Crack-Net——一种预测颗粒增强复合材料中裂纹传播和应力-应变曲线的深度学习方法

徐浩; 樊卫; 阮乐成; 史润东; Ambrose C. Taylor; 张东晓

doi:10.1016/j.eng.2025.02.022

Engineering ›› 2025, Vol. 49 ›› Issue (6) : 149 -163. DOI: 10.1016/j.eng.2025.02.022

研究论文

Crack-Net——一种预测颗粒增强复合材料中裂纹传播和应力-应变曲线的深度学习方法

徐浩 ^a^,^b ,
樊卫 ^c ,
阮乐成 ^d ,
史润东 ^e ,
Ambrose C. Taylor ^c ,
张东晓 ^f^,^g

作者信息 +

Crack-Net: A Deep Learning Approach to Predict Crack Propagation and Stress-Strain Curves in Particulate Composites

Xu Hao ^a^,^b ,
Fan Wei ^c^,^* ,
Ruan Lecheng ^d ,
Shi Rundong ^e ,
C. Taylor Ambrose ^c ,
Zhang Dongxiao ^f^,^g^,^* ,

Author information +

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摘要

计算固体力学已成为工程领域中不可或缺的研究手段，因为复合材料已被广泛应用于各类结构工程中，对其断裂行为进行数值研究尤为重要。复合材料中的裂纹演化过程是阐明微观结构与断裂性能关系的关键途径，但基于裂纹的有限元方法计算代价高昂、耗时较长，限制了其在计算密集型场景中的应用。因此，本研究提出了一种名为Crack-Net的深度学习框架，用于即时预测复合材料的动态裂纹扩展过程及其应力-应变曲线。具体而言，Crack-Net引入了一种隐式约束技术，将裂纹演化与应力响应之间的关系融入网络结构之中。该技术在显著降低数据需求的同时，提高了预测精度。此外，通过迁移学习技术，Crack-Net能够处理具有不同增强体强度的复合材料。该框架基于来自相场模拟的高精度断裂演化数据集进行训练，能够应对多种复杂情形，包括具有不同界面、初始条件变化以及复杂弹塑性断裂过程的材料。所提出的Crack-Net框架在工程与材料科学等领域具有广阔的应用前景，在这些领域中，准确而高效的断裂预测对于优化材料性能与微观结构设计具有重要意义。

Abstract

Computational solid mechanics has become an indispensable approach in engineering, and numerical investigation of fracturing in composites is essential, as composites are widely used in structural applications. Crack evolution in composites is the path to elucidating the relationship between microstructures and fracture performance, but crack-based finite-element methods are computationally expensive and time-consuming, which limits their application in computation-intensive scenarios. Consequently, this study proposes a deep learning framework called Crack-Net for instant prediction of the dynamic crack growth process, as well as its strain-stress curve. Specifically, Crack-Net introduces an implicit constraint technique, which incorporates the relationship between crack evolution and stress response into the network architecture. This technique substantially reduces data requirements while improving predictive accuracy. The transfer learning technique enables Crack-Net to handle composite materials with reinforcements of different strengths. Trained on high-accuracy fracture development datasets from phase field simulations, the proposed framework is capable of tackling intricate scenarios, involving materials with diverse interfaces, varying initial conditions, and the intricate elastoplastic fracture process. The proposed Crack-Net holds great promise for practical applications in engineering and materials science, in which accurate and efficient fracture prediction is crucial for optimizing material performance and microstructural design.

关键词

复合材料断裂 / 裂纹演化 / 深度学习 / 建模

Key words

Fracture of composites / Crack evolution / Deep learning / Modeling

引用本文

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徐浩,樊卫,阮乐成,史润东,Ambrose C. Taylor,张东晓. Crack-Net——一种预测颗粒增强复合材料中裂纹传播和应力-应变曲线的深度学习方法[J]. 工程（英文）, 2025, 49(6): 149-163 DOI:10.1016/j.eng.2025.02.022

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1 引言

裂纹是工程应用中最常见的失效模式之一，因此，基于微观结构信息对断裂行为进行数值预测具有重要意义。对于广泛应用于航空航天、汽车、船舶、风电等领域的复合材料而言，这一问题尤为紧迫且复杂。利用复合材料的代表性体积单元（RVE）对裂纹演化进行建模，是连接微观结构与断裂特性的关键环节，有助于理解断裂机理并推动材料设计。与均质固体中的裂纹不同，复合材料中的裂纹演化因材料性质的不连续性及由此引发的多种增韧机制（如裂纹分叉、裂纹桥接和裂纹钉扎等）而更加复杂[1‒2]。基于裂纹的有限元方法（FEM），如内聚力模型[3‒4]、奇异单元模型[5‒6]、局部/非局部损伤模型[7‒10]、扩展FEM [11‒13]、相场裂纹方法[14‒17]、基于断裂的多尺度模型[18‒22]以及近场动力学[23‒24]等，已被广泛研究，通过模型模拟，研究人员对断裂过程获得了重要见解。然而，有限元（FE）模型的性能高度依赖于细致的网格划分和极小的时间步长，这使得其计算量大、耗时长。当需要进行成批模拟（如复合材料成分筛选与优化中的高通量计算）时，这一高昂的计算成本问题更为突出。

近年来，基于模拟数据训练的人工智能（AI）模型因其在材料力学预测方面的卓越表现而受到广泛关注。深度神经网络（DNN）已被广泛应用于计算力学领域，用于直接从未变形的微结构RVE预测目标输出（如力学性能[25‒28]、应力-应变曲线[29‒36]、应力场[37‒40]以及裂纹形貌[41‒43]），且预测结果与FE模拟结果具有良好一致性。尽管这些DNN模型在多种任务中实现了稳健且精确的预测，但它们本质上是为端到端预测（如图像分类）设计的，这在物理预测中带来了两方面的挑战：数据需求量巨大以及过程信息的缺失。DNN模型天然需要大量数据，而现有的训练实践通常仅利用模拟的初始与最终信息，导致高昂的模拟成本。例如，在复合材料中预测应力-应变曲线具有重要意义，因为材料的断裂性能往往取决于样品中最薄弱的缺陷。因此，出现裂纹后材料的非弹性特性（如强度与韧性）只能从完整的应力-应变曲线中获得。然而，建立此类预测模型通常需要大规模数据集，往往需数千至上万个样本[29‒33]。此外，缺乏过程信息意味着无法观测裂纹演化，而裂纹演化正是断裂力学研究的核心问题。

