基于空间划分与WGAN-GP的实用动态安全域边界快速生成方法

刘艳丽 ,  贾瑞芃

Engineering ›› 2025, Vol. 51 ›› Issue (8) : 75 -85.

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Engineering ›› 2025, Vol. 51 ›› Issue (8) : 75 -85. DOI: 10.1016/j.eng.2024.05.017
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基于空间划分与WGAN-GP的实用动态安全域边界快速生成方法

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Space Division and WGAN-GP Based Fast Generation Method of Practical Dynamic Security Region Boundary

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摘要

快速准确的暂态稳定性分析对电力系统运行至关重要。在高比例风电接入背景下，超平面表达的实用动态安全域在态势感知与系列优化问题中具有突出优势。获取精确实用动态安全域（practical dynamic security region, PDSR）边界的前提是定位足量边界邻近点。为此，本文提出一种基于空间划分和WGAN-GP的PDSR边界快速生成方法。首先，基于动态安全域微分拓扑特性（域内无孔洞、边界紧致无纽结）的理论基础，提出空间划分法，计算边界所在临界运行区，大幅压缩临界点搜索空间并提升边界拟合结果的置信度；进而采用WGAN-GP模型通过学习小规模训练集数据分布快速生成大量临界点；最终基于最小二乘法拟合含超平面的PDSR边界。基于IEEE 39节点系统的算例验证了所提方法的准确性与高效性。

Abstract

Fast and accurate transient stability analysis is crucial to power system operation. With high penetration level of wind power resources, practical dynamic security region (PDSR) with hyper plane expression has outstanding advantages in situational awareness and series of optimization problems. The precondition of obtaining accurate PDSR boundary is to locate sufficient points around the boundary (critical points). Therefore, this paper proposes a space division and Wasserstein generative adversarial network with gradient penalty (WGAN-GP) based fast generation method of PDSR boundary. First, the typical differential topological characterizations of dynamic security region (DSR) provide strong theoretical foundation that the interior of DSR is hole-free and the boundaries of DSR are tight and knot-free. Then, the space division method is proposed to calculate critical operation area where the PDSR boundary is located, tremendously compressing the search space to locate critical points and improving the confidence level of boundary fitting result. Furthermore, the WGAN-GP model is utilized to fast obtain large number of critical points based on learning the data distribution of the small training set aforementioned. Finally, the PDSR boundary with hyperplanes is fitted by the least square method. The case study is tested on the Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) 39-bus system and the results verify the accuracy and efficiency of the proposed method.

关键词

实用动态安全域边界 / WGAN-GP / 空间划分 / 临界点 / 数据-模型混合驱动

Key words

Practical dynamic security region boundary / WGAN-GP / Space division / Critical points / Data-model hybrid driven

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刘艳丽,贾瑞芃. 基于空间划分与WGAN-GP的实用动态安全域边界快速生成方法[J]. 工程（英文）, 2025, 51(8): 75-85 DOI:10.1016/j.eng.2024.05.017

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1 引言

高比例可再生能源的接入给电力系统带来了巨大的不确定性[1‒2]，并使电力系统稳定面临巨大风险与挑战[3‒4]。近年来，多次大规模停电事故均与电力系统暂态失稳密切相关[5]。因此，为确保电力系统安全运行，亟需快速、准确的暂态稳定分析[6‒7]。

长期用于电力系统安全稳定分析的逐点法[8]，通过逐点进行时域仿真来判断系统的稳定性。在此基础上发展起来的动态安全域（dynamic security region, DSR）是在事故前的节点注入功率空间中定义的，指事故后仍能满足系统暂态功角稳定的所有运行点的集合。DSR实现了离线计算与在线应用，不仅能判断系统稳定性，还能根据运行点与DSR边界的相对位置获得稳定裕度和控制方向[9]。DSR边界可由一个或少数几个超平面（hyperplanes, HPs）近似表示，称为实用动态安全域（practical DSR, PDSR）[10]。由于其表达式简便明了，PDSR成为解决含暂态功角稳定约束和功率注入不确定性优化问题的有力工具，能为调度人员提供丰富的系统状态信息和控制决策参考[11‒12]，具有良好的工程应用前景。

