多效蒸发在化工、制药等行业中广泛应用，许多人对多效蒸发系统模拟计算进行了研究，国内外已发表的文献[1~4]均是对多效并流、多效逆流、多效平流流程进行模拟计算，未对多效两段蒸发系统进行设计研究。苗春枝[5]等人建立了有固相析出的多效两段蒸发过程的物热衡算模型，并提出结合相图采用逐步逼近方法求解模型。该模型及算法将系统中的气液相平衡关系、固液相平衡关系用相图表示，利用手工查相图计算各效蒸发水分量及固相析出量，故无法用计算机编程求解，计算步骤烦琐、效率低。文献 [6,7] 分别建立了有固相析出的并流、逆流多效蒸发系统常规设计的数学模型，将系统的固液相平衡关系用回归式表达，使得模型可以用计算机编程求解。该模型只适用于有固相析出的并流、逆流多效蒸发系统，笔者在文献 [5] 的基础上，加入冷凝水闪蒸的节能措施，建立了带有冷凝水闪蒸且有固相析出的多效两段蒸发系统常规设计的数学模型，探讨求解模型的算法，利用 Visual Basic 6.0 语言编写计算程序。
《1 数学模型》
1 数学模型
《1.1 工艺流程》
1.1 工艺流程
带有冷凝水闪蒸的有固相析出的多效两段蒸发系统的流程如图 1 所示。多效部分为 n 效，最后一效 c（c =n + 1）效为浓效。从每一效出来的带有固相的溶液引到旋液分离器进行分离，分离后的溶液引至后一效蒸发器中继续蒸发。为了进一步利用冷凝水的显热，图 1 的流程将从前一效冷凝水闪蒸器中流出的温度较高的冷凝水引到后一效温度较低的冷凝水闪蒸器中继续闪蒸。对于溶液的黏度随浓度与温度变化很大的物料，并流多效蒸发系统越往后效溶液温度越低、浓度越大，从而导致黏度下降越快，并由此引起传热系数下降很快，所以为了提高效率，末效采用第一效引出的额外蒸汽加热。系统总效数为 n + 1 效。
《1.2 系统物料衡算》
1.2 系统物料衡算
假定溶质不挥发，对图 1 所示流程中任一效（第 i 效）蒸发液中的溶质 j 进行衡算[6]，有
式中， Fi ， F0 分别为第 i 效完成液、进料流率，kg·s-1；Nji 为第 i 效 j 组分析出的热量，J·kg-1；Wi 为第 i 效蒸发水分量，kg·s-1； xji 为第 i 效 j 组分浓度（质量分率）。
《图1》
图1 多效两段蒸发系统流程示意图
Fig.1 Flow chart of multi -effect two stages evaporation
将式（2）代入式（1）整理得
《1.3 系统热量衡算》
1.3 系统热量衡算
考虑热损失及浓缩热，对图 1 所示的复杂多效两段蒸发系统第 i 效（i ＜c）先按无冷凝水闪蒸的情况进行热量衡算[8]，可得
式中， Di 为第 i 效加热蒸汽流率，kg·s-1；c0 ，csj 分别为原料液、溶质 j 的比热容，J·kg-1· ℃-1；
为第 i 效蒸发器热利用系数，无因次；c * 为水比热容，J· kg-1 · ℃-1；第 i 效的蒸发系数 αi 、自蒸发系数 
、第 i 效 j 组分的结晶系数 ζji 分别定义为：
式中，Hi 为第 i 效二次饱和蒸汽焓，J· kg-1；Ti 为第 i 效二次蒸汽温度，℃；ti 为第 i 效溶液沸点，℃；Rji 为第 i 效析出固相中 j 组分的结晶热，J· kg-1。
由于第 c 效的加热蒸汽采用第一效的部分二次蒸汽，所以热量衡算要单独进行，考虑到热损失及浓缩热，对第 c 效进行热量衡算可得
对图 1 所示的复杂多效两段蒸发流程，在考虑有冷凝水闪蒸的情况下，有
式中，D1 为生蒸汽流率，kg· s-1；E 为第 c 效的加热蒸汽量，kg· s-1；Gi -1 为第 i - 1 个冷凝水闪蒸器的闪蒸量，kg· s-1。
由于第 n 效的冷凝水温度较低，故不进行闪蒸。当 3 
i n 时，对第 i - 1 个冷凝水闪蒸器进行热量衡算，可得
将上式移项整理并改写成
式中
《1.4 各效传热面积的计算》
1.4 各效传热面积的计算
根据传热速率方程，可得各效蒸发器传热面积的计算式为
式中，各效的温度差 Δti 按等面积原则进行分配；Ai 为第 i 效传热面积，m2。
不同于文献 [1~3] 的是，由于两段蒸发系统中第 1 效到第 n 效、第 1 效到第 c 效各有总的有效传热温度差 c1 ，c2 。由等面积原则和式（9），可得两段蒸发系统的各效有效传热温度差 Δti 的计算式为
式中， Ki 为第 i 效蒸发器总传热系数， W · m2· ℃-1；ri 第 i 效加热蒸汽的汽化潜热，J· kg-1；