目前，以物理约束神经网络（PINN）为代表的时空动力学框架已成为FE模型的新型替代方案[44‒48]。在这一框架中，同质或脆性固体中的空间裂纹传播可由PINN求解偏微分方程（PDE）获得[49‒51]，时间推进则通过循环PDE求解实现。引入物理模型显著减少了训练数据量，并为预测提供了物理支撑。然而，对于具有材料不连续性与非凸特征（如能量演化[52‒53]）的问题，PINN仍面临巨大挑战，而这两者恰是复合材料断裂的基本特征。此外，PINN的性能高度依赖于精心设计的模型结构，需要明确的数值方程。正如前述，不同条件下的断裂问题须采用不同的数值框架，这使得PINN的构建过程极为烦琐。理解复合材料中的裂纹演化，是连接微观结构与断裂性能的关键一步。虽然已有研究尝试利用DNN预测纤维增强复合材料（FRC）的裂纹路径[37,41‒42]，但这些模型难以处理复杂裂纹形貌，如涉及第二相断裂的情况。此外，上述研究中的裂纹演化预测并未与力学性能（如应力-应变曲线）的预测建立联系。

因此，核心问题在于：如何在有限训练数据的条件下预测复杂复合材料的完整断裂演化过程？如图1（a）所示，应当能够从给定的微观结构预测所有时间步下的裂纹相场d_k 及对应的应力σ_k。本研究提出了一种深度学习方法——Crack-Net，可同时预测复合材料中的不连续裂纹扩展与非凸应力-应变行为。与显式引入物理约束的PINN不同，Crack-Net采用隐式约束机制，将裂纹演化与应力响应之间的内在关系融入网络结构（图1）。在动态断裂过程的预测中，模型采用时空动态策略，仅预测短期的裂纹形貌（空间信息），而长期的裂纹演化与应力-应变行为（时间推进）则通过循环迭代模型获得。该策略有效地将训练数据需求降低了约两个数量级，仅需数百次模拟。此外，所提出的框架只需一次训练即可同时预测裂纹演化与应力-应变曲线[图1（a）]。借助这一方法，Crack-Net能够应对不同几何形状和材料组成等多种复杂情况。

本文的结构如下：第2节详细介绍了所提框架的方法论及通过数值模拟生成的数据集；第3节评估了Crack-Net在不同条件（包括不同界面、不同初始条件以及复杂的弹塑性断裂过程）下对裂纹演化与应力-应变曲线的预测性能；第4节对本文进行总结，归纳了Crack-Net的优势与局限性。

2 材料与方法

2.1 相分离模拟下的形貌演化

由可混溶聚合物共混物相分离所形成的A-B二元复合体系在组分间表现出良好的界面强度，从而提升了材料的整体力学性能。生成的形貌通常可分为两种类型——颗粒增强型复合材料（PRC）与互穿相复合材料（IPC），其形成类型取决于初始组分含量c_A0与c_B0，并满足c_A0 + c_B0 =1。形貌的演化过程由Cahn-Hilliard方程[54]所控制：

∂ c B ∂ t = M Δ [d f (c B) d c B - γ Δ c B]

（1）

式中，c_B为组分B的浓度；t为时间；M为迁移率系数；γ为与相界面厚度相关的常数；f(c_B) 为自由能密度函数。

在本研究中，选取100 μm × 100 μm的计算域，并将其划分为边长为h_FEM= 1 μm的等尺寸方形单元，用于数值模拟[图2（a）]。采用开源的FEniCS算法[55‒56]生成形貌，并对计算域施加周期性边界条件[图2（b）]。设置的参数如下：时间步长dt = 5 × 10^-6 s，迁移率M = 1 m²∙s^-1, γ = 0.01 m²∙s^-1，f(c_B) = 100·c

B 2

·(1 ‒ c_B)²。在t = 0时，对每个单元随机赋予初始c_B值，其服从正态分布N(c_B0, 0.01)。通过将c_B0从 0.25 变至 0.50，所得形貌由PRC逐渐过渡为IPC，如图2（c）所示。A富集相与B富集相的体积分数V_f,_A和V_f,_B通过浓度的截断值进行控制，不同的c_B0系列对应不同的截断值。详细参数信息见附录A中的表S1。

2.2 断裂模拟与数据集生成

随后进行断裂模拟，其中将A富集相视为基体，将B富集相视为增强相。在基体中引入了预制的边缘裂纹。由于形貌是随机生成的，因此裂纹尖端位于B富集相中的试样未被采用。试样底部设置为固定约束，顶部在水平方向上受限，而在竖直方向上以恒定步长10^-3 μm拉伸[图2（b）]，左右两侧边界均不施加约束。

采用Gergely Molnár等[57]提出的相场方法对计算域内的裂纹演化过程进行模拟。裂纹通过连续标量d ∈[0, 1]描述，其中d = 0表示完好材料，d = 1表示完全断裂状态。显然，裂纹相场变量d在形式上与连续损伤力学中的损伤变量相似，用于退化材料刚度。关于本构行为的详细描述见附录A中的第S1.1节。

