考虑灵活编组和越行策略的城市轨道客货共线运行图与车底运用计划联合优化

何嘉年; 戚建国; 杨立兴; 邸振; 周厚盛; 张春田

doi:10.1016/j.eng.2025.07.005

工程（英文） ›› 2025, Vol. 55 ›› Issue (12) : 291 -316. DOI: 10.1016/j.eng.2025.07.005

研究论文

考虑灵活编组和越行策略的城市轨道客货共线运行图与车底运用计划联合优化

何嘉年 ^a ,
戚建国 ^a ,
杨立兴 ^a ,
邸振 ^b ,
周厚盛 ^a ,
张春田 ^a

作者信息 +

Joint Optimization of Train Timetable and Rolling Stock Circulation Plan with Flexible Composition and Skip-Stop Strategies for Co-Transportation of Passenger and Freight

Jianian He ^a ,
Jianguo Qi ^a^,^* ,
Lixing Yang ^a ,
Zhen Di ^b ,
Housheng Zhou ^a^,^* ,
Chuntian Zhang ^a ,

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摘要

针对城市货运交通发展需求，本研究提出一种基于城市轨道交通系统的货运运营策略。为提升客货共运中服务能力与运输需求的匹配度，本研究构建了混合整数非线性规划模型，重点考虑灵活列车编组模式与越行策略，以实现列车运行图与车底运用计划的联合优化。同时，通过引入乘客与货物分配规则，本模型协同兼顾运营方、乘客与货运代理方三方利益。为便于模型求解，本研究设计变邻域搜索算法，在合理计算时间内生成高质量解。最后，基于简化算例与北京地铁亦庄线实测数据开展多组数值实验，验证模型与方法的适用性和有效性。

Abstract

Considering the development of urban freight transport, this paper presents an operational strategy for freight transport based on the urban metro system. To improve the alignment between service capacity and transport demand under passenger and freight co-transportation (PFCT), a mixed-integer nonlinear programming model (MINLP) is developed to simultaneously optimize the train timetable (TT) and rolling stock circulation plan (RSCP), with particular consideration of flexible train composition mode and skip-stop strategies. Moreover, by introducing allocation rules for passengers and freight, the tripartite interests of operators, passengers, and freight agents are synergistically considered in the proposed model. To facilitate the model solution, a variable neighborhood search (VNS) algorithm is designed for the generation of high-quality solutions in a reasonable computational time. Finally, based on a simplified example and empirical data from the Beijing Metro Yizhuang Line, several sets of numerical examples are implemented to validate the applicability and effectiveness of the model and the approach.

关键词

列车运行图 / 车底运用计划 / 客货共运 / 变邻域搜索算法

Key words

Train timetable / Rolling stock circulation plan / Passenger and freight co-transportation / Variable neighborhood search algorithm

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何嘉年,戚建国,杨立兴,邸振,周厚盛,张春田. 考虑灵活编组和越行策略的城市轨道客货共线运行图与车底运用计划联合优化[J]. 工程（英文）, 2025, 55(12): 291-316 DOI:10.1016/j.eng.2025.07.005

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1 引言

城市机动车数量的快速增长加剧了交通拥堵与污染问题。与此同时，电子商务的蓬勃发展显著推高城市货运需求。例如，北京市日均快递收派量已达约1500万件。长期以来，城市货运始终以道路运输为主[1]，且高度依赖货车，货车的污染物排放量占城市排放总量的40% [2‒3]，货车运输还提升了交通事故风险。据统计[4]，全球货运需求年均增长约3%，这意味着到2050年，货运需求将增至当前的三倍。按车辆行驶里程计算，近一半货运运输发生在城市区域[5]。

开发城市地下空间用于货运，是应对城市道路资源有限引发的一系列问题的潜在优选方案。考虑到地下物流系统建设涉及城市规划、运输安全、基础设施建设、物流管理等复杂环节，短期内难以建成专用地下货运配送系统[6]。地铁系统具备准点、便捷、大运量、低排放的优势，为城市货运提供了更具现实可行性的新型运输方式。2007年，Nuzzolo等[7]探索了非高峰时段利用客运列车基础设施在那不勒斯与索伦托间开展货运的潜力，提出对客运列车进行改造以增加货运容量。Motraghi和Marinov [8]评估了将纽卡斯尔地铁系统纳入城市货运的可行性；Brice等[9]也在实践中验证了利用地铁提供市中心至机场行李运输服务的可行性。尤其值得关注的是，学界提出了诸多在共享系统中整合客运与货运的创新运输理念[10‒12]。例如，Chebbi和Chaouachi [13]提出双层共享运输框架，采用同一个人快速运输（PRT）车辆同步运送人员与货物。Bruzzone等[14]主张采用客货一体化运输系统，替代传统客货分离运输模式。这些研究凸显了一体化运输的研究热度，印证了地铁系统在货运领域的应用潜力。

然而，将货运融入城市客运地铁网络是一项复杂的系统性决策[15]。现有地铁系统最初为客运设计，无法直接适配物流作业。因此，首要工作是对车站与列车进行改造（如车站货运存储空间、列车车厢货运适配），这属于长期战略决策。本文主要聚焦运营层面，重点研究非高峰时段，从以下方面探索城市地铁系统客货共运（PFCT）的可行性。

（1）确定运营时段的最优列车运行图（TT），意味着乘客和货物共享基础设施与运营时间。须明确客运为首要任务，必须保障其运营约束（如列车停留时间、越行策略）。同时，为提供优质服务，运行图设计须适配时变的客货需求。

（2）制定合理的列车编组方案。客货混编车厢不可避免会影响客运，尤其体现在车站货物装卸与乘客上下车的冲突上。部分地区禁止货运与客运车厢混编。更合适的方式是采用独立的客运与货运车厢，根据客货动态需求进行解编或编组，实现服务供给与需求的精准匹配。此外，不同列车编组方案对运营成本影响显著，方案可行性受车底可用数量约束。因此，最优编组方案须在车底运用计划（RSCP）支撑下，平衡服务能力与运营成本。

（3）协调客流分配与货运调度。针对乘客与货物，均须设计合理的分配规则，确定其搭乘的具体列车与上车时间。此过程须兼顾时间（乘客与货物到达时间）和空间（列车容量、越行策略）约束。同时，考虑客货服务优先级，为实现系统整体效益最大化，运营方、乘客、货运代理方其中一方须做出让步。

上述问题紧密关联。为实现高质量列车运营与客货分配方案，本文提出考虑灵活编组和越行策略的运行图与车底运用计划联合优化方法，以提升服务能力与运输需求的匹配度，降低运营成本，并进一步验证城市地铁客货共运的可行性。

1.1 文献综述

作为城市货运的环保替代方案，基于地铁的城市货运具备显著潜力与可观的经济、环境效益[15‒17]，这也推动了城市地铁客货共运联合优化问题的研究。针对城市地铁运营中的运行图和车底运用计划两大核心问题，本文致力于优化列车运营与客货分配方案。相关文献综述分为以下三部分。

1.1.1 列车停站与运行图优化问题

列车停站与运行图是城市地铁运营管理的两大核心要素，备受学界关注。作为提升服务与效率的有效技术，列车越行策略指列车可跳过沿线部分车站。例如，Abdelhafiez等[18]构建非线性整数规划模型确定最优越行策略，将启发式算法求解结果与全站停靠策略对比，节省10%的乘客出行时间。Shang等[19]聚焦提升拥挤城市网络的公平性，根据乘客错过列车的次数构建离散状态表征系统公平性，建立多商品流模型优化列车越行计划。Jiang等[20]提出协同优化策略管控客流进站与列车越行作业，构建以最小化滞留乘客惩罚为目标的非线性模型，采用Q-learning算法求解。

运行图优化是城市地铁核心问题，确定每列列车在各车站的发车和到达时间。考虑城市地铁客流的时变特性[21]，制定需求敏感型运行图对满足客流需求、提升服务质量尤为重要[22‒23]。具体而言，针对动态客流，Niu和Zhou [22]对拥挤地铁走廊的运行图进行优化，构建模型以减少乘客候车时间与列车容量受限导致的滞留乘客数量，采用遗传算法求解。Barrena等[24]提出三种公式以最小化乘客候车时间优化运行图，采用分支切割算法开展数值实验，凸显了适配需求波动的灵活运行图设计优势。Shi等[23]制定特定最大发车间隔函数优化运行图，满足乘客出行服务需求。针对拥挤现象，Shi等[25]提出高效方法联合优化运行图与精准客流管控策略，并将其应用于地铁网络[26]。考虑客流的动态性与不确定性，Gong等[27]构建模型联合优化列车总数、发车间隔与速度曲线决策，对模型进行线性化处理并采用改进的变邻域搜索（VNS）算法求解。Zhou等[28]基于创新的灵活编组模式，构建运行图与车底运用计划协同优化模型，更好应对部分地铁线路的潮汐客流现象。但鲜有研究针对时变客货需求开展运行图优化。Behiri等[15]在关于地铁货运问题的讨论中，探讨了运营层面的运行图编制问题，但未给出具体求解方法。

考虑列车停站模式与运行图的关联性，诸多研究从系统优化角度出发，致力于制定高效策略联合优化上述两大问题。Yang等[29]研究构建列车停站与运行图联合优化的建模框架。Yang等[30]从地铁节能运营角度，构建多目标模型联合优化运行图与停站模式。Tian和Niu [31]基于时空网络，构建线性整数规划模型优化动态客流下的运行图与越行决策，采用列生成框架求解。Wu等[32]通过优化列车越行方案与运行图解决候车时间不均问题，提出混合整数线性规划（MILP）模型并结合VNS算法，在合理计算时间内得到可接受解。

1.1.2 列车编组与车底运用计划问题

以往城市地铁列车运营研究大多假定列车编组固定。但固定编组模式难以满足客流时空分布不均的需求。因此，可根据客流变化调整编组的灵活编组模式备受关注。例如，Liu等[33]基于现有列车编组技术定义四种编组类型，意味着可运营不同编组的列车适配客流需求。Li等[34]考虑多线路与列车尺寸，构建列车运营优化模型，并采用商业求解器直接求解。Xu等[35]考虑全程与短途交路、不同列车编组类型，构建列车运营方案优化模型，并采用遗传算法求解。

