幅频时变内电势激励下网络功率响应多时间尺度特性分析

胡家兵; 文伟仲; 李英彪; 刘星; 郭剑波

doi:10.1016/j.eng.2024.12.015

Engineering ›› 2025, Vol. 51 ›› Issue (8) : 49 -61. DOI: 10.1016/j.eng.2024.12.015

研究论文

幅频时变内电势激励下网络功率响应多时间尺度特性分析

胡家兵 ^a ,
文伟仲 ^a ,
李英彪 ^a ,
刘星 ^b ,
郭剑波 ^c

作者信息 +

A Multi-Timescale Characteristics Analysis of the Network Power Response Excited by Voltage with Time-Varying Amplitude and Frequency

Jiabing Hu ^a ,
Weizhong Wen ^a ,
Yingbiao Li ^a^,^* ,
Xing Liu ^b ,
Jianbo Guo ^c ,

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摘要

网络功率响应的动态特性对电力系统稳定性至关重要。然而，电力电子设备的接入导致动态过程中节点内电势的幅值和角频率（简称“频率”）呈现时变特性。这使得基于相量和阻抗的传统网络功率响应计算方法及响应特性分析方法受到挑战。为此，本文依据电感上电压和电流的原始数学关系及叠加阶跃响应的思想，通过数学推导揭示了幅频时变内电势激励下网络的功率响应特性。进而，从物理层面探讨了网络有功与无功功率的多时间尺度响应特性。此外，本文揭示了幅频时变内电势激励下感性网络有功和无功功率存储与释放的新现象。为满足实际工程需求，文中给出了幅频时变内电势激励下功率响应的简化表达式；最后，通过时域仿真验证了理论分析的正确性。

Abstract

The dynamics of network power response play a crucial role in system stability. However, the integration of power electronic equipment leads to amplitude and angular frequency (abbreviated as “frequency”) time-varying characteristics of the node voltage during dynamic processes. As a result, traditional calculation methods for and characteristics of the power response of the network based on phasor and impedance lose their validity. Therefore, this paper undertakes mathematical calculations to reveal the power response of a network under excitation by voltage with time-varying amplitude and frequency (TVAF), relying on the original mathematical relationships and superimposed step response. Then, the multi-timescale characteristics of both the active and reactive power of the network are explored physically. Additionally, this paper reveals a new phenomenon of storing and releasing the active and reactive power of the network. To meet practical engineering requirements, a simplified power expression is presented. Finally, the theoretical analysis is validated through time-domain simulations.

关键词

网络功率响应 / 幅值与频率时变的电势 / 多时间尺度特性 / 电力电子设备

Key words

Power response of network / Voltage with time-varying amplitude and frequency / Multi-timescale characteristics / Power electronic equipment

引用本文

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胡家兵,文伟仲,李英彪,刘星,郭剑波. 幅频时变内电势激励下网络功率响应多时间尺度特性分析[J]. 工程（英文）, 2025, 51(8): 49-61 DOI:10.1016/j.eng.2024.12.015

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1 引言

可再生能源发电及其他电子设备在电力系统中的重要性日益凸显。在某些区域，可再生能源发电占比已超过传统同步机发电[1]。然而，电力系统中发电设备物理对象的转变，也带来了机理尚不明确的稳定性问题[2‒3]。从电力系统运行的第一性原理出发，系统的动态特性是由设备的内电势动态与网络在内电势激励下的功率动态共同决定的。但现有研究多聚焦于设备特性，而忽视了对网络响应功率动态的分析。因此，有必要针对电力电子设备激励下的网络功率响应进行深入分析。

在传统电力系统中，大部分电力设备为同步发电机。由于同步发电机转子惯性较大，在动态过程中可假定其转子转速保持恒定不变。因此，在系统动态过程中，同步发电机内电势的幅值与角频率（简称“频率”）亦可视为恒定。在传统电力系统稳定性分析中，基于阻抗和相量的网络功率计算方法已得到广泛应用。然而，随着并网电力电子设备占比的不断提升，在电力电子设备主导的新型电力系统中，以换流器为基础的电力电子设备将决定节点电压的幅频特性。与同步发电机显著不同的是，电力电子设备的低惯量特性导致其内电势在动态过程中呈现幅值与频率的时变特性[4‒5]。例如，在新疆维吾尔自治区某风电基地的110  kV人工不对称短路试验中，故障电流的幅值与频率均呈现出显著的时变特征，如图1（a）[6]所示。类似地，在河北省张北某可再生能源基地，如图1（b）所示，一次6  Hz的扰动导致网络电压幅值与频率均出现明显的时变动态现象。由此可见，系统中节点幅值和频率的时变特征正日益受到关注[7]。换言之，在系统动态过程中，内电势的幅频时变特性不可忽视。更重要的是，设备内电势的幅频时变特性还会引发网络有功/无功功率的动态变化，这些变化反过来又会反馈至设备，导致其内电势产生更为复杂的动态变化。

相较于传统电力系统，网络的功率响应特性已发生显著变化。然而，由于内电势的幅值与频率不再恒定，基于相量与阻抗模型的传统网络功率响应计算方法的适用性遇到挑战。综上所述，对于电力电子设备主导的新型电力系统，重新计算并分析幅频时变内电势激励下的网络功率响应特性，对于系统动态分析具有重要意义。

