具有旋转与镜像对称性的光子微结构中的光学奇点—

Engineering ›› 2025, Vol. 45 ›› Issue (2) : 64 -75. DOI: 10.1016/j.eng.2024.10.011

研究论文

具有旋转与镜像对称性的光子微结构中的光学奇点——一种统一理论框架

杨杰 ^a^,^b^,^c ,
王甲富 ^a^,^b^,^d^,^* ,
富新民 ^a^,^b ,
潘月婷 ^e ,
崔铁军 ^f^,^* ,
郑学智 ^c^,^g^,^*

作者信息 +

Optical Singularities in Photonic Microstructures with Rosette Symmetries: A Unified Theoretical Scheme

Jie Yang ^a^,^b^,^c ,
Jiafu Wang ^a^,^b^,^d^,^* ,
Xinmin Fu ^a^,^b ,
Yueting Pan ^e ,
Tie Jun Cui ^f^,^* ,
Xuezhi Zheng ^c^,^g^,^*

Author information +

文章历史 +

Received	Accepted	Published
2024-03-31	2024-10-23
Issue Date
2024-11-07

PDF (5383K)

摘要

作为电磁场的拓扑缺陷，光学奇点主要包含标量场相位奇点、矢量场偏振奇点以及三维奇点（如光学斯格明子）。近年来，利用光子微结构产生光学奇点并对其进行操控引发广泛研究兴趣，为此科研人员已经设计了多种光子微结构。为了阐释各类设计的运作机制，业内提出了诸多唯象理论，但这些理论较为松散且仅限于特定结构。本研究并没有聚焦于单一微结构类型，而是另辟蹊径探讨这些微结构最常见的几何特征，即对称性，从对称性视角重新审视微结构中光学奇点的生成过程。通过系统地应用群论中的投影算子技术，我们构建了一种普适性理论框架，用于探索具有旋转与镜像对称性的微结构中的光学奇点。该框架与既有研究高度吻合，并进一步揭示：对称微结构的本征模式可在不同场分量（如离轴分量、径向分量、角向分量、左/右旋圆偏振分量）中支持多重相位奇点。利用这些相位奇点可以合成更复杂的光学奇点，包括C点、V点、L线、Néel型和泡型光学斯格明子以及光学晶格等。本研究提出论证：光学奇点关联的拓扑不变量受到微结构对称性的保护。最后，基于对称性论证，我们提出了一个对称匹配条件，以阐明特定光学奇点的激发机制。本研究建立了统一理论框架，用于探索具对称性的光子微结构中的光学奇点，不仅揭示了多维与多重光学奇点的对称性起源，更为光学及光子学中诸多奇点相关效应提供了对称性视角。

Abstract

Optical singularities are topological defects of electromagnetic fields; they include phase singularity in scalar fields, polarization singularity in vector fields, and three-dimensional (3D) singularities such as optical skyrmions. The exploitation of photonic microstructures to generate and manipulate optical singularities has attracted wide research interest in recent years, with many photonic microstructures having been devised to this end. Accompanying these designs, scattered phenomenological theories have been proposed to expound the working mechanisms behind individual designs. In this work, instead of focusing on a specific type of microstructure, we concentrate on the most common geometric features of these microstructures—namely, symmetries—and revisit the process of generating optical singularities in microstructures from a symmetry viewpoint. By systematically employing the projection operator technique in group theory, we develop a widely applicable theoretical scheme to explore optical singularities in microstructures with rosette (i.e., rotational and reflection) symmetries. Our scheme agrees well with previously reported works and further reveals that the eigenmodes of a symmetric microstructure can support multiplexed phase singularities in different components, such as out-of-plane, radial, azimuthal, and left- and right-handed circular components. Based on these phase singularities, more complicated optical singularities may be synthesized, including C points, V points, L lines, Néel- and bubble-type optical skyrmions, and optical lattices, to name a few. We demonstrate that the topological invariants associated with optical singularities are protected by the symmetries of the microstructure. Lastly, based on symmetry arguments, we formulate a so-called symmetry matching condition to clarify the excitation of a specific type of optical singularity. Our work establishes a unified theoretical framework to explore optical singularities in photonic microstructures with symmetries, shedding light on the symmetry origin of multidimensional and multiplexed optical singularities and providing a symmetry perspective for exploring many singularity-related effects in optics and photonics.

关键词

光学奇点 / 光学涡旋 / 光子微结构 / 对称性 / 群表示论

Key words

Optical singularity / Optical vortex / Photonic microstructures / Symmetries / Group representation theory

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杨杰,王甲富,富新民,潘月婷,崔铁军,郑学智. 具有旋转与镜像对称性的光子微结构中的光学奇点——一种统一理论框架[J]. 工程（英文）, 2025, 45(2): 64-75 DOI:10.1016/j.eng.2024.10.011

