高比例可再生能源电力系统中的决策依赖不确定性

张云帆; 苏一帆; 刘锋

doi:10.1016/j.eng.2025.07.013

Engineering ›› 2025, Vol. 51 ›› Issue (8) : 98 -116. DOI: 10.1016/j.eng.2025.07.013

研究论文

高比例可再生能源电力系统中的决策依赖不确定性

张云帆 ^a^,^c ,
苏一帆 ^b ,
刘锋 ^a

作者信息 +

On Decision-Dependent Uncertainties in Power Systems with High-Share Renewables

Yunfan Zhang ^a^,^c ,
Yifan Su ^b ,
Feng Liu ^a^,^* ,

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摘要

可再生能源发电（RES）与需求响应（DR）的规模化发展已成为电力系统灵活性的核心来源，同时也催生了决策依赖不确定性（DDUs，又称内生不确定性）这一电力系统调度领域的新特性。其中，系统调度主要面临RES机组或DR等可调度资源的不确定性导致的DDUs，而备用提供者则面临来自备用调用不确定性引发的DDUs。本研究建立了一个系统性框架来处理含有DDUs的鲁棒调度决策问题。本研究的主要贡献归纳如下：①揭示了决策依赖性的可分离性结构，建立了DDUs的鲁棒表征方法；②揭示了不确定性与灵活性双向匹配的通用DDUs应对机制；③分析了引入DDUs对鲁棒调度决策问题凸性的影响；④提出了适用于DDUs的通用两阶段鲁棒调度决策求解算法。在此框架下，阐明了DDUs与决策无关不确定性（DIUs）之间的内在区别和联系，为以RES主导的电力系统的安全经济运行奠定了重要的理论基础。本文还提供了电源侧和需求侧鲁棒调度决策的典型应用案例，以说明考虑DDUs的必要性及所提理论方法的有效性。

Abstract

The continuously increasing renewable energy sources (RES) and demand response (DR) are becoming crucial sources of system flexibility. Consequently, decision-dependent uncertainties (DDUs), interchangeably referred to as endogenous uncertainties, impose new characteristics on power system dispatch. The DDUs faced by system operators originate from uncertain dispatchable resources such as RES units or DR, while reserve providers encounter DDUs from the uncertain reserve deployment. Thus, a systematic framework was established in this study to address robust dispatch problems with DDUs. The main contributions are drawn as follows. ① The robust characterization of DDUs was unfolded with a dependency decomposition structure. ② A generic DDU coping mechanism was manifested as the bilateral matching between uncertainty and flexibility. ③ The influence of DDU incorporation on the convexity/non-convexity of robust dispatch problems was analyzed. ④ Generic solution algorithms adaptive for DDUs were proposed. Under this framework, the inherent distinctions and correlations between DDUs and decision-independent uncertainties (DIUs) were revealed, laying a fundamental theoretical foundation for the economic and reliable operation of RES-dominated power systems. Illustrative applications in the source and demand sides are provided to show the significance of considering DDUs and demonstrate the proposed theoretical results.

关键词

决策依赖不确定性 / 内生不确定性 / 鲁棒优化 / 可再生能源 / 电力系统调度

Key words

Decision-dependent uncertainty / Endogenous uncertainty / Robust optimization / Renewable energy / Power system dispatch

引用本文

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张云帆,苏一帆,刘锋. 高比例可再生能源电力系统中的决策依赖不确定性[J]. 工程（英文）, 2025, 51(8): 98-116 DOI:10.1016/j.eng.2025.07.013

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1 引言

1.1 研究背景

在减少温室气体排放和缓解气候变化影响的迫切需求驱动下，近年来可再生能源在全球电力系统中的普及规模前所未有。向以可再生能源为主导的电力系统转型，带来了显著的经济环境效益，但可再生能源（特别是光伏发电和风电）固有的可变性和间歇性，也加剧了电力系统的波动特性，给系统运行的可靠性和经济性带来重大挑战。

为应对电力系统中的不确定性，研究者提出了随机优化[1]、鲁棒优化[2]、分布鲁棒优化[3]、信息间隙决策理论[4]等诸多方法。其中，鲁棒优化方法具有更高的决策鲁棒性，且更容易对不确定性建模，因此在实际电力系统中得到了更为广泛的应用。PJM互联公司和阿尔斯通电网公司自2012年起已开发了两阶段鲁棒优化方法[5]。加州独立系统运营商也通过鲁棒优化，将异构不确定性纳入其优化框架[6]。实际应用中，鲁棒优化还面临计算负担重、鲁棒性与性能之间存在权衡等挑战，本文不准备对这些问题进行讨论。

上述优化方法在不确定性表征与风险管理技术上各有不同，但它们所考虑的不确定因素，主要源于对可再生能源发电或负荷需求的预测不准确、网络或发电机组的中断以及波动的市场出清价格，这些因素通常都是独立于决策的外生变量。

随着可再生能源渗透率的持续提升以及电力系统特性演变，决策依赖不确定性（DDUs，又称内生不确定性）近年来日益受到关注。在实际决策问题中，不确定性可能通过以下三种方式受到决策的影响[7]。

• 决策改变随机变量的基本概率分布。例如，网络中某条面临随机故障的链路，若通过投资进行加强，其存活概率便可提高[8]。

• 决策影响随机变量是否或何时成为现实（即具备物理意义）。例如，一个风电场的发电出力不确定性，仅当做出建设该风电场的决策后才会成为现实。

• 决策影响不确定性的揭示过程，即决策者能否或何时能观测到不确定变量。例如，产品的需求曲线是固定但零售商未知的，而零售商可以通过不同的定价决策来探索和利用客户行为的特征[9]。

与DDUs相对，不受决策影响的不确定性称为决策无关不确定性（DIUs），或称为外生不确定性。

1.2 电力系统调度中DDUs的来源

电力系统调度问题中的DDUs通常源自三个方面：①源侧不确定的可调度资源；②需求侧不确定的可调度资源；③来自系统调度的不确定备用调用。

（1）源自不确定可调度资源的DDUs（源侧）。在高比例可再生能源电力系统中，除了传统同步发电机外，可再生能源机组也可作为可调度资源。比如，在风力发电机的有功功率控制回路中加入与频率相关的信号，风机输出功率能够快速响应频率变化，有助于稳定系统偏差。然而，旋转质量中储存的动能有限，向电网放电仅能维持较短时间。为了参与一次、二次和三次调频，风力发电机组需通过转子速度或桨距角控制，在偏离最大功率点处长期运行，从而保留一定的旋转功率备用，并在发生频率事件时释放备用功率以支撑系统平衡。类似地，光伏发电可以通过电压控制将出力削减至最大功率点以下以提供备用功率。此外，风电或光伏电站的出力也可通过快速停机或启动进行功率调节。

值得注意的是，可再生能源的功率调节效果由多变的天气条件与系统调度下发的功率控制策略共同决定。此时，可再生能源机组的可用功率与备用功率表现为决策依赖不确定性。本文用一个简单示例来说明可再生能源降载运行决策产生的DDUs。具体而言，可再生能源机组通常采用以下三种降载方案[10‒12]为频率调节提供可持续的上调备用，其中，决策变量0 ≤ λ ≤ 1表示降载比例。

• 降额方案：可再生能源机组的最大出力被限制在一个降额点，其值等于额定功率的(1-λ)倍。

• 固定差额方案：备用被设置为一个固定量，其值为额定功率的λ倍。

• 比例方案：可再生能源机组按最大可用功率的λ倍作为备用。

图1表明，由于风速的波动性，风力发电机的可用功率和备用功率是不确定的。此外，系统调度的降载方案将对这两个不确定参数的概率分布特性产生显著影响。

可再生能源机组的DDUs日益受到研究者的关注。例如，文献[13‒14]通过制定日前策略性弃风计划以减少风电波动性，并建立两阶段鲁棒调度模型来处理由此产生的实时风电出力DDUs。文献[15]建立了一个联合机会约束随机直流最优潮流模型来处理光伏发电削减产生的DDUs，该模型采用仿射决策规则，在不确定性揭示后调整发电机出力。文献[10]考虑降载风电场的频率响应，并在计及支持能力不确定及其对不同支持方案组合依赖性的情况下，提出了一个频率约束随机规划模型。文献[12]在建模事故后系统频率动态过程中，未事先假设用于合成惯性响应和下垂响应的功率备用比例固定不变，从而更合理地处理了可再生能源机组间频率备用分配产生的DDUs。

（2）源自不确定可调度资源的DDUs（需求侧）。在需求响应（DR）的背景下，用户可以根据价格信号或激励措施调整其用电模式，为系统平衡贡献灵活性。用户的实际需求响应行为不可避免地具有不确定性，同时又与价格信号或其他DR政策密切相关，从而表现为决策依赖不确定性。下文简要梳理了DR中DDUs的部分相关研究，涉及价格弹性模型[16‒19]和非价格模型[20‒23]。

价格弹性模型：有研究将不确定的价格弹性需求曲线整合到一个鲁棒机组组合问题中[16]。如图2 [16]所示，需求-价格函数中引入了一个偏差项。对于给定价格，消费者响应会在一定范围内变化，且此范围会随价格决策的不同而改变。另一项研究通过场景分析，在随机机组组合问题中展示了价格弹性需求曲线的不确定性[17]，每个场景对应一条曲线。有模型假设不确定的价格弹性系数在特定范围内变化，从而导致实际负荷在一个价格敏感区间内波动，如图3 [19]所示。还有研究基于消费者心理建立了DR不确定性模型[18]。具体而言，随着激励价格的上升，用户参与DR的意愿会增加，而参与的随机性则会降低。图4提供了一个说明性示例[18]。

非价格模型：文献[20]提出了一个两阶段鲁棒经济调度模型，其中，由系统调度确定的DR设定点会影响负荷需求的高维箱型DDU集。随后，文献[21]对可延迟负荷的DDUs进行了显式建模，因为跨时段的负荷转移决策会重塑负荷的时间分布及其相应的不确定性集合，进而构建了一个多阶段鲁棒调度模型，并设计了一种增强的约束生成算法。此外，文献[22]研究因停电后冷负荷恢复现象产生的DDUs，并建立了两阶段随机恢复模型，不同的负荷恢复时间会导致CLPU峰值幅值呈现不同的概率分布。文献[23]指出，因消费者不确定是否参与DR项目而产生的DDUs，只有在实际实施DR方案时才能得以揭示；为解决此问题，该文献提出一个基于场景的多阶段随机规划模型，通过场景树中的非预期性约束纳入DDUs。