传统的PDSR边界求取方法主要包括解析法[13]和拟合法[14]。解析法基于节点功率注入与系统暂态稳定状态之间的映射关系，推导PDSR边界的解析表达式。文献[13]基于小注入变化下安全域边界相互平行的性质，推导了更便于计算的PDSR边界解析表达式。文献[15]快速识别了初始运行点附近临界点的不稳定模式，为解析法的临界点搜索提供了指导。拟合法则基于大量通过时域仿真获得的临界点（即稳定与不稳定状态之间过渡区的运行点）来拟合PDSR边界表达式。文献[14]基于正交选点法和最小二乘法获得PDSR边界，为许多相关研究奠定了基础。文献[16]将PDSR应用于国家电网华中分公司的实际大型电力系统，证明了PDSR边界及其相关性质的实用性。上述研究表明，解析法仅需搜索少量临界点，计算速度快，但受限于电力系统的模型复杂性，难以满足高精度计算要求；而拟合法侧重于计算精度，但这是以消耗时长为代价的（即随着电力系统规模增大，更高的功率注入空间维度需要更多的时域仿真工作）。因此，如何同时兼顾精度与效率地获取PDSR边界，在实际工程应用中至关重要。

近年来，提出了数据驱动或混合数据驱动的方法来获取该边界。有研究利用Relief方法[17]识别关键发电机并降低数据维度；采用生成对抗网络（generative adversarial network, GAN）[18‒21]进行数据增强，并基于海量稳定点与不稳定点的分布来获取边界。文献[22‒24]应用先进的深度学习方法评估暂态稳定性，这些方法依赖时域仿真生成大量带有暂态稳定标签的运行点作为训练集。然而，生成这些数据集非常耗时。由于远离边界的运行点包含的暂态稳定状态信息较少，因此生成靠近边界的运行点比在整个注入空间内生成运行点效率更高。但现有方法缺乏对临界点分布置信区的相关论证，即无法保证生成的点恰好分布在边界上或非常接近边界。

为此，本文提出一种基于空间划分与带梯度惩罚的Wasserstein生成对抗网络（WGAN-GP）的PDSR边界快速生成方法。首先，DSR具有稠密性、连续性和紧致性等典型微分拓扑特征，这为仅在微小空间而非整个注入空间搜索临界点提供了理论基础。本文推广了空间划分方法，通过将注入空间划分为三个区域来压缩搜索空间，仅需在PDSR边界所在的临界运行区内搜索一小部分临界点。随后，利用以Wasserstein距离和梯度惩罚作为损失函数的WGAN-GP模型，在上述临界运行区内快速生成大量临界点，实现临界点的数据增强。最后，基于最小二乘法快速拟合得到超平面形式的PDSR边界，从而实现高效、准确的电力系统暂态稳定评估。

本文结构如下：第2节阐述了DSR和PDSR的定义，并给出了DSR的典型微分拓扑特征；第3节介绍了空间划分方法；第4节阐述了所提方法的实现流程；第5节展示了实验结果并进行分析讨论；第6节为结论。

2 动态安全域

2.1 动态安全域

动态安全域定义为事故前注入功率空间中，能够保证电力系统在事故后保持暂态稳定性的所有运行点的集合。在高压交流电网中，通常可假设无功功率可实现就地平衡，且有功功率变化对电压幅值的影响甚微、可忽略不计。因此，DSR的研究可仅限于有功功率注入空间。系统从故障发生到故障清除的状态变化过程，可由一组微分方程组描述。

x˙β(t)=fi(xβ(t)),  fF(xβ(t)),  fj(xβ(t)), -∞<t<00≤t<ττ≤t<+∞

式中，i表示事故前系统的拓扑；F表示既定的事故中系统的拓扑；t表示电力系统所处的时间阶段；xβ(t)表示t时刻的注入功率向量；τ表示事故清除时刻，f(·)表示从决策空间到系统状态的映射关系，x^β(t)表示t时刻电力系统的暂态稳定状态。动态安全域Ωd(i,j,τ)的定义如下：

