分形模型参数与粗糙度参数R<sub>a</sub>关系的研究

摘要

介绍了W－M分形模型参数（D,G,γ）的物理含义，研究了分形参数（D,G,γ）与粗糙度参数R_a之间的联系，导出了分形参数（D,G,γ）与粗糙度参数R_a关系式，用数值分析拟合方法验证了关系式的正确性。

正文

《1 引言》

1 引言

工程实际中存在着许多分形现象^[1], 描写分形的模型很多, 其中W-M分形模型是时域、尺度、频谱物理意义最直观的一种, 其时域函数由无限项随机相位余弦函数构成, 频谱由无限项系数呈指数衰减的δ脉冲项构成。W-M分形模型应用在粗糙轮廓分析上, 不但可以分析粗糙轮廓主要特征, 还可以预测到更加精细的轮廓结构, 同时粗糙轮廓被放大的精细轮廓结构与整体又表现出一定的统计自相似特性。

以下是在研究粗糙轮廓时应用最多的W-M分形函数。W-M函数处处连续, 但处处不可微分^[2]。W-M函数为

$\begin{array}{l} Ζ (x) = G^{D - 1} \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{\cos (2 π γ^{n} x + φ_{n})}{γ^{(2 - D) n}} ‚ \\ 1 < D < 2, γ > 1 (1) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ζ (x) = G^{D - 1} \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{\cos (2 π γ^{n} x + φ_{n})}{γ^{(2 - D) n}} ‚ \\ 1 < D < 2, γ > 1 (1) \end{array}$

其中 Z (x) 为随机表面轮廓高度, x表示轮廓的位置坐标, G是幅度系数 (μm) , D是分数维, γⁿ表示轮廓的空间频率, γ为大于1的常数。

《2 分形参数D, G和常数γ及粗糙度参数Ra的基本含义》

2 分形参数D, G和常数γ及粗糙度参数Ra的基本含义

分形参数分数维D是表示轮廓结构复杂程度的参数, D越大轮廓细节越丰富;分形参数幅度系数G是影响轮廓幅值大小的参数, 它的大小不影响轮廓的横向间距和‘过零点数’;常数γ>1且为非整正数;γⁿ表示轮廓的空间频率。γ取非整正数的目的在于式 (1) 中空间频率按几何级数规律变化后, 各余弦函数叠加之和, 充分表现随机性。M. V. Berry指出, 分形几何中, 分数维D是决定不规则性的参数, γ的大小不影响不规则性, 它与分数维D之间不存在数学上的联系。

轮廓算术平均偏差R_a是传统粗糙度参数中最重要的一个, 它表示在取样长度l内, 轮廓偏距绝对值的算术平均值, 用公式表示为^[3]

$R_{a} = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} | Ζ (x) | d x (2)$ $R_{a} = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} | Ζ (x) | d x (2)$

几乎任何国家的粗糙度标准中都首先使用粗糙度参数R_a。在工程应用中, 粗糙度参数R_a广为接受和使用, 但是分形参数与R_a之间定量关系研究较少, 这对灵活应用W-M函数为粗糙轮廓建模、正确理解分形参数表达粗糙度的能力、推广使用分形参数都是极大障碍。因此, 有必要研究分形参数D, G与R_a之间的内在联系。

《3 Ra与分形参数D, G之间的数学联系[4,5]》

3 Ra与分形参数D, G之间的数学联系[4,5]

式 (1) W-M函数的均值

$\begin{array}{l} μ = E (Ζ (x)) = \lim_{l \to \infty} \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} Ζ (x) d x = \\ \underset{l \to \infty}{l i n} \frac{1}{l} \int_{0 +}^{l} G^{D - 1} \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{\cos (2 π γ^{n} x + φ_{n})}{γ^{(2 - D) n}} d x = \\ G^{D - 1} \sum_{n - n_{1}}^{\infty} \underset{l \to \infty}{l i n} \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} c o s (2 π γ^{n} x + φ_{n}) d x / \\ γ^{(2 - D) n} = 0 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} μ = E (Ζ (x)) = \lim_{l \to \infty} \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} Ζ (x) d x = \\ \underset{l \to \infty}{l i n} \frac{1}{l} \int_{0 +}^{l} G^{D - 1} \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{\cos (2 π γ^{n} x + φ_{n})}{γ^{(2 - D) n}} d x = \\ G^{D - 1} \sum_{n - n_{1}}^{\infty} \underset{l \to \infty}{l i n} \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} c o s (2 π γ^{n} x + φ_{n}) d x / \\ γ^{(2 - D) n} = 0 。 \end{array}$