（3）源自不确定备用调度的DDUs。在备用市场或能量-备用联合市场中，备用提供者参与市场，通过策略性报价[24‒25]或基于价格的自调度[26‒27]自主决定其备用容量供应。实时运行中实际调度备用功率的不确定性，取决于扰动的发生以及系统调度发出的调节信号。然而，备用功率调度指令必须落在可备用提供者上报的调度容量范围内，这对备用提供者而言即表现为DDUs。文献[28]考虑利用商业建筑为电网提供频率备用，构建了一个具有可调不确定性集的鲁棒最优控制问题，以揭示最优的备用容量报价。另有研究考虑了参与日前能量-备用市场的虚拟电厂（VPP）的鲁棒自调度决策问题[29]，采用一个具有决策依赖性右侧向量的多面体不确定性集来表征实时备用调度请求的DDUs。

注1（DDUs的时间尺度）。DDUs存在于电力系统不同时间尺度的优化问题中。日前弃风决策可能导致决策依赖的风电波动性[13‒14]。可转移负荷在数小时内进行转移，导致了日内电力需求的DDUs [21]。在电力系统规划领域，通常考虑月度和年度时间尺度的风电DDUs [30‒31]。本文提出的定理和算法理论上可应用于不同时间尺度的问题，本文后续章节将不再强调具体的时间尺度。

1.3 主要贡献

尽管电力系统中的DDUs已得到越来越广泛的关注，但仍需进行更为系统深入的理论探索。我们先前的工作[32]中已简短综述了DDUs相关鲁棒优化的求解技术，涵盖了静态鲁棒优化模型[33‒37]以及两阶段/多阶段鲁棒优化模型[7,32,38‒40]。已有研究共同表明，DDUs会导致更复杂的优化模型，给开发精确高效的求解算法带来挑战。然而，这些挑战的根本原因及通用解决方案尚未得到深入探讨。

本研究为处理DDUs的两阶段鲁棒调度问题，建立了一个系统性理论框架。从不确定性表征、应对机制、问题可解性及求解范式等角度，深入探究了DDUs与DIUs之间的根本区别与内在联系。

本文的主要贡献如下。

（1）DDUs的鲁棒表征。在基于集合的不确定性表征和两阶段鲁棒调度框架内，阐明了DDUs与DIUs之间的区别和关联。引入了“DDUs集的可分离性”这一新概念，以明确决策变量与随机变量之间的依赖结构。进一步探讨了可分离性的存在条件，揭示出任意DDUs集均可分解为一个与决策无关的支撑集（对应不确定性的鲁棒描述）和一个描述决策依赖关系的耦合函数。这一发现架设起了DDUs与常规DIUs之间的桥梁，意味着针对DIUs的成熟算法可扩展应用于DDUs。

（2）含DDUs的两阶段鲁棒调度机制。在基于集合的不确定性表征和基于区域的灵活性表征框架[41‒42]下，揭示了含DDUs的两阶段鲁棒调度机制。研究发现，两阶段鲁棒调度问题的核心目标在于获取系统灵活性的最优配置，以对冲不确定性；通过DDUs可实现不确定性与灵活性之间的双向匹配，从而发掘隐藏在不确定性背后的运行灵活性。

（3）含DDU的两阶段鲁棒调度问题的凸性。本文研究了DDUs对两阶段鲁棒调度问题凸性与可解性的影响。DIUs下仅包含线性约束的两阶段鲁棒优化问题，其鲁棒可行性域具有凸性[43]。本研究发现，DDUs可能会给两阶段鲁棒优化调度问题的鲁棒可行性域引入非凸特性。通过引入DDU集的可分离性概念发现，鲁棒可行性域的非凸性归因于不确定性集合对决策的耦合关系，而与不确定性集合自身的凸性无关。本文进一步证明耦合函数的凸性是确保含DDUs的两阶段鲁棒调度问题具有凸性的一个充分条件。

（4）含DDU的两阶段鲁棒调度问题的普适求解策略。传统用于求解两阶段鲁棒调度问题的割平面算法（如Benders分解和列与约束生成算法）难以处理DDUs导致的非凸性。这些算法在求解含DDUs的两阶段鲁棒调度问题时，其解可能丧失鲁棒可行性或最优性。本文基于DDU集的可分离性，提出了一种普适的改进求解策略，其改进的增强割可自动适应两阶段鲁棒问题本身的凸性变化。

1.4 论文结构

本文余下内容安排如下：第2节揭示了两阶段鲁棒调度框架下DDU集的可分离性结构；第3节推导了含DDUs的鲁棒调度机制；第4节讨论含DDUs的鲁棒调度问题的凸性；第5节为DDU相关的鲁棒优化问题设计了一种普适的改进求解策略；第6节介绍了含DDUs的鲁棒调度应用实例；最后，第7节对本研究进行总结。

2 DDUs的鲁棒表征

考虑式（1）中的两阶段鲁棒优化模型，该模型已广泛应用于许多实际系统调度中。

m i n x f (x) + S (x)

(1a)

s . t . x ∈ X ⋂ X R

(1b)

S (x) : = m a x u ∈ U (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T

y(1c)

Y (x, u) : = y | A x + B y + C u ≤ b, y ≥ 0

(1d)

X R : = x | Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U (x)

(1e)

式中，

x

表示约束集

X

内的第一阶段决策变量；

u

代表受

x

影响的DDU变量；

A

、

B

和

C

是常数矩阵；

b

是常数向量。由

u

构成的不确定性集合记为

U (x) : X ⇉ U

，是一个由

x

参数化的集值映射，

U

是由

u

所有可能实现值组成的集合。根据鲁棒优化中基于集合的不确定性表示方法，对于任意给定的

x

，

U (x)

表征了在给定置信水平下

u

的可能实现值。

f (x)

是第一阶段的成本函数。

S (x)

是一个极大极小优化问题的最优值，表示最坏情况下的第二阶段成本。假定在不确定性揭示后，第二阶段的调度问题可视为关于

x

和

u

参数化的线性规划问题，其决策变量

y

由式（1c）和式（1d）描述。此外，

Y (x, u)

表示

y

的可行域，

X R

是鲁棒可行域。

针对问题（1），我们做出以下假设。

假设1. 对问题（1）：

•

X

是凸集；

• 函数

f (x) : X → R ¹

是

X

上的凸函数；

• 集合

U

是有界多面体；

• 对于任意

x ∈ X

和

u ∈ U

，

Y (x, u)

是有界多面体。

注2（关于多面体模型的假设）。假设1限定集合

U

和

Y (x, u)

为有界多面体，这在电力系统鲁棒调度问题中很常见。火电机组、风力发电、储能及其他设备的运行约束主要是线性或者可近似分段线性化的。尽管交流潮流模型本身是非凸非线性的，但线性化模型（如用于输电网的直流潮流模型[44]和用于配电网的线性化配电潮流模型[45]）均已得到广泛应用。因此，对于电力系统中的两阶段鲁棒优化调度，假设1是合理的。

注3（含DDUs的三阶段及多阶段鲁棒优化）。虽然本文主要关注如式（1）所示的两阶段鲁棒调度问题，但所提出的定理和算法在理论上也可用于三阶段或多阶段问题。用于两阶段鲁棒优化的列与约束生成（C&CG）算法和Benders分解算法可以通过嵌套的方式求解三阶段问题。对于多阶段问题，通常采用仿射策略来简化模型，并通过割平面算法求解。因此，将两阶段鲁棒优化的相关结果推广至含DDU的三阶段及多阶段鲁棒优化在原理上是可行的，但具体实现上可能还有特定的困难要克服。

接下来，通过引入一个新概念——可分离性，来研究DDU集

U (x)

对决策

x

依赖性的数学结构。

2.1 DDU集的完全可分离性

2.1.1 定义

定义1（DDU集的完全可分离性）。如果一个DDU集

U (x)

可以等价地改写为式（2）：

U (x) = u = C (ξ, x) | ξ ∈ Ξ, ∀ x ∈ X

(2)

则称

U (x)

是（完全）可分离的。式中，

ξ

表示具有决策无关支撑集

Ξ

的辅助随机变量；

C · : Ξ × X → U

表示参数化于

ξ

和

x

的耦合函数。具有如式（2）所示可分离形式的DDU集

U (x)

可被分解为两部分：关于决策变量

x

的依赖函数，以及由辅助随机变量

ξ

及其支撑集

Ξ

所刻画的与决策无关的随机性。

2.1.2 普遍性

接下来，在空间

U

和决策无关支撑集

Ξ

中讨论DDU集可分离性的普遍性。

不失一般性，一个DDU集

U (x) : X ⇉ U

可以表示为两个集合的交集：

U (x) = U s u b ⋂ U s u p (x), ∀ x ∈ X

(3)

式中，

U s u b ⊆ U

代表空间

U

中一个与决策无关的集合，而

U s u p (x) : X ⇉ U

表示一个参数化于决策变量

x

的集值映射。值得注意的是，式（3）中的交集形式并未对DDU集

U (x)

的具体表达施加额外要求，因为总是可以取

U s u b = U

且

U s u p x = U (x)

。以下引理对于具有式（3）交集形式的任何DDU集都成立。

引理1. 假设对于可表示为式（3）中两个集合交集的DDU集

U (x) : X ⇉ U

，存在一个耦合函数

C (x, u) : U s u b × X → U

，满足：

对任意

x ∈ X

和

u ∈ U (x)

，有

C (x, u) = u

；

对任意

x ∈ X

和

u ∈ U s u b

，有

C (x, u) ∈ U (x)

。

那么，

U (x)

是完全可分离的，其表达形式为

U (x) = {u = C (u', x) | u' ∈ U s u b}

(4)

证明. 定义

U † (x) = {u = C (u', x) | u' ∈ U s u b, ∀ x ∈ X}

。接下来，我们将证明

U † (x)

与

U (x)

等价。首先，根据

C (x, u)

的性质，我们有

U † (x) ⊆ U (x)

，对于所有

x ∈ X

。此外，对于任意

u ∈ U (x)

，存在

u = C (x, u)

。令

u' = u

，则存在

u ∈ U s u b

使得

u = C (x, u')

，这意味着

u ∈ U † (x)

，即对任意

x ∈ X

，有

U (x) ⊆ U † (x)

。因此可得，

U x = U † x

对任意

x ∈ X

成立。

基于引理1，DDU集完全可分离性的普适性可由以下推论得以论证。

推论1. 对任意DDU集

U (x) : X ⇉ U

，通过

U s u b = U

并将耦合函数

C (⋅)