在模型实现过程中，可通过“塑性开关”选择弹性响应或弹塑性响应。对于弹性单元，其本构行为由拉伸模量E、断裂参数g_c以及特征裂纹宽度l_c = 2h_FEM所决定。材料强度S由具有给定参数（E、g_c、l_c）的单个单元在单轴拉伸下的最大应力确定。对于弹塑性单元，除上述参数外，还包括屈服应力Y、硬化模量H和弹性阈值等参数。为在Abaqus中实现该方法，采用三层网格单元结构，并通过相同节点相互连接；针对不同问题，选用不同类型的单元。位移场问题与损伤场问题分别使用四节点平面应变单元（CPE4）与用户自定义单元求解，可视化采用零刚度单元实现。每个单元的裂纹相场值通过其四个积分点值的平均值计算获得。

需要注意的是，断裂参数g_c与断裂能不同，尽管二者均影响裂纹演化且具有相同量纲。两者之间的关系如下式所示：

F r a c t u r e e n e r g y = ∫ Ω g c 1 2 l c d 2 + l c 2 ∇ d 2 d Ω

(2)

式中，d为裂纹相场变量； $∇ d$ 为其梯度；l_c为特征裂纹宽度。

研究同时考虑了存在界面与无界面两种情况。在第3.1节和第3.2节中，假设基体与增强相之间为理想结合界面；在第3.3节和第3.4节中，基体与增强相之间的单层单元被定义为具有弹性本构行为的界面层。分别考察了强界面（模量E_IF= 5000 MPa，断裂参数g_cIF=10 J∙m^-2，强度S_IF= 35.0 MPa）与弱界面（模量E_IF= 5000 MPa，断裂参数g_cIF= 1 J∙m^-2，强度S_IF= 10.8 MPa）两种情况。增强相的模量亦相应调整，具体参数列于附录A中的表S1和表S2。对于每次模拟，在输出频率为10步或应变增量为0.01%时，提取总体施加载荷应力与裂纹相场图等过程数据。最终，复合材料微结构的初始形貌信息、组成模型参数以及应力-应变曲线与裂纹相场等过程信息共同构成训练数据集。关于相场方法的更多信息可参见相关文献[2,14‒17]。

相场断裂方法的具体实现通过Abaqus完成。为模拟尽可能广泛的颗粒行为，引入了软而韧的核心结构。采用无硬化模量的屈服应力Y以限制核心强度。假设核-壳界面与壳-基体界面均为理想结合。基体的模量与断裂参数分别固定为4 GPa和1 J∙m^-2，以匹配纯环氧树脂的应力-应变行为。材料参数包括壳层模量E_shell、壳层韧性g_c_,_shell、核心模量E_core、核心屈服应力Y_core以及核壳尺寸比r_c/t_s，其影响将在第3节中讨论。材料参数的影响与验证见附录A中的第S1.2节，不同组分的模型参数及相应的应力-应变曲线分别展示于附录A中的图S1和图S2中。为了避免无意义的后续计算，设定断裂判据应力为σ_rup = 0.5 MPa。

2.3 Crack-Net的架构设计

所提出的Crack-Net采用基于U-Net的专用网络架构，具有典型的编码器-解码器设计。U-Net最初用于医学图像分割，由于其卓越的性能与广泛的适用性，已在多种领域中得到广泛应用[58‒59]。在U-Net架构中，编码器部分通过一系列卷积层从输入数据中提取分层特征，在逐步降低空间分辨率的同时捕捉复杂的结构模式；解码器部分则利用反卷积层对提取的特征进行上采样重建，使输出具有与输入相同的空间尺寸。U-Net的一大优势在于其在编码与解码过程中能够保留空间信息。这一特性确保了输入数据中的细节特征与局部结构在输出中得以保留，使其在图像分割与目标检测等任务中表现尤为突出。编码器与解码器对应层之间的跳跃连接进一步增强了模型捕捉低层与高层特征的能力，从而实现更加精确的预测。

在本研究中，采用含有100 × 100单元的数值模拟数据进行训练。值得注意的是，其他分辨率比的单元数据也可通过重采样层输入Crack-Net。如附录A中的图S4所示，对于不同分辨率比的单元，Crack-Net同样能够给出准确预测。不同分辨率比下的力学性能比较列于附录A中的表S3，结果表明模型尺寸对弹性模量与拉伸强度的影响不显著。Crack-Net 中，输入张量的尺寸为3 × 100 × 100，包括初始弹性模量矩阵 E₀、极限抗拉强度矩阵 S 以及当前裂纹相场矩阵 d_k，三者均为尺寸为100 × 100的场。输出为裂纹相场的变换增量Δd_k ′，尺寸为1 × 100 × 100。网络结构如图1（b）所示，详细说明见第S1.2小节。上述架构与传统U-Net结构相似，有助于重建预测裂纹相场的变换增量。

然而，Crack-Net并未止步于此，而是在编码器提取的潜在向量上进一步进行特征处理。此关键步骤使模型能够实现应力与裂纹相场的同步预测，从而使其在复合材料裂纹扩展预测中具备更高的针对性与精度。如图1（b）所示，从编码器提取的潜在向量被送入额外的特征提取模块以进一步提炼信息。该模块输出的结果为一个512维向量，其中包含了关于输入复合材料形貌与当前裂纹相场的高维潜在信息。为了进一步预测下一步的应力响应，该512维向量与当前步的应变与应力信息结合后，输入至一个全连接人工神经网络（ANN）。这一精细的处理过程使Crack-Net能够准确预测下一步的应力响应。为将初始条件嵌入Crack-Net，对网络输入进行了进一步优化。具体而言，将预制裂纹位置处的强度S与初始模量E₀设为零，从而在网络输入结构中显式地编码了裂纹的位置与长度信息。须特别强调的是，下一步的应力与裂纹相场预测均源自Crack-Net编码器部分提取的同一潜在向量。这一设计使网络能够捕捉裂纹扩展与应变演化之间的内在联系，从而提升预测的准确性与物理一致性。