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1 引言

拓扑学是当代物理学的核心学科之一。作为贯通数学与物理学领域的基本概念，奇点是理解物理学中纷繁拓扑现象的关键[1‒2]。在波场中，奇点是指空间中某些描述场的物理量在数学上未定义的点。自从场构型连通性理论修正以来，奇点就被视为波场的拓扑缺陷。它们在多种波场中被广泛地研究，并被确认为诸多奇妙现象的拓扑表征，如引力场中的黑洞[3]、凝聚物质中的拓扑元激发[4]以及电子波函数中的等效磁单极子[5]。在电磁场中，光学奇点基本上可分为三大类：标量场中的相位奇点、二维（2D）矢量场中的偏振奇点以及三维（3D）矢量场中的拓扑缺陷[6]。相位奇点是指电磁场相位未定义的空间点；偏振奇点是指描述电磁场局域偏振态的参数未定义的空间点。作为3D光学奇点，3D矢量场中的拓扑缺陷（如光学斯格明子[7‒8]、半子[9‒10]、霍普夫子[11‒12]、莫比乌斯带[13‒14]、纽结[15]及链环[16]）可视为上述两个奇点的合成体。这些多维光学奇点引入了若干新自由度，可用于构造光场以及操纵光-物质相互作用，从而开创了现代光学的新篇章——奇异光学。多维光学奇点已经催生了诸多前沿应用，包括（深）亚波长聚焦与成像[8,17‒19]，适用于芯片应用的微米/纳米级等离子元涡旋[20‒25]以及基于光子轨道角动量（OAM）复用的高容量通信技术[26‒28]。

光学奇点的产生和操控是光学与光子学领域中的尖端课题。为此，学界已经提出多种光子微结构，并辅以专用理论模型阐释各设计背后的工作原理。例如，环形排布纳米发射器或天线阵列[29‒34]可用于构造相位奇点，其原理基于天线理论[34]；微环谐振腔可同时调控相位与偏振奇点[35‒38]，该机制可通过回音壁模式（WGM）与耦合模理论[37‒38]进行阐释；等离子元涡旋透镜产生的相位奇点和光学准粒子已在自旋-轨道相互作用（SOI）[9,21‒22,39‒40]的理论框架内进行了讨论；等离激元多边形狭缝可用于在光学晶格中产生光学斯格明子[7,17,41‒42]，在理论上，该现象被解释为一种基于惠更斯原理[7,25,43]的干涉现象；光子晶体中的点缺陷被用于设计相位和偏振奇点[44‒45]，其理论天然符合光子晶体的能带理论[44‒45]；仿等离激元谐振腔也被提出用于相位/偏振奇点及光学准粒子的操控[46‒50]，并辅以等效介质理论和模式叠加原理对其工作机制进行阐明[44‒46,48]。由于所提出的微结构可以由不同的材料制成，具有不同的几何构型，且工作频率/波长也不尽相同，因此得出的理论也只是仅适用于特定类型微结构的唯象理论，缺乏广泛适用性。此外，这些所提出的微结构通常表现出共同的几何特征，如旋转对称性及可能存在的镜像对称性。而目前大多数理论缺乏对这些对称性特征的系统性定量研究，因此无法揭示对称性与多维光学奇点之间的联系。最近学界有一些研究也想要填补这一空白，但这些研究也只将研究重点聚焦在特定类型光学奇点的对称性起源上[47,49‒51]。

本研究通过系统性地发掘微结构对称性与其多维光学奇点之间的内在联系，提出一个统一的理论方案。特别地，本研究聚焦于具有旋转与镜像对称性的孤立微结构，此类结构涵盖了大多数为产生多维光学奇点而设计的平面散射体。与先前遵循纯几何方法[49]（即仅运用对称性论证来确定偏振奇点的拓扑特征）不同，本研究着重强调对称性与电磁波散射理论之间的相互作用。首先，在电磁散射理论和群表示理论的框架下，本研究证明了对称微结构所支持的本征电流是按对称性分类的，且同一类别的本征电流具有相同的对称性特征。这一发现也使我们将目光锁定于特定类别的本征电流，进一步研究其最简单的可能情形（即一组偶极子及其所辐射的电场），也就是本征模。之后，我们对本征模的拓扑特征进行了理论研究，发现对称性微结构的本征模在其分量中能够支持多路复用相位奇点[25]，包括面外分量、径向分量与方位角分量以及左旋和右旋圆偏振分量。微结构会对这些相位奇点的拓扑不变量产生对称性保护。通过这些相位奇点可以合成更复杂的光学奇点，如C点、V点、L线、Néel型和气泡型光学斯格明子。此外，本研究还讨论了由多重相位奇点形成光学晶格的可能性。最后，我们提出激发特定类型光学奇点的普适条件，即对称性匹配条件；该条件可作为未来推导控制光子SOI过程之选择定则的一般性原则[43,52‒53]。本研究论证了各种光子微结构中多维与多路复用光学奇点的对称性根源，这对新型光学奇点（如光学纽结与链环）的探索具有重要意义。本研究也有助于其他相关主题（如光学手性[54]、光子SOI [53]以及几何相位[6]）的探索，同时对参数化空间或合成空间中对光学奇异点（如动量空间中的偏振奇点[55]和参数空间中的异常点[56]）的研究也具有启发意义。