除给定多种列车编组类型外，诸多研究在探讨灵活编组模式时兼顾车底运用计划。为适配潮汐客流，Zhou等[28]构建协同模型，允许在地铁线路终点站通过解编或编组作业调整列车编组，实现运行图与车底运用计划协同优化。Pan等[36]基于时空网络，纳入灵活解编/编组作业，提出两种该问题模型，采用基于列生成框架的启发式算法求解。Zhao等[37]兼顾乘客服务质量与运营方成本，提出多目标混合整数非线性规划（MINLP）模型，旨在减少乘客候车时间、最小化车底需求量、降低解编作业频次。

此外，车底运用计划通常在运行图确定后制定[38‒39]。由于序贯决策方法难以实现系统最优性能，诸多研究聚焦运行图与车底运用计划协同优化[28,36,40‒42]。例如，Mo等[43]通过考虑能耗构建运行图与车底运用计划协同优化框架，并采用CPLEX求解器直接求解。Wang等[44]在相同问题背景下，拓展分析纳入多种列车运营参数（行驶与停站时间）。Yang等[45]研究异构车底下运行图与车底运用计划一体化优化，采用迭代规划方法求解。

1.1.3 基于地铁的城市货运问题

地下物流系统发展为未来城市可持续货运提供有效途径[5,46‒48]。短期内，基于现有地铁网络发展城市货运是缓解城市货运压力的替代方案，还可充分利用非高峰时段地铁线路富余运力。

宏观层面，诸多研究围绕物流网络规划、基础设施升级等问题展开。针对土地利用协调规划与基础设施发展政策，Horl等[49]探索提升铁路基础设施在货运中利用率的潜力，重点关注城市首末端配送。Zhao等[6]将城市地铁网络划分为若干子网络，构建设施选址模型，通过评估各车站重要性确定地铁末端配送枢纽。Dong等[50]考虑服务能力、货运需求、区域连通性，提出基于地铁的物流系统网络规划策略，构建MILP模型并设计混合算法求解。Zheng等[51]提出基于地铁的地下物流系统（MULS）选址优化方法，助力非高峰时段利用地铁网络开展货运，采用沃洛诺伊（Voronoi）图确定车站位置。

运营层面，Motraghi和Marinov [8]以及Dampier和Marinov [52]通过分析纽卡斯尔地铁网络，论证将城市地铁系统纳入货运的概念可行性。作为进一步应用，Brice等[9]研究利用地铁系统提供市中心至纽卡斯尔机场的行李运输服务，印证该创新系统的可行性。Behiri等[15]聚焦铁路货运调度问题，开发决策支持工具，辅助决策者建模与评估不同场景下系统动态变化。Ozturk和Patrick [2]提出基于地铁的货运问题决策支持系统，结合数学方法实现货物最优分配。Li等[53]构建优化模型确定运行图与货运分配方案，货运可通过专用货运列车或客运车厢富余容量实现。Hörsting和Cleophas [54]构建模型优化运行图与货物分配方案，减少乘客滞留和集装箱延误。Di等[55]从运营层面推进城市可持续货运，构建以最小化运营成本与总延误惩罚为目标的优化模型，设计改进Benders分解算法求解。Qi等[56]基于传统固定编组模式下客运优化模型，提出灵活编组模式与全站停靠策略下的客货共运模型。

综上，多数文献研究基于地铁的城市货运问题时，采用给定运行图或未考虑车底运用计划的方法。面对客货需求的多样性，单独优化方法难以实现兼顾运营方、乘客、货运代理方三方利益的系统最优运营方案。

1.2 本文研究重点

为利用非高峰时段城市地铁系统富余运力，实现城市货运可持续发展，本文提出客货共运的运行图与车底运用计划联合优化方法，重点考虑灵活编组模式和越行策略。表1 [2,15,53‒55,57‒60]列出相关研究。由表可知：①鲜有研究兼顾运营方、乘客、货运代理方三方利益。通常单一视角的服务质量或运营成本并非系统最优决策。因此，需要解决的核心问题是：在保障客运优先的前提下，以最经济的列车运营方案提升货运服务质量；②时变客流是设计列车运营方案的重要信息，但部分地铁货运问题仅模拟货运过程，极少研究在建模中同时纳入时变客货需求；③列车编组方案、停站计划、运行图、客货分配方案相互关联、相互影响，以往研究通常仅考虑部分要素，未将所有紧密关联要素纳入统一建模框架。

基于上述分析，本文主要贡献如下。

（1）聚焦非高峰时段地铁客货共运，提出双向地铁线路运行图与车底运用计划联合优化方法，重点考虑灵活编组模式和越行策略。该方法可选择不同列车编组模式，应对不均衡、时变的客货需求，同时纳入列车越行策略提升运输效率。与传统固定编组、全站停靠模式相比，该方法能更精准匹配客货需求，提升运输服务质量，显著降低地铁企业运营成本。

（2）针对系统优化问题构建MINLP模型。模型考虑实际列车运营约束与客货需求约束，将灵活列车编组和越行策略理念嵌入模型，刻画客货群体上车、乘车、下车的动态变化过程。特别地，基于货物分组理念，模型采用多重约束[即两条先进先出（FIFO）规则]，表征货物分配的内在优先级，保障货运效率与公平性。模型目标函数旨在降低运营成本、减少乘客滞留与货物群体延误，体现对运营方、乘客、货运代理方利益的协同兼顾。

（3）针对模型复杂性，采用定制化VNS算法，在合理计算时间内生成高质量解。为评估所提方法性能，基于简化算例与北京地铁亦庄线实测运营数据开展多组数值实验。此外，将所提方法与传统运营模式（即固定编组模式和全站停靠策略）对比，进一步验证所提方法适配时变客货需求的有效性。

本文剩余内容安排如下：第2节详细阐述问题描述与建模假设；第3节针对所研究问题构建MINLP模型；第4节开发基于VNS算法的启发式算法求解复杂模型；第5节基于简化算例与北京地铁亦庄线实测运营数据开展实证案例分析，验证所提方法；第6节总结全文并提出未来研究方向。

2 问题描述

本文研究双向城市地铁线路的客货共运问题，如图1所示。分别用

K ¯

与K表示两个运行方向的两组列车，线路两端各设有一个车辆段。

关于运输载体，基于地铁的货运问题通常有两种基本模式：一种是列车共享模式，即一列列车同时服务乘客与货物[55]；另一种是专用列车模式，即列车仅载客或仅载货[2]。也有研究提出混合模式，即除专用货运列车外，利用客运列车车厢富余空间运输货物[53]。但部分国家因多种原因，禁止同一车厢内客货混运[15]。因此，本文重点考虑灵活列车编组模式，列车可在线路两端的车辆段进行编组或解编作业。通过该方式，给定多种编组类型后，可考虑多种不同长度的列车编组类型（即每种编组模式下不同数量的客运与货运车厢）。意味着列车可采用纯客运编组、纯货运编组或客货混编编组，以应对不同规模的客货需求，如图2所示。但灵活列车编组方案的有效实施高度依赖车底运用计划质量。此外，车辆段内各类车底的初始数量通常预先给定，编组方案制定须严格满足可用车底约束（即资源有限）。

考虑到高峰时段客流较大，地铁系统货运服务一般在非高峰时段开展。为便于建模，将连续调度时段[0, T]离散化为T个时间间隔，每个间隔时长为δ。基于自动售检票（AFC）系统采集的乘客数据，采用时变起讫点矩阵描述每位乘客的出行路径与到达时间。

货运的纳入增加了运营方的管理难度。为保障货物集结、装卸、运输过程的安全、高效与公平，实现货运规模化运作的同时，最大限度降低对乘客出行的影响，本文采用货物分组理念，该理念已被Shang等[19]及Wu等[32]应用于客运领域。具体而言，若货物在同一时段内连续到达起点车站且目的地相同，可整合为一个货物组。货物组形成满足以下任一条件：①货物累计数量达到货物组数量上限；②分组过程时长达到设定时间上限。货物分组过程作为预处理步骤，提升列车资源利用率，同时保障优质货运服务。本文中，货物组信息预先给定。货物组采用标准货运集装箱运输，该假设已应用于多项以往研究[2,15]。此外，从公平性角度，货物组分配过程须遵循时空优先级，可细化为以下子规则[19,32]：①各车站早到达的货物组在时间顺序上优先上车；②上游车站等待的货物组在空间上优先上车。因此，货物组分配过程受列车容量（即列车编组类型）、列车越行策略与两条FIFO规则共同约束。

基于上述分析，本文旨在制定合理的列车运营方案（即运行图、越行策略和车底运用计划），考虑灵活列车运营模式并建立严格的客货分配规则，更好匹配时变客货需求。本文做出如下假设。

假设1：本文研究常规条件下的客货共运，不考虑各类事件的不确定扰动。区间运行时间与各停站车站客货运输所需停站时间假定为固定值。

假设2：本文考虑双向地铁线路，每个运行方向采用多种列车编组类型。编组与解编作业假定仅在车辆段实施，作业时长预先给定。

假设3：本文研究非高峰时段列车运力充足的客货共运，客货需求预先给定，所有运输需求均得到满足。

假设4：考虑客货间干扰，本文仅允许部分指定车站开展货运作业。所有货物按照分组规则预先分组并装入标准货运集装箱。

3 数学模型构建

3.1 符号与决策变量

模型构建涉及的所有符号与参数见表2。

根据所研究问题的特征，变量分为两大部分：第一部分为列车运营相关变量，包括运行图、越行策略和车底运用计划；第二部分为客货分配相关变量。第一部分变量如下。

（1）运行图相关变量。

t k, i (a)

：整数变量，列车k到达车站i的时间。

t k, i (d)

