。Corson等[34]在测试前应用三种物理模型构建先验置信度，以确定铣削稳定性的概率，显著减少了识别最优稳定参数所需的测试次数。Xiong等[35]将设备退化过程中流动特征的单调性设为物理约束，以控制生成器生成涡扇发动机的合成退化轨迹，增强了数据的物理合理性。Lu等[36]将轴承特征指标的变化作为动态权重构建损失函数，提高了剩余寿命估计的潜在一致性。这些方法在增强结果物理一致性的同时，受限于相对简化的知识。

（3）利用物理信息扩充数据驱动模型的数据。Vaishnav等[37]使用机械模型样本训练网络，减少了实验需求。Finkeldey等[38]将在线信号特征与基于几何物理的仿真提供的刀具-工件啮合信息相融合，提高了力预测的准确性。Wang等[39]以模拟数据和实验数据分别作为源域和目标域进行力迁移学习，相较于常规网络展现出显著优势。Liu和Altintas [40]通过渐进网络逐步学习有限元模拟数据和真实数据，缩小了仿真与真实动力学之间的差距，以估计与机床位置相关的动力学。Ha和Fink [41]近期利用领域知识从健康的目标数据中生成故障样本，在样本稀缺的情况下实现了齿轮箱故障的跨域诊断。Tai和Altintas [42]通过数学模拟各种轴承故障下的振动频谱来训练门控循环单元网络，实现了高精度的主轴故障诊断。Alberts等[43]声称，模拟振动数据是克服小规模真实数据集限制的有力工具。

表1总结了当前各种方法的特点。尽管混合模型整合了物理方法和数据驱动方法的优势，但在缺乏通用且深层次机制的情况下，它们仍面临泛化能力有限和可解释性差的问题。由于在加工过程中忽略了明确的物理定律，这些模型在实际应用中的可靠性和适应性可能会受到影响[44]。Rezaei等[45]指出，迫切需要一种能够利用有限实验数据准确预测铣削动力学的方法。根据Gao等[46]的观点，整合物理方法和数据驱动方法可以使模型具有更好的可解释性，更符合现代制造业的需求。基于这一理念，本研究提出了一种物理引导的数据驱动模型。其特点在于使用了融入动力学知识的物理损失函数，并结合预训练样本和实验数据进行联合训练。本方法旨在解决数据驱动模型因缺乏外部指导而存在的泛化能力低和缺乏可解释性的内在局限性。本研究的关键贡献包括：

（1）研发了一种新颖的基于深度学习的铣削动力学建模方法，此方法可在不同铣削工况下，同步预测铣削力以及刀具-主轴系统的振动情况；

（2）提出了一种借助铣削动力学模型生成样本的预训练策略，此策略能够扩充训练样本数量，进而提升模型的性能表现；

（3）提出了一种具备物理意义的损失函数作为约束条件，增强了模型的可解释性和物理一致性。

本文结构安排如下：第2节阐述铣削动力学过程，并提出物理引导的数据驱动模型；第3节通过实验对该模型的有效性进行验证与分析；第4节总结全文。

2 用于铣削动力学预测的物理引导数据驱动模型

2.1 铣削动力学

铣削动力学是铣削力与刀具和工件相对位移之间相互作用的过程。由于切削的间歇性，该过程复杂且具有非线性特征。在图1（a）所示的二维平面铣削系统（包括法向X方向和进给方向Y方向）中，由振动引起的相对位移（以下简称位移）可通过空间坐标变换分解为瞬时未切削切屑厚度，进而影响铣削力。在铣削系统中，力作为激励作用于弹性阻尼系统，引发振动并改变相对位移[47]。该过程动力学可由微分方程（1）描述。

Μq¨(t)+Cq˙(t)+Kq(t)=Fs(t)+Fd(t)