2.4 Crack-Net的长期预测过程

尽管Crack-Net的训练基于短期数据，但其输入与输出之间的映射关系使其能够通过逐步预测前一时刻后的下一步状态，实现长期预测。本节详细介绍Crack-Net的长期预测流程。正如算法1所示，长期预测仅须提供初始状态与复合材料形貌信息。在无任何先验信息的情况下，Crack-Net可直接从初始步骤开始预测裂纹扩展过程，此时断裂尚未发生。从算法1可见，Crack-Net具备预测变换增量的能力，该增量可转换为绝对增量并加至当前步的裂纹相场，以得到下一步的裂纹相场。同时，Crack-Net还能直接预测下一步的应力值。在给定应变比固定增量的条件下，各步的应变比可据此计算，从而通过Crack-Net的预测获取下一步的完整状态。该过程构成一个可循环的迭代体系，直至达到预设的最大迭代步数为止。从长期预测过程可观察到，Crack-Net能够基于给定的复合材料形貌，在断裂演化的每一步预测对应的裂纹相场与应力分布。值得注意的是，Crack-Net具备从任意断裂阶段开始预测的灵活性，只须将算法1中的初始状态修改为所需阶段对应的状态即可。

初始裂纹相场记为(d₀, $σ 0$ , $ε 0$ )，其中d₀为填充零值的初始裂纹相场矩阵， $σ 0$ 与 $ε 0$ 均为0。将该初始状态输入Crack-Net，即可预测下一步的状态，并以此结果作为输入进一步预测后续各步的状态。其形式可表示为

d^k, σ^k, ε^k → C r a c k - N e t d^k + 1, σ^k + 1, ε k + ∆ ε

(3)

d^k + 1 = d^k + 10 ∆ d^k' - 10

(4)

长期预测的详细过程见算法1。除预设的复合材料信息外，Crack-Net无需额外条件或历史状态即可进行预测，从而显著提高了其实用性与通用性。

2.5 Crack-Net的训练实现

本研究设计了一种时空动态工作流，用于在拉伸位移控制条件下预测复合材料的力学性能及裂纹扩展路径。在该框架中，PRC RVE的连续断裂过程被均匀划分为若干离散帧，每一帧由空间裂纹形貌与整个计算域的应力状态表征。相应地，提出了一种分层预测策略，即短期空间预测与长期时间推进。在短期层级中，利用端到端的Crack-Net模型，而非求解PDE，根据第k ‒ 1步的信息预测第k步的空间裂纹形貌与整体应力；在长期循环中，Crack-Net模型通过增量调用，从未变形状态逐步生成复合材料RVE的完整断裂演化过程。端到端Crack-Net（短期预测）的网络结构如图1（b）所示。

训练数据集包含554个算例，由相场模拟[2]在含有100 × 100单元的PRC计算域中生成。裂纹通过连续标量裂纹相场变量d∈[0,1]表征，其中d = 0表示完好材料，d = 1表示完全断裂状态（第2.2节）。本研究主要聚焦于100 × 100单元的配置，该分辨率在清晰刻画裂纹扩展形貌与保持合理计算开销之间取得了良好平衡。值得指出的是，更高分辨率的模型也可采用相同方法进行训练，以获得包含更精细结构特征的预测结果。

施加的应变增量为Δε = 0.01%，以此将断裂过程离散化。共从554个模拟算例中提取了83 480个步对。其中，步对指当前步的输入（应力与裂纹相场）与下一步的输出（应力与裂纹相场）之间的配对关系。数据集按8∶1∶1比例划分，用于训练（66 784步）、验证（8348步）与测试（8348步）。训练过程共进行3000个训练轮次，批量大小为100；为防止过拟合，采用了早停法。需要强调的是，数据集的随机划分基于步对切片预测的独立性进行。在数据集中，基体相A与增强相B的空间分布由以下材料参数定义：基体模量E_A = 5000 MPa、基体强度S_A = 35 MPa、填料模量E_B = 500 MPa、填料强度S_B = 10.8 MPa。训练过程中生成的典型形貌如附录A中的图S5所示，可见随着训练轮次的增加，预测的细节逐渐更加清晰。

显然，Crack-Net的长期预测过程依赖于相邻步之间的精确增量预测。步间应变增量Δε = 0.01%。应变增量对模型性能的影响分析见附录A中的图S6，结果表明，应变增量越大，预测误差相应增加。裂纹相场在相邻步之间的差异通常较小，尤其在断裂发展的初始与末期阶段，差异值一般介于10^-2~10^-5之间。因此，Crack-Net预测的并非直接的裂纹相场矩阵d，而是变换增量矩阵Δd′。对于每个单元，由于d的取值范围为[0,1]，且在步k到步k+1间单调递增，Δd_k = d_k₊₁ ‒ d_k 通常是一个介于0~1之间的非常小的数值。为放大裂纹相场的微小变化，采用了对数变换，定义变换后的裂纹相场增量Δd_k ′如下：

Δd_k ′ = 10 + log₁₀(max(10^-10, d_k₊₁ ‒ d_k )), 0 ≤ Δd_k ′ ≤ 10(5)

该方法能够有效捕捉裂纹扩展的细微变化，使Crack-Net在裂纹相场演化较为平缓的阶段仍能实现高精度、可靠的预测。因此，Crack-Net的输入包括：初始弹性模量矩阵E、极限抗拉强度矩阵S、裂纹相场矩阵d_k 以及第k步的应变ε_k 与应力σ_k；输出则为下一步的应力σ_k₊₁与变换后的裂纹相场增量Δd_k ′。

2.6 Crack-Net的迁移学习

迁移学习是一种机器学习技术，其核心思想是在一个任务（源域）中获得的知识被用于提升另一个相关任务（目标域）的性能[60]。在迁移学习中，首先在源域的大规模数据集上训练一个预训练模型，随后将其迁移并微调以适应目标域的小规模数据集。迁移学习的基本理念在于：模型在源域中学习到的知识可以被泛化并应用于目标域，即使目标域的数据集或分布不同。通过利用源任务的知识，模型可以在较好的初始配置下开始训练，并通过在目标任务上微调参数，以较少的数据量和训练时间获得更优性能。在Crack-Net的研究框架中，迁移学习在提升模型对具有不同材料属性的复合材料的预测能力方面发挥了关键作用。本研究采用了参数迁移学习策略，即利用源域预训练模型中学习到的参数来初始化或微调目标域的模型。在实施迁移学习时，预训练模型的参数首先被迁移至目标域，然后利用目标域数据对模型进行进一步训练，使其能够适应新任务的特定特征。在本研究中，整个预训练模型（包括编码器与解码器）均在目标域数据上进行微调。模型参数根据目标域的损失函数进行更新，从而调整模型表征并学习任务特定模式。在微调过程中，训练轮次设置为1000，学习率降低至10^-4，批大小为100，并采用早停法以防止过拟合。结果部分的数值实验设置详见附录A中的第S1.3小节。