设为

C (u', x) = a r g m i n u ‖ u' - u ‖ 2

(5a)

s . t . u ∈ U (x)

(5b)

则该DDU集具有如式（4）所示的完全可分离性。

推论1可通过验证式（5）中的耦合函数是否满足引理1中的条件来证明。

2.1.3 示例

例1. 文献[28]中的可调不确定性集合被限制为具有特定几何形式族，它是完全可分离的。

球型DDU集

U (x, r)

：

r ≥ 0

表示半径，

x

表示球心，

· p

表示向量的

p

-范数。参数化于

x ∈ R

ⁿ 和

r ∈ R

¹的球型DDU集

U (x, r)

是完全可分离的，其表达式为

U (x, r) : = u | ‖ u - x ‖ p ≤ r

(6)

= u = C (u', x, r) | u' ∈ U 0

(7)

式中，

u'

代表辅助不确定变量，其支撑集

U 0

定义为

U 0 : =

u' | | u' | | ∞ ≤ 1}

；耦合函数

C (⋅)

定义为

u = C (u', x, r) = x + r I u'

，其中，

I ∈ R n × n

表示一个适当阶数的单位矩阵。

箱型DDU集

U (x, r)

：

x ∈ R n

表示箱体的中心，

r ∈ R n

表示箱体的范围。参数化于

x

和

r

的箱型DDU集

U (x, r)

是完全可分离的，其表达式为

U (x, r) : = u | ‖ u - x ‖ ∞ ≤ r

(8a)

= u = C (u', x, r) | u' ∈ U 0

(8b)

式中，

u'

表示辅助不确定变量，其支撑集

U 0 : = u' | | u' | | ∞ ≤ 1}

，耦合函数

C (⋅)

定义为

u = C (u', x, r) = x + d i a g (r) u'

，其中，

d i a g r ∈ R n × n

表示对角线元素为

r

的对角矩阵。

椭球型DDU集

U (x, r)

：

x ∈ R

ⁿ 表示椭球体的中心，

Σ ∈ R

ⁿ 表示一个对称正定矩阵。参数化于

x

和

Σ

的椭球型DDU集

U (x, Σ)

是完全可分离的，其表达式为

U (x, r) : = u | (u - x) T Σ - 1 (u - x) ≤ 1

(9a)

= u = C (u', x, Σ) | u' ∈ U 0

(9b)

式中，

u'

表示辅助不确定变量，其支撑集定义为

U 0 : = u' | | | u' | | 2 ≤ 1}

，耦合函数

C (⋅)

的定义为

u = C (u', x, Σ) = x + Σ 1 / 2 u'

。

多面体DDU集

U (x 1, . . ., x m)

：

U (x 1, . . ., x m)

是向量

x 1, . . ., x m

的凸包（其中，

x 1, . . ., x m ∈ R n,

m ≥ n

），则多面体DDU集

U (x 1, . . ., x m)

是完全可分离的，其表达式为

U (x (1), …, x (m)) : = c o n v (x (1), …, x (m))

(10a)

= u = C (u', x (1), …, x (m)) | u' ∈ U 0

(10b)

式中，

u'

表示辅助不确定变量，其支撑集为

U 0 = c o n v (e 1, . . ., e m)

，其中，

e i ∈ R

ⁿ 表示第

i

个元素为1的

n

维单位向量。耦合函数

C (⋅)

定义为

u = C (u', x 1, . . ., x m) = [x 1, . . ., x m] u'

。

例2.

P m p p t

为风机在最大功率点跟踪模式下的最大可用功率，

P a v a i l

为实际可用功率，

P r a t e

为额定功率，

R

为备用功率，

v

为不确定的风速。在给定加载方案

I m o d e ∈ {d e - r a t i n g, d e l t a, p e r c e n t a g e}

和降载系数

λ ∈ [0, 1]

的决策后，

P m p p t

、

R

和

P a v a i l

之间的关系可表述为

D e - r a t i n g : R = m a x P m p p t - (1 - λ) P r a t e, 0 P a v a i l = m i n P m p p t, (1 - λ) P r a t e

(11a)

D e l t a : R = m i n P m p p t, λ P r a t e P a v a i l = m a x P m p p t - λ P r a t e, 0

(11b)

P e r c e n t a g e : R = λ P m p p t P a v a i l = (1 - λ) P m p p t

(11c)

在上式中，

P m p p t

是一个仅由不确定风速

v

决定的DIU变量：

P m p p t = 0, v < v i n μ 0 v 3, v i n ≤ v ≤ v r a t e P r a t e, v r a t e ≤ v ≤ v o u t 0, v > v o u t

(12)

式中，

v i n

、

v r a t e

和

v o u t

分别是切入、额定和切出风速；

μ 0

是发电参数。

式（11）和式（12）可视为

P a v a i l

和

R

的函数（参数为

I

、

λ

和

v)

。此函数的紧凑形式表示为

P a v a i l R = C (I, λ, v)

(13)

在耦合函数

C (⋅)

的参数中，

I

和

λ

是算子的决策变量，而风速

v

是一个外生随机变量。那么，DDU变量

P a v a i l

和

R

的DDU集是完全可分离的，其耦合函数

C (⋅)

如式（13）所示，而

v

的不确定性集合用

V

记为

U (λ, I) = P a v a i l R = C (I, λ, v) | v ∈ V

(14)

例3.

图4中的DDU集

U (x)

是完全可分离的，其表达式为

U (x) = u = g l b (x) + u' g u b (x) - g l b (x) | u' ∈ [0,1]

(15)

式中，

u'

表示落入范围[0, 1]内的辅助随机变量，它独立于决策变量

x

。

图2中不确定需求

d

的DDU集也是完全可分离的，其表达式为

U (p d) = d = A d (p d + ϵ) κ | - ϵ^≤ ϵ ≤ ϵ^

(16)

辅助随机变量

ϵ

表示对确定性价格弹性需求曲线的偏离，并在范围[-

ϵ^

ϵ^

]内变化，该范围与决策变量

p d

无关。

在图3中，将不确定的价格弹性系数视为与决策无关的辅助随机变量，则需求

d

的DDU集是完全可分离的，其表达式为

U (p d) = u = u 0 1 + ϵ p d - p 0 p 0 | ϵ ∈ [ϵ m i n, ϵ m a x]

(17)

2.2 DDU集的部分可分离性

2.2.1 定义

DDU集的部分可分离性定义如下。

定义2（DDU集的部分可分离性）。如果一个DDU集

U (x)

满足以下两个条件，则称其为部分可分离的。

条件（1）：存在一个集值映射

U s u b (x) : X ⇉ U

，使

U s u b (x)

的图像是

U (x)

图像的子集，即

g r a p h (U s u b (⋅) ⊆ g r a p h (U (·))

。

条件（2）：条件（1）中的集值映射

U s u b (x)

是完全可分离的，

U s u b (x)

u = C (ξ, x) | ξ ∈ Ξ, ∀ x ∈ X

。

2.2.2 普遍性

考虑与DDU相关的两阶段鲁棒优化问题（1），任何给定的DDU集

U (x)

都是部分可分离的，并且可以等价地替换为具有完全可分离性的集值映射。

针对两阶段鲁棒优化问题（1）和任何给定的DDU集

U (x)

，定义关于鲁棒可行性和鲁棒最优性的可分离DDU集如下。

从两阶段鲁棒优化问题（1）的鲁棒可行性角度考虑的DDU集

U f e a s e p (x) : X ⇉ U

定义为

U f e a s e p (x) : = u = C f e a (ξ, x) | ξ ∈ Ξ, ∀ x ∈ X

(18a)

式中，

Ξ

表示辅助随机变量

ξ

的决策无关支持集：

Ξ : = ξ | B T ξ ≤ 0, - 1 ≤ ξ ≤ 0

(18b)

且

C f e a (·)

表示相应的耦合函数，定义为

C f e a (ξ, x) : = a r g m a x u - ξ T C u s . t . u ∈ U (x)

(18c)

考虑两阶段鲁棒优化问题（1）的鲁棒最优性，可定义DDU集

U o p t s e p (x) : X ⇉ U

如下：

U o p t s e p (x) : = u = C o p t (π, x) | π ∈ Π, ∀ x ∈ X

(19a)

式中，

Π

表示辅助随机变量

π

的决策无关支撑集，其定义为

Π : = π | B T π ≤ c, π ≤ 0

(19b)

C o p t (·)

表示耦合函数，其形式由下式给出：

C o p t (π, x) : = a r g m a x u - π T C u s . t . u ∈ U (x)

(19c)

由于

U f e a s e p (x)

和

U o p t s e p (x)

的图像都是

U (x)

图像的子集，因此满足定义2中的条件（1）。结合

U f e a s e p (x)

和

U o p t s e p (x)

完全可分离的事实，可知无论具体形式如何，DDU集

U (x)

都是部分可分离的。这一发现为解决包含DDUs的复杂鲁棒优化问题奠定了关键基石。

接下来，我们将证明两阶段鲁棒优化问题（1）中的DDU集

U (x)

可以等价地替换为这两个可分离的DDU集[即

U f e a s e p (x)

和

U o p t s e p (x)

]。

定理1. 对于任意DDU集

U (x)

的两阶段鲁棒优化问题（1），存在一个等价替代模型如下。

鲁棒可行域

X R

表示为

X R : = x ∈ X | Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U (x)

(20a)

= x ∈ X | Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U f e a s e p (x)

(20b)

其中，式（20a）遵循式（1e）中

X R

的定义，式（20b）是

X R

的等价替代表述。

鲁棒最优性子函数

S (x)

描述为

S (x) : = m a x u ∈ U (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T y, ∀ x ∈ X

(21a)

= m a x u ∈ U o p t s e p (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T y, ∀ x ∈ X

(21b)

其中，式（21a）遵循式（1c）中

S (x)

的定义，式（21b）是函数

S (x)

的等价替代表述。

证明。断言（1）：首先，记

R (x, u)

为优化问题及其对偶形式的最优值：

R (x, u) : = m i n y, s 1 T s s . t . A x + B y + C u ≤ b + s s ≥ 0, y ≥ 0

(22a)

= m a x ξ ξ T (b - A x - C u) s . t . ξ ∈ Ξ

(22b)

其中，式（22a）定义了值函数

R (x, u)

；式（22b）由式（22a）中最小化问题的对偶变换得到。很容易验证：对于任何

x ∈ X

和

u ∈ U

，有

Y (x, u) ≠ ∅ ⇔ R (x, u) ≤ 0

。

U f e a * (x)