根据上述分析可知，在电力电子设备主导的电力系统的动态分析中，传统的准稳态假设已明显不再适用[8‒9]。虽然基于傅里叶级数的动态相量法能够利用频域分量捕捉幅值和频率的动态特性，但其仅适用于周期信号，且所求得电流与功率的物理意义不够清晰[10‒11]。类似地，文献[12]通过贝塞尔函数将内电势分解为各频率分量的叠加形式以求解网络功率。该方法同样限于求解周期信号，且无法直接反映内电势动态幅值/频率对功率响应的物理影响。文献[13]提出了具有幅频时变特性的相量与矢量模型，但研究仅限于对电气量的描述。在此基础上，文献[14]采用分部积分法求解幅频时变内电势激励下的网络电流与功率响应。然而，由于二次及高阶项计算困难，文献[14]的方法更适用于振荡频率低于10  Hz的动态分析，且未能全面阐释不同节点对支路功率响应的影响。显然，现有方法难以满足电力电子主导的电力系统动态分析的需求。此外，上述研究均未完全明确网络功率响应动态的物理特性。因此，本文聚焦于幅频时变内电势激励下网络功率响应特性研究，主要贡献如下：

（1）从数学与物理层面揭示了幅频时变内电势激励下网络功率响应的多时间尺度特性；

（2）发现了幅频时变内电势激励下电感网络中有功和无功功率存储与损耗的新现象。

本文后续内容如下：首先，基于电感上电压和电流的原始数学关系，采用叠加阶跃响应方法求解单节点网络的响应电流，并分析其时变特性；其次，从数学与物理角度揭示感性网络功率传输特性及多时间尺度特性，阐明内电势幅值与频率动态对网络功率响应多时间尺度的影响；同时，为便于实际工程应用，给出网络电流及有功/无功功率的简化数学表达式；随后，开展了复杂网络的功率响应计算，分析其功率动态特性；最后，通过仿真案例研究验证前述推导与理论分析。

2 单节点电感网络的电流响应

为研究网络功率特性，须首先揭示网络电流响应的特征。在实际电力系统中，网络形式复杂多样。然而，通过星形-三角形网络变换方法与集总参数模型[15]，可将复杂网络简化为图2所示的等效形式。根据叠加定理，复杂网络的电流响应可简化为由两侧节点内电势激励产生的各支路电流的叠加。因此，分析网络功率响应时，必须计算单侧内电势激励下的支路电流。

由于内电势幅值和频率的动态变化，传统的相量模型和阻抗模型已不再适用。在这种情况下，基于网络元件中电压与电流的数学关系来求解电流响应变得十分困难。如式（1）所示，电流响应表达式中的振荡积分无法通过有限且精确的数学表达式求解，这是应用数学领域数百年来已知的难题[14,16]。为此，本文对叠加阶跃响应方法进行改进，用以计算电流响应[17]。

I L (t) = 1 L ∫ E (t) c o s ∫ ω (t) d t + φ d t

（1）

式中，E(t)和ω(t)分别表示电压的幅值和频率；t代表时间；φ为初始相角；I_L (t)表示电感网络的电流响应；L为网络的电感。

2.1 电流响应数学表达式

2.1.1 电压旋转矢量模型

矢量模型是一种能提升计算效率的基本数学模型。文献[13]建立了具有幅频时变特性的矢量模型。 E (t)是在abc三相坐标平面内旋转的电压矢量，其长度和旋转角速度均随时间变化，其数学表达式表示如下：

E (t) = E (t) e j ∫ ω (t) d t + φ = E (t) e j θ (t)

（2）

式中，j为虚数单位；θ(t)是电压矢量的时变相角。

E (t) = E 0 + υ (t) ω (t) = ω 0 + μ (t)

（3）

式中，E₀和ω₀分别为电压幅值及频率的直流分量；

υ (t)

和μ(t)分别为电压幅值及频率的时变分量。

2.1.2 数学推导

对于一个任意网络，若在τ时刻收到一个阶跃电压E·ε(t - τ)的激励，则其电流响应表达式i(t)如式（4）所示。其中ε(t - τ)为赫维赛德函数。

i (t) = E ⋅ A (t - τ)

（4）

式中，A(t - τ)为电压激励与网络电流响应的比值，可以被称作“过渡导纳”[17]。

图3展示了一个交变电压e(t)的波形。电压初始值为e(0)。基于叠加阶跃激励的思想，在每个时间步长Δt后，基于原始电压叠加一个幅值为Δ _me的阶跃电压，直至时间t，可以形成完整的e(t)波形（其中m为步数）。因此，响应电流可表示为

i (t) = l i m Δ t → 0 ∑ m = 0 ∞ Δ m e ⋅ A (t - m Δ t) = l i m Δ t → 0 ∑ m = 0 ∞ e' (m Δ t) ⋅ A (t - m Δ t) ⋅ Δ t = ∫ 0 ∞ e' (τ) A (t - τ) d τ = ∫ 0 ∞ e (τ) A' (t - τ) d τ

（5）

利用积分的原始数学思想将式中的无穷级数形式转换为积分形式，如下式所示：

e' (m Δ t) ⋅ A (t - m Δ t) = f (m Δ t)

（6）

l i m Δ t → 0 ∑ m = 0 ∞ f (m Δ t) Δ t = ∫ 0 ∞ f (τ) d τ

（7）

式中，e'为电压的导数表达式；A'为过渡导纳的导数表达式；f(·)代表了一个函数。

由于表达式不涉及激励电压的具体波形及特定元件的电压-电流关系，式（5）适用于计算任意形式电压激励下网络的响应电流。因此，将式（2）代入式（5）即可得到网络电流响应 I (t)，具体如下：