在迁移学习训练过程中，不同复合材料的强度S与初始模量E₀之间存在显著差异，这带来了新的挑战。若在训练过程中直接将这些不同的材料属性输入网络，Crack-Net中的批归一化层的均值与方差将发生较大变化，从而可能削弱迁移学习的有效性。为解决此问题，本研究对复合材料的材料属性实施了关键的预处理步骤。鉴于裂纹扩展模式与复合材料基体及增强相的相对强度之间存在相关性，我们采用归一化技术，将目标域的材料属性调整至与源域相同数量级。通过归一化处理，确保了材料参数的数值比例适当，使迁移学习过程得以更平稳、高效地进行。归一化后的材料属性可表示如下：

S t a r g e t = S t a r g e t × m a x (S s o u r c e) m a x (S t a r g e t)

(6)

E t a r g e t = E t a r g e t × m a x (E s o u r c e) m a x (E t a r g e t)

(7)

3 结果

本节提出了四个场景来演示Crack-Net在不同条件下的泛化能力，研究了裂纹萌生、界面强度、基体塑性和填料性能的影响。Crack-Net在所有情况下都具有显著的准确性和鲁棒性。实验使用配备Intel Xeon Gold 5115 CPU和NVIDIA GeForce RTX 2080 Ti GPU的计算机进行。本研究的参考结果来源于采用相场法的数值模拟。

3.1 具有理想界面的中心裂纹弹性复合材料的短期预测

本节采用一种简化的脆性断裂情形。基体相A为刚性材料（模量E_A = 5 GPa，抗拉强度S_A = 35 MPa），增强相B为柔性材料（模量E_B = 0.5 GPa，抗拉强度S_B = 10.8 MPa）。两相均假设为弹性体并实现理想界面结合，预制裂纹位于边缘中心，长度固定为20 μm。本节主要考察Crack-Net在单步短期预测中的性能，因为短期预测的高精度是其整体预测能力的关键。鉴于 Crack-Net 能够同时预测应力响应与裂纹演化，因此分别对这两项性能进行评估。如图3（a）所示，预测的应力与测试数据集中的观测结果高度一致，决定系数R² = 0.9993，均方误差（MSE）仅为0.0378，表现出极高的拟合精度。裂纹演化的预测效果通过裂纹相场总体相对误差进行评估，定义如下：

e d = ∑ i ∑ j (d^i, j - d i, j) 2 ∑ i ∑ j (d i, j) 2 1 / 2

(8)

e Δ d' = ∑ i ∑ j (Δ d^i, j' - Δ d i, j') 2 ∑ i ∑ j (Δ d i, j') 2

(9)

式中， $e d$ 为预测裂纹相场 $d^i, j$ 的相对误差； $e Δ d'$ 为变换后增量 $Δ d^i, j'$ 的相对误差；i与j分别为二维场中行与列的索引。在计算相对误差时，值为0的点被忽略以确保计算的有效性。该指标反映了计算域中离散点的总体误差。考虑到存在裂纹相场值较小或接近零的区域，该评估标准较为严格。由图3（b）和（c）可见，超过80%的预测满足 e_d < 1%，几乎所有预测满足e_d < 6%。虽然 $e Δ d'$ 相较e_d 略有上升，但多数仍低于1%，仅极少数超过10%。这充分表明，通过预测变换增量而非最终相场的策略是有效的。对于采用循环预测实现长期裂纹演化的Crack-Net而言，短期预测的精度至关重要。由于相邻步之间的裂纹相场变化十分微小，这对模型学习带来挑战。然而，通过变换与放大这些细微变化，模型的预测性能得到了显著提升。

为进一步验证Crack-Net的短期预测能力，本研究生成了一组未包含在训练数据集中的新复合材料设计，用于样本外预测。将Crack-Net预测的t = k + 1时刻的裂纹相场 $d^k + 1$ 以及t = k与t = k + 1之间的裂纹相场增量 $∆ d^k'$ ，与模拟结果 $d k + 1$ 和Δd $k'$ 进行对比，以获得直观的可视化说明。分别考察裂纹扩展的不同阶段预测效果。图3（d）展示了裂纹起始阶段的预测结果。在该阶段，材料尚未发生断裂，裂纹相场取值极小。在此阶段中裂纹相场增量的微小累积对最终裂纹的形成具有关键作用。Crack-Net在预测这些细微裂纹相场增量的分布方面表现出极高精度，为长期断裂扩展预测奠定了坚实基础。图3（e）展示了不稳定裂纹增长阶段的预测结果。该阶段相邻步之间裂纹相场变化显著，Crack-Net能够准确捕捉这些变化。裂纹扩展的最终阶段预测如图3（f）所示，此时裂纹已完全扩展，裂纹相场增量主要集中并局限于裂纹邻域。可见，Crack-Net对此阶段的行为预测依然精准。值得注意的是，图3（f）中增强相的颗粒尺寸和比例与图3（d）、（e）中明显不同，突出了Crack-Net对不同复合材料设计的泛化能力。此外，即使在不稳定裂纹增长阶段，相邻步之间的裂纹相场变化仍相对有限，这表明若直接预测裂纹相场，可能忽略这些增量变化中的关键信息。相反，变换增量在裂纹扩展的各阶段均表现出明显差异，更有利于网络的学习与预测。