定义集值映射如下：

U f e a * (x) = a r g u m a x u, ξ ξ T (b - A x - C u) s . t . u ∈ U (x), ξ ∈ Ξ

(23)

对于任何

x ∈ X

：

Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U (x)

(24a)

⇔ R (x, u) ≤ 0, ∀ u ∈ U (x)

(24b)

⇔ m a x u, ξ ξ T (b - A x - C u) s . t . u ∈ U (x), ξ ∈ Ξ ≤ 0

(24c)

⇔ m a x u, ξ ξ T (b - A x - C u) s . t . u ∈ U f e a * (x), ξ ∈ Ξ ≤ 0

(24d)

⇔ R (x, u) ≤ 0, ∀ u ∈ U f e a * (x)

(24e)

⇔ Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U f e a * (x)

(24f)

其中，式（24a）和式（24f）依据

Y (x, u) ≠ ∅

的等价公式得出；式（24b）和式（24e）依据

R (x, u)

的定义得出；式（24d）依据

U f e a * (x)

的定义得出。

根据式（23）中

U f e a * (x)

的定义和式（18）中

U f e a s e p (x)

的定义，以下关系成立：

U f e a * (x) ⊆ U f e a s e p (x) ⊆ U (x), ∀ x ∈ X

(25)

于是，鲁棒可行集

X R

有如下等价表述：

X R = x ∈ X | Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U (x)

(26a)

= x ∈ X | Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U f e a * (x)

(26b)

= x ∈ X | Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U f e a s e p (x)

(26c)

其中，式（26b）来自式（2）中的关系；式（26c）来自式（25）。

断言（2）：首先，

U o p t * (x)

定义最优化问题

S (x)

的最优解集：

U o p t * (x) : = a r g u S (x), ∀ x ∈ X

(27a)

= a r g u m a x u, π π T (b - A x - C u) s . t . u ∈ U (x), π ∈ Π, ∀ x ∈ X

(27b)

其中，式（27a）是

U o p t * (x)

的定义，式（27b）来自内层最小化问题的对偶变换。根据式（27）中

U o p t * (x)

的定义和式（19）中

U o p t s e p (x)

的定义，可推导出以下关系：

U o p t * (x) ⊆ U o p t s e p (x) ⊆ U (x), ∀ x ∈ X

(28)

于是，断言（2）证明如下：

S (x) : = m a x u ∈ U (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T y, ∀ x ∈ X

(29a)

= m a x u ∈ U o p t * (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T y, ∀ x ∈ X

(29b)

= m a x u ∈ U o p t * (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T y, ∀ x ∈ X

(29c)

其中，式（29a）来自式（21a）中

S (x)

的定义；式（29b）来自式（27）中

U o p t * (x)

的定义；式（29c）由式（28）中的关系得到。

根据定理1，对于任何DDU集

U (x)

，两阶段鲁棒优化问题（1）等价于式（30）：

m i n x f (x) + m a x u ∈ U o p t s e p (x) m i n y ∈ Y (x, u) c T y

(30a)

s . t . x ∈ X

(30b)

Y (x, u) ≠ ∅, ∀ u ∈ U f e a s e p (x)

(30c)

式中，

U f e a s e p (x)

和

U o p t s e p (x)

是两个可分离的DDU集。

2.2.3 示例

接下来，用一个示例说明如何将DDU集的部分可分离性应用于两阶段鲁棒优化问题。

例4. 考虑一个由下式给出的多面体DDU集：

U (x) = u ∈ R 2 u 1 ≤ 7 x 1 + 8 x 2 u 2 ≤ 13 x 2 - u 1 + 2 u 2 ≤ 15 x 2 + 8 u 1 + u 2 ≤ 7 x 1 + 2 x 2 + 13 4 u 1 - 7 u 2 ≤ 21 x 1 + 11 x 2 - 25 - 8 u 1 - 3 u 2 ≤ - 40

(31)

式中，第一阶段决策变量

x = x 1, x 2 T ∈ R 2

决定了多面体不确定性集合的右端向量。

如图5所示，式（31）中DDU集

U (x)

的形状、大小和位置随着决策变量

x

的不同取值而改变。

对于一个两阶段鲁棒优化问题，其第二阶段的可行域

Y (x, u)

由式（32）给出：

Y (x, u) = y ∈ R 2 - 1 ≤ y 1 ≤ 1 ξ 1, ξ 2 - 1 ≤ y 2 ≤ 1 ξ 3, ξ 4 u 1 ≤ y 1 + y 2 ≤ u 2 ξ 5, ξ 6

（32）

那么，关于鲁棒可行性的辅助DDU集

U f e a s e p (x)

构造为

U f e a s e p (x) : = u = C f e a (ξ, x) | ξ ∈ Ξ, ∀ x ∈ X

(33a)

Ξ : = ξ ∈ R 6 ξ 5 - ξ 6 = ξ 2 - ξ 1 ξ 6 - ξ 5 = ξ 3 - ξ 4 - 1 ≤ ξ i ≤ 0, ∀ i = 1, …, 6

(33b)

C f e a (ξ, x) : = a r g m a x u - ξ 5 u 1 + ξ 6 u 2 s . t . u ∈ U (x)

(33c)

U (x)

和

U f e a s e p (x)

都随决策变量

x

变化，并且满足定义2中的条件，因此

U (x)

是部分可分离的，而

U f e a s e p (x)

是完全可分离的。

如图5所示，对于任意给定的

x ∈ R 2

，

U f e a s e p (x)

指示了原始DDU集

U (x)

的一个子集。根据定理3，关于

x

的鲁棒可行域

X R

有两种替代表述形式：一种是基于式（20a）中的

U (x)

；另一种是基于式（20b）中的

U f e a s e p (x)

。

3 含DDU的鲁棒调度机制

本节首先基于可调度域的概念及其变体[42,46]，推导问题（1）的替代模型。然后，揭示含DDUs的两阶段鲁棒调度机制。

定义3（可调度域）。问题（1）的可调度域记为

D (x) : X ⇉ U

，定义为

∀ u ∈ D (x), Y (x, u) ≠ ∅

(34a)

∀ u ∉ D (x), Y (x, u) = ∅

(34b)

问题（1）的扩展可调度域，记为

D e x t (x, α) : X × R 1 ⇉ U

，定义为

∀ u ∈ D e x t (x, α), Y (x, u) ⋂ y | c T y ≤ α ≠ ∅

(35a)

∀ u ∉ D e x t (x, α), Y (x, u) ⋂ y | c T y ≤ α = ∅

(35b)

对于任意

x ∈ X

和

α ∈ R 1

，有

D e x t (x, α) ⊆ D (x)

。

根据扩展可调度域的定义，式（1）可建立如下的替代模型：

m i n x ∈ X, α ∈ R 1 f (x) + α

(36a)

s . t . U (x) ⊆ D e x t (x, α)

(36b)

式中，

α

是一个辅助决策变量，表示最优函数

S (x)

的值。式（36b）结合了鲁棒可行性要求

x ∈ X R

和鲁棒最优性函数

S (x)

。值得注意的是，式（1）和式（36）之间的等价性与DDU集

U (x)

的具体形式无关。注意到DIU是DDU的一个特例，因此该等价性同样适用于DIU集。

基于问题（36），两阶段鲁棒优化应对不确定性的机制可以概括为不确定性集

U (x)

与扩展可调度域

D e x t (x, α)

之间的最优匹配。目标函数（36a）旨在最小化匹配成本，即

f (x) + α

。

图6阐释了在DIU和DDU下鲁棒调度机制的差异。在DIU情况下，决策者需要找到一个可行的

α

，使得随

α

变化的扩展可调度域

D e x t (x, α)

能够覆盖固定的不确定性集

U 0

。这一过程称为单向匹配，即可调度域单向适应不确定性集。在DDU情况下，扩展可调度域

D e x t (x, α)

和DDU集

U (x)

都随决策变量

x

变化，因此DDU下的鲁棒调度机制可概括为二者之间的双向匹配。

注4（双向匹配）。双向匹配机制凸显了DDU与DIU在电力系统鲁棒调度中的关键区别：DDU是一种可以主动调用的灵活性资源，而非只能被动应对负担。通过合理的决策，可以重塑DDU集，使得不确定性更容易被接纳。换言之，双向匹配机制挖掘了DDU中隐藏的灵活性，可以提升可再生能源为主导电力系统的调度运行的安全性和经济性。

根据2.1和2.2节所述，问题（36）中的DDU集

U (x)

存在完全可分离与部分可分离两种表述形式。假设该DDU集等价于（或可等价替换为）一个可分离的DDU集

U s e p (x) = u = C (ξ, x) | ξ ∈ Ξ

，则约束条件（36b）可转化为

Ξ ⊆ 𝒟 (x, α)

(37)

式中，

𝒟 (x, α)

表示辅助随机变量

ξ

的扩展可调度域：

𝒟 (x, α) : = ξ | C (x, ξ) ∈ D e x t (x, α)

(38)

因此，扩展可调度域

D e x t (x, α)

与DDU集

U (x)

之间的双向匹配可转化为从

𝒟 (x, α)

到固定支撑集

Ξ

的单向匹配。示例如下。

例5. 在例4基础上，暂不考虑鲁棒最优性，重点分析可调度域与DDU集之间的匹配机制。

考虑式（31）中DDU集

U (x)

，不确定性变量

u

的可调度域为

D (x) = u ∈ R 2 | u 1 ≤ 2, u 2 ≥ - 2, u 1 ≤ u 2

（39）

根据例4，

U (x)

可等价替换为式（33）中的完全可分离DDU集

U f e a s e p (x)

，其辅助随机变量

ξ ∈ Ξ

，决策无关支撑集为

Ξ

[式（33b）]。根据式（38）可获得该辅助变量

ξ

的可调度域，记作

𝒟 (x)

。接下来我们证明决策

x

的鲁棒可行性等价于支撑集

Ξ

被

𝒟 (x)

完全覆盖：

x ∈ X R ⇔ U (x) ⊆ D (x)

(40a)

⇔ U f e a s e p (x) ⊆ D (x)

(40b)

⇔ Ξ ⊆ 𝒟 (x)

(40c)

当

x = 1, 1 T

时，其对应的

D (x)

、

U (x)

及

U f e a s e p (x)

区域如图7（a）所示；对应的

𝒟 (x)

与

Ξ

区域如图7（b）所示。从图中可观察到：

D (x)

区域未能完全覆盖

U (x)

或

U f e a s e p (x)

，因此决策

x = 1, 1 T

不具备鲁棒可行性。可以看到

𝒟 (x)