式中，M=mxmy、C=cxcy、K=kxky分别表示质量、阻尼、刚度矩阵。

q(t)=[qx(t),qy(t)]T是X方向和Y方向的位移向量，T是转置算子。

Fs(t)=[Fxs(t),Fys(t)]T是基于刚体运动学的静态铣削力向量，可通过双机制机械模型[6]计算得出。

Fd(t)=kc[q(t)-q(t-T)][sinϕ,cosϕ]T是基于再生效应的动态铣削力向量。T是延迟时段，代表自上次刀齿切削后所经过的时间；ϕ是刀具转角；kc=[ktc,krc]T是代表剪切机制的铣削力系数。

对于大多数铣削系统中所使用的大型铣刀而言，其在法向（X方向）和进给方向（Y方向）的振动较为显著，而在轴向的振动较小，可忽略不计。因此，本研究仅对二维振动进行分析。

公式（1）以一定精度描述了铣削力与振动之间的耦合效应。一般来说，可采用数值积分法求解该方程，从而在时域内对铣削动力学进行仿真，如图1（b）所示。然而，物理模型对动力学过程进行了简化。相比之下，数据驱动模型能够从测量信号中学习知识，并针对该过程实现更精确的建模。但与物理模型相比，数据驱动模型的黑箱特性导致其可解释性较差。此外，数据驱动模型通常严重依赖于实际采集信号的丰富性和多样性。为解决可解释性差和样本不足的问题，本研究开发了一种物理引导的数据驱动模型。

2.2 物理引导的深度神经网络

由于深度神经网络（DNN）具备强大的非线性映射能力和灵活的结构，本研究将其作为基础的数据驱动学习器。所提出的模型如图2所示，该模型由两个模块构成：一个DNN模型和一个铣削动力学模型。DNN根据输入的铣削参数和时间来预测铣削力和位移。铣削动力学模型生成与实际信号相似的样本，用于网络预训练，并提供时滞微分方程作为严格约束，迫使预测结果符合物理一致性。

纯数据驱动的DNN存在两大局限。其一，训练样本不足可能导致泛化能力较低。因此，本文采用仿真方法来扩充样本，即通过基于实验数据识别出的动力学模型，在相似工况下生成包含铣削力及对应主轴位移的样本。这些样本可对网络进行预训练，增强其学习通用知识的能力。随后，利用实验数据对网络参数进行微调，在预训练完成后减轻特定任务的学习负担。

其二，纯数据驱动的DNN中通常采用均方误差（MSE）损失函数，这可能导致模型可解释性差且存在物理不一致性[48]。最小化均方误差本质上等同于标签拟合，缺乏可解释性，并且在噪声干扰下可能产生与客观物理规律不符的结果。因此，本文在训练过程中将力与振动信号之间的关系作为物理约束加以利用。

2.2.1 用于铣削力建模的改进DNN模型

图3展示了DNN的结构，该网络包含1个输入层、8个隐藏层和1个输出层。输入由铣削参数n、fz 、ap 、ae 和时间t组成，这些参数共同决定了特定时刻的铣削力。

铣削力可分解为静态力 Fs（与振动无关）和动态力 Fd（与振动相关），最终预测的铣削力值为这两部分之和：

F=Fs+Fd

通过将相同的一组铣削参数和时间序列构建为矩阵形式，实现输入的简化：

I(k)=[n(k), fz(k),ap(k),ae(k),t(i)], i=1,2,...,L

式中，k代表不同铣削工况的索引；L为时间长度。

在网络最后一个隐藏层中，铣削力被分解为静态力 Fs和动态力 Fd，它们与动态位移共同作为该隐藏层的输出，记为潜在变量，表达式如下：

L(k)=[Fxs(i),Fys(i),Fxd(i),Fyd(i),qx(i),qy(i)], i=1,2...,L

输出同样是一个矩阵：

O(k)=[Fx(i),Fy(i),qx(i),qy(i)], i=1,2...,L

批量输入和批量输出均采用三阶张量的形式，如图3所示，其中每一层对应一组铣削工况。在此结构中，可通过插值对任意延迟时间T处的样本进行索引。输入数据通过体现再生效应的自编码器结构映射为动态力和静态力，并作为潜在值，随后相加得到总力。