：整数变量，列车k驶离车站i的时间。

上述变量为运行图编制的核心决策变量。

（2）越行策略相关变量。

x k, n

：二进制变量，列车k选择客运停站模式n时

x k, n

= 1，否则为0。

ψ k, v

：二进制变量，列车k选择货运停站模式v时

ψ k, v

= 1，否则为0。

上述两个变量分别与客运、货运列车越行策略相关，共同确定每列列车的停站模式。如诸多研究所述，这些变量与运行图问题紧密相关（即列车决定越行某车站时，该站停站时间缩短，运行图相应调整）。为清晰表述，引入以下变量表示每列列车在各车站的实际停站时间，停站时间由客货运输所选停站模式决定。

t k, i (d w e l l)

：整数变量，表示列车k在车站i的停站时间，取值为0或固定值，取决于所选停站模式。

（3）车底运用计划相关变量。

y k, m

：二进制变量，列车k选择编组类型m时

y k, m

= 1，否则为0。

为确定车底运用计划，首先定义上述变量，根据客运/运货需求为每列列车选择特定编组，编组选择受各车辆段可用车底数量约束。但各车辆段可用车底数量通常随列车驶离或到达车辆段而变化。为保障列车编组方案顺利实施，引入以下变量，通过计算各车辆段可用客运/货运车底数量，作为列车发车指示变量（详见第3.2.2节）。

ρ k, i (t)

：二进制变量，列车k在时刻t或之前驶离车站i时

ρ k, i t

= 1，否则为0。

第二部分为客货分配相关变量，包括表示其在各列车上的分布以及刻画客流动态变化的变量，具体如下。

（1）客流分配相关变量。

λ k, i, j

：整数变量，列车k与k - 1之间，到达车站i且目的地为车站j并成功搭乘列车k的乘客数量。

S k, i, j

：整数变量，列车k与k - 1之间，到达车站i且目的地为车站j、未能搭乘列车k、需等待列车k + 1或k + 2的乘客数量。

ϱ k, i (t)

：二进制变量，时间戳t位于列车k - 1驶离车站i与列车k驶离车站i之间（即[

t k - 1, i (d)

t k, i (d)

]）时

ϱ k, i t

= 1，否则为0。

P k, i (b o a r d)

：整数变量，列车k在车站i的上车乘客数量。

P k, i (a l i g h t)

：整数变量，列车k在车站i的下车乘客数量。

P k, i (i n)

：整数变量，列车k在车站i与i + 1之间的载客数量。

（2）货运分配相关变量。

γ k, f

：二进制变量，货物组f被分配至列车k时

γ k, f

= 1，否则为0。

z k, f

：二进制变量，货物组f到达起运站时间早于列车k发车时间时

z k, f

= 1，否则为0。

C a p k, i

：整数变量，列车k在车站i的可用货运容量。

w f

：整数变量，货物组f的延误时间。

3.2 系统约束

本节系统阐述运行图、车底运用计划以及客货群体动态演化相关的各类约束，保证解的可行性。同时，将灵活列车编组与越行策略理念纳入约束体系。

3.2.1 运行图与越行约束

根据假设1，区间运行时间与列车停站时间预先确定。因此，列车k在各车站i的到站和发车时间须满足以下约束：

∑ n ∈ N x k, n = 1, ∀ k ∈ K ¯ o r ∀ k ∈ K ̲

(1)

∑ v ∈ V ψ k, v = 1, ∀ k ∈ K ¯ o r ∀ k ∈ K ̲

（2）

t k, i d w e l l = m a x t k, i P d w e l l ⋅ ∑ n ∈ N x k, n ⋅ θ n, i, t k, i F d w e l l ⋅ ∑ v ∈ V ψ k, v ⋅ ϵ v, i, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲

（3）

t k, i d = t k, i a + t k, i d w e l l, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ \ 1, S o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲ \ S + 1, 2 S

（4）

t k, i a = t k, i - 1 d + t k, i - 1 r u n, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ \ 1 o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲ \ S + 1

（5）

本文重点考虑列车越行策略，并将其嵌入运行图约束。决策变量

x k, n / ψ k, v

表示列车k为客货运输选择的停站模式，

x k, n = 1 / ψ k, v = 1

分别表示列车k选择停站模式n/v，否则

x k, n = 0 / ψ k, v = 0

。公式（1）和公式（2）约束表示每列列车仅能选择一种客运停站模式n与一种货运停站模式v。停站模式n/v的具体信息预先给定，

θ n, i = 1 / ϵ v, i = 1

分别表示在停靠车站i的停站模式n/v，否则

θ n, i = 0 / ϵ v, i =

0。给定所需停站时间[即

t k, i (P d w e l l)

、

t k, i (F d w e l l)

]与所选停站模式后，列车k在车站i的实际停站时间可由公式（3）约束计算。因此，给定上行与下行方向首列车从起点站的发车时间，即

t 1,1 (d)

、

t 1, S + 1 (d)

，确定发车间隔后，可通过公式（4）和公式（5）约束计算每列列车在各车站的到站和发车时间。

以图3为例，红色标记车站（即车站1、3、6）为可开展货运作业的车站。蓝色实线（记为I）和红色实线（记为II）分别表示客运和货运所选停站模式，实心点表示停靠，空心点表示越行。最终停站模式由上述两种停站模式整合得到，如黑色实线（记为III）所示。例如，列车A在前三个车站的最终停站时间可表示为t₁= max

t A, 1 (P d w e l l), t A, 1 (F d w e l l)

、t₂=

t A, 2 (P d w e l l)

以及t₃ =

t A, 3 (F d w e l l)

。该方式可灵活调整停站时间，适配客货装卸需求，同时兼顾列车运营效率。此外，特定时空条件下（如非高峰时段客流较低时），如图中列车B所示，可采用专用货运列车（如S-F、L-F）运输货物组，减少不必要停站，提升运营效率与服务水平。

h m i n ≤ t k + 1, i d - t k, i d ≤ h m a x, ∀ k ∈ K ¯ \ K ¯, i ∈ S ¯ \ S o r ∀ k ∈ K ̲ \ K ̲, i ∈ S ̲ \ 2 S

（6）

公式（6）约束用于保障相邻两列列车k + 1与k保持安全合理的发车间距，为常用约束条件。

3.2.2 列车编组与车底约束

为保障列车可用运力与客货需求最优匹配，避免运力浪费或拥挤，假定不同客运与货运车底可在车辆段进行编组和解编作业。因此，运营中将采用多种列车编组类型。但受实际条件限制（如列车长度约束、车站容量约束），列车编组类型通常有限。本文通过提供备选编组类型集，保障生成列车编组的可行性，且每列列车仅能采用一种编组类型，由此得到公式（7）约束。

∑ m ∈ M y k, m = 1, ∀ k ∈ K ¯ o r ∀ k ∈ K ̲

（7）

实际应用中，灵活的列车编组方案能否成功实施，取决于是否制定了合理的车底运用计划。在车辆段初始配置车辆数既定的情况下，随着完成上一趟运营任务的列车驶入以及执行新任务的列车驶出，车辆段内的车辆数量会在运营过程中动态变化。为了表述更清晰，诸多研究[22,28]中均引入了辅助二元变量

ρ k, i (t)

来表征列车的发车状态，其中

ρ k, i (t) = 1

表示列车k在时刻t或t之前从车站i发车，反之

ρ k, i t =

0。公式（8）明确了

t k, i (d)

与

ρ k, i (t)

之间的关联，公式（9）则保证

ρ k, i (t)

不会随时间推移而减小。此外，为了构建乘客分配（即人-车匹配）的线性约束条件，本文引入二元变量

ϱ k, i (t)

来计算车站i处列车k - 1与列车k的发车间隔，进而推导出公式（10）。

t k, i d = ρ k, i 1 + ∑ t - 1, t ∈ T t ⋅ ρ k, i t - ρ k, i t - 1, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲

（8）

ρ k, i t - 1 ≤ ρ k, i t, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯, t - 1, t ∈ T o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲, t - 1, t ∈ T

（9）

ϱ k, i t = 1 - ρ k, i t i f k = 1 ρ k - 1, i t - ρ k, i t o t h e r w i s e ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯, t ∈ T o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲, t ∈ T

（10）

基于辅助变量

ρ k, i (t)

的定义，可分别计算任意时刻车辆段内各类车型的保有量。下述约束条件能够保障城市轨道交通系统在维持列车运营可行性的同时，任一时刻都有充足的车辆投入后续运营任务。

I N V P ¯ + ∑ k ∈ K ̲ ∑ m ∈ M ρ k, 2 S (t - t s w i t c h - t f i x) ⋅ y k, m ⋅ v m P - ∑ k ∈ K ¯ ∑ m ∈ M ρ k, 1 t + t s w i t c h + t k, 1 d w e l l ⋅ y k, m ⋅ v m P ≥ 1, ∀ t, t - t s w i t c h - t f i x, t + t s w i t c h + t k, 1 d w e l l ∈ T

（11）

I N V F ¯ + ∑ k ∈ K ̲ ∑ m ∈ M ρ k, 2 S (t - t s w i t c h - t f i x) ⋅ y k, m ⋅ v m F - ∑ k ∈ K ¯ ∑ m ∈ M ρ k, 1 t + t s w i t c h + t k, 1 d w e l l ⋅ y k, m ⋅ v m F ≥ 1, ∀ t, t - t s w i t c h - t f i x, t + t s w i t c h + t k, 1 d w e l l ∈ T

（12）

式中，

I N V P ¯

和

I N V F ¯

分别为1号车辆段内客运、货运车辆的初始配置数量，该数量会随下行方向列车驶入车辆段而增加，随上行方向列车驶出车辆段而减少。具体而言，

t (s w i t c h)

为列车从终点站驶入车辆段或从车辆段驶回始发站的耗时；

t (f i x)

为列车在车辆段完成解编、编组作业的耗时（即列车驶入车辆段后，为执行下一趟运营任务所做的整备时间）。因此，若下行方向列车k在时刻t

- t (s w i t c h) - t (f i x)

或该时刻之前，已从终点站（即2

S

站）发车，即

ρ k, 2 S

- t (s w i t c h) - t (f i x)

) = 1，则表明在时刻t，列车k所采用编组方案的全部车辆均已完成整备，可投入上行方向的运营任务。同理，若上行方向列车k在时刻t +

t (s w i t c h)

t k, 1 (d w e l l)