Ωd(i,j,τ)≜{xβ|xd(xβ)∈A(xβ)}

式中，xd(xβ)表示事故清除瞬间的系统状态；A(xβ)是事故后状态空间上环绕着的由运行点xβ所决定的平衡点的暂态稳定域。动态安全域Ωd(i,j,τ)与暂态稳定域A(xβ)之间的映射关系如图1所示。

2.2 动态安全域微分拓扑特性

针对电力系统结构保留模型[25]，系统状态可以表示为x=δ,ω，式中，δ表示系统的负荷母线和发电机母线的相角向量，ω=δ˙表示母线的频率偏差向量。定义梯度动力系统如下：

δ˙=-∂Vpδ/∂δ

式中，Vp表示系统的势能函数。

根据式（2），可定义梯度系统的动态安全域Ωg(i,j,τ)：

Ωg(i,j,τ)≜{xβ|xg(xβ)∈Ag(xβ)}
xd(xβ)=xg(xβ),ω

式中，xg(xβ)是由事故清除时刻系统瞬时状态xd(xβ)在δ空间上的投影所得；Ag表示原系统稳定域，∂Ag为稳定域边界，又称为势能界面（PEBS）；Ag(xβ)为梯度系统对应的稳定域。

该非线性自治动力系统满足以下假设：①稳定边界上所有平衡点均为双曲型；②稳定边界上平衡点的稳定流形与不稳定流形满足横截性条件；③稳定边界上的平衡点数量有限；④当时间趋于无穷时，稳定边界上的每一条轨迹均趋于某一平衡点。

由此可推断，电力系统梯度系统是结构稳定的[26]。基于n维梯度系统的特性及势能边界面（potential energy boundary surface, PEBS）方法，原系统DSR的微分拓扑特征可通过梯度系统的DSR予以证明。

（1）对于Ωg(i,j,τ)上的任意注入y，总存在一个唯一的梯度系统δ .= -∂Vpδ/∂δ与之对应，该系统一阶连续可微，即属于C1类。因此，存在一个映射β(⋅) : xβ➝-∂Vp/∂δ,

∀xβ∈Ωg(i,j,τ)，该映射连续且其逆映射β-1(⋅)也连续。故β(⋅)为同胚映射。在此情况下，该梯度系统集合与对应的DSR，即Ωg(i,j,τ)，在同胚映射β(⋅)下具有相同的拓扑结构。

由此可推断，对应于xβ∈Ωgi,j,τ的梯度系统是结构稳定的。

此外，在xβ对应稳定性区域边界上的任一点处，梯度向量场f(δ) = -∂Vp(δ)/∂δ均指向该稳定性区域边界的内侧。根据结构稳定性理论，对应于xβ的梯度系统集合是稠密的，因此DSR Ωg(i,j,τ)也是稠密的。

为了进一步证明原系统的DSR Ωg(i,j,τ)是稠密的，可以利用原系统稳定性边界上第k个不稳定平衡点（unstable equilibrium point, UEP）(δ^k,0)附近的局部边界近似描述，来获得近似DSR，其定义如下：

Ω˜d(i,j,τ)≜{xβ|xd(xβ)∈A˜(xβ)}

式中，A˜(xβ)是由相关UEP的能量作为临界能量所确定的稳定性区域，表达式如下：

∂A¯(xβ)≜⋃k∂V¯(δ^k,0)

式中，∂V¯(δ^k,0)≜(δ,ω)|V(δ,ω)=V(δ^k,0)=Vp(δ^k)。那么，证明该近似DSR是稠密的，即可验证原系统的DSR是稠密的。

假设事故轨迹趋向于原系统边界上第k个UEP(δ^k,0)的稳定流形。根据方程（6）、方程（7）及能量函数相关理论，∀xβ1∈Ω˜d(i,j,τ)，方程（8）成立：