2.2.2 DNN的物理引导

在本模型中，物理知识的引导通过两种方式实现。首先，仿真数据为初始DNN模型的学习提供了一般性信息。其次，显式物理方程为DNN提供了严格的约束。

MSE损失函数常用于评估DNN输出值与实际值之间的不一致程度，其公式如下：

Lossmse=14L⋅∑i=1L[O^(i)-O(i)]2

式中，O^i和Oi分别代表在时间i时的预测值与实际观测值。

然而，它明显缺乏对实际过程底层机制的理解。为解决这一局限性，本文提出了一种物理引导的损失函数作为DNN的正则化约束，以确保预测结果与物理知识的一致性：

Lossphy=Losspx+Losspy

式中，Losspx和Losspy代表因预测结果在两个方向上与振动微分方程存在物理不一致性而产生的损失：

Lossphy=MSE(Mq¨+Cq˙+Kq-Fs-Fd)

公式（7）的右侧表示残余力。考虑到不同的损失项必须具有维度一致性，采用以下变换来统一物理损失的维度：

Lossphy=LosspxSFx+LosspySFy

式中，SFx和SFy分别是样本归一化时在Fx和Fy维度上的缩放尺度。

最终，DNN的损失函数由MSE部分和物理部分组成：

Loss=Lossmse+λphyLossphy

式中，λphy是代表物理损失在总损失中所占比例的超参数：

λphy=1-exp-LossmseLossphy

超参数λphy反映了DNN在训练初期侧重于对标签的拟合，随着训练轮次的增加，其逐渐倾向于满足物理损失函数所施加的约束。

考虑到离散数据无法使用连续微分方法处理，在DNN中采用两点差分近似导数法来计算物理损失：

q˙=qTDfs
qT=fsD2qT

式中，fs是采样频率；D是定义如下的张量微分算子：

D=-322-12-12012⋱-1201212-232(L×L)

为保持损失项的物理意义，在计算物理损失时，有必要将归一化后的数据还原至原始尺度。

2.2.3 物理引导的DNN训练

训练过程包含3个阶段：数据准备、预训练和微调。

在数据准备阶段，基于实验数据确定铣削动力学模型。然后将与实验工况类似范围内铣削参数的多种组合代入已知动力学模型，以生成仿真数据。整体数据集由仿真数据和实验数据组成。

DNN最初使用仿真数据进行预训练，冻结前几层的参数以保留一般映射关系。然后，使用实验数据对预训练模型进行微调以进一步优化。值得注意的是，模型超参数需在训练开始前确定。

本模型有6个超参数：网络层数、每层节点数、激活函数、最大训练轮次、冻结层数以及学习率。虽然超参数设置没有特定规则，但可根据损失函数的收敛速度和测试准确率选择最优配置。激活函数和学习率的确定可借助一些先验知识指导。

本研究采用带泄漏线性整流函数（Leaky ReLU）作为激活函数，以确保在神经元权重更新的同时防止梯度消失。如图4所示，当加权偏置输入为负时，其通过斜率为β的线性函数实现非线性映射关系。

此外，为取得更优性能，使用不同随机种子对网络权重和偏置进行初始化。在模型训练过程中，采用自适应学习率技术，根据梯度信息动态调整学习率，确保参数实现最优更新。

模型训练过程总结于算法1。

3 实验验证与结果讨论

3.1 实验设置

为验证所提方法，实验在三轴高速垂直加工中心DX-650（昆山良将精密机械有限公司）上进行。实验装置如图5所示，相应设备细节见表2。整套测量设备主要包括测力台、振动收集装置和电荷放大器。瑞士Kistler9129A测功机（Kistler）用于在铣削过程中实时获取X方向和Y方向的铣削力。测功机的测量范围为±10 kN，精度为0.001 N。瑞士Kistler8763B振动传感器（Kistler）用于获取主轴铣削过程中的振动信号。实验性数据采集方法是多通道定时采集，采样频率设置为50 kHz。数据采集卡使用Dewesoft SIRIUsi-HS 8通道模块（Dewesoft，斯洛文尼亚）来采集和存储信号。所用刀具是直径为6 mm、螺旋角为48°的四槽硬质合金平头铣刀。工件材料为42CrMo，尺寸为100 mm × 90 mm × 30 mm。此外，刀具类型和工件材料固定，以便在特定范围内进行研究。