I (t) = ∫ 0 ∞ H (t, τ) e - j ω 0 τ A' (τ) d τ ⋅ E (t) e j ∫ 0 t ω (τ 1) d τ 1 + φ

（8）

其中，

H (t, τ) = E (t - τ) / E (t) e - j ∫ 0 τ μ (t - τ 1) d τ 1

（9）

式中，H(t,τ)为τ = 0处的泰勒级数展开项。因此，式（8）可变换为

I (t) = E (t) Y (j ω 0) + 1 E (t) ∑ n = 1 ∞ - j n n! G n (t) d n Y (j ω) d ω n ω = ω 0

（10）

式中，Y(·)为稳态导纳；n表示泰勒级数展开的项数，n∈N⁺；G_n (t)可由旋转矢量 E (t)的时变幅值/频率项及其高阶导数表示，具体如下：

G n (t) = ∑ k = 0 n j k C (n, k) ⋅ M k (t) d n - k E (t) d t n - k M k (t) = 1 (k = 0) μ (t) (k = 1) μ (t) - j d d t M k - 1 (t) (k = 2,3, 4 ⋯)

（11）

式中，C(n,k)为二项式项数，k∈N；M_k (t)是包含电压时变频率及其高阶导数的中间过渡项。

在式（10）中，Y(jω₀)的表达式可由正弦稳态电压矢量表达式得到，即将式（12）带入式（5）。所得电流如式（13）：

E = E e j (ω 0 t + φ)

（12）

I = ∫ 0 ∞ e - j ω 0 τ A' (τ) d τ ⋅ E e j (ω 0 t + φ)

（13）

由式（13），基于阻抗模型的基本思想，可得一个稳态导纳的新表达形式，如式（14）：

Y (j ω 0) = ∫ 0 ∞ e - j ω 0 τ A' (τ) d τ

（14）

在本文研究的纯电感网络中，其具体形式如下：

Y (j ω 0) = 1 j ω 0 L

（15）

基于上述方法，前述包含振荡积分的电流响应表达式可以转化为无穷级数形式的代数方程，以求得近似解。

2.2 电流响应的物理意义

图4为所研究的单节点内电势激励三相系统，其中的支路为等效电感支路。此系统为图2所示复杂系统的一个基本结构单元。

图4中，节点内电势 E (t)激励网络产生响应电流 I (t)。将式（15）代入式（10）可得电流响应表达式如式（16）所示。

I (t) = ∑ n = 0 ∞ I n (t) = ∑ n = 0 ∞ I m j n G n (t) ω 0 n + 1 L + R e j n G n (t) j ω 0 n + 1 L e j θ (t)

（16）

式中，Im[·]和Re[·]分别表示取表达式的虚部和实部。

式（16）中电流 I (t)的矢量图如图5（a）所示。电流的初始项为 I₀(t)。随着泰勒级数展开阶数的增加，后续电流项依次为 I₁(t)至 I_n (t)。如式（16）所示，每个电流均可分类为两项，分别与电压矢量正交和平行。本文所述的“垂直或正交”概念，是指任意时刻两个矢量均保持90°的相位角差；类似地，“平行”概念则指任意时刻均保持0°/180°的相位角差。该概念同样适用于具有幅频时变/时不变特性的电压/电流，即独立于矢量幅值与频率的时变特性。

分类后的电流矢量图如图5（b）所示。相对于 E (t)的空间位置， I (t)包含两部分电流矢量：

I (t) = I p a (t) + I p e (t) = A p a (t) e j θ (t) + A p e (t) e j θ (t) - π / 2 = A p a 2 (t) + A p e 2 (t) ⋅ e j θ (t) - a r c t a n A p e (t) A p a (t)

（17）

式中， I_pa(t)和 I_pe(t)分别为电流无穷级数表达式中平行和正交于 E (t)的电流矢量的总和。故 I_pa(t)和 I_pe(t)的时变频率时刻保持与 E (t)的频率相同。此外， I_pa(t)和 I_pe(t)的时变幅值分别为A_pa(t)和A_pe(t)，其具体表达式如下：

A p a (t) = ∑ n = 0 ∞ I m j n G n (t) ω 0 n + 1 L A p e (t) = ∑ n = 0 ∞ R e j n G n (t) ω 0 n + 1 L

（18）

根据式（17）与式（18），在幅频时变电压激励下，电感网络的响应电流具有以下特征。

首先，响应电流的幅值呈现时变特性，其变化与激励电压的幅值/频率时变项及其高阶导数相关。

其次，响应电流的频率也随时间变化。电流可分解为与电压垂直和平行的分量，两者均与电压具有相同的瞬时频率。整体频率受电压的幅值、频率时变项及其高阶导数的影响。

最后，由于电流垂直分量与平行分量幅值的时变特性，电压与响应电流之间的夹角随时间变化。因此，激励电压矢量与响应电流矢量不再保持正交关系。

激励电压的幅频时变特性对电感网络中电压与响应电流关系的传统理解提出了挑战。电压与电流之间相角的变化，必然改变系统响应有功功率与无功功率的特性。

3 单节点电感网络功率响应的多尺度特性

为了更深入地探究网络的功率特性，幅值和频率的振荡形式被认为是随时间的正弦调制[14]：

E (t) = E 0 + υ (t) = E 0 + A E s i n (ω E t + φ E) ω (t) = ω 0 + μ (t) = ω 0 + A ω s i n (ω ω t + φ ω)

