正交直墙前直立圆柱振荡问题的研究

摘要

应用镜像原理，将正交直墙前单个圆柱在静水中的振荡问题，转化为4个对称布置圆柱在静水中的振荡问题，由此应用速度势的特征函数展开法，建立了正交直墙前直立圆柱振荡问题的解析解。通过数值计算研究了圆柱与正交直墙间距离大小、水深等因素对附加质量和辐射阻尼的影响。计算结果表明，正交直墙前圆柱上的附加质量和辐射阻尼将明显增大，且随着波数的变化而发生振荡；不同水深中圆柱的附加质量和辐射阻尼在低频区与水深成线性关系。

正文

《1 引言》

1 引言

船舶以及浮筒、浮式防波堤、半潜式平台等海工建筑物在波浪作用下会发生运动响应。在规则波浪和线弹性约束作用下, 结构物将做简谐振荡。对于这种系统的求解, 常常将流体中的波动速度势分解为物体不动时的绕射势和物体运动时产生的辐射势, 通过绕射势求得物体的波浪激振力, 辐射势则可求得物体的附加质量和辐射阻尼, 最后由物体运动方程确定物体运动幅值。

关于开敞水域中结构物的辐射问题, 目前已开展了很多研究工作。Yeung应用分离变量法建立了单个截断直立圆柱辐射问题的解析解^[1];Hulme应用多极子展开技术求得了水面半球振荡问题的解析解^[2];Kagemoto和Yue建立了多个截断直立圆柱绕射和辐射问题的解析解^[3];Utsunomiya和Eatock 建立了多个弹性连接直立圆柱绕射和辐射问题的解析解^[4]。对于任意形状三维结构物的辐射问题, 许多学者目前已建立了各种边界元方法, 如Garrison的常数元方法^[5];Eatock 和 Chau^[6]、Teng 和 Eatock的高阶边界元方法^[7];Maniar^[8]、柏威等的B-样条边界元方法^[9], 等等。

码头前结构物在波浪激振下的运动响应是另一常见的工程问题。由于码头的存在, 结构物由于运动而产生的辐射波浪将受到影响, 结构物的附加质量和辐射阻尼也将发生变化。由于问题的复杂性, 计算中常常不考虑码头的存在, 这样必然造成很大程度的不确定性。对于两个半无限长全反射正交直墙前结构物的振荡问题, 可以通过镜像方法求解。本文应用镜像方法, 将正交直墙前单个圆柱在静水中的振荡问题, 转化为开敞水域中4个对称布置圆柱的振荡问题, 由此建立了正交直墙前圆柱振荡问题的解析解。计算结果可用于验证数值方法。通过数值计算, 研究了水深、圆柱离开直墙 (横向墙S_X和纵向墙S_Y, 如图1所示) 距离对圆柱的附加质量和辐射阻尼的影响。计算结果表明, 正交直墙前圆柱上的附加质量和辐射阻尼明显不同于开敞水域中单柱振荡的情况, 且随着波数的变化而发生振荡。

《图1》

图1 定义图1 Fig.1 Definition sketch 1

《2 控制方程和边界条件》

2 控制方程和边界条件

假定直墙对波浪全反射, 根据镜像原理, 正交直墙前一垂直圆柱在静水中的振荡问题 (图1) 可转化为在该水域内关于正交直墙对称分布的4个圆柱振荡问题 (图2) 。研究中取一个原点位于4柱中央的总体坐标系Oxyz (或Orθz) , 以及原点分别在4个圆柱中心的坐标系O_jr_jθ_jz_j (j=1, 2, 3, 4) , z和z_j坐标原点都在静水面上, 向上为正。

《图2》

图2 定义图2 Fig.2 Definition sketch 2

在整个水域上忽略水体的粘性, 假设流体作无旋运动, 速度势满足拉普拉斯方程。当圆柱做圆频率为ω的简谐运动时, 分离出时间因子e^-iωt, 将速度势Φ (x, y, z, t) 写为:

$Φ (x, y, z, t) = Re [- i ω ξ ϕ (x, y, z) e^{i ω t}] ‚ (1)$ $Φ (x, y, z, t) = Re [- i ω ξ ϕ (x, y, z) e^{i ω t}] ‚ (1)$

式中ξ为圆柱振荡幅值, ϕ (x, y, z) 为空间复速度势。

复速度势ϕ (x, y, z) 在该水域上满足拉普拉斯方程及下述边界条件:

1) 自由水面条件 (在z=0上)

$\frac{\partial ϕ}{\partial z} = \frac{ω^{2}}{g} ϕ ‚ (2)$ $\frac{\partial ϕ}{\partial z} = \frac{ω^{2}}{g} ϕ ‚ (2)$

式中g为重力加速度。

2) 水底条件 (在z=-d上)

$\frac{\partial ϕ}{\partial z} = 0, (3)$ $\frac{\partial ϕ}{\partial z} = 0, (3)$

式中d为水深。

3) 柱面条件

$\begin{array}{l} \frac{\partial ϕ}{\partial r_{j}} |_{r_{j} = a} = \cos θ_{j} (j = 1, 4) ‚ \\ \frac{\partial ϕ}{\partial r_{j}} |_{r_{j} = a} = - \cos θ_{j} (j = 2, 3) ‚ \end{array} (4)$ $\begin{array}{l} \frac{\partial ϕ}{\partial r_{j}} |_{r_{j} = a} = \cos θ_{j} (j = 1, 4) ‚ \\ \frac{\partial ϕ}{\partial r_{j}} |_{r_{j} = a} = - \cos θ_{j} (j = 2, 3) ‚ \end{array} (4)$

式中a为圆柱半径。

4) 散射势向外传播的无穷远处条件 (Sommerfeld条件) 。

《3 解析分析》

3 解析分析

在图2所示的水域中, 可以将复速度势ϕ (x, y, z) 分解为由4个圆柱振荡产生的辐射势φ_j, (j=1, 2, 3, 4) , 即

$ϕ = \sum_{j = 1}^{4} φ_{j} ‚ (5)$ $ϕ = \sum_{j = 1}^{4} φ_{j} ‚ (5)$

在圆柱坐标系下的辐射势φ_j为

$\begin{array}{l} φ_{j} (r_{j}, θ_{j}, z) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} [A_{j m 0} Η_{m} (k_{0} r_{j}) Ζ_{0} (k_{0} z) + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{j m l} Κ_{m} (k_{l} r_{j}) Ζ_{l} (k_{l} z)] e^{i m θ_{j}} ‚ (j = 1, 2, 3, 4) ‚ (6) \end{array}$ $\begin{array}{l} φ_{j} (r_{j}, θ_{j}, z) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} [A_{j m 0} Η_{m} (k_{0} r_{j}) Ζ_{0} (k_{0} z) + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{j m l} Κ_{m} (k_{l} r_{j}) Ζ_{l} (k_{l} z)] e^{i m θ_{j}} ‚ (j = 1, 2, 3, 4) ‚ (6) \end{array}$

式中A_jml (l=0, 1, …, ∞) 为待定系数;H_m (x) 为m阶第一类汉克尔函数; K_m (x) 为m阶第二类修正贝塞尔函数; k₀, k_l分别为色散方程ω²=gk₀ tanhk₀d和ω²=-gk_ltank_ld (l≥1) 的正实根, Z_l (k_lz) 为垂向特征函数, 在[-d, 0]上满足正交性;其中, $Ζ_{0} (k_{0} z) = \frac{c o s h k_{0} (z + d)}{c o s h k_{0} d}, Ζ_{l} (k_{l} z) = \frac{c o s k_{l} (z + d)}{c o s k_{l} d} (l \geq 1)$ $Ζ_{0} (k_{0} z) = \frac{c o s h k_{0} (z + d)}{c o s h k_{0} d}, Ζ_{l} (k_{l} z) = \frac{c o s k_{l} (z + d)}{c o s k_{l} d} (l \geq 1)$ 。

对于第j (j=1, 2, 3, 4) 根圆柱产生的辐射势, 在第k (k=1, 2, 3, 4且k≠j) 根圆柱坐标系下表示时, 可以运用Graf加法定理^[10]做坐标变换:

$\begin{array}{l} Η_{m} (k r_{j}) e^{i m θ_{j}} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} Η_{n + m} (k R_{j k}) \cdot \\ J_{n} (k r_{k}) e^{i (m α_{j k} + n α_{k j})} \cdot e^{- i n θ_{k}} (r_{k} \leq R_{j k}), (7) \\ Κ_{m} (k r_{j}) e^{i m θ_{j}} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} Κ_{n + m} (k R_{j k}) \cdot \\ Ι_{n} (k r_{k}) e^{i (m α_{j k} + n α_{k j})} \cdot e^{- i n θ_{k}} (r_{k} \leq R_{j k}), (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} Η_{m} (k r_{j}) e^{i m θ_{j}} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} Η_{n + m} (k R_{j k}) \cdot \\ J_{n} (k r_{k}) e^{i (m α_{j k} + n α_{k j})} \cdot e^{- i n θ_{k}} (r_{k} \leq R_{j k}), (7) \\ Κ_{m} (k r_{j}) e^{i m θ_{j}} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} Κ_{n + m} (k R_{j k}) \cdot \\ Ι_{n} (k r_{k}) e^{i (m α_{j k} + n α_{k j})} \cdot e^{- i n θ_{k}} (r_{k} \leq R_{j k}), (8) \end{array}$

式中J_n (x) 为n阶贝塞尔函数, I_n (x) 为n阶第一类修正贝塞尔函数, R_jk为两圆柱柱心间的距离, α_kj为从k圆柱中心到j圆柱中心的距离向量与x轴间的夹角。

这样, 复速度势ϕ在k圆柱坐标系中的表达形式为

$\begin{array}{l} ϕ (r_{k}, θ_{k}, z) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} [A_{k m 0} Η_{m} (k_{0} r_{k}) Ζ_{0} (k_{0} z) + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{k m l} Κ_{m} (k_{l} r_{k}) Ζ_{l} (k_{l} z)] e^{i m θ_{k}} + \\ \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} {A_{j m 0} Ζ_{0} (k_{0} z) \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \\ J_{n} (k_{0} r_{k}) Η_{m - n} (k_{0} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}} + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{j m l} Ζ_{l} (k_{l} z) \sum_{n = - \infty}^{\infty} Ι_{n} (k_{l} r_{k}) \cdot \\ Κ_{m - n} (k_{l} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}}} 。 (9) \end{array}$ $\begin{array}{l} ϕ (r_{k}, θ_{k}, z) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} [A_{k m 0} Η_{m} (k_{0} r_{k}) Ζ_{0} (k_{0} z) + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{k m l} Κ_{m} (k_{l} r_{k}) Ζ_{l} (k_{l} z)] e^{i m θ_{k}} + \\ \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} {A_{j m 0} Ζ_{0} (k_{0} z) \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \\ J_{n} (k_{0} r_{k}) Η_{m - n} (k_{0} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}} + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{j m l} Ζ_{l} (k_{l} z) \sum_{n = - \infty}^{\infty} Ι_{n} (k_{l} r_{k}) \cdot \\ Κ_{m - n} (k_{l} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}}} 。 (9) \end{array}$

把柱面边界条件 (4) 应用于式 (9) , 有

$\begin{array}{l} \sum_{m = - \infty}^{\infty} [A_{k m 0} k_{0} Η^{'}_{m} (k_{0} α) Ζ_{0} (k_{0} z) + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{k m l} k_{l} Κ^{'}_{m} (k_{l} a) Ζ_{l} (k_{l} z)] e^{i m θ_{k}} + \\ \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} {A_{j m 0} Ζ_{0} (k_{0} z) k_{0} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \\ J^{'}_{n} (k_{0} a) Η_{m - n} (k_{0} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}} + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{j m l} Ζ_{l} (k_{l} z) k_{l} \sum_{n = - \infty}^{\infty} Ι^{'}_{n} (k_{l} a) \cdot \\ Κ_{m - n} (k_{l} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}}} = \\ {\begin{cases} \cos θ_{k}, k = 1 或 4 \\ - \cos θ_{k}, k = 2 或 3 \end{cases} (10) \end{array}$ $\begin{array}{l} \sum_{m = - \infty}^{\infty} [A_{k m 0} k_{0} Η^{'}_{m} (k_{0} α) Ζ_{0} (k_{0} z) + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{k m l} k_{l} Κ^{'}_{m} (k_{l} a) Ζ_{l} (k_{l} z)] e^{i m θ_{k}} + \\ \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} {A_{j m 0} Ζ_{0} (k_{0} z) k_{0} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} \cdot \\ J^{'}_{n} (k_{0} a) Η_{m - n} (k_{0} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}} + \\ \sum_{l = 1}^{\infty} A_{j m l} Ζ_{l} (k_{l} z) k_{l} \sum_{n = - \infty}^{\infty} Ι^{'}_{n} (k_{l} a) \cdot \\ Κ_{m - n} (k_{l} R_{j k}) e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} e^{i n θ_{k}}} = \\ {\begin{cases} \cos θ_{k}, k = 1 或 4 \\ - \cos θ_{k}, k = 2 或 3 \end{cases} (10) \end{array}$