主轴转速、进给速率、铣床深度和铣床宽度等工艺参数，按照推荐范围选定并组合。由于高材料去除率可能导致加工颤振和刀具损坏，而低值则可能导致信噪比降低，因此4个参数的取值分别为（5 000, 7 500, 10 000）、（800, 1200, 1600）、（1.2, 1.4, 1.6）和（1.2, 1.4, 1.6）。每个参数单独组合，并用田口法简化为9组。如表3所示的一组包含4个因子和3个水平的铣削参数的正交实验，旨在覆盖相对完整的工况。铣床力和刀具主轴振动信号同步收集。然而，实际处理任务中的数据采集通常仅限于部分工况，其他部分则未知。数据在3组工况下设置为未知，以符合实际情况。

3.2 铣削系统动力学辨识

首先，有必要对从传感器收集的原始数据进行预处理。采用五点三次平滑滤波法处理刀具-主轴振动加速度原始信号，以消除高频随机噪声。然后，通过离散傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，并在频域内对加速度信号进行二次积分，得到刀具-主轴位移。对去噪后的信号按刀具每旋转1°的间隔进行重采样，并将其分割成多个时长为0.01 s的序列，用于模型学习。

通过动态时域仿真生成用于预训练的数据。为了通过预训练有效调整DNN的参数，有必要尽可能缩小仿真数据与实验数据之间的差异。本研究首先确定实验数据的参数，包括铣削力系数、径向跳动长度和角度、初始浸入角和振动参数，然后使用这些参数生成仿真数据。

3.2.1 铣削力系数辨识

根据图1（a）所示的双机制机械模型，时刻i的铣削力计算如下[7]：

Fs(i)=A(i)km

已知力信号的初始浸入角、径向跳动角度和跳动长度，模型预测力与实际力之间的误差如下：

e(ϕ0,r,γ)=A(ϕ0,r,γ)[A(ϕ0,r,γ)]†Fm-Fm

式中，†表示伪逆算子。

任何一段铣削力序列均可视为观测值，其铣削力系数作为隐变量。因此，铣削力可通过如下状态空间模型建模，并利用卡尔曼滤波方法辨识其铣削力系数：

km(i+1)=ψ(i)km(i)+ω(i)F(i)=H(i)+v(i)

式中，km=[ktc,krc,kte,kre]T是由切向和径向的剪切力系数与刃口力系数组成的铣削力系数向量；ψ和H分别为状态转移矩阵和观测矩阵；ω和v分别为过程噪声和测量噪声。

3.2.2 振动参数辨识

单自由度振动系统可建模为具有2个自回归项（AR-2）的自回归模型[49]。

q(i)-∑l=12alq(i-l)=b0F(i)

采用列文伯格-马夸特（Levenberg-Marquardt）方法将AR-2模型拟合至实测数据，其物理参数与模型系数的关系如下：

a1=Rev[(M+ΔtC+(Δt)2K]⋅(2M+ΔtC)a2=Rev[(M+ΔtC+(Δt)2K]⋅Mb0=Rev[(M+ΔtC+(Δt)2K]⋅(Δt)2

式中，Rev表示对矩阵中每个元素求倒数的算子；Δt是时间步。

AR-2模型拟合误差计算如下：

ε(a1,a2,b0)=∑i=1Lq(i)-a1q(i-1-a2q(i-2-b0Fm(i)