（19）

式中，A_E 、ω_E 和φ_E 分别是电压时变幅值动态分量的幅值、频率和初始相角；A_ω 、ω_ω 和φ_ω 分别是电压时变频率动态分量的幅值、频率和初始相角。

将式（19）带入式（18），由三角函数的基本性质，A_pa(t)和A_pe(t)中包含了三类频率成分：ω_E 、kω_ω 和(ω_E ± kω_ω )，其中k∈N⁺。A_pa(t)和A_pe(t)可以以如下形式描述：

A p a (t) = a E c o s (ω E t + φ k 1) + ∑ k = 1 ∞ a k ω c o s (k ω ω t + φ k ω) + ∑ k = 1 ∞ a k ± c o s [(ω E ± k ω ω) t + φ n ±] A p e (t) = E 0 ω 0 L + b E s i n (ω E t + φ k 1) + ∑ n = 1 ∞ b k ω s i n (k ω ω t + φ k ω) + ∑ k = 1 ∞ b k ± s i n [(ω E ± k ω ω) t + φ k ±]

（20）

式中，a_E 、a_kω 、a_k± 、b_E 、b_kω 、b_k± 、φ_k₁、φ_kω 和φ_n± 都是时不变参数。

3.1 网络响应功率的数学表达式

本研究针对三相网络的响应功率特性展开分析。有功功率P(t)描述了从电气设备传输至网络，并最终由负载转换为其他形式能量的部分；无功功率Q(t)则表示用于建立磁场和维持三相动态平衡的能量，即在网络内部传输的能量，如图6 [18]所示。因此，网络中流动的电流也包含两个分量：其一是有功电流 I_P(t)，表示在电气设备与网络之间传输能量，该部分电流形成的功率与三相系统的瞬时功率相同；其二是无功电流 I_Q(t)，负责在网络内部进行能量交换，其形成的三相功率之和应为零。根据上述功率的基本物理概念，有功电流与无功电流应具有以下特征：

E (t) ⋅ I P (t) = E (t) ⋅ I (t) E (t) ⋅ I Q (t) = 0 I P (t) + I Q (t) = I (t)

（21）

因此，以电压矢量的空间位置为基准，与其平行的电流矢量分量代表有功电流分量，而与其垂直的分量则代表无功电流分量。相应地，式（17）中的两个电流分量分别对应网络的有功电流与无功电流： I_pa(t) =I_P(t)， I_pe(t) = I_Q(t)。因此，在幅频时变电压激励下，网络的有功功率与无功功率可分别由式（22）和式（23）表示：

P (t) = 32 E (t) I p a (t) = 32 E (t) A p a (t)

（22）

Q (t) = 32 E (t) I p e (t) = 32 E (t) A p e (t)

（23）

3.2 网络响应功率的多尺度特性

根据式（22）与式（23），网络响应有功功率与无功功率均呈现时变性。其特性由E(t)、A_pa(t)与A_pe(t)的时变特性共同决定。如式（20）所示，A_pa(t)和A_pe(t)包含三类频率分量，而E(t)则包含直流分量及频率为ω_E 的时变分量。因此，有功功率与无功功率共包含五类频率分量：ω_E 、2ω_E 、kω_ω 、(ω_E ± kω_ω )以及(2ω_E ± kω_ω )。图7通过计算过程追溯了各频率功率分量的形成路径，其中相同序号的连线代表同一频率分量的形成过程。

网络有功功率与无功功率的传输特性从根本上由激励电压的幅频时变特性所决定。

3.2.1 有功功率特性

有功功率包含五类频率分量，如图7所示。当k值增大时，相应分量的频率也随之升高。当激励电压的幅值与频率为时不变时，所有频率分量均为零，这与传统电力系统分析的结论一致。然而，在激励电压幅频时变的条件下，电感中会出现有功功率的存储与释放，且具有时变特性。

3.2.2 无功功率特性

无功功率包含时不变分量Q₀与时变分量Q_t。其中Q₀的表达式如式（24）所示。

Q 0 = 32 E 02 ω 0 L + A E 2 2 ω E L ∑ n = 0 ∞ ω E ω 0 2 n + 1

(24)

从数学上来看，Q₀的产生源于E(t)与A_pe(t)中频率相同且相位一致的正弦分量，而A_pa(t)中的同相分量则存在π/2的相位偏移。

Q_t 的频率成分与有功功率相同。无功功率中同样包含多种基于k值的快尺度分量。当激励电压的幅值与频率为时不变时，Q_t 变为0，且Q₀的取值与传统电路分析的结论一致。然而，当A_E 与A_ω 不为0时，在幅频时变电压激励下，Q₀增大且仅与电压幅值的时变特性相关——即式（24）的第二项；Q_t 则变为时变量，且与电压幅值和频率的时变特性均相关。

3.2.3 电感网络能量传输特性分析

综上所述，在幅频时变电压激励下，电感网络内的能量传输呈现以下特征。

首先，在电感网络上发生了有功功率的存储与释放过程。在幅频时变电压激励下，电感网络中出现了时变的有功功率，这对传统电力系统分析的认知提出了挑战。这表明电气设备与电感网络之间存在能量交换，且该交换受到电压幅值与频率时变参数的影响。

其次，三相之间的能量交换增强。在幅频时变电压激励下存在时变的无功功率，意味着三相网络内部持续进行着能量交互。该交互能量的幅值既包含时不变分量，也包含时变分量，且均受电压幅频时变特性的影响。