利用{cos nθ_k}、{sin nθ_k}和Z_l (k_lz) 的正交性, 经推导后可由式 (10) 得如下方程组

$\begin{array}{l} A_{k n 0} Η^{'}_{n} (k_{0} a) + \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} \cdot \\ A_{j m 0} (- 1)^{n} J^{'}_{n} (k_{0} a) Η_{m - n} (k_{0} R_{j k}) = \\ {\begin{cases} \frac{1}{2} f_{0}, k = 1 或 4 ‚ 且 n = \pm 1 \\ - \frac{1}{2} f_{0}, k = 2 或 3 ‚ 且 n = \pm 1 \\ 0 ‚ n \neq \pm 1 \end{cases} (11) \end{array}$ $\begin{array}{l} A_{k n 0} Η^{'}_{n} (k_{0} a) + \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} \cdot \\ A_{j m 0} (- 1)^{n} J^{'}_{n} (k_{0} a) Η_{m - n} (k_{0} R_{j k}) = \\ {\begin{cases} \frac{1}{2} f_{0}, k = 1 或 4 ‚ 且 n = \pm 1 \\ - \frac{1}{2} f_{0}, k = 2 或 3 ‚ 且 n = \pm 1 \\ 0 ‚ n \neq \pm 1 \end{cases} (11) \end{array}$

其中, f₀= $\int_{- d}^{0} Ζ_{0} (k_{0} z) d z / (k_{0} \int_{- d}^{0} Ζ_{0}^{2} (k_{0} z) \cdot d z)$ $\int_{- d}^{0} Ζ_{0} (k_{0} z) d z / (k_{0} \int_{- d}^{0} Ζ_{0}^{2} (k_{0} z) \cdot d z)$ ,

l=1, 2, ……,

$\begin{array}{l} A_{k n l} Κ^{'}_{n} (k_{l} a) + \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} \cdot \\ A_{j m l} Ι^{'}_{n} (k_{l} a) Κ_{m - n} (k_{l} R_{j k}) = \\ {\begin{cases} \frac{1}{2} f_{l}, k = 1 或 4 ‚ 且 n = \pm 1 \\ - \frac{1}{2} f_{l}, k = 2 或 3 ‚ 且 n = \pm 1 \\ 0 ‚ n \neq \pm 1 \end{cases} (12) \end{array}$ $\begin{array}{l} A_{k n l} Κ^{'}_{n} (k_{l} a) + \sum_{\begin{array}{l} j = 1 \\ j \neq k \end{array}}^{4} \sum_{m = - \infty}^{\infty} e^{i (m α_{j k} - n α_{k j})} \cdot \\ A_{j m l} Ι^{'}_{n} (k_{l} a) Κ_{m - n} (k_{l} R_{j k}) = \\ {\begin{cases} \frac{1}{2} f_{l}, k = 1 或 4 ‚ 且 n = \pm 1 \\ - \frac{1}{2} f_{l}, k = 2 或 3 ‚ 且 n = \pm 1 \\ 0 ‚ n \neq \pm 1 \end{cases} (12) \end{array}$

其中 $f_{l} = \int_{- d}^{0} Ζ_{l} (k_{l} z) d z / (k_{l} \int_{- d}^{0} Ζ_{l}^{2} (k_{l} z) d z)$ $f_{l} = \int_{- d}^{0} Ζ_{l} (k_{l} z) d z / (k_{l} \int_{- d}^{0} Ζ_{l}^{2} (k_{l} z) d z)$ 。

若对圆柱辐射势的展开式, 在富氏级数展开上取 (2M+1) 项 (-M, …, M) 近似, 垂向特征函数展开上取 (L+1) 项 (0, …, L) 近似, 则由式 (11) 和式 (12) 可以得到4× (2M+1) × (L+1) 个未知数A_kml的4× (2M+1) × (L+1) 个联立方程组, 从而求得待定系数A_kml (k=1, 2, 3, 4) 。