2 基于对称性原理的光-微结构相互作用的理论框架

2.1 光-微结构相互作用的电场积分方程（EFIE）形式体系

图1 [7,17,19,22,35‒37,39,41,47‒48,50,52‒53,57‒61]列出了几种已被广泛用于生成多维光学奇点的代表性微结构。它们可通过金属、半导体或电介质构成，并可以在不同频段下工作，包括微波、太赫兹、红外和光学频段。微结构与光的相互作用可以通过电场积分方程（EFIE）形式体系给出的统一算子方程来描述[62‒64]。该算子方程可表述为如下形式：

Z J r' = V i n c r

（1）

式中，Z为微结构的阻抗算子； J 是流经微结构的感应电流； V_inc代表入射场； r'和 r 分别表示源点和观察点。在笛卡尔坐标系和柱坐标系中， r' =（x', y', z'）=（ρ', φ', z'）且 r =（x, y, z）=（ρ, φ, z）。此处，x′、y′、z′和ρ'、φ'、z'分别是 r′的笛卡尔分量和极坐标分量；（x, y, z）和（ρ, φ, z）分别是 r 的笛卡尔分量和极坐标分量；φ是矢量 r 的方位角。尽管阻抗算子Z和入射场 V_inc的详细表达可能因材料构成不同和工作频段不同的微结构而异，但等式（1）中的形式体系始终适用（详细内容见附录A中的第S1节）。Z算子描述了该结构的电磁特性，并对一个本征值问题进行定义，

Z j r' = κ j r'

，其中

κ

和

j

是本征值和本征函数（即本征电流）。该本征电流辐射产生的电场（即微结构的本征模式）可通过下式计算：

E r = E z z^+ E | | = i ω μ 0 ∫ V / S G ¯ r, r' ⋅ j r' d r'

（2）

式中， E 表示场点 r 处的电场；

z^

为沿z方向的单位矢量；i是虚数单位；ω是角频率；μ₀为真空磁导率；V/S 表示积分域可选择3D体积V或2D曲面S；

G ¯

为均匀空间并矢格林函数；

E z

和

E | |

分别表示本征模式的面外分量和面内分量。场的面内分量可以用不同的基底（如笛卡尔基、圆柱基和圆极化基）表示，其表达式为：

E | | = E x x^+ E y y^= E ρ ρ^+ E φ φ^= E + L^+ E - R^

，其中（

x,^y,^) 、 (ρ,^φ,^)

和（

L,^R,^

）分别是笛卡尔基、圆柱基和圆极化基的单位向量。相应地，E_x、E_y、Eρ、Eφ、

E + 和 E -

为沿单位矢量的分量。我们进一步采用约定：

L^= | +

和

R^= | -

，其中

| σ = x^+ i σ y^/ 2

，且

σ = ± 1

（

σ

表示光的自旋量子数）。不同基底间电场分量的转换关系如下：

E σ = 12 E x - i σ E y = 12 E ρ - i σ E φ e - i σ φ

（3）

式中，E_σ 表示根据σ的值取值

E + 或 E -

。假设在微结构非磁性均匀介质背景中，其相对介电常数为ε_r，相对磁导率为单位量，即μ_r = 1；对于基底集成情形，需要额外引入反射并矢格林函数[64]。为便于后续讨论，可将并矢格林函数改写如下（详见附录A中的第S2节）：

G ¯ r, r' = i 4 π R o t φ ⋅ ∑ n = - ∞ + ∞ e i n φ - φ' ⋅ I ¯ n ρ, z, ρ', z' ⋅ R o t T φ'

（4）

式中，

I ¯

_n 为辅助并矢函数，且与方位角φ和φ'无关；n为整数，表示圆柱波的阶数（第S1节）；Rot(φ)和Rot(φ')分别表示绕z轴逆时针旋转φ和φ'角度的旋转操作矩阵（图1）。

2.2 旋转与镜像对称性的群表示理论

旋转与镜像对称性即2D点群对称性，包含旋转对称与镜像对称两类。此类对称可以构成两种2D点群：仅含旋转对称的循环群C_M 以及兼具旋转与镜像对称的二面体群D_M，其中M为群内旋转操作的数量。C_M 群的生成元为r，表示绕旋转对称轴[如图1（g）中的z轴]旋转角度