最后，在特定时间尺度（ω_E 与ω_ω ）内电势幅频时变特性的影响下，有功功率与无功功率均呈现出多尺度特性，包含ω_E 、2ω_E 、kω_ω 、(ω_E ± kω_ω )和(2ω_E ± kω_ω )这5类频率分量。

总之，受到扰动后电压的幅频时变动态特性会调控网络功率，产生多时间尺度的动态有功与无功功率。电气设备与网络之间以及网络内部能量交换的加剧，给故障保护与系统稳定性带来了重大挑战。

4 功率响应的简化表达式及其幅值特性

前述小节所计算的功率以无穷级数叠加形式表示，在实际工程应用中较难直接使用。因此，须在电流级数收敛的范围内对其进行简化。本节利用通式对简化后的电流表达式进行描述，并分析简化后功率的特性。

4.1 简化电流表达式

由式（16）及式（18）可知，整个电流序列的收敛性取决于A_pa(t)和A_pe(t)的收敛性。由无穷级数的性质，A_pa(t)和A_pe(t)的收敛区间可由下式决定：

∑ A n (t) = ∑ n = 0 ∞ G n (t) ω 0 n + 1 L = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n C (n, k) M k (t) E (t) (n - k) ω 0 n + 1 L

（25）

式中忽略了电流级数表达式中的虚数单位，不影响整体收敛性。

取A_n (t)的绝对值并按以下形式缩放：

∑ A n (t) < ∑ n = 0 ∞ 2 n (n + 1) · n! n 2! 2 E 0 + A E ω E n ω 0 n + 1 L

（26）

式中，令n为偶数，且ω_E 的值大于ω_ω 与A_ω 的值。在n为奇数或ω_E 的值小于ω_ω 与A_ω 的情况中，结论类似。具体的缩放过程如附录A中的式（S1）所示。

由式（27），当满足式（28）中的条件时，级数根据无穷级数的D'Alembert检验规则收敛。因此，基频ω₀对级数的收敛速度有决定性的影响。

l i m n → ∞ A n + 1 (t) A n (t) = 4 ω E ω 0 < 1

（27）

m a x [A ω, ω ω, ω E] < ω 0 / 4

（28）

当满足上述收敛条件时，式（16）中的电流可由级数中的主导项近似描述。首先，随着n增大，相应电流项的幅值减小，在总电流中所占比例降低。其次，在实际工程场景中，由于E₀相对于其他时变参数较大，当n固定时，含有E(t)的电流项占据主导地位。因此，通过保留主导电流分量，可获得式（29）形式的简化表达式 I_s(t)。式（29）各项与式（16）的对应关系可通过n和k的取值确定，即对应于式（16）中第n阶泰勒级数展开所得的第k项。式中上标“(n)”表示n阶导数，E(t)与μ(t)的时变形式如式（19）所示。

I (t) ≐ I s (t) = E (t) ω 0 L e j [θ (t) - π 2] + E (t) ∑ n = 0 ∞ 1 ω 0 n + 2 L E (t) (n + 1) E (t) e j [θ (t) + (n - 1) π 2] + ∑ k = 1 ∞ (- 1) k [μ k (t)] (n) j ω 0 k - 1 L e j [θ (t) + (n - 1) π 2]

(29)

简化后的电流表达式具有以下特点与优势。首先，表达式保留了电流的主导项，形式更为简洁，且可通过选择截断阶数以满足工程计算的精度要求。式（29）完整包含了在总电流中占比显著的分量，因此在式（28）定义的适用范围内，简化表达式具有较高的准确性。在实际工程应用中，当A_ω 、ω_E 和ω_ω 较小时，较小的k值即可满足精度需求；随着A_ω 、ω_E 和ω_ω 增大，高阶电流项在总电流中的占比变得更为显著，此时需要更大的n值以准确描述电流。其次，表达式保留了电流中的所有频率成分，可满足稳定性机理分析的需求。式（29）的数学特性准确反映了电压幅频时变特性对响应电流的影响。最后，式（29）能够体现电压幅频时变特性及其高阶导数对电流的影响。式（29）的第一部分表征了传统阻抗定义对电流的影响；后续各项[即式（29）的第二部分]则代表幅频时变特性的高阶导数对电流的影响，这部分无法用传统阻抗定义进行描述。

将式（19）代入式（29），可得到按频率排序的 I_s(t)幅值表达式，如附录A中的式（S2）所示。由于仅考虑k = 1的情况，原始电流中的高阶频率成分被忽略。因此，A_pa(t)和A_pe(t)的主导频率包含直流分量及三类频率成分：ω_E 、ω_ω 和ω_E ± ω_ω。

对于n = 2、k = 1的电流， I_s(t)的主导分量可表示如下：

I s (t) = A p e (t) e j θ (t) - π / 2 + A p a (t) e j θ (t) ≐ E (t) ω 0 L - E (t) μ (t) ω 02 L e j [θ (t) - π 2] + E' (t) ω 02 L - E (t) μ' (t) ω 03 L e j θ (t)

（30）

如式（30）所示，A_pe(t)主要受 E (t)的幅频时变特性影响。A_pa(t)主要受 E (t)的幅频时变特性的高阶导数影响。

4.2 功率简化表达式

根据式（22）、式（23）及式（29），可推导出如式（31）所示的有功功率P_s(t)与无功功率Q_s(t)的简化表达式。此表达式能较好地反映前文所列的整体有功与无功功率特性，并具有较高的精度。