区域也未覆盖

Ξ

，进一步印证了该策略不是鲁棒可行解。

在其他条件不变的情况下，将不确定性集

U (x)

调整为

U (x) = u ∈ R 2 u 1 ≤ x 1 + x 2 u 2 ≤ 13 x 2 - u 1 + 2 u 2 ≤ 15 x 2 + 8 u 1 + u 2 ≤ 7 x 1 + 2 x 2 + 13 4 u 1 - 7 u 2 ≤ 21 x 1 + 11 x 2 - 25 - 8 u 1 - 3 u 2 ≤ - 40

(41)

此时DDU变量

u

的可调度域

D (x)

与辅助随机变量

ξ

的不确定性集

Ξ

保持不变，但

U f e a s e p (x)

与

𝒟 (x)

区域随

U (x)

变化。仍考察决策

x = 1, 1 T

，各区域的对应关系如图8所示。在

u

的取值空间中，

D (x)

同时覆盖

U (x)

与

U f e a s e p (x)

；在

ξ

的取值空间中，

𝒟 (x)

覆盖

Ξ

。因此，式（41）下，决策

x = 1, 1 T

具有鲁棒可行性。

4 含DDUs的鲁棒调度问题的凸性分析

如前所述，DDUs能用于促进可调度域与不确定性集之间的双向匹配。然而，与DIUs相比，实现最优匹配面临更大挑战。本节将揭示其根本困难源于DDUs可能为两阶段鲁棒优化问题引入非凸性。

4.1 DIUs情形

仅包含线性约束和DIUs的两阶段鲁棒优化问题具有凸的鲁棒可行域（RFR）[43]。该结论可进一步推广至整个两阶段鲁棒优化问题的凸性，如以下引理2所示。

引理2. 设问题（1）满足假设1。若

U (x) = U 0, ∀ x ∈ X

（即DIU）且

U 0

为多面体，则问题（36）为凸优化问题。

证明. 定义集合

Γ

如下：

Γ : = ∩ u ∈ U 0 (x, α, y) | Y (x, u) ⋂ {y | c T y ≤ α} ≠ ∅

(42)

由于

U 0

与

Y (·)

均为多面体，

Γ

等价于：

Γ = ∩ u ∈ v e r t (U 0) (x, α, y) | Y (x, u) ⋂ {y | c T y ≤ α} ≠ ∅

(43)

根据式（43），

Γ

是有限多个多面体的交集，因此其在

(x, α, γ)

空间上构成一个多面体。

通过将

Γ

投影到

(x, α)

子空间，可导出式（36b）。由于多面体在其子空间上的投影仍为多面体，故式（36b）为多面体约束。证毕。

需要注意的是，引理2要求DDU集需同时满足决策无关性与多面体结构，两阶段鲁棒优化问题（36）方可保证凸性。接下来的推论2将表明，问题（36）的凸性实际上仅依赖于不确定性集的决策无关性，而非其多面体性质。

4.2 DDUs情形

本小节将证明，当DDU集具有决策依赖性时，两阶段鲁棒优化问题（36）的凸性不再保证成立。

完全可分离的DDU集：不失一般性，假设DDU集

U (x)

可分离为

U (x) = u = C (ξ, x) | ξ ∈ Ξ

（44）

那么，定理2给出了两阶段鲁棒优化问题（36）保凸的一个充分条件。

定理2. 设问题（1）满足假设1。若DDU集

U x

如式（44）所示是可分离的，且由式（45）给出的复合函数

T ξ, x : c o n v ξ R n x → R m

是凸的，则两阶段鲁棒优化问题（36）是凸的。

T (ξ, x) : = C ⋅ C (ξ, x)

（45）

式中，

C

为式（1d）中的矩阵常数。

证明. 在此定理中，假设1成立且

T

是凸的。首先，构建如下优化问题：

m i n y, s 1 T s 1 + 1 T s 2 + 1 T s 3

(46a)

s . t . A x + B y + T (ξ, x) ≤ b + s 1

(46b)

y + s 2 ≥ 0

(46c)

c T y ≤ α + s 3

(46d)

s 1, s 2, s 3 ≥ 0

(46e)

式中，目标函数是线性的，可行域由一个多面体构成。

接下来，令

h y, s

、

F R x, α, ξ

和

V x, α, ξ

分别表示该问题的目标函数、可行域和最优值。我们证明

V x, α, ξ

关于

x

、α

、 ξ

是凸的。对于任意

ρ ∈ 0, 1

、

x 1, α 1, ξ 1

和

x 2, α 2, ξ 2

，令

V x 1, α 1, ξ 1

的最优解为

y 1, s 1

，

V x 2, α 2, ξ 2

的最优解为

y 2, s 2

。因此，

(y 1, s 1) ∈ F R (x 1, α 1, ξ 1)

(47)

(y 2, s 2) ∈ F R (x 2, α 2, ξ 2)

(48)

由于

T

是凸函数且

F R (x, α, ξ)

是凸多面体，我们有

ρ y 1 + (1 - ρ) y 2 ρ s 1 + (1 - ρ) s 2 ∈ F R ρ x 1 + (1 - ρ) x 2 ρ α 1 + (1 - ρ) α 2 ρ ξ 1 + (1 - ρ) ξ 2

(49)

这表明

ρ y 1 + (1 - ρ) y, ρ s 1 + (1 - ρ) s 2

是在参数

ρ x 1 + (1 - ρ) x 2 、 ρ α 1 + (1 - ρ) α 2 、 ρ ξ 1 + (1 - ρ) ξ 2

下的一个可行解。

因此，下列关系成立：

ρ V (x 1, α 1, ξ 1) + (1 - ρ) V (x 2, α 2, ξ 2)

(50a)

= ρ h (y 1, s 1) + (1 - ρ) h (y 2, s 2)

(50b)

= h ρ y 1 + (1 - ρ) y 2, ρ s 1 + (1 - ρ) s 2

(50c)

≥ V ρ x 1 + (1 - ρ) x 2, ρ α 1 + (1 - ρ) α 2, ρ ξ 1 + (1 - ρ) ξ 2

(50d)

其中，式（50b）成立是因为

y 1, s 1

和

y 2, s 2

分别是给定参数

x 1, α 1, ξ 1

和

x 2, α 2, ξ 2

时该优化问题的最优解；式（50c）成立是因为函数

h (·)

是线性的；式（50d）成立是因为

ρ y 1 + (1 - ρ) y 2, ρ s 1 + (1 - ρ) s 2

是在参数

ρ x 1 + (1 - ρ) x 2 、 ρ α 1 + (1 - ρ) α 2 、 ρ ξ 1 + (1 - ρ) ξ 2

下的可行解。

以上推导证明了

V (x, α, ξ)

是关于

x

、

α

和

ξ

的凸函数。

根据式（35）中

D e x t (x, α)

的定义以及

V (x, α, ξ)

的定义，可得

(x, α) | U (x) ⊆ D e x t (x, α)

(51a)

⇔ Y (x, C (ξ, x)) ⋂ {y | c T y ≤ α} ≠ ∅, ∀ ξ ∈ Ξ

(51b)

⇔ A x + B y + T (ξ, x) ≤ b y ≥ 0 c T y ≤ α ≠ ∅, ∀ ξ ∈ Ξ

(51c)

⇔ V (x, α, ξ) ≤ 0, ∀ ξ ∈ Ξ

(51d)

因此，约束条件（36b）等价于

(x, α) | V (x, α, ξ) ≤ 0, ∀ ξ ∈ Ξ

(52)

接下来，用反证法证明式（36b）是凸的。假设存在满足式（36b）的

x 1, α 1

和

x 2, α 2

以及参数

ρ ∈ 0, 1

，使得组合

ρ x 1 + (1 - ρ) x 2, ρ α 1 + (1 - ρ) α 2

不满足式（36b）。这意味着存在某个

ξ ∈ Ξ

，使得

V ρ x 1 + (1 - ρ) x 2, ρ α 1 + (1 - ρ) α 2, ξ * > 0

(53)

由于

x 1, α 1

和

x 2, α 2

满足式（36b），可得

V (x ¹, α ¹,

ξ *) ≤ 0

且

V (x ², α ², ξ *) ≤ 0

。又因为

V (·)

是凸函数，可推导出

V ρ x 1 + (1 - ρ) x 2, ρ α 1 + (1 - ρ) α 2, ξ *

(54a)

≤ ρ V (x 1, α 1, ξ *) + (1 - ρ) V (x 2, α 2, ξ *)

(54b)

≤ 0

(54c)

这与式（53）矛盾。由此完成证明：式（36b）是凸约束。

定理2表明，当DDU集

U (x)

可分离时，两阶段鲁棒优化问题（36）的凸性完全取决于耦合函数

C (·)

的性质，而对决策无关的辅助不确定性集

Ξ

没有额外要求（只要

Ξ

独立于决策变量

x

即可）。

由此可得以下推论：

推论2. 设问题（1）满足假设1。若

U (x) = U 0, ∀ x ∈ X

（即DIU），则该两阶段鲁棒优化问题（36）是凸的。

推论2表明，当不确定性集独立于决策变量

x

时，两阶段鲁棒优化问题[式（1）与式（36）]的凸性成立，且此性质与DIU集

U 0

的具体形式无关。

接下来，给出一个示例来说明定理2的结论。

例6. 在例4的基础上，DDU集

U (x)

定义为

U (x) = u = ξ + x | ξ ∈ Ξ

(55a)

Ξ = 0 ≤ ξ ≤ 1 ⋃ {- 1 ≤ ξ ≤ 0}

(55b)

式中，

x, u, ξ ∈ R 2

。

由于式（55）中的

U (x)

是可分离的，且其耦合函数是凸函数，根据定理2，即使决策无关支撑集

Ξ

是非凸的，对应的鲁棒可行域

X R

仍然是凸的。为验证此结论，通过在整个

R ²

空间进行搜索，绘制了包含所有鲁棒可行解

x

的鲁棒可行域

X R

，如图9所示。其结果与定理2相符。

此外，记

x 1 = 0,0 T

，

x 2 = 0,1 T

。从图9（a）中可观察到，

x 1 ∉ X R

不具备鲁棒可行性，而

x 2 ∈ X R

具有鲁棒可行性。再从另一角度验证此结论，图10展示了不同

x

取值下的可调度域

D (x)

与DDU集

U (x)

的几何关系。

图10（a）显示，当

x = x 1

时，可调度域

D (x 1)

无法覆盖DDU集

U x 1

，这与

x 1 ∉ X R

的结论一致。在图10（b）中，当

x = x 2

时，DDU集

U x 2

被其可调度域

D (x 2)