θ 0 = 2 π / M

的操作，其中M为该群包含的旋转操作数。C_M 群的所有旋转操作可表示为参数集合

1, r, …, r M - 1

。D_M 群的生成元为r和s，其中s表示关于某一镜像平面的镜像操作；该平面与图1（e）中xoz平面呈θ₀/2角。D_M 群的所有旋转操作可表示为参数集合

s, s ∘ r, …, (s ∘ r) M - 1

，其中

s ∘ r

表示反射平面与z轴成θ₀角的镜像操作。D_M 群由上述两个集合生成。

群表示理论是研究物理系统对称性如何影响其物理性质的标准数学工具。该理论的核心为不可约表示（irrep），其本质为矩阵[65‒67]。C_M 群和D_M 群的不可约表示对角元素分别列于表1和表2。从表1可知：①当M为偶数时，C_M 群包含两个一维（1D）不可约表示（A和B）以及（M/2 - 1）个2D不可约表示（E_h ）；②当M为奇数时，C_M 群包含一个1D不可约表示（A）以及（M - 1）/2个2D不可约表示（E_h ）。C_M 群的所有不可约表示可通过参数 $j$ [ $j = 0, …, M - 1$ ]进行索引，该参数称为不可约表示指数。不可约表示与表示指数间的对应关系见表1。由表2可知：①当M为偶数时，D_M 群包含四个1D不可约表示（A₁、A₂、B₁和B₂）以及（M/2 - 1）个2D不可约表示（E_h ）；②当M为奇数时，D_M 群包含两个1D不可约表示（A₁和A₂）以及（M - 1）/2个2D不可约表示（E_h ）。由于D_M 群的不可约表示可被视为C_M 群与镜像群D₁的直积[66]，因此D_M 群的不可约表示也可通过表示指数索引。D_M 群的不可约表示与表示指数对应关系见表2。为完备起见，本研究仅考虑群的矢量不可约表示，投影表示将另文探讨。

根据C_M 群或D_M 群的不可约表示对角元素，可以构造群表示理论中的核心工具——投影算子。我们用希腊字母 $Γ$ 来标记不可约表示，则该表示第i个维度（或行）对应的投影算子 $P i Γ$ [65‒66]表示如下：

P i Γ = d Γ N ∑ R Γ i i * R ⋅ P R

（5）

式中，N为群的维度（在C_M 群中，N = M；在D_M 群中，N = 2M）； $d Γ$ 为不可约表示 $Γ$ 的维度。式（5）中对R求和即对群内所有对称都进行运算。对于每个对称运算R都存在矩阵 $Γ R$ ，其第i维度（或行）的对角元素记为 $Γ i i R$ 。 $P R$ 为对称运算R的变换算子。式（5）中的投影算子作用于任意标量函数f( r )及矢量函数 f ( r )所得投影函数[分别记为 $f i Γ r$ 和 $f i Γ r$ ]，其定义如下[66]：

P i Γ f r = f i Γ r, P i Γ f r = f i Γ r

（6）

由于投影算子定义为不可约表示 $Γ$ 的第i维度（或行）的算子，因此投影函数 $f Γ i$ 和 $f Γ i$ 属于该表示 $Γ$ 的第i维度（或行）。可证明：属于不同维度或不同不可约表示的投影函数具有正交完备性，故可构成展开一般函数的正交完备基[65]。在此意义上，投影函数亦称基函数。需特别说明，由表1与表2可见：对于E_h 表示，镜像对称操作对应的对角元素恒为零，这表明镜像对称性不参与构建针对该表示定义的投影算子。此外，对于E_h 表示的特定维度，D_M 群的投影算子与C_M 群的投影算子相同。

2.3 对称性与光-微结构的相互作用机制

本小节重点讨论对称性与光-微结构的互作用机制。可以证明，式（5）中C_M 群或D_M 群的任一投影算子与式（1）中的Z算子对易关系[68‒70]：

P i Γ, Z = P i Γ Z - Z P i Γ = 0

（7）

由该对易关系可得，Z算子和投影算子共享同一组本征函数：

Z j i Γ r' = λ i Γ j i Γ r', P i Γ j i Γ r' = j i Γ r'

（8）

式（8）中，阻抗算子Z的本征电流及本征值按不可约表示的维度分类。此分类由投影算子实现，并以不可约表示定义分类索引。由于投影算子及不可约表示仅与对称性相关，故可推知：属于同一类（即特定不可约表示）的本征电流必呈现该表示定义的共同对称特征，此类特征完全由微结构对称性决定，与结构几何细节[如图1（c）中纳米天线臂长]无关。

总而言之，将式（2）中的积分关系应用到式（8）的第二式两侧（参见文献[70]），可证明：属于特定不可约表示的本征电流所辐射的电场，即本征模 $E i Γ r$ ，属于同一不可约表示，即

P i Γ E i Γ r = E i Γ r

（9）

3 对称性分类本征电流辐射场中的光学奇点

3.1 一种用于提取共性对称特征的电偶极子模型

为提取属于特定不可约表示的本征电流的共性对称特征，需对式（8）第二个方程中的本征值求解。此外，鉴于此类共性对称特征与微结构几何无关，我们可考虑最简情形：离散点集模型。这些点通过旋转与镜像对称群的旋转与镜像操作关联，并在各点放置电偶极子——此即最基础的本征电流分布，因为任意电流分布均可由偶极分布展开。故该偶极子集合亦称本征偶极分布。为完备起见，由于在本研究中考虑的实际结构具有较大的截面与高度比，因此仅考虑具有面内分量的偶极子。不过其相关讨论及结论可直接扩展到具有显著平面外分量的结构中，如显色团阵列[31‒33]。