P s (t) = 32 E (t) ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 E (t) (2 n - 1) ω 0 2 n L + ∑ k = 1 ∞ (- 1) k E (t) [μ k (t)] (2 n - 1) ω 0 k + 2 n L Q s (t) = 32 E (t) ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 E (t) (2 n - 2) ω 0 2 n - 1 L + ∑ k = 1 ∞ (- 1) k E (t) [μ k (t)] (2 n - 2) ω 0 k + 2 n - 1 L

（31）

将式（19）代入式（31），并考虑k = 1的情况，按频率排序后的详细表达式前4项如附录A中式（S3）与式（S4）所示。随后，我们继续分析占比较大的五种频率成分，如表1所示。此处，变量n的物理与数学含义与式（29）中保持一致。

有功功率与无功功率包含相同的频率成分，且各频率成分对应的幅值具有相似的特征，具体如下。

首先，与ω_E 相关的频率成分幅值仅与电压幅值的时变参数有关。

其次，与ω_ω 相关的频率成分幅值仅与电压频率的时变参数有关。

最后，当n = 2 时，式（31）的主导功率分量可表示如下：

P s (t) = 32 E (t) E' (t) ω 02 L - E 2 (t) μ' (t) ω 03 L Q s (t) = 32 E 2 (t) ω 0 L - E 2 (t) μ (t) ω 02 L

（32）

式中，Q_s(t)主要受 E (t)的幅频时变分量影响；P_s(t)主要受 E (t)的幅频时变分量的高阶导数影响。

5 两节点激励电感网络功率特性

由图2可知，支路功率传输受到支路两端节点内电势的激励影响。图8为图2中的一条电感支路，其功率响应受两端节点x和y的激励，节点内电势分别为 E_x (t)和 E_y (t)。图8中有

E x (t) = E x (t) e j ∫ ω x (t) d t + φ x = E x (t) e j θ x (t) E y (t) = E y (t) e j ∫ ω y (t) d t + φ y = E y (t) e j θ y (t)

(33)

其中，

E x (t) = E 0_x + ε x (t) = E 0_x + A E_x s i n (ω E_x t + φ E_x) E y (t) = E 0_y + ε y (t) = E 0_y + A E_y s i n (ω E_y t + φ E_y) ω x (t) = ω 0 + μ x (t) = ω 0 + A ω_x s i n (ω ω_x t + φ ω_x) ω y (t) = ω 0 + μ y (t) = ω 0 + A ω_y s i n (ω ω_y t + φ ω_y)

（34）

式中，下标x和y表示该变量分别是节点x和y的内电势参数。

基于第2节的研究，支路的电流响应表达式可被推导，如下所示：

I (t) = I x (t) - I y (t) = [I P_x (t) + I Q_x (t)] - [I P_y (t) + I Q_y (t)] = [A p a_x (t) - j A p e_x (t)] e j θ x (t) + [A p a_y (t) - j A p e_y (t)] e j θ y (t)

（35）

式中， I_x (t)和 I_y (t)分别为电压e_x (t)和e_y (t)激励在支路产生的响应电流； I_P_{_x} (t)和 I_Q_{_x} (t)分别为e_x (t)激励产生电流的有功电流和无功电流分量； I_P_{_y} (t)和 I_Q_{_y} (t)分别为e_y (t)激励产生电流的有功电流和无功电流分量；A_pa_{_x} (t)、A_pe_{_x} (t)、A_pa_{_y} (t)和A_pe_{_y} (t)分别为电流 I_P_{_x} (t)、 I_Q_{_x} (t)、 I_P_{_y} (t)和 I_Q_{_y} (t)的时变幅值。

I (t)的时变特性由支路两端激励电压的幅值和频率特性决定。它包含了正交和平行于两端激励电压矢量的各电流分量矢量。故节点x内电势激励下的功率表达式可如式（36）及式（37）描述。

P x (t) = 32 E x (t) ⋅ I P_x (t) - I p a P_y (t) + I p a Q_y (t) = 32 E x (t) ⋅ A p a_x (t) - A p a_y (t) c o s δ + A p e_y (t) s i n δ

（36）

Q x (t) = 32 E x (t) ⋅ I Q_x (t) - I p e P_y (t) - I p e Q_y (t) = 32 E x (t) ⋅ A p e_x (t) - A p a_y (t) s i n δ - A p e_y (t) c o s δ

（37）

式中， I_paP_{_y} (t)和 I_peP_{_y} (t)分别为 I_P_{_y} (t)平行和正交于 E_x (t)的投影分量； I_paQ_{_y} (t)和 I_peQ_{_y} (t)分别为 I_Q_{_y} (t)平行和正交于 E_x (t)的投影分量；δ为两节点电压矢量间的时变相角，如下式所示：

δ = θ x (t) - θ y (t)

（38）

由式（36）及式（37）可知，节点x激励下的有功功率和无功功率分别由 I (t)在 E_x (t)平行和正交方向的投影决定，如图9所示。

令n = 2及k_x= k_y= 1，则P_x (t)和Q_x (t)中的主导分量如式（39）及式（40）所示。通过相似的分析过程可得节点y激励下的功率主导分量如式（41）及式（42）所示。

P x (t) = 32 E x (t) E y (t) ω 0 L s i n δ + E x (t) E x' (t) ω 02 L - E x 2 (t) μ x' (t) ω 03 L - E x (t) E y' (t) ω 02 L - E x (t) E y (t) μ y' (t) ω 03 L c o s δ - E x (t) E y (t) μ y (t) ω 02 L s i n δ