所覆盖，这与

x 2 ∈ X R

的结论相符。

部分可分离的DDU集：如引理2和定理2所述，具有多面体DIU集的两阶段鲁棒优化问题（36）是保凸的。然而，当多面体随决策变量

x

变化时，问题（36）可能变为非凸。下面通过示例进一步说明。

例7. 在例4的基础上，DDU集

U (x)

由式（56）定义，其中，即时决策变量

x ∈ R 1

的变化范围为[0.8, 2.2]。

U (x) = u ∈ R 2 u 1 ≤ 6 - 2 x u 1 ≤ 2 x u 2 ≤ 13 x - u 1 + 2 u 2 ≤ 15 x + 8 u 1 + u 2 ≤ 31 - 9 x 4 u 1 - 7 u 2 ≤ 32 x - 25 - 8 u 1 - 3 u 2 ≤ - 20 0 ≤ u 1 ≤ 3 8 ≤ u 2 ≤ 13

(56)

由于

Y (x, u)

由式（32）定义，可调度域

D (x)

仍保持式（39）的形式。为获得鲁棒可行域

X R

，图11绘制了

U (x)

与

D (x)

的关系图。此外，图12展示了不同

x

取值下的

U (x)

与

D (x)

。

当

1 < x < 2

时，可调度域

D (x)

无法完全覆盖不确定性集

U (x)

。回顾鲁棒可行域

X R

的定义——它包含所有能使

U x ⊆ D (x)

成立的

x

，由此可得

X R

为

X R = [0.8,1] ⋃ [2,2.2]

(57)

显然，

X R

是非凸的。

DDU集引入的非凸性可以从以下两个角度解释。

（1）从两阶段鲁棒优化问题（1）的模型结构分析：

U (x) = u | G (x) u ≤ g (x)

(58)

式中，

G (x)

和

g (x)

是关于

x

的函数。根据第2.2节，通过式（18）定义的

U f e a s e p (x)

和式（19）定义的

U o p f s e p (x)

，可以证明该

U (x)

是部分可分离的。进而，根据定理1，问题（1）中的DDU集

U (x)

可以等价替换为

U f e a s e p (x)

和

U o p f s e p (x)

，这两者均为完全可分离形式。然而，

U f e a s e p (x)

的耦合函数[即式（18c）中的

C f e a (·)

]与

U o p f s e p (x)

的耦合函数[即式（19c）中的

C o p t (·)

]都是非凸函数。因此，应用定理2无法保证两阶段鲁棒优化问题的凸性。

（2）考虑在

(x, α, u, y)

空间上的多面体定义如下：

(x, α, u, y) | Y (x, u) ⋂ y | c T y ≤ α

(59)

将式（59）投影到

(x, α, u)

空间上，可得到：

(x, α, u) | H x + J α + K u ≤ M

(60)

式中，

H

、

J

、

K

为常系数矩阵；

M

为常向量。

根据定义3，式（60）即为

D e x t (x, α)

的图表示。那么，约束（36b）具有如式（61）所示的等价形式。

(x, α) | U (x) ⊆ D e x t (x, α) = (x, α) | H x + J α + K u ≤ M, ∀ u ∈ U (x)

(61a)

= (x, α) h j T x + J α + m a x u ∈ U (x) k j T u ≤ m j, ∀ j = 1, …, l e n (M)

(61b)

= (x, α) h j T x + J α + m i n λ j λ j T g (x) s . t . G (x) T λ j = k j λ j ≥ 0 ≤ m j, ∀ j = 1, …, l e n (M)

(61c)

= (x, α) h j T x + J α + λ j T g (x) ≤ m j G (x) T λ j = k j λ j ≥ 0 ≠ ∅, ∀ j = 1, …, l e n (M)

(61d)

= (x, α) H x + J α + Λ g (x) ≤ M Λ G (x) = K Λ ≥ 0 ︸ (*) ≠ ∅

(61e)

其中，在式（61b）中，

h j

、

k j

和

m j

分别是矩阵

H

、

K

和向量

M

的第

j

行，

l e n (M)

表示

M

的行数；式（61c）是通过回顾式（58）并对式（61b）中的内部最大化问题应用对偶变换推导得出的，其中，

λ j

为对偶乘子；式（61d）通过等价去除式（61c）中的最小化算子得到；在式（61e）中，

Λ : = (λ 1, . . ., λ l e n M)

^T。

根据式（61）的变换，约束（36b）等价于将区域(*)投影到

(x, α)

空间，其中，区域(*)由式（61e）定义。注意到区域(*)中的双线性项

Λ g (x)

与

Λ G (x)

，该区域在

(x, α, Λ)

空间中可能是非凸的。因此，作为其投影的约束（36b）也可能是非凸的。当

G (x)

和

g (x)

是决策无关的常数矩阵时，区域(*)及其投影保证是多面体，这证明了在DIU情形下约束（36b）是凸的。

5 DDU集下的鲁棒调度算法构造

目前已有一些算法用于求解特定类型DDU集的鲁棒调度问题。然而，DDUs影响算法求解过程的机理尚不明确。与已有研究不同，本文首先揭示了DDU集的可分离性质，进而基于耦合函数设计了一种适用于DDU集的普适求解算法。所提算法不仅具有实用性，而且通过揭示考虑DDU集时决策问题的本质变化，为算法设计提供了新思路。应用本节的理论成果，可改进现有DIU鲁棒决策算法，使之适用于DDU。

本节首先回顾针对两阶段鲁棒优化调度问题发展的两种主流割平面算法，并指出它们在处理DDU时的局限性。随后，提出一种改进的求解策略来处理与DDU相关的两阶段鲁棒优化调度问题。

5.1 两阶段鲁棒优化调度问题的割平面算法

现有求解两阶段鲁棒优化调度问题的算法，包括著名的Benders分解算法及列与约束生成算法，均遵循限定与松弛相结合的原理（R&R）[47‒48]（图13）。限定是指在优化问题中固定部分决策变量的取值，松弛则是指移除问题中的部分约束。

限制与松弛方法的基本思想解释如下。将两阶段鲁棒优化调度问题作为原问题进行求解。不失一般性，假设原问题为最小化问题。通过对原问题施加等价变换导出等价主问题。通过对原问题施加约束限界，可得到子问题；通过对等价主问题进行松弛处理，可推导出松弛主问题。松弛主问题与等价主问题具有相同的优化目标。

基于R&R原理，迭代求解子问题与松弛主问题。其中，子问题的解为原问题提供最优解的上界，而松弛主问题的解则提供下界。此外，松弛主问题中需要固定的决策变量取值通过求解松弛主问题来更新。根据子问题的解，可以生成额外的割平面约束并添加到松弛主问题中。当子问题与松弛主问题的最优值足够接近时，迭代终止，意味着已获得原问题的最优解。在相同的约束限界和松弛求解框架下，Benders分解算法同列与约束生成算法的主要区别在于割平面、等价主问题和松弛主问题的具体构建形式。

（1）Benders分解算法：回顾式（18b）中的集合

Ξ

和式（19b）中的集合

Π

，Benders分解算法中的割平面设计如下：

C P f e a b d (ξ, u) = x | ξ T (b - A x - C u) ≤ 0

(62)

C P o p t b d (π, u) = (x, α) | π T (b - A x - C u) ≤ α

(63)

参数依赖于

ξ ∈ Ξ

和

u ∈ U

的

C P f e a b d (ξ, u)

称为Benders可行性割，它是

R n x

空间中的一个半平面。参数依赖于

π ∈ Π

和

u ∈ U

的

C P o p t b d (π, u)

称为Benders最优性割，它是

R n x + 1

空间中的一个半平面。

根据定理1，Benders分解中替代原两阶段鲁棒优化调度问题（1）的等价主问题可构建为

m i n x ∈ X, α ∈ R 1 f (x) + α

(64a)

x ∈ C P f e a b d (ξ, u), ∀ ξ ∈ Ξ, ∀ u ∈ U (x)

(64b)

(x, α) ∈ C P o p t b d (π, u), ∀ π ∈ Π, ∀ u ∈ U (x)

(64c)

通过对集合

Ξ

中的

ξ

、集合

Π

中的

π

以及

U (x)

中的

u

进行部分枚举，Benders分解算法旨在将约束（64b）和（64c）松弛为线性割平面约束。具体而言，若某个试探解

x j

不满足约束（64b），则存在

ξ j ∈ Ξ

和

u j ∈ U (x j)

使得

x j ∉ C P f e a b d (ξ j, u j)

。随后，在松弛主问题中添加割平面

x ∈ C P f e a b d (ξ j, u j)

来逼近约束（64b）。类似地，若试探解

(x j, α j)

不满足约束（64c），则存在

π j ∈ Π

和

u j ∈ U (x j)

使得

x j ∉ C P o p t b d (π j, u j)

，进而在松弛主问题中添加割平面

(x, α) ∈ C P o p t b d (π j, u j)

来逼近约束（64c）。关于两阶段鲁棒优化的Benders分解算法细节，请参阅文献[49‒51]。

（2）列与约束生成算法（C&CG）：记

C P c c g (u)

为列与约束生成算法中的割平面：

C P c c g (u) = (x, α) | Y (x, u) ⋂ y | c T y ≤ α ≠ ∅

(65)

这是一个在

R n x + 1

空间中、以

u ∈ U

为参数的半平面。当将列与约束生成算法应用于两阶段鲁棒优化问题（1）时，对其等价主问题设计如下：

m i n x ∈ X, α ∈ R 1 f (x) + α

(66a)

(x, α) ∈ C P c c g (u), ∀ u ∈ U (x)

(66b)

回顾（36），可证明原两阶段鲁棒优化调度问题式（1）与等价主问题（66）之间的等价性。通过对约束（66b）中的

u ∈ U (x)

进行部分枚举，列与约束生成算法旨在将该约束松弛为线性割平面。具体来说，如果某个试探解

(x j, α j)

不满足约束（66b），则存在

u j ∈ U (x j)

使得

(x j, α j) ∉ C P c c g (u j)

。随后，在松弛主问题中构造割平面

x, α ∈ C P c c g (u j)