将式（5）中的投影算子作用于位于 $r 0'$ [图2（a）]处的谐波电偶极子，可构建得出与群不可约表示相对应的本征偶极子分布，其中 $r 0' = ρ 0, 0, 0 T$ 为柱坐标表示，ρ₀ 为偶极子到原点的径向距离。在不失一般性的情况下，我们假设该电偶极子与x轴呈α角[图2（a）]。该偶极子的偶极矩（ p ）可表示为

p r 0' = p δ r' - r 0' c o s α s i n α T

（10）

式中，p是偶极矩（A·m）的大小；δ是狄拉克函数（m^-3）。时谐因子 $e - i ω d t$ （其中 $ω d$ 为角频率，对应波长为λ）在模型中已假定，但在后续讨论中予以省略。将式（5）中定义的不可约表示 $Γ$ 的第i维的投影算子作用于偶极子 $p (r 0')$ ,我们可以得到对应于不可约表示 $Γ$ 的第i维的本征偶极子分布，即 $P i Γ p r 0' = p i Γ r'$ 。我们以阶数M为偶数的D_M 群为例，属于该群某一不可约表示的本征偶极子分布可表示为如下形式：

p i Γ r' = d Γ N ∑ m = 0 M - 1 Γ i i * r m c o s θ m + α s i n θ m + α + Γ i i * s ∘ r 1 - m c o s θ m - α s i n θ m - α p δ r' - r m'

（11）

式中， $θ m = m θ 0 = m 2 π M$ 。利用式（11），我们可以通过将特定不可约表示的对角元（表2）代入式（11）中，获得属于该不可约表示的本征偶极子分布（具体表达式见附录A中的第S3节）。式（11）不仅适用于阶数M为偶数的D_M 群，还可推广应用于其他2D点群，即阶数M为奇数的D_M 群以及阶数M为奇数或偶数的C_M 群。

为阐明式（11）的应用，我们以D₆群为例，在图2（b）~（f）中绘制了属于该群各不可约表示的本征偶极子分布。由图2可以观察到：A₁不可约表示的所有偶极子径向取向且同相；A₂不可约表示的所有偶极子角向取向且同相；B₁不可约表示的所有偶极子径向取向，但相邻两个偶极子反相；B₂不可约表示的所有偶极子角向取向，但相邻两个偶极子反相；E_h 不可约表示的所有偶极子呈圆周状排列，且相对于径向具有相同的取向角α。

3.2 本征偶极子分布辐射中的光学奇点

接下来，基于式（2）和式（4），我们对式（11）中的本征偶极子分布所辐射的电场进行计算：

E i Γ r = E i, ρ Γ E i, φ Γ E i, z Γ T = i ω 2 μ 0 p 4 π ∑ n = - ∞ + ∞ I ¯ n ρ, z, ρ 0 ⋅ F i Γ n ⋅ e i n φ

（12）

在式（12）中，辐射电场的柱坐标系分量为 $E i, ρ Γ 、 E i, φ Γ$ 和 $E i, z, Γ$ 。根据式（4）和第S2节， $I ¯$ _n 可解释为当前坐标系基下的一个3 × 3矩阵。 $F i Γ$ 为一个向量函数（ $F i Γ$ 具体形式参见附录A中的第S4节），并可解释为当前坐标系基下的一个3 × 1向量。特别指出，我们发现 $F i Γ$ 是求和指数n的函数。在第S4节中，我们证明当且仅当 $n = - j + M q$ , $q ∈ Z$ ， $F i Γ$ 是非零，其中 $Z$ 表示整数集。因此，式（12）可改写为

E i Γ r = i ω 2 μ 0 p 4 π ∑ q = - ∞ + ∞ I ¯ M q - j ρ, z, ρ 0 ⋅ F i Γ M q - j ⋅ e i M q - j φ

（13）

式（13）中的求和表明，辐射电场的柱坐标系分量（即 $E i, ρ Γ 、 E i, φ Γ$ 和 $E i, z Γ$ ）由一组以q为索引的部分波叠加而成。第q阶部分波具有 $e i q M - j φ$ 的形式，这意味着该部分波具有螺旋状波前，因而携带拓扑荷为 $M q - j$ 相位奇点。因此，柱坐标分量 $E i, ρ Γ 、 E i, φ Γ$ 和 $E i, z Γ$ 中存在相位奇点，其拓扑荷 $l ρ$ 、 $l φ$ 和 $l z$ 如下：

l ρ = M q ρ - j, l φ = M q φ - j, l z = M q z - j

（14）

式中，q_ρ、q_φ 与q_z 为任意整数。

辅助并矢函数 $I ¯ M q - j$ 和矢量函数 $F i Γ$ 的乘积决定了第q阶部分波的权重。对于固定观测点 $r = ρ, φ, z$ ，从该乘积可以看出，此权重取决于ρ₀。后文将表明，调控ρ₀使得控制相位奇点的期望阶次成为可能。

除了使用柱坐标系分量（即 $E i, ρ Γ 、 E i, φ Γ$ 和 $E i, z Γ$ ）表示辐射场外，我们同时采用圆偏振基表示电场，即 $E i, + Γ 、 E i, - Γ$ 和 $E i, z Γ$ 。从式（3）可以看出， $E i, + Γ$ 和 $E i, - Γ$ 是 $E i, ρ Γ$ 和 $E i, φ Γ$ 的线性组合；如式（13）所示，这些分量可视为螺旋部分波的叠加，因此携带相位奇点。但圆偏振分量 $E i, + Γ (E i, - Γ)$ 携带的相位奇点阶次始终比径向/角向分量低（高）一阶。即圆偏振分量 $E i, σ Γ$ 的相位奇点阶次可表示为

l σ = M q σ - (j + σ)