Vp(xg(xβ1))=V(xg(xβ1),0)<V(xd(xβ1))<V(δ^k,0)=Vp(δ^k)

由于原系统的势能函数Vp是梯度系统的能量函数，相关UEP处的能量Vp(δ^k)在梯度系统的稳定边界上最小。因此，xg(xβ1)属于Ag [即xβ1属于Ωd(i,j,τ)]。并且Ω˜d(i,j,τ)⊂Ωg(i,j,τ)，故Ω˜d(i,j,τ)也是稠密的。

此外，在电力系统暂态稳定分析中，基于UEP的方法通常被认为具有可接受的精度范围。基于UEP的相关近似方法所确定的近似DSR与真实DSR接近，因此可以推断DSR Ωd(i,j,τ)是开集且稠密的。

（2）DSR边界出现“打结”现象的本质是边界上的流形存在极限环或混沌运动。然而，由于稳定性边界满足假设①~④，可知系统不会发生分岔，也不会出现如极限环或混沌运动之类的有界振荡。因此，DSR边界是无结的，并且DSR Ωd(i,j,τ)是连通的。

（3）根据（1），DSR是开集，而开集的边界是闭集，因此，DSR的边界是闭集。由于注入功率具有上、下限约束，该边界是有界的，因此DSR的边界是紧致的。

综上所述，DSR典型的微分拓扑特征为稠密性、连续性和紧致性，即DSR内部无孔洞，且边界紧致无结。证明细节可参考文献[27‒28]。这些典型特征为仅需在微小空间而非整个注入空间内搜索临界点奠定了坚实的理论基础。

2.3 实用动态安全域

在工程实用的范围内，假设高压交流电力系统的无功功率是就地平衡的，在给定系统拓扑、事故类型和清除时间的情况下，保证事故后暂态功角稳定的事故前注入空间上的点集所组成动态安全域的边界，可由一个或多个光滑的子表面组成，每个子表面由超平面近似表示，被称为实用动态安全域。在n维注入空间下，其表达式如下所示：

∑αvPv=1,∀v∈ (1,…,n)

式中，(α1,⋯,αn)为超平面系数向量；(P1,⋯,Pn)为临界点的有功注入功率向量。根据已有理论基础可得动态安全域的特性，通常认为满足∑αvPv<1的运行点是暂态稳定的，满足∑αvPv>1的运行点是暂态不稳定的。

3 空间划分方法

基于DSR具有稠密性、连续性和紧致性的微分拓扑特征，由于临界点并非均匀分布于整个注入空间，而是集中于特定区域，空间划分方法能够精确定位临界点聚集的临界运行区。因此，仅需在临界运行区而非整个注入空间内快速获取大量临界点，通过压缩搜索空间显著节省计算时间。

空间划分方法将节点有功功率注入空间划分为三个部分：包含稳定运行点集中分布的稳定运行区、包含不稳定运行点集中分布的不稳定运行区，以及包含临界运行点和PDSR边界集中分布的临界运行区。节点注入空间划分示意图如图2所示，其中，S0表示参考点，crP为临界点集合，Dl表示参考点与临界点集合l之间的平均欧氏距离。a×Dl, b×Dl表示临界运行区，其中，a和b为系数，用于保证工程误差处于合理范围内。

由于临界点位于临界运行区内，可通过二分法和时域仿真确定的初始临界点来计算临界运行区，从而指导更多临界点的获取。此外，参考点到边界的参考距离大致等同于参考点到临界点的距离。因此，可通过计算参考点与临界点之间的距离来确定临界运行区。临界运行区的计算流程如图3所示，具体计算方法如下。