利用式 (11) 和 (12) 中的关系, 1^#圆柱附近的复速度势解析式ϕ (r₁, θ₁, z) 可简化为

$\begin{array}{l} ϕ (r_{1}, θ_{1}, z) = \sum_{m = - Μ}^{Μ} Ζ_{0} (k_{0} z) A_{1 m 0} \cdot \\ [Η_{m} (k_{0} r_{1}) - J_{m} (k_{0} r_{1}) \frac{Η^{'}_{m} (k_{0} a)}{J^{'}_{m} (k_{0} a)}] e^{i m θ_{1}} + \\ Ζ_{0} (k_{0} z) f_{0} \frac{J_{1} (k_{0} r_{1})}{J^{'}_{1} (k_{0} a)} \cos θ_{1} + \sum_{l = 1}^{L} {\sum_{m = - Μ}^{Μ} Ζ_{l} (k_{l} z) \cdot \\ A_{1 m l} [Κ_{m} (k_{L} r_{1}) - Ι_{m} (k_{l} r_{1}) \frac{Κ^{'}_{m} (k_{l} a)}{Ι^{'}_{m} (k_{L} a)}] \cdot \\ e^{i m θ_{1}} + Ζ_{l} (k_{l} z) f_{l} \frac{Ι_{1} (k_{l} r_{1})}{Ι^{'}_{1} (k_{l} a)} \cos θ_{1}} 。 (13) \end{array}$ $\begin{array}{l} ϕ (r_{1}, θ_{1}, z) = \sum_{m = - Μ}^{Μ} Ζ_{0} (k_{0} z) A_{1 m 0} \cdot \\ [Η_{m} (k_{0} r_{1}) - J_{m} (k_{0} r_{1}) \frac{Η^{'}_{m} (k_{0} a)}{J^{'}_{m} (k_{0} a)}] e^{i m θ_{1}} + \\ Ζ_{0} (k_{0} z) f_{0} \frac{J_{1} (k_{0} r_{1})}{J^{'}_{1} (k_{0} a)} \cos θ_{1} + \sum_{l = 1}^{L} {\sum_{m = - Μ}^{Μ} Ζ_{l} (k_{l} z) \cdot \\ A_{1 m l} [Κ_{m} (k_{L} r_{1}) - Ι_{m} (k_{l} r_{1}) \frac{Κ^{'}_{m} (k_{l} a)}{Ι^{'}_{m} (k_{L} a)}] \cdot \\ e^{i m θ_{1}} + Ζ_{l} (k_{l} z) f_{l} \frac{Ι_{1} (k_{l} r_{1})}{Ι^{'}_{1} (k_{l} a)} \cos θ_{1}} 。 (13) \end{array}$

《4 圆柱的水动力系数》

4 圆柱的水动力系数

流体中的动水压力P可通过线性Bernoulli方程求解,

$Ρ = - ρ \frac{\partial Φ}{\partial t} = ρ ω^{2} ξ ϕ (r, θ, z) ‚ (14)$ $Ρ = - ρ \frac{\partial Φ}{\partial t} = ρ ω^{2} ξ ϕ (r, θ, z) ‚ (14)$

式中ρ为流体密度。1^#圆柱上的x和y方向水动力系数可以通过柱面上的压力积分而得到

$\begin{array}{l} F_{11} = \int_{S_{B}} \int p n_{x} d s = - ρ ω^{2} ξ a \int_{- d}^{0} \int_{0}^{2 π} ϕ (a, θ_{1}, z) \cdot \\ \cos θ_{1} d θ_{1} d z = - ρ ω^{2} ξ a π {\frac{t a n h k_{0} d}{k_{0} J^{'}_{1} (k_{0}) a} \cdot \\ [f_{0} J_{1} (k_{0} a) - \frac{2 i (A_{110} - A_{1 (- 1) 0})}{π k_{0} a}] + \\ \sum_{l = 1}^{L} \frac{t a n k_{l} d}{k_{l} Ι^{'}_{1} (k_{l} a)} [f_{l} Ι_{1} (k_{l} a) + \frac{(A_{11 l} + A_{1 (- 1) l})}{k_{l} a}]} \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{11} = \int_{S_{B}} \int p n_{x} d s = - ρ ω^{2} ξ a \int_{- d}^{0} \int_{0}^{2 π} ϕ (a, θ_{1}, z) \cdot \\ \cos θ_{1} d θ_{1} d z = - ρ ω^{2} ξ a π {\frac{t a n h k_{0} d}{k_{0} J^{'}_{1} (k_{0}) a} \cdot \\ [f_{0} J_{1} (k_{0} a) - \frac{2 i (A_{110} - A_{1 (- 1) 0})}{π k_{0} a}] + \\ \sum_{l = 1}^{L} \frac{t a n k_{l} d}{k_{l} Ι^{'}_{1} (k_{l} a)} [f_{l} Ι_{1} (k_{l} a) + \frac{(A_{11 l} + A_{1 (- 1) l})}{k_{l} a}]} \end{array}$ , (15)