（15）

式中， $q σ ∈ Z$ ； $l σ$ 表示圆偏振分量 $E i, σ Γ$ 中标量涡旋的拓扑荷。

前文已经证明，辐射电场的各分量均携带相位奇点。然而，受限于偏振均匀分布的必要条件，并非所有分量都能称为标量涡旋模式。唯有 $E i, z Γ$ 、 $E i, + Γ$ 和 $E i, - Γ$ 是标量涡旋模式，因其基矢量不依赖于空间坐标。而 $E i, ρ Γ$ 和 $E i, φ Γ$ 实则为径向偏振涡旋与角向偏振涡旋（即矢量涡旋），因为它们的基矢量（即柱坐标系中径向与角向的单位矢量）随空间位置变化。这两种偏振涡旋携带的偏振奇点均为V型奇点，其拓扑荷恒为1 [58]。综上，我们在 $E i, z Γ$ 、 $E i, + Γ$ 和 $E i, - Γ$ 分量中获得三种标量涡旋模式，在 $E i, ρ Γ$ 和 $E i, φ Γ$ 分量中观察到两种偏振涡旋。需特别指出， $E i, + Γ$ 和 $E i, - Γ$ 分量中的标量涡旋模式是研究光子体系中几何相位与SOI的关键载体[6]。

除 $E i, ρ Γ$ 和 $E i, φ Γ$ 中的V型奇点外，本征偶极子分布辐射电场的面内分量可以揭示更丰富的奇点特征。根据经典理论，偏振涡旋可视为正交圆偏振基下两个标量涡旋模式的叠加，其偏振奇点阶次（记为I）满足 $I = l - - l + / 2$ ，其中，l_-和l₊分别为右旋和左旋圆偏振分量的标量涡旋拓扑荷[6,71‒72]。这表明辐射场的面内分量 $E i, | | Γ$ 必然呈现偏振涡旋并携带偏振奇点，因其本质是 $E i, + Γ$ 和 $E i, - Γ$ 的分量叠加。此外，偏振奇点的阶数（即偏振涡旋的拓扑荷）可按下式计算：

I = 1 + M 2 q - - q +

（16）

式中，q_-和q₊为任意整数。

式（16）是一项极具突破性的结论，它可以预测任意具有旋转与镜像对称性的微结构所辐射电场面内分量中可能出现的偏振涡旋拓扑荷。该结论与循环布洛赫定理[49]的推导结果一致。值得注意的是，当M为偶数时，拓扑荷I恒为整数；当M为奇数且（ $q - - q +$ ）≠ 0时，拓扑荷I可呈分数形式，这表明奇数重旋转对称微结构可支持分数阶偏振奇点。例如，当M = 5、q_- = -1和q₊ = 0时，拓扑荷I = -3/2（示例见附录A第S5节中的图S1）。

3.3 电小尺寸微结构中的标量涡旋、偏振涡旋与3D光学奇点

为验证上述理论结果，我们对具有D₆群对称性（即M = 6）的本征偶极子分布所辐射电场进行了数值模拟。模型参数设置如下：偶极矩幅值ρ = 1 A·m；偶极子振荡波长λ = 600 nm；径向距离ρ₀ = λ/8；观察平面 z = λ；观测区域为7λ × 7λ。此参数设置可有效探究电小尺寸微结构辐射电场中的普适对称性及关联拓扑特征。此外，由于该结构是亚波长尺寸，从权重因子[即式（13）中张量函数 $I ¯ M q - j$ 和向量函数 $F i Γ$ 的乘积]可明确看出：其辐射场由最低阶奇点主导。换言之，唯有式（13）中q = 0的部分波占主导地位。图3至图7展示了 $E i, z Γ$ 、 $E i, ρ Γ$ 、 $E i, φ Γ$ 、 $E i, + Γ$ 以及 $E i, - Γ$ 分量的相位与幅值分布结果。从中可观测到：五个分量的相位奇点阶次与式（14）及式（15）高度吻合[注意：式（14）及式（15）中参数q和 $q σ$ 均设为0]。因此，数值计算结果很好地验证了本理论模型的正确性。需特别指出，我们关于 $E i, ρ Γ$ 和 $E i, φ Γ$ 的研究结果可用于解释微环谐振腔中柱矢量涡旋的片上生成机制[58,73]，以及构建基于局域偏振态斯托克斯矢量的光学准粒子（如斯格明子与半子）[10]。

对于面内分量 $E i, | | Γ$ 中的偏振奇点，我们通过图6至图8验证了式（16）。以j = 4为例：由图6与图7可得： $l -$ = 3， $l +$ =1。根据公式 $I = (l - - l +) / 2$ ，计算拓扑荷为1。该结果与图8中j = 3的案例相互验证。