或该时刻之前，已从1号始发站发车，即

ρ k, 1

(t +

t (s w i t c h)

t k, 1 (d w e l l)

) = 1，则表明在时刻t，列车k所采用编组方案的全部车辆已投入运营，而不再处于车辆段待运行状态。由于

v m (P)

和

v m (F)

分别表示列车k选用m型编组时，所配置的客运、货运车辆数量，因此公式（11）和公式（12）能够确保1号车辆段在任意时刻t，至少有1辆客运车辆和1辆货运车辆。此外，上述约束条件中已纳入必要的整备时间（即

t (s w i t c h)

、

t (f i x)

），因此可根据生成的灵活列车编组计划，快速确定各类车辆之间的具体调配关系。

针对2号车辆段的客运、货运车辆保有量，可参照上述逻辑，构建如公式（13）和公式（14）所示的约束条件。

I N V P ̲ + ∑ k ∈ K ¯ ∑ m ∈ M ρ k, S (t - t s w i t c h - t f i x) ⋅ y k, m ⋅ v m P - ∑ k ∈ K ̲ ∑ m ∈ M ρ k, S + 1 t + t s w i t c h + t k, S + 1 d w e l l ⋅ y k, m ⋅ v m P ≥ 1, ∀ t, t - t s w i t c h - t f i x, t + t s w i t c h + t k, S + 1 d w e l l ∈ T

（13）

I N V F ̲ + ∑ k ∈ K ¯ ∑ m ∈ M ρ k, S (t - t s w i t c h - t f i x) ⋅ y k, m ⋅ v m F - ∑ k ∈ K ̲ ∑ m ∈ M ρ k, S + 1 t + t s w i t c h + t k, S + 1 d w e l l ⋅ y k, m ⋅ v m F ≥ 1, ∀ t, t - t s w i t c h - t f i x, t + t s w i t c h + t k, S + 1 d w e l l ∈ T

（14）

3.2.3 乘客需求约束

本文研究背景为基于灵活编组和越行策略的城市轨道交通客货共运问题，研究目标是在保障运输服务质量的前提下，实现线路运营成本最小化。本研究规定，乘客在车站错过第一趟列车后，最多可等待后续两趟列车，据此推导出公式（15）。

λ k, i, j + s k, i, j = ∑ t ∈ T ϕ i, j, t ⋅ ϱ 1, i t, k = 1 λ k, i, j + s k, i, j = ∑ t ∈ T ϕ i, j, t ⋅ ϱ 2, i t + s k - 1, i, j, k = 2 λ k, i, j + s k, i, j = ∑ t ∈ T ϕ i, j, t ⋅ ϱ k, i t + s k - 1, i, j + s k - 2, i, j, o t h e r w i s e ∀ k, k - 1, k - 2 ∈ K ¯, i < j ∈ S ¯ o r ∀ k, k - 1, k - 2 ∈ K ̲, i < j ∈ S ̲

（15）

在上述约束条件中，

λ k, i, j

表示在列车k - 1与列车k的运营间隔内，从车站i出发、前往车站j并成功登上列车k的乘客数量；

ϕ i, j, t

表示时刻t从车站i出发、前往车站j的乘客到达量。特别地，引入

S k, i, j

表示到达车站i的乘客中，因错过第一趟列车k，须等待后续列车k + 1或列车k + 2乘车的人数，下文将此类乘客定义为滞留乘客。显然，实际运营中会出现以下三种情况：①对于首趟列车，在其从车站i发车前到达该站的乘客，全部为登上首趟列车的乘客（即

λ 1, i, j

）和首趟列车的滞留乘客（即

S 1, i, j

）；②对于第二趟列车，在列车1与列车2从车站i的发车间隔内到达该站的乘客，加上列车1发车时的滞留乘客（即

S 1, i, j

），总数等于登上列车2的乘客数（即

λ 2, i, j

）与列车2的滞留乘客数（即

S 2, i, j

）之和；③对于其余列车，在列车k -1与列车k从车站i的发车间隔内到达该站的乘客，加上列车k - 2和列车k - 1发车时的滞留乘客，总数等于登上列车k的乘客数与列车k的滞留乘客数（即 $S k, i, j$ ）之和。

为便于理解，图4通过实例展示了上述滞留乘客数量的计算场景。图中采用不同颜色，标识在相邻列车k - 1与列车k发车间隔内到达的乘客，最终登上列车k或滞留等待后续列车k + 1、列车k + 2的不同情况：绿色代表乘客到达车站i后，成功登上第一趟到站列车；蓝色和黄色分别代表乘客在车站i错过第一趟列车后，须等待后续一趟或两趟列车乘车的情况。本实例中，假设列车k - 2的载客容量为2人，在列车k - 3与列车k - 2的发车间隔内，有4名乘客到达车站i [即 $∑ t ∈ T ϕ i, j, t$ · $ϱ k - 2, i$ (t) = 4]，受列车容量限制，将有2名乘客滞留（即 $s k - 2, i, j$ = 2，如图中黄色标识所示）。为在运输服务水平与运营成本之间实现更优平衡，若列车k - 1被规划为不在车站i为乘客提供服务（例如，列车k - 1为货运列车，或列车k - 1越行通过车站i所带来的收益能够覆盖乘客滞留产生的惩罚成本），则在列车k - 2与列车k - 1发车间隔内到达车站i的乘客[即 $∑ t ∈ T ϕ i, j, t$ · $ϱ k - 1, i$ (t) = 1，如图中蓝色标识所示]及列车k - 2产生的滞留乘客（即 $s k - 2, i, j$ ，如图中黄色标识所示）将继续在车站i等待后续列车k。需注意的是，由于列车k - 2产生的滞留乘客已达到最大等待趟数限制，因此必须确保列车k具备充足的载客容量来搭载此类乘客；否则，须重新制定整体列车运营计划。本研究重点分析列车越行策略与灵活编组模式的影响，公式（15）可根据实际需求灵活调整，对乘客最大等待趟数设置不同限制，从而为乘客提供不同等级的运输服务。

λ k, i, j ≤ U ⋅ ∑ n ∈ N x k, n ⋅ θ n, i ⋅ θ n, j, ∀ k ∈ K ¯, i < j ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i < j ∈ S ̲

(16)

公式（16）建立了列车越行模式与乘客分配之间的关联：乘客仅能由在其起讫站均停靠的列车运送。这意味着，若某起讫点对的乘客由列车k运送（即 $λ k, i, j$ > 0），则列车k选定的越行模式，必须在该起讫点的两个车站均停靠（即 $x k, n · θ n, i$ · $θ n, j$ = 1）；反之，若列车k选定的越行模式未在某起讫点的任一车站停靠（即 $x k, n · θ n, i$ · $θ n, j$ = 0），则该起讫点对的乘客不得分配至该列车（即 $λ k, i, j$ = 0）。

列车在车站停靠时，部分车上乘客将下车结束行程，同时站台等待乘客将上车，导致车内载客量动态变化。

P k, i b o a r d = ∑ j = i + 1 S λ k, i, j, ∀ k ∈ K ¯, i < j ∈ S ¯

(17)

P k, i b o a r d = ∑ j = i + 1 2 S λ k, i, j, ∀ k ∈ K ̲, i < j ∈ S ̲

(18)

公式（17）和公式（18）分别表示列车在上下行方向各车站的上车人数。其中，列车k在车站i的上车人数 $P k, i (b o a r d)$ 为该列车上从车站i出发、前往同方向后续各车站的乘客总数。

P k, j a l i g h t = 0, j = 1 o r j = S + 1 P k, j a l i g h t = ∑ i = 1 j - 1 λ k, i, j, o t h e r w i s e, ∀ k ∈ K ¯, i < j ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i < j ∈ S ̲

(19)

同理，除各方向始发站无乘客下车外，列车k在车站j的下车人数，等于该列车从前方各车站运送、以车站j为目的地的乘客总数，公式（19）明确了这一关系。

基于上述列车上下车人数的定义，可通过公式（20）的约束条件，确定各列车在运营过程中的动态载客量。

P k, i i n = P k, i b o a r d, i = 1 o r i = S + 1 P k, i i n = 0, i = S o r i = 2 S P k, i i n = P k, i - 1 i n + P k, i b o a r d - P k, i a l i g h t, o t h e r w i s e, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲

(20)

式中，列车k从车站i发车时的车内载客量 $P k, i (i n)$ 由列车在车站i - 1的车内载客量，加上车站i的上车人数，再减去车站i的下车人数得到。显然，列车在始发站发车时的车内载客量，等于该站的上车人数；在终点站发车时，车内无剩余乘客。

最后，列车的载客容量由其选定的编组模式决定，本研究采用参数 $Q m (P)$ 表示第m种列车编组模式的额定载客容量。为保障乘客乘车的安全性与舒适性，构建公式（21）的约束条件，以确保列车k的实际载客量不超过其额定载客容量。

P k, i i n ≤ ∑ m ∈ M Q m P ⋅ y k, m, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲

(21)

3.2.4 货运需求约束

本研究中，城市轨道交通货运服务安排在客流非高峰时段开展。为保障货运服务质量，专门引入时空FIFO规则，规范货运组的装车作业流程。

货运组的分配结果由其到达时间和货运量决定，在此基础上，构建一系列刚性约束条件，制定货运运输方案。

∑ k ∈ K ¯ γ k, f = 1, ∀ f ∈ F

(22)

∑ k ∈ K ̲ γ k, f = 1, ∀ f ∈ F

(23)

引入二元决策变量 $γ k, f$ 确定货运组的运输计划，其中 $γ k, f$ = 1表示货运组f被分配至列车k运输，反之 $γ k, f$ = 0。每个货运组仅能由一趟列车运输。为保障运输计划的可行性，须满足特定条件：若货运组f被分配至列车k（即 $γ k, f$ = 1），则列车k必须在货运组f的始发站o_f 和终点站e_f 均停靠，且货运组f到达其始发站的时间须早于列车k从该站的发车时间[即 $t o f (f)$ < $t k, o f (d)$ ]。为此，构建如下约束条件：

γ k, f ≤ ∑ n ∈ N ψ k, v ⋅ ϵ v, o f, ∀ k ∈ K ¯, o f ∈ S ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, o f ∈ S ̲, f ∈ F