辨识流程的算法如算法2所示。

动力学模型参数如表4所示，相关参数用于生成预训练所需的模拟样本。

3.3 模型规格与训练

生成模拟数据的铣削工况按照以下两项准则进行人工选择与组合：

（1）在所选铣削工况与实际工况相似的前提下，参数组合应具有多样性；

（2）根据铣削工艺参数手册选取推荐值，以避免对铣刀和机床造成损坏。

值得注意的是，训练样本的不同时间长度会影响训练误差收敛所需的时间。考虑到力的周期性，输入t对每个参数组合只取刀具旋转的一个周期长度，以节省计算资源。通过将这些参数替换到动力学模型中，可以基于方程（1）在时域内进行模拟。具体来说，在每个时间步计算切削机各微元的切削载荷（即切屑厚度与力系数的乘积），并据此加权。随后，力和振动会根据图1进行更新。

生成6组对应的力和位移，每组都包含在一定周期内X和Y方向的力和位移。图6显示，估计值与在不同切削参数下同时收集的实际信号在振幅和趋势方面存在良好一致性，表明已识别的动力学参数处于合理范围内。

由于铣削参数和时间在数据尺度上存在显著差异，预训练数据在训练前会进行归一化和标准化。

通过广泛的比较实验，调整并最终确定超参数（表5）。

3.4 结果与讨论

本节展示所提模型的预测性能，探讨DNN模型的可解释性，并比较不同模型的性能。以下交叉验证实验旨在验证所提模型。6个工况的模拟数据用于预训练，两组实验数据用于微调，一组用于验证。

3.4.1 所提模型的预测结果

为评估模型的准确性，本研究在3个实验铣削参数测试组下比较预测的铣削力和位移及其测量值。图7展示了利用所提模型与实验测量信号对预测的铣削力和位移的比较评估。可以看到红线和蓝线匹配良好，表明模型的预测结果与测量值高度一致，模型能够准确预测铣削时变动力学的瞬时值。

这表明模型已成功学习铣削系统的底层动力学，能够根据已知工况预测未知工况下系统动态性能的变化。与铣削力相比，所提模型在预测位移方面表现出更优的准确性。这种差异源于位移信号的变化呈现出相对平滑且渐进的趋势，而力信号则呈现出更复杂的周期性模式。

可以观察到，所提模型在第1组和第3组工况表现异常出色，而第7组工况略有下降。最大误差出现在第7组测试力的数据中。这可以归因于在该工况下转速的显著增加，这改变了动力学特性，导致信号频率和复杂度的增加。进而会导致某些山脊位置出现多个峰，使拟合过程更加复杂。而第1组信号更稳定，其次是第3组工况，效果更好。

预测结果的准确性通过3个标准定量评估：平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分比误差（MAPE）和均方根误差（RMSE）。每个标准的值越小，模型性能越好。

MAE=1L∑i=1L|o(i)-o^(i)|
MAPE=100%L⋅∑i=1L[o^(i)-o(i)]o(i)
RMSE=MSE

所有误差均列于表5。所提模型的4个预测变量的MAPE分别为1.6585%、2.6736%、1.5506%和1.3392%，表明所提模型能够相对准确地预测铣削力和位移。

为评估物理损失函数约束的影响，进行以下比较：将预测位移代入振动微分方程以推导相应的力，并与所提出模型的预测值进行比较，如图8所示。

显然，导出的力和预测值呈现一致趋势，表明预测力符合振动微分方程的原理。局部错位值的存在，可归因于模型固有的计算偏差。然而，与实际数值相比，误差可以忽略不计，并且保持在可接受的范围内。这表明结果展现出高度的物理稳定性。

为了更好地理解包括预训练和物理损失函数在内的物理机制产生的影响，本文进行了一项消融研究，去除了模型的不同组件。通过4个比较案例实现消融研究：纯DNN、仅使用预训练、仅使用物理约束，以及同时使用预训练和物理约束（即所提模型）。图9展示了这一结果。

比较显示，物理约束下的误差（10.5613%）略高于预训练时的误差（9.4520%），表明预训练在提升网络性能方面超过了物理损失约束。这与数据量对学习效率影响显著大于其他因素的特性相符。将物理约束与预训练策略整合，预测准确率显著提升。