图3（g）展示了在互穿相复合材料的共连续形貌条件下短期预测的结果，预测与观测高度一致。值得注意的是，Crack-Net的训练数据仅包含PRC样本，并未涉及互穿相结构。这表明Crack-Net已学习到裂纹扩展对应力响应的影响机制，从而能够对不同结构构型的复合材料进行准确断裂预测。以上结果充分证明，Crack-Net具备在短期内精准捕捉裂纹演化与应力响应的预测能力。

3.2 Crack-Net的样本外长期预测

在短期预测表现优异的基础上，Crack-Net被进一步用于从未变形状态到完全断裂的全过程预测，涵盖了颗粒增强复合材料与互穿相复合材料。为真实反映Crack-Net的泛化能力，本研究进行了样本外预测，即生成若干具有全新结构设计的复合材料用于长期预测。值得注意的是，这些复合材料设计未曾出现在训练数据集中，属于样本之外的数据，因此更接近实际应用情境。图4对比了参考模拟与预测结果的整体应力-应变曲线，并展示了四个代表性应力-应变点对应的裂纹形貌。

在图4（a）的参考结果中，应力在点R1处达到峰值，随后由于裂纹扩展而下降至点R2。从R2到R3，裂纹受到柔性颗粒（裂纹形貌R3中的白色圆点）的阻碍，使应力略有回升。值得注意的是，在许多情况下，柔性颗粒对裂纹扩展的阻碍作用小于周围基体[61]，这是因为颗粒所承受的应力超过了其强度。而在本研究的情形中，当裂纹传播至基体与颗粒界面时，柔性颗粒所受应力尚未达到其断裂强度，因此能够在一定程度上阻滞裂纹，直到应力超过其断裂强度为止。这种行为类似于裂纹桥接效应，文献[2,17,62]中已有相关讨论。随后，裂纹发生不稳定扩展并最终断裂（R4）。在这一过程中，裂纹演化具有不连续性，应力-应变曲线呈现非凸性，这两点均是复合材料断裂预测中的典型难题。然而，Crack-Net在裂纹演化与应力-应变曲线预测中均表现出优异的准确性，并成功捕捉了二者之间的耦合关系。图4（b）展示了Crack-Net预测与数值模拟结果在裂纹扩展过程及应力-应变曲线方面的高度一致性。

图4（c）所示复合材料中，增强相颗粒的比例与尺寸均发生了显著变化。尽管预测的应力-应变曲线与参考结果存在轻微偏差，但Crack-Net仍准确捕捉了曲线的主要特征，尤其是在P2与P3之间短暂的应力维持阶段[图4（c）]。对应的裂纹相场预测结果仍保持较高准确性，尽管裂纹的起始时间略早于参考结果。此外，在该案例中可以观察到，裂纹并非连续传播[图4（c）中的R2与P2]，而是在多个位置独立形成断裂点，随后随应变比增加逐渐扩展并相互连接。值得强调的是，Crack-Net能够准确捕捉这一复杂的断裂模式，展现出其在预测和理解非连续裂纹扩展等复杂裂纹动力学方面的能力。为进一步验证结果的可靠性，更多样本外预测案例见附录A中的图S7至图S21。从这些结果可以看出，Crack-Net的预测在大多数情形下与数值模拟参考结果高度一致，表明该模型在不同复合材料形貌下的裂纹相场与应力-应变曲线长期预测中均能取得令人满意的性能。在实际工程应用中，研究者通常更关注复合材料的整体断裂特征，而非特定步骤的精确时间点。因此，尽管Crack-Net在某些情况下预测的裂纹出现略早，但这一预测偏差并不影响其实质准确性，因为模型能够正确捕捉裂纹传播的主要特征。更多讨论见附录A中的第S1.4节。

随后，将IPC用于测试Crack-Net的泛化能力，结果如图4（d）所示。该类复合材料的断裂过程与颗粒增强形貌中的断裂特征相似。模型在裂纹演化预测中表现出优异精度，而在应力-应变曲线预测中表现中等。具体而言，Crack-Net能够准确预测材料的强度、断裂应变及断裂韧性（即应力-应变曲线下的面积），但在预测弹性模量的演化方面表现较差。考虑到互穿相结构样本未被纳入训练数据集，这一结果仍属合理，说明Crack-Net具有出色的潜力，可用于预测多种非均质结构的断裂行为，而不仅限于颗粒增强复合材料。为进一步验证这一结论，我们在附录A中提供了更多实例：图S22至图S24展示了Crack-Net对不同设计的互穿相复合材料的长期预测结果。结果表明，即使在互穿相结构这种复杂情形下，Crack-Net依然在裂纹扩展预测中表现出卓越的准确性。此类结构的特征在于增强相与连续基体相相互交织，导致裂纹传播路径复杂，通常难以精确预测。然而，Crack-Net成功应对了这一挑战，其预测结果与这些结构的实际裂纹相场及应力-应变曲线高度一致，体现了模型的稳健性与广泛适用性。

3.3 扩展至复杂情形

在前述研究中，采用了简化场景以验证所提Crack-Net的有效性。在固定初始参数条件下，Crack-Net展示出良好的裂纹扩展模式识别能力，并能提供可靠的预测结果。然而，在实际工程应用中，系统往往存在诸多变异因素，如不同类型的填料、较差的界面强度以及随机初始裂纹等。

基体与填料之间的界面在复合材料断裂过程中起着至关重要的作用，常常导致复杂的失效机制，需要更加细致的理解。鉴于其在实际应用中的重要性，本研究进一步考察了Crack-Net在界面强度较差及随机初始裂纹条件下的预测性能。为将初始条件嵌入Crack-Net，对神经网络的输入进行了优化处理。具体而言，将预制裂纹位置处的强度S与模量E赋值为零，从而在网络输入结构中显式地编码了裂纹的位置与长度信息。