参考点S0到第q个临界点crPq的欧氏距离dq的计算公式为

dq=(S0_G1-crPq_G1)2+⋯+(S0_L1-crPq_L1)2+⋯

式中，G1表示第一台发电机；L1表示第一条线路负荷。

取参考点S0到第一个临界点crP1的欧氏距离d1作为初始参考距离D1，临界运行区可表示为a×D1,b×D1，其中，a取0.8，b取1.2。

当搜索到新的临界点时，基于参考点与已搜索到的l个临界点之间的平均欧氏距离Dl更新临界运行区a×Dl,b×Dl：

Dl=(d1+⋯+dn)/n

计算参考点S0到运行点P的欧氏距离d0。

d0=(S0_G1-PG1)2+⋯+(S0_L1-PL1)2+⋯

应用过程中，通过比较d0和Dl的值，可确定运行点与临界运行区的位置关系。空间划分方法可据此指导在临界运行区内搜索临界点：若运行点位于临界运行区内，则基于二分法和时域仿真继续搜索计算；若运行点位于临界运行区外，则表明该运行点非临界点，需改变注入功率并计算下一个运行点。

4 所提方法的实现流程

实用动态安全域边界快速生成的核心在于从海量运行点中搜索足量临界点，且临界点的精度直接决定了边界拟合的准确性。然而，随着系统规模的扩大，所需获取的临界点数量急剧增加，计算负担持续加重。

为解决上述局限性，本文所提方法的总体框架如图4所示。在给定特定场景、故障类型及清除时间的条件下，首先计算首个临界点并确定初始运行区域；进而采用空间划分方法压缩搜索空间，仅在临界运行区内计算获取小规模临界点训练集；在此基础上，利用WGAN-GP模型学习该临界点集的数据分布规律，快速生成大量分布于临界运行区内的临界点；最终通过最小二乘法拟合得到超平面形式的PDSR边界。下文将详细阐述各关键步骤的实现过程。

4.1 少量临界点的快速搜索

为压缩搜索空间并降低特征维度，采用空间划分法和Relief算法搜索少量临界点。同时，为保障样本的可靠性与计算的精确性，所获取的临界点数量至少应达到需求总数的三分之一。临界点搜索方法的流程如图5所示，关键步骤如下。

步骤1：基于Relief算法及给定故障下的大量运行点，识别与系统稳定性密切相关的关键单元。具体方法因篇幅所限可参考文献[29]。

步骤2：根据Hadamard矩阵确定临界点的初始搜索空间，并取该正交矩阵的每一行作为搜索运行点P。依据二分法和时域仿真进行搜索计算，直至获得首个临界点crP1。基于空间划分法，计算初始临界运行区。

步骤3：基于初始临界点crP1和Hadamard矩阵确定扩展搜索空间，并取正交矩阵的每一行作为搜索运行点P。若P位于临界运行区内a×Dl, b×Dl（其中，Dl为搜索第l个临界点时的参考距离），则基于二分法和时域仿真搜索临界点；若P位于该区域外，则变更运行点并继续搜索。

步骤4：根据参考点S0与已搜索临界点之间的平均欧氏距离Dl更新临界运行区。返回步骤3，直至搜索到s个临界点。

4.2 基于WGAN-GP的临界点增强

基于少量临界点，通过数据增强技术可快速生成足量临界点。GAN是一种高效的数据增强工具，但其原始形式存在梯度消失和模式崩溃的问题，因此亟需一种能克服这些缺陷的GAN变体。

WGAN-GP通过引入Wasserstein距离和梯度惩罚，在提升训练稳定性、改善模型效果方面具有独特优势，有效解决了梯度消失和模式崩溃问题。为此，本文采用WGAN-GP模型，基于第4.1节所获临界点的注入功率，快速生成大量临界点。

WGAN-GP模型中的Wasserstein距离定义如下：

W(Pdata,PG)=infγ~Π(Pdata,PG)E(x,y)~γ[ ||x-y|| ]