（39）

Q x (t) = 32 E x 2 (t) - E x (t) E y (t) c o s δ ω 0 L - E x 2 (t) μ x (t) ω 02 L - E x (t) E y' (t) ω 02 L - E x (t) E y (t) μ y' (t) ω 03 L s i n δ + E x (t) E y (t) μ y (t) ω 02 L c o s δ

（40）

P y (t) = 32 - E y (t) E x (t) ω 0 L s i n δ + E y (t) E y' (t) ω 02 L - E y 2 (t) μ y' (t) ω 03 L - E y (t) E x' (t) ω 02 L - E y (t) E x (t) μ x' (t) ω 03 L c o s δ + E y (t) E x (t) μ x (t) ω 02 L s i n δ

（41）

Q y (t) = 32 E y 2 (t) - E y (t) E x (t) c o s δ ω 0 L - E y 2 (t) μ y (t) ω 02 L + E y (t) E x' (t) ω 02 L - E y (t) E x (t) μ x' (t) ω 03 L s i n δ + E y (t) E x (t) μ x (t) ω 02 L c o s δ

（42）

本研究超越了对传统有功与无功功率的理解[即式（39）和式（40）的第一部分]，当支路受到两个节点的幅频时变电压激励时，节点的输出功率呈现以下特征。

首先，由某一节点产生的网络传输有功功率，不仅与两端电压的幅值和相位有关[如式（39）的第一项所示]，还与本节点电压幅值和频率时变分量的导数相关[如式（39）的第二项所示]。此外，它还与对端节点电压幅值和频率的时变项及其导数有关[如式（39）的其余项所示]。除第一项外的其他项导致两节点有功功率不平衡，从而引起网络中有功功率的存储。

其次，无功功率不仅与两端电压的幅值和相位有关[如式（40）的第一项所示]，还与本节点电压频率的时变分量相关[如式（40）的第二项所示]。同时，它也与对端节点电压幅值和频率的时变项及其导数有关[如式（40）的其余项所示]。

再次，网络的有功功率和无功功率均与两节点电压相位角差的正弦值和余弦值相关。

最后，由于节点电压幅值/频率的时变特性，式（39）与式（41）并不相等；换言之，网络中存在时变的功率存储与释放现象。

6 仿真案例

为验证所提出的电流与功率表示的适用性，本文采用PSCAD软件搭建了如图10所示的双电压源换流器（VSC），接无穷大母线系统进行仿真测试。VSC采用戴维南等效模型[19]进行等效，应用虚拟同步发电机（VSG）控制方法[20]；VSC1和VSC2的控制框图如图10所示，系统参数列于表2。节点1和节点2的内电势 E₁(t)与 E₂(t)分别由VSC1和VSC2提供，节点3的内电势 E₃(t)由无穷大电压源（V3）提供。电流i₁(t)、i₂(t)和i₃(t)均由电源流向各节点。

案例1：系统在2 s时刻发生功率扰动，导致系统出现不稳定运行问题。图11展示了VSC1和VSC2内电势的幅值与频率。扰动发生后，两者均表现出时变特性。14 s后，系统进入等幅振荡阶段[ω = ω_E = ω_ω =(10.67 × 2π) rad·s^-1]。

图12展示了当n = 4时，采用式（16）完整表达式（红色虚线）、静态关系（即阻抗表达式，绿色实线）以及仿真结果（蓝色实线）所得的波形对比。i₁(t)的a相电流如图12（a）所示。随着电压幅值与频率的振荡加剧，传统阻抗模型已无法满足电流计算的要求；相比之下，本文提出的方法能够准确描述全过程的电流变化。

根据式（36）和式（37）计算得到VSC1在节点1产生的有功/无功功率[P₁(t)和Q₁(t)]，以及VSC2在节点2产生的P₂(t)与Q₂(t)，如图12（b）~（e）所示。与实际仿真结果相比，本文提出的功率计算方法能准确描述节点输出的有功与无功功率。同时，与电流类似，随着电压幅值和频率振荡幅度的增大，静态表达式与实际仿真结果之间存在显著差异。在描述实际功率方面，本文所提方法明显比静态方法更精确，这凸显了基于阻抗的功率计算方法在电压幅频时变剧烈情况下描述网络动态特性的局限性。

受电压幅频时变特性影响，无功功率中的直流分量Q₀发生显著变化，而基于阻抗的计算方法无法得到此结果，如图12（c）和（e）所示。图12（f）和（g）展示了等幅振荡期间节点1输出有功功率与无功功率的频率成分。根据之前的理论分析，当n = 4时，功率包含直流分量、ω [(10.67 × 2π) rad·s^-1]、2ω [(21.34 × 2π) rad·s^-1]、3ω [(32.01 × 2π) rad·s^-1]及4ω [(42.68 × 2π) rad·s^-1]分量。功率仿真分析与理论分析结果一致，如图12（f）和（g）所示。这验证了在幅频时变电压激励下，网络功率的多时间尺度特性。此外，对于各频率分量的幅值，本文提出的完整功率表达式比静态表达式更为精确。

图13（a）展示了节点1（蓝线）、节点2（红线）和节点3（紫线）注入网络的有功功率及其功率差值（黑线）。在2 s前的稳态阶段，三个节点注入的有功功率相互平衡，网络中无功率存储。然而，扰动发生后，由于各节点内电势幅值与频率的振荡，三个节点注入的有功功率失去平衡，导致网络中产生时变的功率存储与释放现象。而这些结论无法通过静态方法获得。如图13（b）所示，静态方法得到的三节点功率差在扰动后始终为0。