为形成完整论证体系，我们可利用辐射场z分量中的标量涡旋（图3）与面内分量中的偏振涡旋（图8），在微结构中构建3D光学奇点（如光学斯格明子）。此类3D光学奇点可视为低阶奇点（即相位奇点与偏振奇点）的叠加。例如，光学斯格明子可视为场z分量中拓扑荷为0的标量涡旋与场面内分量中拓扑荷为1的偏振涡旋的叠加[7,50]。我们注意到，在A₁不可约表示中（见图3与图8中的j = 0案例），所需标量涡旋与偏振涡旋共存。因此，在A₁不可约表示下可构建光学斯格明子（图9）。由图9（a）和（b）可见，在矢量构型中心处，电场矢量方向向上；随着半径增大，矢量方向逐渐翻转，至白色虚线圆标识的边界处时方向完全向下。该现象由图9（c）进一步证实。图9所示矢量构型正是典型的Néel型斯格明子构型。经计算，该合成光学斯格明子的拓扑不变量（即斯格明子数）为1[7‒8,50]。由于所构建的斯格明子属于D₆群的A₁不可约表示，其拓扑特性受系统对称性保护。该结论同样适用于C_M 群（其中A不可约表示的作用等同于A₁不可约表示），并可以进一步推广到1D酉李群U(1) [41]。值得注意的是，合成光学斯格明子的平均斯格明子数在单光学周期内为零，这与前期研究[7,17,50]一致。而具有非零斯格明子数的自旋光学斯格明子可通过其他类型电磁场矢量（如光子自旋场或斯托克斯矢量场）合成[8,10,41]。

3.4 电大尺寸微结构中的多路复用光学奇点

在第3.3节中，我们考虑特征尺寸ρ₀处于亚波长尺度上（即ρ₀ = λ/8）的情形，对应实际应用中的电小尺寸微结构，如类等离激元谐振腔[47,52,74]或金属/介质球[14,75]。在这种情况下，我们仅观测到最低阶光学奇点（图3~8）。在本节中，我们另考虑特征尺寸ρ₀ > λ的极端情形，对应电大尺寸微结构，如等离激元涡旋透镜[21‒22,53]或等离激元多边形光栅[7,41‒42]。此类结构通常用于生成多路复用光学奇点[22]及光学晶格[42]。在后续讨论中，我们保持第3.3节中所有参数不变，但使ρ₀= 8λ，并通过A₁不可约表示的辐射场（图10）阐明ρ₀从λ/8增至8λ的效应。由式（13）可知，当ρ₀达数倍波长量级时，高阶分波（即q = ±1，…）的权重不可忽略，此时高阶光学奇点开始显现。从图10可以清晰看到这一点。首先，我们着重关注电场分量中的多路复用奇点，即 $E z 、 E φ 、 E ρ 、 E +$ 和 $E -$ [图10（a）~（e）]。除最低阶模式（q = 0情形）外，q = ±1阶奇点同步显现，其位置分别由图10（a）的白色实线圆及图10（b）~（e）的黑色圆圈标注。如式（14）所预测并经图10（h）权重分布证实， $E z$ 、 $E φ$ 和 $E ρ$ 中高阶奇点的阶数为± 6。同时，根据式（15），在 $E +$ 和 $E -$ 分量中标示奇点的阶次分别为+5和-5，由此确定高阶偏振奇点阶次为-5 [式（16）及图10（f）、（g）]。此外，在图10（g）中，我们观察到拓扑荷为+1与-5的偏振涡旋界面处存在跃迁现象（图中红色虚线圆标示）。该跃迁导致图10（i）中光学畴壁的形成，其性质为气泡型光学斯格明子或类斯格明子矢量构型，而非图9所示的Néel型构型[7]。通过对比图10（a）与（f）中心区域的 $E z$ 和 $E | |$ 分量幅值分布，可解释从Néel型光学斯格明子到气泡型构型的转变。数值结果表明：随着径向尺寸ρ₀增大，等离激元涡旋透镜[22,53]等微结构可出现多路复用光学奇点，甚至多路复用的3D光学奇点（如斯格明子 [76]）。

需补充说明：对比图10（a）与图3中j = 0面板可知，随着ρ₀增大，E_z 分量倾向于形成光学晶格。据此，我们将ρ₀从8λ增至40λ，最终E_z 分量中形成六边形光学晶格[图11（a）、（b）]。此结果可应用于量子态弗洛凯工程（如玻色-爱因斯坦凝聚[77]）。光学晶格的形成可以从两个角度阐释。第一，光学晶格的形成可以解释为E_z 分量中多路复用相位奇点的干涉叠加。图10（h）表明，图10（a）中晶胞较少的（准）光学晶格实为拓扑荷分别为0、± 6的三个标量涡旋叠加态。此外，图11（c）表明图11（a）中的（准）光学晶格实为拓扑荷为0、± 6、± 12、± 18、± 24的九个标量涡旋叠加态。从另一个角度来看，如参考文献[77‒79]所述，光学晶格可视为六电偶极子辐射球面波干涉的结果。此处探讨的光学晶格可以进一步构建更复杂的矢量光学晶格（如光学斯格明子晶格[7]）。值得注意的是，图11（c）中的拓扑荷以旋转对称维数M（此处M = 6）为间距等距分布，该特性在光学涡旋纳米筛[25,43]应用中具有重要价值。由于篇幅限制，本文讨论仅限于A₁不可约表示，其他不可约表示的相关结果将另文探讨。