式中，Pdata是真实样本分布（即临界点分布）；PG是生成样本分布；Π(Pdata,PG)表示Pdata和PG联合分布的集合；γ是所有联合分布中可能的一种分布；E(x,y)~γ表示数学期望，其中，样本(x,y)服从分布γ；||x-y||是x-y的范数；W(Pdata,PG)表示在所有可能的联合分布下，范数||x-y||的期望值的下确界。

由于infγ~Π(Pdata,PG)是无法直接求解的，因此可以引入Lipschitz连续，将Wasserstein距离转化为如下形式。

W(Pdata,  PG)=1Ksup||f||L≤KEx~Pdata[f(x)]-Ex~PG[f(x)]

式中，f(x)表示判别器的等效映射函数；|| f(x) ||L<K表示f(x)的Lipschitz常数不超过K，即f(x)满足Lipschitz连续，K是一个不为正无穷的常数。

WGAN-GP模型的目标函数如下所示：

L=max Ex~Pdata[Dμ(x)]-Ex~PG[Dμ(x)]-λ×GP
GP=Ex^~p(x^)max ( ||∇x^Dμ(x^) ||,1)

式中，Dμ(x)是判别器Dμ（其上界变量为μ）在输入为x时的输出值。点x^满足x^=ϖxdata+(1-ϖ)xG，且ϖ~u(0,1)，此处xdata是真实样本，xG是生成样本，λ是惩罚因子，GP是梯度惩罚项，||∇x^Dμ(x^) ||表示梯度∇x^Dμ(x^)的范数。

进而，生成器和判别器的损失函数可分别由式（17）和式（18）表示：

LG=-Ex~PG[Dμ(x)]
LD=Ex~Pdata[Dμ(x)]-Ex~PG[Dμ(x)]+λEx^~p(x^)max ( ||∇x^Dμ(x^) ||,1)

在训练过程中，首先对真实临界点进行归一化处理并标记为“真”，生成样本标记为“假”。随后，生成器实现从随机噪声分布到生成样本分布的映射；判别器则同时接收带标签的两类样本，并输出给定样本为“真”的概率。在对抗交替训练中，基于上述损失函数，采用Adam优化器更新生成器与判别器的参数。通过参数更新，生成器能够生成与真实临界点相似且判别器无法区分的样本，判别器则能精准判断样本的真伪。

在应用过程中，向生成器输入一组服从简单正态分布的随机噪声，即可生成大量遵循临界点分布规律的样本。因此，基于少量临界点，WGAN-GP模型能为特定故障场景提供准确、足量的临界点样本集。

4.3 PDSR边界拟合

基于最小二乘法，可通过拟合得到PDSR边界。假设在n维节点注入空间中，所需样本集包含k个临界点。则第q个临界点的有功注入向量表示为Pq=Pq1,...,Pqn，其关联的偏差方程如式（19）所示。

Y-Pα=ε
P=P11P12⋯P1nP21P22⋯P2n⋮⋮⋮Pk1Pk2⋯Pkn

式中，Y=1,...,1T是k×1阶向量，表示测量值； P 是k×n阶常数元素矩阵；α=α1,...,αnT是n×1阶向量，表示各节点对应的HP系数；偏差ε=ε1,...,εkT是k×1阶向量，表示拟合误差。

基于最小二乘法理论，应使偏差平方和最小，如式（21）所示。

J=min ε2=min Y-PαTY-Pα

然后，通过偏导数计算极值，如式（22）所示。

∂J∂α=∂YTY-2YTPα+αTPTPα∂α=-2YTP+2αTPTP=0

求解上述方程后，HP系数的最小二乘估计如式（23）所示。

αLs=PTP-1PTY

临界点与含HPs的PDSR边界边缘之间的距离被视为拟合误差err=err1,...,errkT。第q个临界点的拟合误差errq的计算公式如式（24）所示。(α1,...,αv)为系数向量，(Xq1,...,Xqv)为临界点的有功注入功率向量，v表示特征数量。定义最大拟合误差errm=max (err,...,errk)来表征PDSR边界的近似计算精度。最大拟合误差越小，近似计算精度越高，反之亦然。