其中，T0 为加热生蒸汽的饱和温度，℃；TK1 ，TK2 为与第 n 效、第 c 效相连的冷凝器中二次蒸汽温度，℃；
为第 i 效溶液蒸汽压下降引起的温度差损失，℃；
为第 i 效液柱静压头引起的温度差损失，℃； 
第 i 效蒸汽在效间流动造成的温度差损失，℃。
以上各式中 可取 1 ℃。对有固相析出的物系如 NaOH（A） - NaCl（B） 水溶液蒸发，
及用文献 [6] 的方法可实现编程计算。
《1.5 系统相平衡关系》
1.5 系统相平衡关系
计算 
时均需各效溶液的沸点 ti ，其值可按气液相平衡方程[6] 计算，即
此外，
及 ωi -1 的定义式均与饱和水蒸气的焓 Hi 有关，计算 Ai 时需知道饱和水蒸气的汽化潜热 ri 。Hi 与 Ti 有关， ri 与 Ti -1 有关，为编程计算方便，采用文献 [2] 的回归式计算 Hi 和 ri ，即
蒸发 NaOH（A）- NaCl（B） 水溶液时仅 B 组分 NaCl 会析出，各效中析出的固相量与析出组分 B 在该效的浓度有关[5]，笔者用文献 [6] 的方程计算析出组分 NaCl（B）的浓度，可用计算机编程计算各效的固相析出量，克服了文献 [5] 只能靠手工查相图计算的困难，即
式中， 
为 NaCl 在 NaOH 溶液中的溶解度（质量分数）；xAi ，xBi 分别为第 i 效完成液组分 A，B 的浓度（质量分数）。
《2 模型求解》
2 模型求解
多效蒸发系统常规设计是按各效传热面积相等的原则进行的，其计算就是联立求解各效物料衡算式、热量衡算式、相平衡方程式和传热速率方程式等，从而求出 Di ，Wi ，Gi -1 ，Nji ，xji 和 Ai 等参数。上述计算式实质是一个非线性方程组，当效数和组分数比较多时，求解比较困难。文献 [6,7] 中提出的迭代法结合矩阵是求解有固相析出的并流、逆流多效蒸发系统的常规设计模型的高效的算法，故笔者采用迭代法结合矩阵法来求解，即将系统的物料衡算式和能量衡算式写成矩阵方程的形式。有多组分固相析出时矩阵方程变得非常庞大，表达不方便，故笔者只讨论单组分固相析出的情况。
《2.1 单组分固相析出时系统的物料衡算及热量衡算方程组》
2.1 单组分固相析出时系统的物料衡算及热量衡算方程组
因为待蒸发的水溶液中有 A，B 两个溶质组分，蒸发时仅 B 组分析出，则可略去式（3）、式（4）及式（5）中的 Nji ， ζji 中的下标 j ，则此3 式可分别改写为
式中，Ni 为第 i 效固相析出量，kg· s-1； ζi 第 i 效 B 组分的结晶系数。
式（14）、式（15）、式（16）中的方程共为 2n +2 个（ i = 1，2，…，n ），对于有冷凝水闪蒸的系统，还包括冷凝水闪蒸器的热量衡算式（7）共 n - 1 个，而待求的未知量有 3n + 2 个（包括 D1 ，W1 ，W2 ，…，Wn ，Wc ，N1 ，N2 ，…，Nn ，Nc ，G1 ，G2 ，…，Gn - 1 ），故还需 1 个方程才能求解，这个方程就是系统总蒸发水分量和固相析出总量的计算式。只有 NaCl（B） 组分析出时，对整个系统分别作总物料衡算和 NaOH（A）组分衡算可得
式中，xA 为原料液中组分 A 的浓度（质量分数）；xAc 完成液中组分 A 的浓度（质量分数）。
《2.2 物料衡算及热量衡算方程组的矩阵形式》
2.2 物料衡算及热量衡算方程组的矩阵形式
将上述 3n +2 个方程组写成矩阵方程，该矩阵方程是 3n +2 阶稀疏矩阵。分析该矩阵的结构，将其分成 15 块处理，其具体结构如下
式中，
其余块矩阵为零矩阵。各分块矩阵的阶数分别为：A1 为 n + 2 阶方阵，A2 为（n - 1） ×（n + 2）阶矩阵，A3 为（n + 1） ×（n + 2）阶矩阵，A4 为（n + 2） ×（n - 1）阶方阵，A5 为 n - 1 阶方阵，A7 为 n + 2 阶方阵，A9 为 n +1 阶方阵；B1 和 C1 均为（n +2）×1 阶矩阵；B2 和 C2 均为（n -1）×1 阶矩阵；B3 和 C3 均为（n +1）×1 阶矩阵。将矩阵方程中的块矩阵 A2 ，A4 ，A5 令为零矩阵，则模型可简化为没有冷凝水闪蒸、有固相析出的多效两段蒸发系统的数学模型，同时不考虑固液平衡；将矩阵方程中的 A3 ，A7 ，A9 令为零矩阵，则模型可简化为没有固相析出有冷凝水闪蒸的多效两段蒸发系统的数学模型；将矩阵方程中的 A2 ，A3 ，A4 ，A5 ，A7 ，A9 令为零矩阵，则模型就简化为没有固相析出、没有冷凝水闪蒸的多效两段蒸发系统的数学模型，实现了多效两段蒸发系统模型的通用。