4 光学奇点的激发

为完整论证，我们将重心放在如何构造适配的入射场以选择性激发对称微结构所支持的特定光学奇点（如第3节所述）。为此，将式（5）的投影算子应用于控制光-微结构相互作用的主方程[式（1）]，并考量式（7）的对易关系：

Z j i Γ r = P i Γ E i n c r

（17）

式（17）表明：为激发属于不可约表示Γ第i维度的本征电流 $j i Γ$ ，给定的入射场必须在同一表示的相同维度上具有非零投影分量

P i Γ E i n c r ≠ 0

（18）

此时，我们称入射场的对称性与不可约表示匹配。特殊情况下，若入射场在投影算子作用下保持不变，即

P i Γ E i n c r = E i n c r

（19）

则属于同一不可约表示相同维度的本征电流及其辐射次级场（即本征模）将完全由该入射场激发。式（18）及式（19）的条件可快速应用于等离激元涡旋透镜中等离激元涡旋的SOI过程，由此导出对称性匹配的角动量守恒关系，该关系可作为片上等离激元涡旋源[43,53]的激发选择定则，指导入射拉盖尔-高斯模式的设计。类似选择定则同样适用于光场轨道角动量向超材料等离激元激发的转移过程[52]。

为明确展示所提理论方案的可行性，我们设计了一个类似于图1（b）的等离激元多边形微结构。该结构在定制化拉盖尔-高斯模式激发下可产生等离激元涡旋及拓扑准粒子[7,79]。全波仿真结果见附录A中的第S5节图S1，结果充分验证了我们的理论方案（详见第S5节）。

5 结论

总之，我们提出了一种统一研究框架，用于系统分析具有旋转与镜像对称性的光子微结构中的多维光学奇点。通过探讨光-微结构相互作用与结构对称性的相互作用机制，我们依据对称特征对本征电流与本征模进行分类，并建立电偶极子模型以研究本征模的拓扑特性。本征模各分量中呈现了多维光学奇点，具体包括： $E z$ 、 $E φ$ 、 $E ρ$ 、 $E R$ 及 $E L$ 分量中标量涡旋模的相位奇点； $E | |$ 分量中偏振涡旋模的偏振奇点； E 中的光学斯格明子及类斯格明子矢量构型。本节围绕偶极子模型关键参数（半径ρ₀）展开深入讨论，旨在阐明：光子微结构尺寸对光学奇点（如复用相位/偏振奇点）的调控机制；从Néel型光学斯格明子到气泡型光学斯格明子的构型转换；以及光学晶格的形成原理。最后，我们建立了激发特定光学奇点的对称性匹配条件。

本文提出的方案不仅限于光学/电磁系统，还可推广至声学或量子系统等其他波场体系，用于研究相关波场中的奇点现象（其理论基础在于对称群的投影算子与支配系统动力学的算子间的对易关系）。作为示例，我们将当前工作中的阻抗算子替换为系统哈密顿量，并对量子系统辐射的相位奇点进行讨论[31‒33]。本研究建立了微结构对称性与其辐射场拓扑特性的内在联系，提出了基于对称性视角的多维光学奇点生成理论，并推动了对光学纽结、链环奇点等新型光学奇点的探索。所提出的理论框架还可进一步扩展至如下领域：光子晶体缺陷诱导的多维奇点生成研究[44‒45]以及光-微结构非线性相互作用中的自旋-轨道耦合奇点形成机制[39]。

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摘要

Abstract

关键词

Key words

引用本文

1 引言

2 基于对称性原理的光-微结构相互作用的理论框架

2.1 光-微结构相互作用的电场积分方程（EFIE）形式体系

2.2 旋转与镜像对称性的群表示理论

2.3 对称性与光-微结构的相互作用机制

3 对称性分类本征电流辐射场中的光学奇点

3.1 一种用于提取共性对称特征的电偶极子模型

3.2 本征偶极子分布辐射中的光学奇点

3.3 电小尺寸微结构中的标量涡旋、偏振涡旋与3D光学奇点

3.4 电大尺寸微结构中的多路复用光学奇点

4 光学奇点的激发

5 结论

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1 引言

2 基于对称性原理的光-微结构相互作用的理论框架

2.1 光-微结构相互作用的电场积分方程（EFIE）形式体系

2.2 旋转与镜像对称性的群表示理论

2.3 对称性与光-微结构的相互作用机制

3 对称性分类本征电流辐射场中的光学奇点

3.1 一种用于提取共性对称特征的电偶极子模型

3.2 本征偶极子分布辐射中的光学奇点

3.3 电小尺寸微结构中的标量涡旋、偏振涡旋与3D光学奇点

3.4 电大尺寸微结构中的多路复用光学奇点

4 光学奇点的激发

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