来逼近约束（66b）。关于列与约束生成算法的细节，请参阅文献[52]。

5.2 割平面算法的局限性

前述割平面算法在应用于DDU的两阶段鲁棒优化调度问题时存在局限性，本文将从以下两个角度进行具体分析。

（1）理论视角。如第4节所讨论，DDU可能给原问题（1）引入非凸性。由于原问题（1）、Benders分解中的等价主问题（64）以及列与约束生成算法中的等价主问题（66）三者等价，这些等价主问题本身也可能是非凸优化问题。若存在非凸性，则必然体现在等价主问题的约束中。如第5.1节所述，两种割平面算法的目的是通过一组割平面来松弛并逼近等价主问题的可行域。当等价主问题的可行域因DDU变得非凸时，由割平面约束构建的松弛主问题无法保证是等价主问题的合法松弛，从而导致计算结果的质量下降。

（2）物理视角。回顾鲁棒优化的物理含义：两阶段鲁棒优化调度问题的解旨在规避不确定性集内的最坏情景。如第5.1节所述，当试探解

x j

在特定情景

u j ∈ U (x j)

下不满足等价主问题的约束时，算法会生成以该

u j

为参数的附加割平面，以此应对已识别的最坏情景。然而，由于DDU集随决策变量

x

变化，当

x

取值更新时，该

u j

可能已位于相应新形成的DDU集之外。因此，以

u j

为参数的割平面可能会给松弛主问题带来过度的保守性，从而阻碍松弛主问题逼近等价主问题。

接下来，通过示例说明并论证应用传统割平面算法求解含DDU的两阶段鲁棒优化调度问题时可能产生的后果。

鲁棒可行性破坏。由割平面构成的松弛主问题无法保证是等价主问题的有效松弛。过度保守的割平面可能构成空集，导致松弛主问题不可行，从而中断迭代算法。一旦决策者观察到松弛主问题不可行，可能会误判原问题不可行。以下详述一个鲁棒可行性失效的示例。

例8. 在例7的基础上，该两阶段鲁棒优化问题表述为

m i n x ∈ [0.8,2.2] | x - 1.5 |

(67a)

s . t . x ∈ X R

(67b)

根据例7，鲁棒可行域

X R

为

[0.8,1] ⋃ [2,2.2]

。因此，式（67）的最优解为

x * = 1

。

当应用Benders分解算法求解式（67）时，第一轮迭代的试探解为

x 1 = 1.5

，其对应存在

u 1 = 3,8 T ∈ U (x 1)

和

ξ 1 = 0, - 1,0, - 1, - 1,0 T ∈ Ξ

使得

x 1 ∉ C P f e a b d (ξ 1, u 1)

。随后，生成一个具有如下显式形式的割平面约束

x ∈ C P f e a b d (ξ 1, u 1)

：

x ∈ R 1 : ξ 11 + ξ 21 + ξ 31 + ξ 41 - u 11 ξ 51 + u 21 ξ 61 ≤ 0

(68)

该约束被添加到等价主问题中。然而，可以发现约束（68）是一个空集，从而导致松弛主问题不可行。当观察到松弛主问题不可行时，决策者会错误地认为原问题（67）不可行。

类似地，当应用列与约束生成算法求解式（67）时，在第一轮迭代中存在

u 1 = 3,8 T ∈ U (x 1)

使得

x 1 ∉ C P c c g (u 1)

。随后，生成一个具有如下显式形式的割平面约束

x ∈ C P c c g (u 1)

：

x ∈ R 1 : - 1 ≤ y 1 ≤ 1 - 1 ≤ y 2 ≤ 1 3 ≤ y 1 + y 2 ≤ 8 ≠ ∅

(69)

该约束被添加到松弛主问题中。然而，约束（69）同样是一个空集，导致松弛主问题不可行。类似地，决策者会因此对式（67）的可行性产生误判。

鲁棒最优性失效。松弛主问题中过度保守的割平面可能压缩等价主问题的可行域，从而导致原问题只能获得次优解。以下示例说明了这种情况。

例9. 在例8的基础上，第二阶段问题的约束表述如下：

Y (x, u) = y ∈ R 2 - 1 ≤ y 1 ≤ 1 ξ 1, ξ 2 - 1 ≤ y 2 ≤ 1 ξ 3, ξ 4 u 1 - 0.5 x ≤ y 1 + y 2 ξ 5 y 1 + y 2 ≤ u 2 + 0.5 x (ξ 6)

(70)

对应于式（70）中

Y (x, u)

的可调度域为

D (x) = u ∈ R 2 u 1 ≤ 2 + 0.5 x - u 2 ≤ 2 + 0.5 x u 1 - u 2 ≤ x

(71)

为推导鲁棒可行域，图14展示了式（56）中的决策依赖不确定性集

U (x)

、可调度域

D (x)

及其关系图。

图14表明，本例中鲁棒可行域的显式表达为

X R = [0.8,4 / 3] ⋃ [1.6,2.2]

。因此，本例的最优解为

x * = 1.6

，最优值为0.1。

当应用Benders分解算法时，第一轮迭代的试探解为

x 1 = 1.5

，此时存在

u 1 = 3,8 T ∈ U (x 1)

和

ξ 1 = 0, - 1,0, - 1, - 1,0 T ∈ Ξ

使得

x 1 ∉ C P f e a b d (ξ 1, u 1)

。随后，生成一个具有如下显式形式的可行性割平面

x ∈ C P f e a b d (ξ 1, u 1)

：

x ∈ R 1 : ξ 11 + ξ 21 + ξ 31 + ξ 41 + (0.5 x - u 11) ξ 51 + (0.5 x + u 21) ξ 61 ≤ 0

(72a)

x ∈ R 1 : 2 ≤ x

(72b)

该割平面被添加到松弛主问题中。在第二轮迭代中，松弛主问题生成试探解

x 2 = 2

，该解被证明位于鲁棒可行域

X R

内。随后迭代算法终止，输出次优解

x 2 = 2

，其目标函数值为0.5。

类似地，当应用列与约束生成算法时，第一轮迭代的试探解同样为

x 1 = 1.5

，且存在

u 1 = 3,8 T ∈ U (x 1)

使得

x 1 ∉ C P c c g (u 1)

。随后，生成一个具有如下显式形式的割平面

x ∈ C P c c g (u 1)

：

x ∈ R 1 : - 1 ≤ y 1 ≤ 1 - 1 ≤ y 2 ≤ 1 3 - 0.5 x ≤ y 1 + y 2 ≤ 8 + 0.5 x ≠ ∅

(73a)

x ∈ R 1 : x ≥ 2

(73b)

该割平面被添加到松弛主问题中。类似地，带约束（73）的松弛主问题也会输出次优解

x 2 = 2

，其目标函数值为0.5。

5.3 针对DDU的改进求解算法

本小节基于决策依赖不确定性集的可分离性，提出一种改进的求解算法来处理与决策依赖不确定性相关的两阶段鲁棒优化问题。

（1）完全可分离的DDU集：不失一般性，假设如式（2）所示的DDU集

U (x)

是可分离的。记

E C c c g (ξ 1)

为以

ξ ∈ Ξ

为参数的增强型列与约束生成割，其表达式为

E C c c g (ξ) : = (x, α, u) (x, α) ∈ C P c c g (u) u j = C (ξ, x)

(74)

那么，等价主问题（64）可以改写为

m i n x ∈ X, α ∈ R 1, u f (x) + α

(75a)

(x, α, u) ∈ E C c c g (ξ), ∀ ξ ∈ Ξ

(75b)

通过对式（75b）中的

ξ ∈ Ξ

进行部分枚举，可将松弛主问题构建如下：

m i n x ∈ X, α ∈ R 1, u f (x) + α

(76a)

o v e r : x ∈ X, α ∈ R 1, u j ∈ U

(76a)

(x, α, u j) ∈ E C c c g (ξ j), ∀ j

(76c)

松弛主问题（76）是等价主问题（75）的一个有效松弛。随着约束（76c）中割平面的累积，松弛主问题（76）将不断逼近等价主问题（75）。

（2）部分可分离的DDU集：以

ξ ∈ Ξ

为参数的增强型Benders可行割定义为

E C f e a b d (ξ) : = (x, u) x ∈ C P f e a b d (ξ, u) u = C f e a (ξ, x)

(77)

E C f e a b d (ξ)

是

R n x + n u

空间中的一个约束。增强型Benders最优割定义为

E C o p t b d (π) : = (x, α, u) (x, α) ∈ C P o p t b d (π, u) u = C o p t (π, x)

(78)

这是

R n x + n u

空间中的一个约束。

那么，等价主问题可构建为

m i n x f (x) + α

(79a)

o v e r : x ∈ X, α ∈ R 1, u f e a, u o p t ∈ U

(79b)

(x, u f e a) ∈ E C f e a b d (ξ), ∀ ξ ∈ Ξ

(79c)

(x, α, u o p t) ∈ E C o p t b d (π), ∀ π ∈ Π

(79d)

通过对约束（79c）中的

ξ ∈ Ξ

以及约束（79d）中的

π ∈ Π

进行部分枚举，可将松弛主问题构建为

m i n x f (x) + α

(80a)

o v e r : x ∈ X, α ∈ R 1, u f e a j, u o p t k ∈ U

(80b)

(x, u f e a j) ∈ E C f e a b d (ξ j), ∀ j

(80c)

(x, α, u o p t k) ∈ E C o p t b d (π k), ∀ k

(80d)

6 含DDU的鲁棒调度应用实例

本节介绍DDU鲁棒优化调度的三个应用实例：计及风机DDU的频率约束备用容量配置[12]、计及需求响应DDU的鲁棒调度[20]，以及DDU和DIU共存的虚拟电厂鲁棒调度[29]。这些工作已在此前发表，此处仅作简要介绍，以更好说明本文提出的理论成果。详细信息可参阅上述参考文献。

6.1 电源侧——风电场的频率约束备用容量配置

通过虚拟惯量和下垂控制，风机等可再生能源发电单元能够通过备用容量配置为频率调节提供快速响应。换言之，风电机组可视为一种频率调节资源。同时，风电机组的备用容量配置问题需考虑风电出力的不确定性。备用功率的决策将影响实际可用风电出力的实现，由此产生决策依赖不确定性。

风电机组的频率约束备用容量配置问题可构建为一个两阶段鲁棒优化模型。在第一阶段，即时决策

x

包括同步发电机的机组启停决策以及同步发电机和风电场的能量调度与备用容量配置决策。备用容量的配置会影响风电出力的不确定性。在观测到实际风电出力后，做出第二阶段的决策

y

（包括同步发电机与风电场的再调度），以实现频率调节。

例2考虑了不同运行模式下风电机组的决策依赖不确定性。文献[12]采用Delta模式来提供具有可靠性保障的频率备用，其表达式如下：

D e l t a : R t = m i n P t m p p t, λ t r P r a t e P t a v a i l = m a x P t m p p t - λ t r P r a t e, 0