在数据集方面，共生成530组独立算例，并按80/10/10的比例划分，其中80%用于训练，10%用于验证，10%用于测试。在学习率设定为 $5 × 10 - 4$ 的条件下，Crack-Net经过2000次迭代训练，并采用早停法以防止过拟合。完成训练阶段后，优化后的Crack-Net模型用于样本外预测，其中包括新生成的复合材料形貌与预制裂纹配置，这些均未在训练过程中出现。Crack-Net的预测结果如图5所示。为定量刻画裂纹演化过程，图5（a）给出了在不同应变下裂纹相场d及其变换增量Δd'的余弦相似度，其计算公式如下：

c o s (θ) d = ∑ i ∑ j (d i, j d^i, j) ∑ i ∑ j d i, j ∑ i ∑ j d^i, j

(10)

c o s (θ) ∆ d' = ∑ i ∑ j (∆ d i, j' ∆ d^i, j') ∑ i ∑ j ∆ d i, j' ∑ i ∑ j ∆ d^i, j'

(11)

式中， $c o s (θ) d$ 与 $c o s (θ) ∆ d'$ 分别表示裂纹相场与变换增量的余弦相似度； $d^i, j$ 与 $∆ d^i, j'$ 分别代表预测值与真实值；i与j分别为二维场的行与列索引。余弦相似度的取值范围为[0,1]，值越大表示预测精度越高。从图中可以观察到，当应变较小时，裂纹尚未扩展，余弦相似度接近1；当应变增加至0.8%~1.0%时，裂纹即将扩展，误差略有增大。然而，余弦相似度的中位数始终保持在0.95以上，表明整体预测结果准确性较高。此外，图5（b）展示了Crack-Net对韧性（即应力-应变曲线下面积）的预测结果，用于反映应力-应变曲线的整体预测精度。结果显示，Crack-Net能够准确预测韧性，决定系数R² = 0.736，表明该模型在处理非凸能量演化问题方面具有良好效果。

图5（c）与（d）分别比较了Crack-Net对PRC与IPC试样的参考结果与预测结果，两者吻合良好。结果表明，尽管界面存在且初始条件多样化带来了显著复杂性，Crack-Net依然表现出极高的数据利用效率和稳健的预测性能。

3.4 对于刚性与柔性填料的迁移学习

在实际的环氧复合材料体系中，无机填料通常具有远高于基体的模量，而弹性体填料则要柔软得多（通常为数兆帕至数十兆帕）。基于此，图6考察了两种情况：刚性填料（E_B = 50 GPa, S_B = 112 MPa, g_cB = 10 J∙m^-2）与柔性填料（E_B = 100 MPa, S_B = 4.8 MPa, g_cB = 10 J∙m^-2）。需要特别说明的是，这些具体数值仅用于说明方法的适用性；该方法可推广至任意模量E_B的填料，无论其刚性或柔性如何。为了减少对训练数据集的需求，本研究采用了迁移学习，以利用上一节中已学习到的知识并将其迁移至当前情形，如图6（a）所示。

图6（b）展示了Crack-Net在柔性填料（S_B = 4.8 MPa，E_B = 100 MPa）情形下的迁移学习性能。在迁移学习过程中，选取了具有不同复合材料形貌的120组算例作为数据集用于微调模型。训练过程的具体设置详见第2节。针对迁移学习模型（Model T）与未采用迁移学习的源模型（Model N）均进行了样本外测试。值得注意的是，两组代表性裂纹形貌分别选自应力峰值点与断裂点；曲线R表示参考结果，曲线T表示Model T的预测结果，曲线N表示Model N的预测结果。类似地，迁移学习还被应用于含有刚性填料的复合材料[图6（c），S_B = 112 MPa，E_B = 50 000 MPa]。训练数据集同样包含120组算例，训练设置保持一致。实验结果表明，迁移学习能够显著提升模型的预测泛化能力；相比之下，源模型的预测结果完全错误，显示出缺乏预测能力。这些结果进一步证实，只要主模型已在源域完成训练，其预测能力即可成功迁移至具有不同填料特性的多样化情形。

3.5 由刚性高强填料增强的弹塑性基体中的裂纹扩展

前述研究主要聚焦于弹性材料中脆性裂纹扩展的预测。然而，这与真实环氧复合材料体系中的情形并不完全一致，因为塑性变形在环氧复合材料的断裂过程中起着关键作用。在脆性断裂情况下，失效的驱动力主要为拉应力，对应的典型裂纹形貌通常表现为沿加载方向垂直扩展的单一裂纹，因而较易预测。而在存在塑性变形的情形下，剪切应变会在狭窄区域内发生强烈局部化，形成所谓的剪切屈服带。这些区域内材料受到严重损伤，并可能成为后续失效的起始位置。在带有缺口的复合材料试样中，当填料颗粒较为刚硬时，颗粒与基体界面处会产生应力集中，导致剪切屈服带高度分支[图7（a）]，形成复杂的裂纹演化过程。鉴于剪切屈服带是无机填料增强环氧复合材料的重要增韧机制[63‒65]，因此，能够同时预测剪切屈服带与裂纹传播路径具有重要意义。

本节采用屈服应力为30 MPa的弹塑性基体（Y_A = 30 MPa）。假设硬化模量为零，预期应力在达到30 MPa后保持恒定直至断裂，这意味着基体的抗拉强度S_A亦为30 MPa。弹性模量与断裂参数保持与弹性情形相同（E_A = 5 GPa, g_cA = 10 J∙m^-2）。此外，采用刚性且高强的填料（E_B = 50 GPa, S_B = 110 MPa, g_cB = 10 J∙m^-2），对应于实际高模量复合体系中常用的无机颗粒。研究同时考察了强界面（E_IF = 5000 MPa, g_cIF = 10 J∙m^-2, S_IF = 35.0 MPa）与弱界面（E_IF = 5000 MPa, g_cIF = 1 J∙m^-2, S_IF = 10.8 MPa）两种情况。填料与界面均被视为弹性体。为区分弹性与弹塑性行为，在模型中引入了新的输入层 Y_c，其中弹性材料赋值为0，弹塑性材料赋值为1。