图14展示了通过完整方法（红线）与静态方法（绿线）表达式得到的节点1与节点2之间的无功功率差ΔQ₁₂(t)。如图11（a）所示，由于节点2电压始终高于节点1，基于静态方法，无功功率应始终从节点2传输至节点1，且无功功率消耗始终为正，如图14所示。然而，如式（40）与式（42）所述，在幅频时变电压激励下，无功功率不仅与电压幅值相关，还与幅值和频率的变化率有关。如图14所示，这导致在某些时刻无功功率会从低电压节点传输至高电压节点，而静态方法无法捕捉这一现象。综上所述，图12至图14的内容验证了在幅频时变电压激励下网络中有功功率与无功功率的消耗特性。

如图11所示，在14 s后的等幅振荡过程中，节点1和节点2内电势的幅值与频率呈现出频率为(10.67 × 2π) rad·s^-1的正弦时变特性。因此，可采用式（29）、式（39）和式（40）中的简化电流与功率表达式来分析电流和功率。图15（a）~（c）展示了由简化电流与功率表达式（取n = 4，k = 1，红色虚线）、静态关系表达式（绿线）以及仿真结果（蓝线）得到的电流及有功/无功功率波形图。图15（a）和（d）分别显示了i₁(t)的a相电流及其电流幅值的频率成分。为便于观察，图15（a）仅给出了一个电流振荡周期内的波形。由于节点1和节点2内电势的幅值与频率振荡频率相同，图15（d）中的频率成分包含直流分量、ω [(10.67 × 2π) rad·s^-1]和2ω [(21.34 × 2π) rad·s^-1]分量。所提出的简化电流表达式与静态表达式相比保持了较高的准确性，同时涵盖了实际仿真电流的所有频率成分。

图15（b）和（c）展示了通过简化表达式得到的VSC1在数个振荡周期内产生的有功与无功功率。同样，简化功率表达式在动态过程中保持了较高的准确性，并涵盖了所有主导频率成分。其频率成分如图15（e）和（f）所示。有功与无功功率的频率成分包括直流分量、ω [(10.67 × 2π) rad·s^-1]、2ω [(21.34 × 2π) rad·s^-1]和 3ω [(32.01 × 2π) rad·s^-1]。在此情况下，有功功率与无功功率均包含直流分量。

案例2：上述案例验证了所提方法与理论在极端条件下的适用性。为使仿真模型更贴近实际工况，本研究在VSC控制中增加了R_v= 0.4 Ω的限流环节，其形式见文献[21]。调整VSC1/VSC2的惯性系数：T_j₁= T_j₂= 1。系统在2 s时发生功率扰动，导致不稳定运行问题。VSC1和VSC2内电势的幅频时变特性如图16所示。与案例1不同，案例2中VSC内电势的幅值与频率均以非正弦形式时变。此外，与案例1相比，案例2的振荡幅度更小，振荡频率更低。

图17展示了当n = 4时，采用式（16）完整表达式（红色虚线）、静态关系（绿线）以及仿真结果（蓝线）所得的波形对比。i₁(t)的a相电流如图17（a）所示。利用式（36）和式（37）计算得到VSC1在节点1产生的有功/无功功率[P₁(t)和Q₁(t)]，以及VSC2在节点2产生的P₂(t)和Q₂(t)，如图17（b）和（c）所示。如图17所示，与实际仿真结果相比，本文提出的电流与功率计算方法能够准确描述节点内的有功与无功功率。然而，静态表达式在此情况下却无法准确描述网络的电流与功率。案例2的仿真结果同样表明，所提方法突破了基于阻抗的方法在描述电压非正弦幅频时变条件下网络动态特性时的局限性。

图18展示了三个节点注入网络的有功功率。在2 s前的稳态阶段，网络中无功率存储。扰动发生后，由于各节点内电势幅值与频率的振荡，时变的有功功率揭示了网络中功率存储与释放的现象。这一现象可通过完整表达式（红色虚线）以及仿真结果（蓝线）捕捉，但无法通过静态方法（绿线）获得，因为静态方法得到的三节点功率差在扰动后始终保持为0。

7 总结

本文研究了在幅频时变电压激励下网络的功率响应特性，分析了网络有功/无功功率响应的幅值与频率动态特性，揭示了网络功率响应的多时间尺度特征，并进一步探讨了动态过程中网络功率的存储与传输特性。在此基础上，本文还给出了满足工程应用需求的网络功率响应计算公式。

（1）在幅频时变电压激励下，网络功率响应呈现出多时间尺度特性。网络功率的动态频率与激励源内电势幅值及频率的动态频率相关，具体表现为 ω_E 、2ω_E 、kω_ω 、(ω_E ± kω_ω )和(2ω_E ± kω_ω )等分量。

（2）不同频率动态功率响应的幅值与电压幅值及频率的时变项及其高阶导数相关。

（3）与传统电力系统中关于电感网络仅作为有功功率传输载体的认知不同，在幅频时变特性影响下，电感网络中会出现有功功率的存储与释放现象。

（4）与传统认为电力系统中无功功率始终从高电压节点向低电压节点传输的理解不同，在幅频时变特性影响下，无功功率的传输不仅与电压幅值有关，还与幅值及频率的变化率相关。在某些情况下，甚至可能出现无功功率从低电压节点向高电压节点传输的现象。

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