(81)

式中，

R t

、

P t a v a i l

、

λ t r

和

P t m p p t

分别表示风电机组在时段t的备用功率、可用功率、降载率和最大可用功率；

P t m p p t

表示一个仅由不确定风速决定的决策无关不确定性变量；而备用功率

R t

和可用功率

P t a v a i l

则体现了依赖于降载率决策

λ t r

的决策依赖不确定性变量。

通过对

P t m p p t

≥

R t ¯

: =

λ t r

P^rate施加鲁棒性保证，决策依赖不确定性模型可进一步简化为

P ¯ t a v a i l = P t m p p t - R ¯ t, ∀ t

(82a)

P ̲ t m p p t ≤ P t m p p t ≤ P ¯ t m p p t, ∀ t

(82b)

∑ t | P t m p p t - P t a v | / P t h ≤ Γ T

(82c)

式中，

P t a v

和

P t h

分别表示期望值和波动水平；

P ¯ t m p p t

、

P ̲ m p p t

分别表示最大可用功率的上、下界；

Γ T

表示风电机组的时间鲁棒性预算。

在该DDU模型中，DDU变量为

u : = P ¯ t a v a i l, ∀ t

(83)

在一阶段决策

x

中影响该DDU集的变量是

R ¯ t

（

∀ t

）。

基于DDU集的可分离性，其辅助随机变量为

ξ : = P t m p p t, ∀ t

(84)

决策无关不确定性支撑集

Ξ

由约束（82b）~（82d）定义，耦合函数

C (ξ, x)

由式（82a）定义。显然，对应的决策依赖不确定性集是完全可分离的。因此，该鲁棒备用配置问题可直接采用第7节提出的改进列与约束生成算法进行求解。

文中提供了基于改进的IEEE5节点系统的数值算例结果，以验证在鲁棒调度中考虑决策依赖不确定性的重要意义。

图15和图16 [12]分别展示了模型考虑DDU和DIU时，各时段的频率变化轨迹。考虑风电DDU的模型，其频率偏差能保持在预期范围内。相反，当使用DIU集来表征风电不确定性时，系统无法提供预期的频率支撑，导致频率最低点越限。仿真结果对比证明了将风电出力建模为DDU而非DIU的优势。

为验证所提求解算法的可扩展性，在一个包含57台常规发电机和6个可再生能源电站的中国实际区域电网[53]上进行了数值仿真测试。通过考虑两种场景来测试可再生能源（包括风电场和光伏电站）在DDU两阶段鲁棒优化调度模型中的作用。

（1）对比模型：仅由同步发电机提供频率调节服务。

（2）所提模型：同步发电机和可再生能源共同提供频率调节服务。

数值模拟结果如图17所示。在图17（a）中，11:00至16:00时段，对比模型中的可再生能源发电功率占比，相比所提模型降低了约70%。在图17（b）中，随着故障规模值从0增大到3%，可再生能源渗透率随之下降。所提模型的曲线下降速度远慢于对比模型。此外，当故障规模增大至2.9%时，对比模型的优化问题将变得不可行。图17（c）绘制了不同时段发生故障后的频率动态变化，验证了所提模型的鲁棒可行性。另外，所提模型在笔记本电脑上的计算时间为1914.22 s，这对于实际大型电力系统的日前调度问题是可接受的。

6.2 负荷侧——考虑需求响应的鲁棒调度

需求响应是一种通过激励终端用户参与系统调节来降低运行成本、缓解系统风险的有效手段。然而，负荷需求本身通常是随机的。由于需求响应决策可能会改变负荷需求的概率分布或边界，其不确定性属于决策依赖不确定性。

考虑需求响应的鲁棒调度问题属于两阶段鲁棒优化范畴，我们已在前期研究[20]中对其进行了研究。第一阶段决策

x

包括常规机组的基准发电出力与备用容量，以及需求响应的设定点

d 0

。该问题重点关注依赖于设定点

d 0

的需求响应DDU。在观测到实际负荷后，做出第二阶段决策

y

（即常规机组的调节后发电出力），以维持功率平衡和潮流约束。

负荷本身具有如下不确定性：

D E = d | - δ d - ≤ d - d E ≤ δ d +

(85)

式中，

δ d -

和

δ d +

以及

d E

分别表示负荷的上界波动值、下界波动值和预测值。

通过需求响应，负荷预测值被调整为设定点

d 0

。假设负荷波动与预测负荷成比例放大，则新的不确定性集定义为

D (d 0) = d - d 0 d E δ d - ≤ d - d 0 ≤ d 0 d E δ d +

(86)

式中，

d 0 / d E

表示放缩比例。因此，

D (d 0)

表示一个依赖于即时决策

d 0

的DDU集。

需求响应的DDU集属于例1中的箱型DDU集，是完全可分离的。因此，考虑需求响应的鲁棒调度问题可采用第7节提出的改进列与约束生成算法求解。

我们之前的工作[20]揭示了DDU在需求响应中的影响。该研究在两个负荷参与需求响应计划的IEEE5节点系统中，验证了增强型列与约束生成算法的有效性。图18展示了增强型列与约束生成算法的迭代过程，其中，“Disp-Reg”反映了定义3中的可调度域。图18展示了DDU集与可调度域之间的双向匹配关系。若不确定性依赖于决策，则调度结果可能无法满足鲁棒可行性和（或）最优性。图19展示了采用决策无关不确定性模型时标准列与约束生成算法的迭代结果。可调度域覆盖了不确定性集之外的最坏情景，这意味着鲁棒最优性的丧失。

6.3 备用调用——虚拟电厂的鲁棒调度

虚拟电厂通过聚合可再生能源机组、常规电厂、储能设备和柔性负荷，可为电力系统提供灵活性。我们之前的工作[29]研究了虚拟电厂参与日前备用市场的场景。虚拟电厂在日前时间尺度上无法确知实际的备用调用需求，因此将提供一个灵活性范围。随后，主网将在此灵活性范围内传递一个调节信号。尤其值得注意的是，该调节信号对于虚拟电厂而言是不确定的，并且这种不确定性取决于虚拟电厂自身决定的灵活性范围。因此，来自日前备用市场、作用于虚拟电厂的调节信号属于决策依赖不确定性。

虚拟电厂的鲁棒调度问题可构建为一个两阶段鲁棒优化模型。在第一阶段，虚拟电厂做出即时决策

x

，包括在市场中交易的电能量、上调/下调备用容量以及常规电厂的机组启停计划。虚拟电厂需考虑调节信号的决策依赖不确定性，以及能源市场价格和风电出力的决策无关不确定性。在第二阶段，调用包括常规电厂、储能单元和柔性负荷在内的所有资源来应对这些不确定性。

虚拟电厂重点关注其与主网之间的不确定功率交换，定义如下：

P t E X C H = P t E + P t R + - P t R -, ∀ t

(87)

式中，

P t E

表示虚拟电厂在时段

t

于能量市场中决定的交易功率；

P t R +

和

P t R -

分别表示在时段

t

作用于虚拟电厂的不确定上调与下调调节信号。

上调与下调调节信号的不确定性描述如下：

0 ≤ P t R + ≤ P t R C +, ∀ t

(88a)

0 ≤ P t R - ≤ P t R C -, ∀ t

(88b)

∑ t P t R + ≤ ∑ t s i g t + P t R C +

(88c)

∑ t P t R - ≤ ∑ t s i g t - P t R C -

(88d)

式中，

s i g t +

和

s i g t -

分别表示在时段

t

为提供上调/下调备用能量所需的平均标准化调用量；

P t R C +

和

P t R C -

分别表示上调与下调备用容量的决策值。

P t E X C H

的不确定性集由式（87）和式（88）构建。由于该集合依赖于第一阶段决策

P t E

、

P t R C +

和

P t R C -

，因此属于DDU集。根据第2节，这一复杂的DDU集是部分可分离的。第4节表明，含部分可分离DDU集的两阶段鲁棒优化问题可能是非凸的。本文第5节中的改进列与约束生成算法可能无法保证鲁棒可行性和（或）最优性，因此提出了一种改进的Benders分解算法来处理部分可分离的DDU集。

我们之前的研究[29]已验证了改进Benders分解算法在求解虚拟电厂鲁棒调度问题上的有效性。表1 [29]列出了两种算法的求解结果对比。标准列与约束生成算法所得的净收益显著小于改进Benders分解算法。这是因为列与约束生成算法直接基于最坏情景下的不确定性实现生成可行性割，忽略了不确定性集随决策变化的事实。此外，改进Benders分解算法所需迭代次数更少，求解时间更短，这验证了Benders对偶割平面算法的效率。

本节通过多个应用实例，展示了电力系统调度中不同类型的DDU及其处理方法。需要指出的是，本文提出的定理与算法同样适用于其他可再生能源（如光伏、储能单元）以及市场参与者。

7 结论

本文提出了一个处理含DDU两阶段鲁棒调度的决策框架，着重阐述了DDU与DIU之间的本质关联和区别。首先，面向DDU的结构特性提出了可分离性的概念，给出了严格定义，证明了其存在性，并提供了示例说明。研究结果表明，具有任意集值映射形式的DDU集均可分解为一个以决策为参数的耦合函数和一个决策无关的不确定性支撑集。随后，将含DDU的鲁棒调度问题等价地建模为DDU集与可调度域（或其与基于区域的灵活性表征变体）之间的双向匹配问题。与DIU下的单向匹配相比，DDU所推动的双向匹配赋予了系统更多的灵活性，尽管这也可能为鲁棒调度问题引入非凸性。特别地，本文揭示了，上述非凸性归因于非凸的耦合函数。此后，本文提出了一种普适求解算法，作为R&R框架内迭代算法的变体，用于精确且高效地求解含DDU两阶段鲁棒优化调度问题。不同于传统的原始或对偶割平面，所提出的增强型割平面基于DDU集的可分离性设计，能够自主适应原问题的凸性或非凸性。最后，介绍了所提方法在考虑风电机组、需求响应和虚拟电厂DDU的鲁棒调度问题中的应用。这些应用强调了未来在可再生能源主导的电力系统调度决策中考虑DDU的重要性，并验证了所提算法的有效性。

需要指出的是，尽管本文聚焦于两阶段鲁棒优化调度问题，但其关于DDU的核心思想仍可适用于其他鲁棒优化决策问题，如多阶段鲁棒优化以及两阶段/多阶段分布鲁棒优化。期望本研究能促进对DDU表征以及含DDU的鲁棒调度算法的深入理解，并启发更多关于DDU的理论与应用研究。

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