(24)

γ k, f ≤ ∑ n ∈ N ψ k, v ⋅ ϵ v, e f, ∀ k ∈ K ¯, e f ∈ S ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, e f ∈ S ̲, f ∈ F

(25)

U ⋅ z k, f + t o f f ≥ t k, o f d, ∀ k ∈ K ¯, o f ∈ S ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, o f ∈ S ̲, f ∈ F

(26)

U ⋅ z k, f - 1 + t o f f < t k, o f d, ∀ k ∈ K ¯, o f ∈ S ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, o f ∈ S ̲, f ∈ F

(27)

γ k, f ≤ z k, f, ∀ k ∈ K ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, f ∈ F

(28)

式中，引入二元变量 $z k, f$ 表征货运组f的到达时间与列车k从其始发站 $0 f$ 发车时间的关系：若货运组f到达其始发站的时间早于列车k从该站的发车时间，则 $z k, f$ =1，否则 $z k, f$ = 0。因此，公式（26）至公式（28）通过将列车运行图与货运组分配相关联，保障货运组运输的时间可行性；公式（24）和公式（25）通过将列车越行模式与货运组分配相关联，保障货运组运输的空间可行性。

公式（29）专门用于保障货运组分配遵循时间FIFO规则，即同一始发站到达的货运组，先到达者享有优先装车权。具体而言，对于同一始发站的任意两个货运组f '和f，若货运组f '的到达时间早于货运组f，且货运组f被分配至列车k，则货运组f '必须被分配至列车k或更早的列车。

∑ τ = 1 k γ τ, f' ≥ γ k, f, t o f' f' ≤ t o f f, ∀ k ∈ K ¯, f', f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, f', f ∈ F

(29)

公式（30）用于保障货运组分配遵循空间FIFO规则，即可用列车不得滞留上游车站的货运组，而为下游车站的货运组预留运能。本研究中，“可用列车”须满足以下三个条件：①列车k在货运组f的始发站停靠，即 $∑ v ∈ V ψ k, v$ · $ϵ v, 0 f$ = 1；②货运组f到达其始发站的时间早于列车k从该站的发车时间，即 $z k, f$ = 1；③列车到达该站时具备充足的可用货运容量，即 $C a p k, 0 f - g f$ ≥ 0。需要注意的是，公式（30）不等式右侧额外加1，其目的是确保：若前两个条件均满足，且列车k在货运组f始发站 $o f$ 的可用货运容量恰好等于货运组f的货运量（即 $C a p k, o f - g f$ = 0），则货运组f必须由列车k或前方列车运输（即确保不等式右侧大于0）。

U ⋅ ∑ τ = 1 k γ τ, f ≥ U ∑ v ∈ V ψ k, v ⋅ ϵ v, o f - 1 + U (z k, f - 1) + C a p k, o f - g f + 1, ∀ k ∈ K ¯, o f ∈ S ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, o f ∈ S ̲, f ∈ F .

(30)

关于列车在各车站的可用货运容量 $C a p k, i$ ，可通过公式（31）至公式（33）计算得出：列车在始发站的可用货运容量由公式（31）和公式（32）计算得出，为选定编组模式的额定货运容量，减去从始发站发出的货运量；列车k在中间站i的可用货运容量，由公式（33）计算得出，为列车在车站i - 1的可用货运容量，加上车站i的卸货运量，再减去车站i的装货运量。

C a p k, 1 = ∑ m ∈ M Q m F ⋅ y k, m - ∑ f ∈ F ¯ 1 g f ⋅ γ k, f, ∀ k ∈ K ¯

(31)

C a p k, S + 1 = ∑ m ∈ M Q m F ⋅ y k, m - ∑ f ∈ F ¯ S + 1 g f ⋅ γ k, f, ∀ k ∈ K ̲

(32)

C a p k, i = C a p k, i - 1 + ∑ f ∈ F i ̲ g f ⋅ γ k, f - ∑ f ∈ F i ¯ g f ⋅ γ k, f, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ \ 1 o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲ \ S + 1

(33)

最后，公式（34）确保列车k从任意车站i发车时的可用货运容量，不超过其选定编组模式的额定货运容量。

0 ≤ C a p k, i ≤ ∑ m ∈ M Q m F ⋅ y k, m, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲

(34)

3.3 目标函数

本研究从轨道交通运营方、乘客、货运方三方视角出发，将经济效益和服务质量双目标纳入目标函数。

3.3.1 经济目标——总运营成本

列车越行策略和灵活编组模式的设计，旨在实现运输服务与客货需求的精准匹配。通常，列车的停靠站数和编组模式类型对轨道交通线路的运营成本影响显著。为量化该影响，本研究将运营成本表示为：选定编组模式的成本、列车停靠站数、停靠相关系数 $ξ$ 三者的乘积。需要说明的是，计算列车停靠站数时，须同时考虑客运和货运两种停靠模式：仅当客运和货运停靠模式均允许列车越行通过某车站时（即 $∑ n ∈ N x k, n · θ n, i$ = 0且 $∑ v ∈ N ψ v, n$ · $ϵ v, i$ =0），列车方可越行通过该站；否则，列车必须在该站停靠，以满足客货运输需求。据此，线路总运营成本可表示为

F c o s t = ∑ k ∈ K ¯ ∑ m ∈ M y k, m ⋅ C c o s t, m ⋅ ξ ⋅ ∑ i ∈ S ¯ m a x ∑ n ∈ N x k, n ⋅ θ n, i, ∑ v ∈ V ψ k, v ⋅ ϵ v, i + ∑ k ∈ K ̲ ∑ m ∈ M y k, m ⋅ C c o s t, m ⋅ ξ ⋅ ∑ i ∈ S ̲ m a x ∑ n ∈ N x k, n ⋅ θ n, i, ∑ v ∈ V ψ k, v ⋅ ϵ v, i

为便于表述，引入辅助二元变量 $φ k, i$ ，表征整合两种停靠模式后列车的实际停靠状态：若列车k在车站i停靠，则 $φ k, i$ = 1，反之 $φ k, i$ = 0。因此， $φ k, i$ = max $∑ n ∈ N x k, n · θ n, i, ∑ v ∈ N ψ v, n$ · $ϵ v, i$ ，可通过公式（35）的线性约束条件等价替换。

φ k, i ≥ ∑ n ∈ N x k, n ⋅ θ n, i, φ k, i ≥ ∑ v ∈ V ψ k, v ⋅ ϵ v, i, φ k, i ≤ ∑ n ∈ N x k, n ⋅ θ n, i + ∑ v ∈ V ψ k, v ⋅ ϵ v, i, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯ o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲

(35)

此外，引入另一辅助二元变量 $ϖ k, i, m$ = $y k, m$ · $φ k, i$ ，并构建如公式（36）所示的线性约束条件。

ϖ k, i, m ≤ y k, m, ϖ k, i, m ≤ φ k, i, ϖ k, i, m ≥ y k, m + φ k, i - 1, ∀ k ∈ K ¯, i ∈ S ¯, m ∈ M o r ∀ k ∈ K ̲, i ∈ S ̲, m ∈ M

(36)

由此，公式（37）表示轨道交通线路的总运营成本。

F c o s t = ξ ⋅ ∑ k ∈ K ¯ ∑ m ∈ M ∑ i ∈ S ¯ C c o s t, m ⋅ ϖ k, i, m + ξ ⋅ ∑ k ∈ K ̲ ∑ m ∈ M ∑ i ∈ S ̲ C c o s t, m ⋅ ϖ k, i, m

(37)

3.3.2 服务质量目标——滞留乘客数

为在最小化运营成本、提升列车运营效率的同时，保障较高的服务质量，部分乘客可能需要等待下一趟甚至下两趟列车乘车，此类乘客即为前文定义的滞留乘客。显然，滞留乘客数是衡量客运服务质量的关键指标，线路总滞留乘客数可表示为

P d e t a i n e d = ∑ k ∈ K ¯ ∑ i ∈ S ¯ ∑ j > i ∈ S ¯ s k, i, j + ∑ k ∈ K ̲ ∑ i ∈ S ̲ ∑ j > i ∈ S ̲ s k, i, j

(38)

3.3.3 服务质量目标——货运组延误时间

对于轨道交通货运服务而言，货运方更关注货运组的到达时间，因此最小化货运组延误时间，是货运服务的重要优化目标。本研究中，每个货运组仅能由一趟列车运输：若货运组f由列车k运输（即 $γ k, f$ = 1），则该货运组的延误时间为列车k到达其终点站 $e f$ 的时间减去货运组f的预计到达时间；反之，货运组f的延误时间 $w f$ 为0。据此，货运组的延误时间可表示为

w f = t k, e f a - t e f f, γ k, f = 1 0, γ k, f = 0, ∀ k ∈ K ¯, e f ∈ S ¯, f ∈ F o r ∀ k ∈ K ̲, e f ∈ S ̲, f ∈ F .