W-M函数的偏斜度

$S_{k} = \frac{1}{σ^{3}} \lim_{l \to \infty} \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} Ζ (x)^{3} d x ‚$ $S_{k} = \frac{1}{σ^{3}} \lim_{l \to \infty} \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} Ζ (x)^{3} d x ‚$

经过大量数值仿真计算, S_k→0。因此, W-M分形函数是零均值, 近似对称分布。

把式 (1) W-M函数代入式 (2) 得:

$\begin{array}{l} R_{a} = \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} | Ζ (x) | d x = \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} G^{D - 1} \cdot \\ | \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{\cos (2 π γ^{n} x + φ_{n})}{γ^{(2 - D) n}} | d x < \\ \frac{G^{D - 1}}{l} \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{1}{γ^{(2 - D) n}} \int_{0^{+}}^{l} | \cos (2 π γ^{n} x + φ_{n}) | d x = \\ \frac{2 G^{D - 1}}{π} \frac{γ^{(D - 2) n_{1}}}{1 - γ^{D - 2}} ‚ n_{1} > 0 ‚ \\ 即 R_{a} < \frac{2 G^{D - 1}}{π} \frac{γ^{(D - 2) n_{1}}}{1 - γ^{D - 2}} ‚ n_{1} > 0 (3) \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{a} = \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} | Ζ (x) | d x = \frac{1}{l} \int_{0^{+}}^{l} G^{D - 1} \cdot \\ | \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{\cos (2 π γ^{n} x + φ_{n})}{γ^{(2 - D) n}} | d x < \\ \frac{G^{D - 1}}{l} \sum_{n = n_{1}}^{\infty} \frac{1}{γ^{(2 - D) n}} \int_{0^{+}}^{l} | \cos (2 π γ^{n} x + φ_{n}) | d x = \\ \frac{2 G^{D - 1}}{π} \frac{γ^{(D - 2) n_{1}}}{1 - γ^{D - 2}} ‚ n_{1} > 0 ‚ \\ 即 R_{a} < \frac{2 G^{D - 1}}{π} \frac{γ^{(D - 2) n_{1}}}{1 - γ^{D - 2}} ‚ n_{1} > 0 (3) \end{array}$

《4 分形参数D, G与粗糙度Ra数值关系[5]》

4 分形参数D, G与粗糙度Ra数值关系[5]

取分数维D=1.1~1.9, 幅度系数G=0.25, 0.1, 0.04, 0.016等8个数, 初始项n₁=1, 用W-M函数产生模拟轮廓 (略) , 用式 (2) 计算轮廓粗糙度R_a, 分别研究R_a-D, R_a-G之间的关系, 结果如图1和图2所示。

从图1看到, G保持不变时, R_a-D的关系并非一致单调。G较大时, 如G=0.25, R_a与分数维D关系中存在着一个最小极值点;当G较小时, 如G<0.04, R_a与分数维D呈单调关系。用最小二乘法拟合图1中G=0.00256时, R_a与分数维D数值关系为

$\begin{array}{l} R_{a} \propto \frac{1}{D^{6.8}} (4) \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{a} \propto \frac{1}{D^{6.8}} (4) \end{array}$

《图1》

图1 R_a-D关系 Fig.1 Relation ship between R_a-D

《图2》

图2 R_a-G关系 Fig.2 Relationship between R_a-G

从图2看到, D保持不变时, R_a-G的关系一致单调。用最小二乘法拟合图2中D=1.5时R_a与幅度系数G关系得

$R_{a} = 0.8111 G^{0.5} (5)$ $R_{a} = 0.8111 G^{0.5} (5)$

用最小二乘法拟合图2中D=1.7时, R_a与幅度系数G关系为

$R_{a} = 1.0803 G^{0.7} (6)$ $R_{a} = 1.0803 G^{0.7} (6)$

由以上两式推断R_a与幅度系数G关系为

$R_{a} \propto G^{D - 1} (7)$ $R_{a} \propto G^{D - 1} (7)$

R_a-D, R_a-G之间的数值关系结果充分地体现了式 (3) 的正确性。

《5 结论》

5 结论

经过数学推导和数值分析得到以下结论:

1) 粗糙度参数R_a与分形参数D, G及常数γ有关联, 并满足

$R_{a} < \frac{2 G^{D - 1}}{π} \frac{γ^{(D - 2) n_{1}}}{1 - γ^{D - 2}}, n_{1} > 0 。$ $R_{a} < \frac{2 G^{D - 1}}{π} \frac{γ^{(D - 2) n_{1}}}{1 - γ^{D - 2}}, n_{1} > 0 。$

2) R_a与幅度系数G关系为R_a∝G^D-1。

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