解矩阵方程需给系数矩阵（A1 ，A2 ，A3 ，A4 ，A7 ，A9 ）中的元素和列向量（C1 和 C2 ）中的元素赋初值，这些元素与 αi ， βi ， ηi ， ωi -1 ， ζi 等量有关，这些量又与 Ti ， ti ， Hi ， xi 等 （ 第 i 效二次饱和蒸汽焓，J·kg-1），xi 等未知量有关，因而矩阵方程实质是非线性方程组。若给定 αi ， βi ， ηi ， ωi -1 ， ζi 等变量的值，则方程组转化为线性方程组。文章通过给定 αi ， βi ， ηi ， ωi -1 ， ζi 的初值，用高斯 -约旦消去法求解出 D1 ，Wi ，Gi ，Ni ；再按等面积原则得出 Δti ，Ai ，并判断是否符合精度要求，若不符合则用修正后的有关变量进行下一轮的迭代计算直至收敛。上述这些参数的初值可根据文献 [7] 介绍的方法确定。算法的程序框图参见文献 [8]，将文献 [8] 框图中的 Ei 改为 E，c = T0 -TK - 3 改为 c1 = T0 -TK1- 3 和 c2 = T0 -TK2 - 2；c 改为 c1 和 c2 ，c1 ，c2 的初值可分别取为 T0 -TK1- 3，T0 -TK2- 2。
《3 算例》
3 算例
设计一个四效两段蒸发系统，将 xA0 =0.106，xB0 =0.165 的含 NaCl（B）的 NaOH（A）水溶液蒸发至 xAc =0.35（均为质量分数，其中 xB0 为原料液中组分 B 的浓度）。蒸发器为不锈钢制作的循环型蒸发器，液面高度 l =1.5 m。已知进料量 F0 = 6.67 kg· s-1 ，进料温度为 20 ℃，料液比热 c0 =3.77 kJ · kg-1· ℃-1，各效传热系数分别为 K1 =1 500 W· m-2 · ℃-1，K2 =1 000 W· m-2· ℃-1，K3 =700 W· m-2· ℃-1 ，K4 =600 W· m-2· ℃-1，生蒸汽的温度为 168.1 ℃。系统每年运行 7 200 h，其余已知设计参数如前面所述。假设各效传热面积相等，计算下面 2 种情况的加热蒸汽消耗量及各效传热面积等参数： 1）与第 3 效蒸发器相连冷凝器中温度为 49 ℃，与第 4 效蒸发器相连冷凝器中温度为 59.6 ℃，没有冷凝水闪蒸； 2）与第 3 效蒸发器相连冷凝器中温度为 49 ℃，与第 4 效蒸发器相连冷凝器中温度为 59.6 ℃，有冷凝水闪蒸。
用迭代法结合矩阵法求解，将已知设计参数输入程序并运行，得到模拟计算结果如表 1 所示。表1 序号栏中 1，2 分别代表算例中的 2 种情况。
《表1》
表1 常规设计结果
Table 1 Results of conventional design
由表 1 的结果可知，对本例四效两段蒸发系统，采用冷凝水闪蒸（序号 2）比无冷凝水闪蒸（序号 1）可节省加热蒸汽消耗量 4.65 %，而传热面积基本不变。由于多效蒸发系统中加热蒸汽费用占年总费用的主要部分（对于蒸发器材质为不锈钢或碳钢时约占 88 %~96 %[9]），故采用冷凝水闪蒸对于多效两段蒸发系统是节省年总费用的有效措施。
本文的常规设计模型是在给定生蒸汽温度 T0 与冷凝器中二次蒸汽的温度 TK1 ，TK2 为定值的条件下，按等面积原则进行设计的，由文献 [10~12] 可知对于多效蒸发系统，存在最佳的 T0 和 TK 值使系统的总费用最低，所以为了更大程度的降低费用，应该对生蒸汽温度 T0 与冷凝器中二次蒸汽的温度 TK1 ，TK2进行优化。
《4 结语》
4 结语
1）建立了带有冷凝水闪蒸的、有固相析出的多效两段蒸发系统的数学模型，通过令矩阵方程中的相关块矩阵为零，矩阵模型可以简化为无固相析出的或无冷凝水闪蒸的多效两段蒸发系统。
2）迭代法结合矩阵法是求解有固相析出的多效两段蒸发系统数学模型的一种新的有效算法，算法收敛速度快、收敛稳定性好。
3）算例表明在多效两段蒸发时采用冷凝水闪蒸措施可节省加热生蒸汽消耗量 4.6 % 左右，因此，在多效两段蒸发系统中，应考虑冷凝水闪蒸。
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