(39)

轨道交通线路所有货运组的总延误时间，计算如下：

T c a r g o s = ∑ f ∈ F w f

(40)

随后，引入成本系数 $σ 1$ 和 $σ 2$ （分别表示单位滞留乘客成本和单位货运组延误成本），将经济效益和服务质量双目标转化为单目标优化框架。同时，引入权重系数c₁、c₂、c₃（分别表示总运营成本、滞留乘客数、货运组总延误时间在目标函数中的相对重要性），决策者可根据不同运营场景，设置不同的权重组合，实现运营成本与服务质量的平衡优化。

m i n F = c 1 ⋅ F c o s t + c 2 ⋅ σ 1 ⋅ P d e t a i n e d + c 3 ⋅ σ 2 ⋅ T c a r g o s

(41)

综上，本研究构建的模型可表示为

m i n F = c 1 ⋅ F c o s t + c 2 ⋅ σ 1 ⋅ P d e t a i n e d + c 3 ⋅ σ 2 ⋅ T c a r g o s s . t . C o n s t r a i n t s i n E q s . (1) - (6), (7) - (14), (15) - (21), (22) - (34), (35) - (40)

(42)

需要说明的是，该模型是一种适用于灵活编组和越行策略下，城市轨道交通客货共运的列车运行图与车底运用计划联合优化通用方法。决策者可根据实际运营情况，调整车辆段初始配置车辆数、列车解编时间和联挂时间、列车容量等关键参数，使模型更贴合实际运营需求。

3.4 复杂度分析

表3反映了所提模型的规模与复杂度，模型中决策变量和核心约束条件的总数主要与列车数、车站数、编组类型数、越行策略数、货运组数、离散时间戳数相关。例如，当线路包含10座车站、各方向30趟列车、5种列车编组类型、5种列车停靠模式、10个货运组、120个离散时间戳时，所提模型包含7 980个决策变量和151 210个辅助变量。显然，考虑灵活编组和越行策略的城市轨道交通客货共运列车运行图与车底运用计划联合优化模型属于MINLP模型，其计算复杂度会随问题规模的扩大而显著增加。

4 求解方法

由第3.4节的复杂度分析可知，对于实际运营中服务规模较大的问题，模型的计算规模庞大，不仅需要耗费大量计算时间，甚至商业求解器（如GUROBI）也无法求得可行解。通过分析所提模型的特征，本文提出一种基于VNS算法与GUROBI求解器的启发式算法。VNS算法由Mladenović和Hansen [61]提出，是一种高效的元启发式算法，已被成功应用于列车运行图相关优化问题的求解[28,32,62]。下文将详细阐述该算法的实现细节。

4.1 VNS算法框架

VNS算法主要包含震荡过程和变邻域下降（VND）过程两部分。VND过程本质是一种局部搜索过程，在由不同邻域操作构成的多个邻域结构中交替搜索，其核心思想为：若在当前邻域中无法找到更优解，则跳转至下一个邻域继续搜索（如图5中黑色虚线所示）；若在当前邻域中找到更优解，则跳转回第一个邻域重新开始搜索（如图5中红色实线所示）。VND过程的框架如算法1所示。

对于此类优化问题，在某一邻域内得到的局部最优解在另一邻域中可能不再具备最优性；而全局最优解则须在所有可能的邻域中均保持最优性。因此，在计算时间允许的情况下，应尽可能探索更多类型的邻域。VNS算法通过VND过程交替在不同邻域中搜索，拓展了局部搜索方法的搜索广度和深度；当VND过程无法找到更优解时，通过震荡过程按特定规则生成新解。VNS算法的具体流程如算法2所示。

4.2 解的表示

由第3.4节的模型复杂度分析可知，所提模型的决策变量数量庞大，直接求解难度较高。模型中的决策变量主要分为四类：①列车运行图变量 $t k, i (a)$ 、 $t k, i (d)$ ；②越行策略变量 $x k, n$ 、 $ψ k, v$ ；③列车编组变量 $y k, m$ ；④客货分配变量 $λ k, i, j$ 、 $s k, i, j$ 、 $γ k, f$ 。若固定 $t k, i (a)$ 、 $t k, i (d)$ 、 $x k, n 和 ψ k, v$ 的取值，并剔除相关复杂约束条件以简化问题，则剩余子问题可通过GUROBI等求解器高效求解。因此，可将原问题分解为相互关联的两层：上层问题确定列车运行图和越行策略；下层问题完成列车编组类型选择和客货分配。将上层问题求解得到的列车运行图和越行策略，传递至下层问题；剔除对应复杂约束条件后求解简化的下层问题，将求解结果反馈至上层问题进行解的评价与更新。通过上下层问题的迭代求解，可在合理的计算时间内，得到逼近最优解的可行解。关于解的表示：由于列车区间运行时间和车站停站时间均为预设值，若已知相邻两趟列车从始发站的发车间隔，且确定每趟列车的客运、货运两种停靠模式，则可通过公式（4）和公式（5）的约束条件，快速计算得到具体的列车运行图。因此，本算法的解表示为h = ( $∂, χ$ )，其中 $∂$ 为列车发车间隔向量，维度为 $K ¯ + K ̲ - 2$ ； $χ$ 为越行策略向量，维度为2 $K ¯ + K ̲$ 。

4.3 评价函数与初始解

在设计的算法中，结合客货流的分布特征，预先设定多种备选停靠模式，以避免列车过度越行，保证解的可行性。此外，在求解过程中，对每次迭代生成的解均进行可行性检验；若得到不可行解，则重新生成新解。因此，在整个搜索过程中，可直接将模型的目标函数作为算法的评价函数。对于第一次迭代的初始解，输入参数设置为：在[h_min, h_max]范围内随机生成的列车发车间隔以及传统的站站停运行策略。

4.4 邻域结构

如前所述，VNS算法主要包含两大核心环节：①通过震荡过程生成不同的邻域解（即为VND过程提供不同的初始解），提升解的多样性；②通过VND过程在不同邻域中交替搜索，提升解的最优性。邻域结构对算法的求解效率至关重要，震荡过程和VND过程须设计不同的邻域操作，具体如下。

4.4.1 震荡过程的邻域结构

算法的解主要包含列车运行图和越行策略两类变量，因此可为震荡过程构建两种邻域结构，记为 $𝒩 r$ （r = 1,2,...,R），本研究中R = 2，具体如下。

• 交换发车间隔：震荡过程的第一种邻域结构针对列车发车间隔，在保持越行策略矩阵 $χ$ 不变的前提下，随机选取发车间隔向量 $∂$ 中的两个元素，交换其位置。图6（a）以列车发车间隔向量 $∂$ = {2, 2, 3, 4, 2, 3}为例，阐释该邻域操作：若选取列车2~3、列车4~5的发车间隔进行交换，将得到新的列车发车间隔向量 $∂'$ = {2, 4, 3, 2, 2, 3}。

• 调整列车越行策略：震荡过程的第二种邻域结构针对列车越行策略，在保持发车间隔向量 $∂$ 不变的前提下，随机选取越行策略向量 $χ$ 中的一趟列车，调整其选定的停靠模式（即客运停靠模式和货运停靠模式）。需要注意的是，为适配客货运输需求，本研究预先设定了多种越行策略，并采用二元决策变量 $x k, n$ 和 $ψ k, v$ 分别表示列车k对客运停靠模式n、货运停靠模式v的选择。图6（b）以调整列车客运停靠模式为例进行说明：若选定列车2进行停靠模式调整（即原模式为站站停的常规模式），则为其随机选取一种灵活越行模式（如灵活越行模式2）。该操作的核心思路为：若某一时间段内，某车站的客货需求较小或无需求，列车可越行通过该站，提升运营效率；通过随机选取灵活越行模式，可进一步增强所提算法的搜索能力。

4.4.2 VND过程的邻域结构

本研究为VND设计三种不同的邻域结构，记为 $𝒩 l$ （r = 1, 2, ..., L），本研究中L = 3，具体细节如下。

• 调整发车间隔：VND过程的第一种邻域结构针对列车发车间隔，随机选取发车间隔向量 $∂$ 中的两个元素 $ς 1$ 和 $ς$ ₂，对 $ς 1$ 的取值进行增加，对 $ς$ ₂的取值进行等额减少。图7（a）以实例说明该操作：发车间隔向量 $∂$ = {2, 2, 3, 4, 2, 3}，若随机选取列车2~3的发车间隔（即 $ς 1$ ={2}）和列车4~5的发车间隔（即 $ς$ ₂={4}），调整步长为1 min，则更新后的发车间隔向量 $∂$ ' = {2, 3, 3, 3, 2, 3}（即第2个元素增至3，第4个元素减至3）。需要特别注意的是，调整过程中须考虑发车间隔的最小值（如2 min，黄色背景）和最大值（如4 min，绿色背景），以保障生成解的可行性。

• 反转发车间隔：VND过程的第二种邻域结构同样针对列车发车间隔：随机选取发车间隔向量 $∂$ 中的两个元素，将两元素之间的所有元素进行反转。例如，图7（b）中发车间隔向量 $∂$ = {2, 2, 3, 4, 2, 3}，若选取第三个元素（即列车3~4的发车间隔）和第五个元素（即列车5~6的发车间隔），将两元素之间的元素反转，将得到新的发车间隔向量 $∂$ ' = {2, 2, 2, 4, 3, 3}。

• 调整列车越行策略：VND过程的第三种邻域结构针对列车越行策略与震荡过程中的同类邻域操作不同，本过程中增加选定调整越行模式的列车数量，旨在通过提升每次迭代的解变化幅度加快算法的搜索进程。图7（c）以实例说明：随机选取列车2和列车k，将其常规站站停模式调整为任意一种灵活越行模式。

5 数值算例

本节通过简易算例和北京地铁亦庄线实际案例设计多组数值算例，验证所提方法的有效性。所有实验均在搭载英特尔i7-8750中央处理器（CPU）的Windows 11操作系统上完成，采用Python语言结合Gurobi 9.5.2优化软件实现。

5.1 简易算例

本研究以一条双向运营的地铁线路为简易算例验证所提方法，线路各方向均设6座车站（即上行车站集 $S ¯$ ={0, 1, 2, 3, 4, 5}、下行车站集 $S ̲$ ={6, 7, 8, 9, 10, 11}，其中粗体标注车站可提供货运装卸服务）。实验研究时段为80 min，离散时间间隔设为1 min，各方向开行14趟列车（即上行列车0~13、下行列车14~27。假设所有列车在各车站的客货运停站时间均为1 min，上下行方向的区间运行时间分别设为{3, 4, 5, 2, 5}和{5, 2, 5, 4, 3} min。结合城市轨道交通客货共运的应用背景，本研究多数实验基于非高峰客流开展，实验对应的客货需求分布分别如图8（a）和（b）所示。为实现非高峰时段运能与需求的精准匹配，本研究设置5种列车编组类型，分别为大型客运（L-P）列车、小型客运（S-P）列车、客货混编（M-P-F）列车、小型货运（S-F）列车和大型货运（L-F）列车，对应的单位运营成本依次为{10 000, 8 000, 9 000, 7 000, 8 500}，额定客货运容量依次为{(1 600, 0), (600, 0), (600, 300), (0, 300), (0, 600)}。为统一目标函数量纲，将单位滞留乘客成本 $σ$ ₁和单位货运组延误成本 $σ$ ₂分别设为2000和1000；同时，考虑到客运服务质量是客货共运的实施前提，将目标函数中运营成本、滞留乘客数、货运延误的权重系数分别设为c₁ = 0.4、c₂ = 0.5、c₃ = 0.1，其余相关参数如表4所示。