在强界面条件下的参考结果[图7（a）]中，从应力-应变曲线中提取了三个代表性点，并展示了对应的d_k₊₁与Δd_k ′形貌。在应力峰值点R1，裂纹相场最大值小于1，表明裂纹尚未萌生，应力随后下降主要由试样整体的剪切变形引起。此阶段可观察到由高度分支的剪切屈服带导致的复杂Δd_k ′分布形态。将试样拉伸至R2点时，裂纹开始扩展，应力随之下降。此时Δd_k ′的形貌不再呈现高度分支结构，而在预制裂纹尖端处发生分叉，因为主导的剪切屈服由预制裂纹诱发，而非由基体-颗粒界面诱发。在最终断裂点R3，主导剪切屈服带之一上出现破坏性裂纹，试样失效。不同应变下裂纹预测的余弦相似度及韧性预测结果如图7（b）所示。尽管断裂过程更加复杂，Crack-Net仍能准确预测应力-应变曲线及裂纹演化，即便在存在剪切屈服带的情况下仍表现出优异性能。

如图7（c）与（d）所示，当界面为弱结合时，裂纹仍沿由预制裂纹诱发的剪切屈服带传播，但由于界面强度较低，界面诱发的屈服带显著减弱。此时，弱界面反而表现为脱黏点，加速裂纹传播（见R2点）。这种界面行为从剪切屈服区向脱粘点的转变被模型准确捕捉，得益于迁移学习的有效应用。

4 结论

本研究提出了一种名为Crack-Net的深度学习框架，用于预测颗粒增强环氧复合材料中的断裂过程。Crack-Net的分层架构使其能够学习裂纹演化与应力响应之间的内在关系，从而在显著降低数据需求的同时，实现更高的预测精度与物理一致性。数值实验结果表明，Crack-Net能够应对包含多种界面特性、不同初始条件以及复杂弹塑性断裂过程的多样情形。在这些条件下，Crack-Net不仅能够准确预测整个断裂演化过程，还能同步预测给定微结构下的应力-应变曲线。

尽管Crack-Net尚未达到FEM的精度（后者可无缝处理复杂边界条件与几何结构），但它展现出一定的灵活性。例如，在附录A的第S1.5节中讨论了一种混合载荷条件下的算例，展示了Crack-Net在复杂场景中的适用潜力，尽管其仍处于初步阶段。需要明确的是，本研究的目的并非完全取代传统的数值模拟方法，而是在计算密集型模型（如FEM）与数据密集型方法（如DNN）之间寻求一种平衡。

尽管基于数据驱动的DNN在建模断裂行为方面取得了显著进展，但此类静态预测模型的训练往往需要大量数据，而这些模型通常仅能预测最终状态，而非完整的演化过程。无论是数值模拟还是物理实验，数据获取均需耗费大量时间与人力，从而限制了此类模型的效率。PINN通过引入显式物理约束，能够在均匀材料中减少数据需求并提升预测精度。然而，如上所述，在非凸特征与不连续解的复合材料中，其性能受到显著限制。此外，将显式物理约束嵌入网络的损失函数会使优化过程复杂化，并显著增加计算成本。相比之下，Crack-Net通过在网络结构中融入裂纹扩展与应力响应之间的内在关系，实现了数据驱动与知识驱动之间的平衡。此方法使Crack-Net能够通过短期数据驱动求解器与长期物理洞见的结合，自主应对系统的内在非线性特征，不仅能够同步准确预测应力-应变关系与裂纹演化过程，还为计算建模的平衡提供了一种有前景的思路。

Crack-Net的应用范围超越了颗粒增强环氧复合材料，可推广至颗粒增强金属材料与陶瓷材料。尽管这些材料的力学性质与聚合物存在显著差异，但其基础断裂机理与增韧机制在本质上是一致的。更为重要的是，Crack-Net代表了一种可扩展的方法，可用于预测多种异质结构的力学行为，包括但不限于仿生“砖-砂浆”层级材料、三维打印IPC以及纤维增强环氧树脂，只须对模拟模型进行适当调整。目前，Crack-Net已被拓展至晶体塑性有限元方法（CPFE）相关场景的应用，初步结果验证了其广泛适用性。然而，Crack-Net仍存在一些局限。例如，基体与纤维之间的界面在模型中基于理想化假设进行处理与模拟，而实际情况往往更为复杂。此外，断裂过程区在断裂力学中起着关键作用，但其特征的捕获需要极为精细的单元尺寸。鉴于生成此类高精度数据所需的巨大计算代价，目前研究尚未将其纳入分析。未来的研究可进一步探讨结合隐式与显式约束的方法，以持续提升该模型的预测能力。

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摘要

Abstract

关键词

Key words

引用本文

1 引言

2 材料与方法

2.1 相分离模拟下的形貌演化

2.2 断裂模拟与数据集生成

2.3 Crack-Net的架构设计

2.4 Crack-Net的长期预测过程

2.5 Crack-Net的训练实现

2.6 Crack-Net的迁移学习

3 结果

3.1 具有理想界面的中心裂纹弹性复合材料的短期预测

3.2 Crack-Net的样本外长期预测

3.3 扩展至复杂情形

3.4 对于刚性与柔性填料的迁移学习

3.5 由刚性高强填料增强的弹塑性基体中的裂纹扩展

4 结论

参考文献

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1 引言

2 材料与方法

2.1 相分离模拟下的形貌演化

2.2 断裂模拟与数据集生成

2.3 Crack-Net的架构设计

2.4 Crack-Net的长期预测过程

2.5 Crack-Net的训练实现

2.6 Crack-Net的迁移学习

3 结果

3.1 具有理想界面的中心裂纹弹性复合材料的短期预测

3.2 Crack-Net的样本外长期预测

3.3 扩展至复杂情形

3.4 对于刚性与柔性填料的迁移学习

3.5 由刚性高强填料增强的弹塑性基体中的裂纹扩展

4 结论

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