errq=∑i=1nαiXqi-1∑i=1nαi2⋅∑i=1nXqi2

5 算例验证

5.1 算例设置

为验证所提方法的有效性，本研究选取了将发电机35替换为风机的IEEE 39节点测试系统[对应图6（a）]，同时为丰富算例分析，额外增加了将发电机38替换为风机的IEEE 39节点测试系统[对应图6（b）]。设置发电机31接入节点为平衡节点，故障线路1-2表示线路1-2在节点1处发生三相短路故障。系统相关参数见表1与表2。为简化描述，除特殊说明的双风机系统外，后续分析均基于发电机35替换为风机的测试系统开展。仿真实验在Intel(R) Core(TM) i5-11300H处理器（主频3.10 GHz）、16 GB内存的计算机平台进行，暂态仿真通过BPA软件实现，算法部分基于MATLAB和Python平台计算。

5.2 算例分析

表3与表4表明，稳定运行区内的运行点均处于稳定状态，非稳定运行区内的运行点均处于非稳定状态。表5进一步印证空间划分法能精准划分运行区域，使各区域内运行点的暂态稳定状态判断具有高准确度。

表6显示空间划分法的最大拟合误差量级为1.0 × 10-4，说明其计算精度较高。

图7表明，相较于拟合方法，空间划分法最多可减少71.74%的计算时间，最少可减少17.96%，平均减少34.54%，凸显了其通过压缩搜索空间降低时间消耗的优势。

为保证拟合精度，临界点数量需多于PDSR注入空间维度，本文采用文献[30]中所述拟正交选点方法。IEEE 39节点测试系统的注入空间为28维，因此需搜索不少于28个临界点以生成PDSR边界。为确保计算精度与统计显著性，基于WGAN-GP模型生成840个样本，达到所需临界点数量的30倍。

表7表明，WGAN-GP生成的样本均位于临界运行区内，且符合临界点分布规律，证明生成临界点准确有效，为精准生成PDSR边界奠定基础。图8展示了故障1-2对应的PDSR边界，其中，星号表示临界点，蓝色平面为由临界点拟合的PDSR边界，边界下方区域为动态安全域。由于注入量为多维向量，DSR在三维空间中仅能显示特定截面，需给定其他维度注入功率值，且边界位置随给定值的不同而变化。

表8显示，所提方法的最大拟合误差量级为1.0 × 10-5，低于拟合方法。表9表明，在双风机系统中，所提方法的最大拟合误差量级为1.0 × 10-4，且同样低于拟合方法，印证了其高计算精度。图9显示，相较于已提升计算速度的空间划分-Relief组合方法，所提方法的最长计算耗时最多降低78.76%，最少降低40.41%，平均降低55.01%。表10表明，在双风机系统中，所提方法的平均计算耗时较拟合方法减少72.16%，较空间划分-Relief组合方法减少61.73%。值得注意的是，所提方法生成PDSR边界的总计算耗时不足6 min，显著降低了计算耗时。

6 结论

本文提出了一种基于空间划分和WGAN-GP的PDSR边界快速生成方法，用于高效获取足量临界点。基于DSR的微分拓扑特性，采用空间划分法压缩搜索空间，在临界运行区内搜索小规模临界点集。通过WGAN-GP模型学习该临界点集的数据分布，仅需单次训练即可快速生成大量临界点，进而精确拟合PDSR边界。为验证所提方法的有效性，分别在将发电机35替换为风机的IEEE 39节点测试系统，以及将发电机35和38分别替换为风机的测试系统中进行算例分析。

测试结果表明，相较于拟合方法及其改进算法，所提方法在保持高计算精度的同时，显著提升了临界点获取与PDSR边界生成的速度。

本方法针对特定故障场景构建边界。考虑到不同故障间存在关联性，随着深度学习技术的发展，如何基于已知故障生成其他故障对应的PDSR边界将成为未来的重点研究方向。

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