（1）VNS算法不同初始解与邻域规模的性能对比。首先，本研究设计实验验证不同初始解对VNS算法性能的影响。如第4.2节所述，算法解由列车发车间隔向量 $∂$ 和越行策略向量 χ 构成，因此针对两类向量各设计两种生成方式：发车间隔采用随机生成和均匀生成，越行策略采用传统站站停和基于客流分布特征预设计的越行策略，最终得到4种初始解组合方式。实验结果与算法收敛过程分别如表5和图9（a）所示，表5第6列中偏差值（Dev）表示所得解的目标函数值与最优解的偏差程度。可发现，经过150次迭代后，不同初始解对求解时间和解质量的影响可忽略不计，目标函数值偏差均小于0.5%。由图9（a）可知，基于客流时空分布预设计越行策略（即算例2对比算例1、算例4对比算例3）能得到更优的初始解，但随着迭代次数增加，各收敛曲线逐渐重合，说明初始解质量对算法的迭代速度影响较小。

随后，本研究设计实验分析最大迭代次数和邻域规模（即每个邻域结构中单次邻域操作生成的候选解数量）对VNS算法求解时间和解质量的影响，这两个因素共同决定了算法单次迭代生成的新解数量和终止条件。如第4.1节所述，震荡过程的作用是生成新解以探索不同邻域，本实验将震荡过程的候选解数量固定为1（即|N_r (x)| = 1），重点分析VND过程中候选解数量变化对算法性能的影响。

表6中，Dev同样表示所得解与最优解的目标函数值偏差。由算例1~4可发现，增加邻域规模（即|N_l (x)|）和最大迭代次数能有效降低目标函数值；但当迭代次数超过100次后，算法趋于收敛并保持稳定，目标函数值仅产生微小偏差（尤其是|N_l (x)|设为3和4的算例5、6、8、9），这一规律在图9（b）中也得到验证。因此，为平衡求解质量与计算效率，后续简易算例将最大迭代次数设为100，邻域规模|N_l (x)|设为3。

（2）灵活列车编组模式的有效性分析。灵活列车编组模式可根据客货需求波动动态调整编组类型，实现运能与运输需求的精准匹配，同时提升客货运服务质量。地铁客流通常分为高峰、平峰（峰谷过渡）和非高峰三个时段。考虑到货运对客运服务的影响，本研究选取客流相对较低的两个时段开展实验，验证灵活编组模式在客货共运中的应用效果。

非高峰时段灵活编组模式的运行效果。非高峰时段客流通常较小，行业内常用的运营方式是开行单一类型列车并采用较低发车间隔[图8（a）]。考虑到客货运服务的相互干扰，非高峰时段是开展客货共运、充分挖掘列车运能潜力的最佳时段。本实验结合图8（b）中的货运需求分布设置多组货运需求，实现非高峰时段列车运能的充分利用；同时针对客货需求的动态变化，分别设置客货混编（即M-P-F）固定编组模式和灵活编组模式（即L-F、L-P、S-F、S-P、M-P-F五种编组类型）开展对比实验，结果如表7所示。表中Dev为两种编组模式下目标函数值的偏差，第二列编组类型左侧数字为该类型列车的实际开行数量。

由表7可知，在28趟列车的开行规模下，两种编组模式均能较好地满足客货运需求，无货运组延误，滞留乘客数为0或仅有少量滞留。灵活编组模式需要为每趟列车确定具体编组类型，因此求解最优解需要消耗更多计算时间；但相较于固定编组模式，灵活编组模式的目标函数值降低了18.5%，运营成本减少了19.9%。这是因为灵活编组模式可动态调整列车编组配置。例如，本实验中采用16列S-P列车、8列M-P-F列车、4列S-F列车的精准编组方案，实现了客货需求的高效匹配，体现了非高峰时段灵活编组模式在客货共运中的应用优势。需要说明的是，结合越行策略时，会出现少量乘客滞留（4人），这是客货共运中平衡服务质量与运营成本的可接受取舍。

平峰时段灵活编组模式的运行效果。平峰（峰谷过渡）时段是灵活编组模式开展客货共运的另一适宜场景。该时段客流呈逐渐下降趋势[图10（a）]，此时动态调整列车编组以更好地匹配需求变化尤为重要：客流较大时，开行L-P列车满足客流需求；客流降至一定水平后，换开S-P列车，在保障客运服务质量的同时降低运营成本；对于客流较小的车站，开行小型货运（S-F）列车或M-P-F列车承接货运需求[图10（b）]，能充分发挥地铁线路的运能潜力。本实验同样设置M-P-F固定模式和灵活编组模式（即L-F、L-P、S-F、S-P、M-P-F五种编组类型），开展平峰时段的客货共运对比实验，结果如表8所示。

表8结果表明，灵活编组模式能更好地适应平峰时段客货流的动态波动：客流高峰阶段开行1列L-P列车，满足客流需求且无乘客滞留（PD = 0）；客流逐渐下降后，换开S-P列车和M-P-F列车，在不影响客运服务的前提下承接货运需求；60 min后客流为0时，开行2列S-F列车完成剩余货运任务。受列车编组长度限制，固定编组模式虽能较好匹配小规模货运需求（货运延误时间CD = -60，即大部分货运组可提前到达），但无法满足高峰时段的客流需求，造成大量乘客滞留（PD = 356），产生高额的乘客滞留成本。最终，灵活编组模式的目标函数值较固定编组模式降低49.3%。

上述两个场景的实验结果表明，面对动态变化的客货需求，灵活编组模式相较于固定编组模式具有显著优势，能在保障运输服务质量的前提下有效减少资源浪费。同时，实验结果也验证了不同客货需求规模下开展城市轨道交通客货共运的可行性。

（3）列车越行策略的有效性分析。传统地铁运营为便于组织，通常采用站站停的运行模式。但客货流在时空分布上存在不均衡性，部分车站在特定时段（尤其是非高峰时段）的上下客量极少甚至为0。为提升运营效率、缩短长途客货的出行时间，本研究设计灵活越行策略，允许列车跳过部分车站运行。需要注意的是，越行虽能缩短乘客出行时间，但可能增加被跳车站乘客和货运组的等待时间，因此须综合权衡越行的收益与潜在弊端。

本实验基于前述实验数据，以传统站站停策略为输入，采用简化的VNS算法[震荡过程仅采用交换发车间隔操作（r = 1）；VND过程采用调整发车间隔（l = 1）和反转发车间隔（l = 2）操作]求解，得到站站停策略下的解。统计对应的列车运行图、编组方案和各站上下客量（ $P k, i a l i g h t$ 和 $P k, i b o a r d$ ），结果如图11（a）所示。可发现，上行方向各中间站均有一定上下客量，无适宜越行的车站；而下行方向8、9、10号车站在部分列车服务时段内，上下客量为0或极少。列车在无客货上下需求的车站停靠会无端增加运营成本，降低运营效率。

随后，以站站停策略下的列车发车间隔和停靠模式为初始解，采用VNS算法结合GUROBI求解器进行求解，结果如图11（b）所示。图中绿色圆圈标识显示，结合越行策略后，下行客流较小的区段共实施6次越行操作（NS = 6）。由表9可知，越行减少了运营成本（从1 368 000降至1 213 000），且未造成乘客滞留（PD = 0），最终越行策略下解的目标函数值较站站停策略降低11.4%。

（4）目标函数不同权重系数的敏感性分析。本研究的目标函数从地铁运营方、乘客、货运方三方视角出发，分别以列车运营成本、乘客滞留成本、货运组延误成本表征，同时引入三个权重系数（即c₁、c₂、c₃）将三者整合为统一的目标函数。

本实验设置5组不同的权重系数，分析三个优化目标之间的权衡关系，结果如表10所示。其中，算例1为均衡权重组合（c₁ = c₂ = c₃ = 0.33），作为基准算例；算例2、3、4分别为乘客优先、运营成本优先、货运优先的权重组合。由表10可知，算例2采用乘客优先权重（c₂= 0.50）时，列车运行计划相对保守，越行操作次数少（NS = 6），滞留乘客数少（PD = 2）；算例3采用运营成本优先权重（c₁= 0.50）时，为降低列车运营成本，增加了越行操作次数（NS = 10）；算例4为货运优先的特殊情况，采用货运优先权重（c₃= 0.50）时，更多货运组无延误甚至提前到达（CD = -50）。由此可见，须根据决策者的偏好合理设置三个权重系数的取值。结合城市轨道交通实际运营情况，客运服务质量为首要考量，且货运的时间弹性更高，因此算例5采用客运优先的权重组合（c₁= 0.40、c₂= 0.50、c₃= 0.10），该权重下的解能较好平衡服务质量与运营成本。

（5）两种求解方法的性能对比。如第3.4节所述，所提MINLP模型的计算复杂度随问题规模扩大显著增加。本节旨在通过将所设计的VNS算法与GUROBI求解器在求解线性化模型方面（详见附录A）进行对比，验证VNS算法的计算性能。

基于简易算例的参数设置，设计6组不同列车数和时间间隔的实验算例（算例1~3为1~2 h内分别开行14、16和18趟列车；算例4~6为3~4 h内分别开行24、28和32趟列车），两种求解方法得到的最优目标函数值及消耗的CPU时间如表11所示，第7列为GUROBI求解器在7200 s计算时间内返回的相对间隙。显然，对于GUROBI能求得优质解的小规模算例（即算例1、2），VNS算法能在更短的计算时间内得到近似最优解。例如，在算例2中，GUROBI与VNS算法求得解的目标函数值偏差仅为0.8%，而VNS算法的计算时间缩短了98.4%。随着问题规模扩大，变量和约束条件数量显著增加，GUROBI求解器在可接受的计算时间（7200 s）内仅能求得可行性较差的解（即算例4~6的相对间隙为26.6%~38.7%），而VNS算法在解质量和求解效率上优势明显。例如，在算例6中，VNS算法能在更短时间内求得解，其目标函数值较GUROBI求解器降低了14.4%。为进一步验证VNS算法的解质量，本研究延长GUROBI求解器对算例6的计算时间，经过10 800 s计算后，GUROBI求得的最优目标函数值为1 129 200，与最优解的相对间隙为5.1%，这表明所设计的VNS算法能在较短CPU时间内求得近似最优解。