3.4.2 所提模型的可解释性

解释模型学习的一种常见方法是模型参数的可视化[51]。DNN模型的基本结构是神经元（图10），其中参数是每个神经元的权重和偏置。网络训练过程涉及对这些参数的迭代更新，遵循以下规则：

Wa,bj+1=Wa,bj+α⋅∂Loss∂Wa,bBa,bj+1=Ba,bj+α⋅∂Loss∂Ba,b

式中，α表示学习率。

DNN通过在训练中寻找最优参数来实现最小化损失的目标。因此，损失在本研究中以两种方式在更新模型参数方面起着指导作用：一是将模拟数据作为标签的指导，二是物理损失函数的指导。为了直观阐明所提模型的可解释性，在整个训练过程中，将模型的损失、神经元权重和偏差的演变与传统DNN的演变进行比较。

通过方程（10）迭代更新时，损失值的演变见图11。由于部分参数在预训练后达到最优值，在前2000次迭代中，损失比传统DNN收敛速度更快，并降至足够低的水平（< 0.04）。在后续阶段，所提模型的平均损失水平低于传统DNN。在此阶段，物理损失出现振荡和收敛，表明模型正在克服反复违反物理约束的不一致性问题。

所提模型的损失水平低于传统DNN。然而，某些信号明显受特定样本噪声值影响。尤其是在较高旋转速度下，噪声模式与信号中峰值和波谷位置的波动非常相似。传统模型和所提模型在这些样本上产生的损失水平都更高。

此外，图12展示了第3层（4800个权重和60个偏置）和第4层（2400个权重和40个偏置）在不同训练阶段的参数变化。权重和偏差表现出类似初始模型中均值为零的随机噪声特征，且在预训练后发生显著变化。然而，参数经过实验数据微调后可能达到最优值，且与预训练值差别不大。这再次确认了模拟数据所提供的有效指导。

用于生成训练数据的物理机制与物理约束之间的区别体现在它们的效果阶段和目标上。使用模拟数据旨在使网络能够捕捉有限数据中的底层模式，并快速达到正确的初始化。在学习真实数据时，嵌入一个偏离动力学机制的约束，确保网络能够很好地学习推广，而不仅仅是记忆训练数据。方程（25）进一步分析了这种差异。

Loss=Fnet(I)-fphy(I), Pre-trainFnet(I)-O+λphy(Fnet-fphy), Fine-tuning

式中，Fnet表示网络的非线性映射；fphy表示动力学方程的映射；x和y分别是样本的输入和标签。值得注意的是，在预训练阶段，Fnet的输出结果可能不匹配fphy。然而，在整合物理约束之后，它被引导逐渐收敛至fphy。

3.4.3 与不同模型的比较

机械模型和传统DNN模型是铣削力建模中广泛使用的两种代表性模型，本节将其与所提模型进行了比较。此外，所提模型还与两种非线性建模常用的数据驱动方法进行了比较，即支持向量回归（SVR）和高斯过程回归（GPR）。此外，本文还选定了两种具代表性的高级方法与所提模型进行比较。第一种是物理残差DNN（PRDNN），它依次将物理模型与DNN连接，输出对力和位移的预测结果；第二种是物理加权DNN（PWDNN），它对物理模型和DNN的预测输出加权，以获得最终的预测值。

调整每个模型的结构和参数以实现最佳性能。机械模型是基于方程（1）的纯物理模型，不进行参数设置。DNN有7个隐藏层，节点为（100, 80, 40, 40, 30, 40, 50），并且与表5中指定的参数共享相同的其他设置。网格搜索方法用于调优其他多个比较模型的参数。SVR和GPR都采用广泛使用的高斯核。SVR的正则化参数设为20，核带宽为0.4，拟合容差为0.01。对于GPR，均值设为0，核带宽为0.4。PRDNN有6个隐藏层，节点为（100, 80, 50, 30, 30, 20）。PWDNN包含一个与DNN一致的模块，以及另外两层，包含（20, 20）个节点，用于加权物理模型和DNN的输出。测试集为表6中用于验证的3个数据组。