5.2 北京地铁亦庄线实际算例

为全面验证所提方法在大规模问题中的有效性，本研究以北京地铁亦庄线为实际案例，对列车运行图、车底运用计划、列车编组模式和越行策略进行联合优化。北京地铁亦庄线共设14座车站（图12），宋家庄至亦庄火车站为上行方向，反之为下行方向，线路两端各设一座车辆段。

客流数据由AFC系统提供（图13），该线路客流具有明显的时空分布不均衡特征。结合客货共运的适用场景，本研究首先选取11:00~16:00的非高峰时段开展实验（此时段内各方向开行45趟列车），验证灵活编组和越行策略的有效性。

所提模型中，公式（16）、公式（24）和公式（25）的约束条件用于避免改变客货的目的地。为找到客流较小的车站实施越行操作，最大限度减少越行造成的乘客滞留，本研究统计了亦庄线非高峰时段（11:00~16:00）各车站的进站客流，其中上行方向的次渠南站和次渠站以及下行方向的亦庄火车站、次渠南站、小红门站和肖村站进站客流均不足100人，因此仅在这些车站设置越行操作。

货运流数据方面，为保障运输安全和秩序，须对零散货物提前配载、编组，按照同一时段到达货运站和起讫点相同两大原则，将货物装入统一的货运标准集装箱运输。本实验设置非高峰时段各方向12个货运组，货运需求分布如图14所示，货运信息包含货运组编号、时间[即 $t o f (f)$ 和 $t e f (f)$ ]及起讫点对。

实际实验中，设置与图2一致的5种列车编组类型，单位运营成本依次为{10 000, 8 000, 9 000, 7 000, 8 500}；额定客货运容量依次为{(1 600, 0), (600, 0), (600, 300), (0, 300), (0, 600)}；惩罚成本参数设为 $σ$ ₁= 2000、 $σ$ ₂= 1000；目标函数权重系数设为c₁ = 0.4、c₂ = 0.5、c₃ = 0.1，其余相关参数如表12所示。

5.2.1 计算结果分析

本研究采用与简易算例相同的VNS算法结构，将所提模型应用于北京地铁亦庄线非高峰时段的运营优化。为提升解质量，设置各邻域结构中单次邻域操作生成的候选解数量为|N_r (x)| = 1、|N_l (x)| = 4，最大迭代次数为150次。经过3496.5 s计算后，得到的具体结果如表13和表14第二行所示，列车运行图如图15所示（车站名称以大写首字母缩写表示）。下文将所得解与固定编组模式、传统站站停策略的求解结果进行对比分析，并得出相关结论。

由表13可知，实际案例得到与简易算例一致的性能表现和结论。M-P-F列车可同时承接客货运需求，只要货运组到达时间早于列车发车时间（ $t 0 f (f)$ < $t k, 0 f (d)$ ）且列车有充足运能，即可完成货运装载。因此，固定编组模式的货运服务表现较好，货运组延误时间短（CD = 5）。但受客货混编列车客运容量限制，固定编组模式的客运服务表现较差，造成大量乘客滞留（PD = 999）。相比之下，灵活编组模式根据客流变化动态调整：上行客流较大时段开行1列L-P列车，缓解客运压力；平峰时段综合考虑客货共运服务质量和运营成本，开行5列M-P-F列车承接货运需求；客流非高峰时段开行S-P列车，降低运营成本。尽管货运组总延误时间有所增加，但灵活编组模式实现了客货需求的精准匹配，大幅降低了运营成本和乘客滞留成本，最终目标函数值降低25.0%，验证了灵活编组模式在实际案例中的有效性。

由图15可发现，结合越行策略的求解结果中，上行方向共实施8次越行操作，下行方向共实施13次越行操作，越行的时空位置以圆圈标识：绿色圆圈表示越行操作未造成乘客滞留，橙色圆圈表示越行操作造成少量乘客滞留。将越行策略与传统站站停模式的求解结果进行对比（表14）发现，尽管越行操作（NS = 21）导致滞留乘客数有所增加（PD = 29，其中3名乘客因上行9号列车跳过次渠南站而被滞留），但越行提升了整体运营效率，有效降低了列车运营成本，且越行带来的成本节约覆盖了乘客滞留的损失，最终目标函数值降低2.7%，进一步验证了越行策略在低客流客货共运中的有效性。需要重点说明的是，越行策略须结合客流特征精心设计和实施，以平衡长途乘客出行时间缩短的收益与部分乘客等待时间增加的成本。

5.2.2 北京地铁亦庄线全日运营实验

为进一步探索客货共运在城市轨道交通中的实际应用，本研究基于北京地铁亦庄线全日客流数据设计大规模实验（各方向开行150趟列车）。实验对应的货运需求如图16所示，其中货运组1~16为上行货运组，17~56为下行货运组，货运组编号旁的数值为其到达始发站时间和预计到达终点站时间（ $t 0 f (f)$ , $t e f (f)$ ）。

采用与前述案例相同的初始解生成方式和算法搜索策略，求解得到的全日运营结果如图17所示。显然，生成的运营计划特征与图13的客流分布高度契合。由于下行方向整体客流较小，可全日开展货运运输，共开行130列S-P列车、18列M-P-F列车、2列S-F列车；上行方向整体客流较大，共开行81列S-P列车、8列M-P-F列车、61列L-P列车，其中早高峰7:00~9:00和晚高峰17:00~19:00开行L-P列车保障客流运输，其余客流非高峰时段开展货运运输。

公式（15）的约束条件保障乘客等待不超过两趟列车，因此下文重点分析货运服务质量，货运组延误时间如图16所示。除上行早高峰时段的货运组1出现长时间延误外，其余货运组的延误时间均控制在可接受范围内（不超过40 min），平均延误约10 min。货运组1的长时间延误主要因其在早高峰时段到达始发站，此时客流需求大，为避免干扰客运服务，须待高峰结束后首趟M-P-F列车开行时才能完成运输。这表明，货运组在客流非高峰时段到达始发站，可保障货运服务质量；若在客流高峰时段到达始发站，则货运方需要承担显著的延误风险（如货运组1）。

结合亦庄线全日运营结果和第5.2.1节的非高峰时段分析，可得出以下结论。

（1）灵活编组模式能根据客货流的时空波动动态调整列车编组配置，实现服务供给与需求的精准匹配，同时优化列车运营成本。

（2）合理的越行操作能减少无效停靠，提升列车运营效率；但不当的越行操作会造成乘客滞留，因此须对越行策略进行精心设计和评估。

（3）城市轨道交通客货共运一般安排在全日客流非高峰时段（如亦庄线下行方向全日、上行方向非高峰时段）。

（4）列车运行图、越行策略与列车编组模式相互关联，且均受客货需求直接影响，因此须对三者进行联合优化。

6 结论与展望

为充分利用城市轨道交通客流非高峰时段的剩余运能，本研究提出一种融合灵活编组和越行策略的客货共运列车运行图与车底运用计划联合优化方法，以生成系统最优的客货共运方案。本研究构建了以列车运营成本、滞留乘客数、货运组延误时间最小化为目标的MINLP模型，设置了涵盖列车运行图、越行策略、列车编组、车辆运用及客货流动态变化的多类约束条件；设计了结合GUROBI求解器的定制化VNS算法，在合理计算时间内求得近似最优解；通过简易算例和北京地铁亦庄线实际案例验证了所提方法的有效性。计算结果表明，相较于传统的固定编组和站站停运营模式，所提方法能在提升运输服务质量的同时有效降低列车运营成本。未来可从以下方向开展进一步研究。

（1）本研究通过预设多类列车编组类型实现灵活编组，并通过实验验证了该模式的有效性。后续可进一步研究虚拟列车编组，结合任意时刻的解编、编组作业，设计更精细化的车底运用流程。

（2）列车运行计划（运行图、越行策略和列车编组）与客货需求分布高度相关，但实际运营中多种因素会导致客货需求存在不确定性，且列车停站时间呈动态变化。后续可探索融入需求不确定性和动态停站时间的优化方法，制定鲁棒性更强的运营计划。

（3）本研究所提模型基于双向地铁线路构建。随着地铁线网的快速发展，后续可将本方法拓展至大规模地铁线网，同时更细致地刻画货运的全流程（包含仓储、编组、运输、换乘、配送），并考虑货运优先级设置。

（4）城市轨道交通引入货运运输可能会影响乘客的出行行为，部分乘客可能排斥与货物同车或同线出行。后续可将乘客出行行为分析融入客货共运优化，考虑更全面的客运服务质量指标和环境影响因素。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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2024-12-13	2025-07-03	2025-12-01
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2025-11-21

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摘要

Abstract

关键词

Key words

Highlight

引用本文

1 引言

1.1 文献综述

1.1.1 列车停站与运行图优化问题

1.1.2 列车编组与车底运用计划问题

1.1.3 基于地铁的城市货运问题

1.2 本文研究重点

2 问题描述

3 数学模型构建

3.1 符号与决策变量

3.2 系统约束

3.2.1 运行图与越行约束

3.2.2 列车编组与车底约束

3.2.3 乘客需求约束

3.2.4 货运需求约束

3.3 目标函数

3.3.1 经济目标——总运营成本

3.3.2 服务质量目标——滞留乘客数

3.3.3 服务质量目标——货运组延误时间

3.4 复杂度分析

4 求解方法

4.1 VNS算法框架

4.2 解的表示

4.3 评价函数与初始解

4.4 邻域结构

4.4.1 震荡过程的邻域结构

4.4.2 VND过程的邻域结构

5 数值算例

5.1 简易算例

5.2 北京地铁亦庄线实际算例

5.2.1 计算结果分析

5.2.2 北京地铁亦庄线全日运营实验

6 结论与展望

参考文献

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