图13提供了第7组数据中关于不同模型及其测量值预测的铣削力和位移的比较。可以观察到，相较于其他模型，物理引导的DNN模型能够准确预测铣削力和位移的轮廓和大小。偏差主要集中在波峰和波谷位置，这些部分难以处理。所提模型中的物理约束源自已知数据中获得的物理学先验知识。然而，在高速铣削操作中，振动位移常常受到特定时刻瞬态扰动的影响，如材料不均匀性。这些扰动可能诱导通过物理知识辨识得到的系统参数出现偏差，从而引入既有约束的偏差。因此，模型在准确预测这些试点时可能会面临挑战。

为了定量比较不同模型的性能，表7列出了测试集中5个模型预测结果的MAPE。所提模型的总体误差比传统模型高出24.4367%。可以确定，所提模型表现出明显优于其他4个模型的性能。与机械模型相比，所提模型采用数据驱动技术捕捉物理模型未考虑的因素。与传统DNN模型相比，物理引导学习解决了样本不足的问题，确保物理一致性。所提模型整合了传统物理模型和数据驱动模型的优势，展现出良好的性能。

值得注意的是，机械模型在位移预测中表现出显著偏差，这是由于系统的动态特性可能随转速变化而改变所致。依赖已知参数的物理模型无法预测这种动态行为。传统DNN、SVR和GPR模型预测准确率较低，主要归因于曲线拟合技术对关系的近似不佳，实验数据中存在异常值和噪声。DNN、SVR和GPR模型的预测值在趋势上与实验值总体一致，但局部存在显著差异。在样本不足的情况下，缺乏物理知识指导的数据驱动模型性能严重受限。由于SVR和GPR中使用核技巧，这两种模型的表现不如DNN。相比之下，参数模型在学习动力学系统底层物理定律方面更具优势[50]。基于上述结果可得：物理引导的模型比传统模型更好地建立了切削工况与动力学之间的关联，从而提高了传统DNN模型的预测准确性。

PRDNN和PWDNN也有类似的预测表现。尽管它们融合了物理模型和DNN的结果以改进纯数据驱动模型，但在峰值和波谷以及局部快速变化的位置处，结果仍然不够准确。这两个模型对先前关于动力学的初步假设都很敏感。模型假设与测试工况之间的差异可能导致推断结果失真。当物理建模缺乏精确性时，最终输出主要依赖于数据驱动模块。然而，由于动力学知识未嵌入数据驱动模块中，难以学习物理一致性。

与以往的先进方法不同，本研究所提模型包含力和振动位移的动力学，在学习表现和对底层机制理解方面有所提升。

4 结论

为解决物理模型构建中知识不完备以及数据驱动模型可解释性不足的问题，本研究开发了一种新型的物理引导深度网络，用于铣削动力学预测。基于铣削实验验证，得出以下结论。

（1）基于物理仿真的预训练策略将先验动力学知识嵌入网络，加速收敛并优化初始模型参数。该策略增强了网络高效学习并适应实际铣削动力学的能力。

（2）此外，基于振动微分方程的损失函数不仅提高了预测结果的物理一致性，还增强了传统数据驱动模型的可解释性。

（3）这两种物理引导方法共同提高了网络预测的准确性。总平均误差低至2.67%，与纯物理模型相比，整体预测精度提高了24%。

所提模型能够实现切削力预测，并指导进一步的参数优化。该模型的结构与设计理念易于推广至切削加工的其他领域，包括车削和钻削动力学，这有助于提升数据驱动模型的可解释性。

值得注意的是，在实际铣削加工中，仍存在诸多不确定因素（如刀具磨损的变化），这可能会导致预测出现偏差。未来研究有必要将实时监测因素纳入模型，以充分挖掘本方法在相关研究领域和实际应用中的潜力。

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