$\begin{array}{l} F_{12} = \int_{S_{B}} \int p n_{y} d s = - ρ ω^{2} ξ a \int_{- d}^{0} \int_{0}^{2 π} ϕ (a, θ_{1}, z) \cdot \\ \sin θ_{1} d θ_{1} d z = - \frac{2 ρ ω^{2} ξ t a n h k_{0} d}{k_{0}^{2} J^{'}_{1} (k_{0} a)} (A_{110} + \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{12} = \int_{S_{B}} \int p n_{y} d s = - ρ ω^{2} ξ a \int_{- d}^{0} \int_{0}^{2 π} ϕ (a, θ_{1}, z) \cdot \\ \sin θ_{1} d θ_{1} d z = - \frac{2 ρ ω^{2} ξ t a n h k_{0} d}{k_{0}^{2} J^{'}_{1} (k_{0} a)} (A_{110} + \end{array}$

$A_{1 (- 1) 0}) - \sum_{l = 1}^{L} \frac{i ρ ω^{2} ξ π t a n k_{l} d}{k_{l}^{2} Ι^{'}_{1} (k_{l} a)} (A_{11 l} - A_{1 (- 1) l})$ $A_{1 (- 1) 0}) - \sum_{l = 1}^{L} \frac{i ρ ω^{2} ξ π t a n k_{l} d}{k_{l}^{2} Ι^{'}_{1} (k_{l} a)} (A_{11 l} - A_{1 (- 1) l})$ , (16)

式中n_x、n_y为物面上的单位内法矢量在x、y方向的分量。式 (15) 和式 (16) 的推导中用了贝塞尔函数的Wronskain关系式^[10]。

对于辐射问题的水动力系数式 (15) 和式 (16) , 常表示成以下形式^[11]:

$\begin{array}{l} F_{11} = ξ (ω^{2} a_{11} + i ω b_{11}) ‚ (17) \\ F_{12} = ξ (ω^{2} a_{12} + i ω b_{12}) ‚ (18) \end{array}$ $\begin{array}{l} F_{11} = ξ (ω^{2} a_{11} + i ω b_{11}) ‚ (17) \\ F_{12} = ξ (ω^{2} a_{12} + i ω b_{12}) ‚ (18) \end{array}$

式中a_ij和b_ij分别称为附加质量和辐射阻尼。由此可以得到无因次化附加质量a^*_ij和辐射阻尼b^*_ij的表达形式:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} a_{11}^{*} \\ a_{12}^{*} \end{cases}} = \frac{1}{ω^{2} ξ ρ a^{2} d} Re ({\begin{cases} F_{11} \\ F_{12} \end{cases}}) ‚ (19) \\ {\begin{cases} b_{11}^{*} \\ b_{12}^{*} \end{cases}} = \frac{1}{ω ξ ρ a d (g a)^{1 / 2}} Ι m ({\begin{cases} F_{11} \\ F_{12} \end{cases}}) 。 (20) \end{array}$ $\begin{array}{l} {\begin{cases} a_{11}^{*} \\ a_{12}^{*} \end{cases}} = \frac{1}{ω^{2} ξ ρ a^{2} d} Re ({\begin{cases} F_{11} \\ F_{12} \end{cases}}) ‚ (19) \\ {\begin{cases} b_{11}^{*} \\ b_{12}^{*} \end{cases}} = \frac{1}{ω ξ ρ a d (g a)^{1 / 2}} Ι m ({\begin{cases} F_{11} \\ F_{12} \end{cases}}) 。 (20) \end{array}$

《5 计算结果分析和验证》

5 计算结果分析和验证

算例:取半径为a的圆柱, 在水深d/a=1中做单位振幅振荡研究。圆柱与纵向墙S_Y、横向墙S_X间的间距分别定义为b和c (图1) 。

《5.1验证》

5.1验证

图3和图4是圆柱与纵向墙及横向墙间隙率b/a=c/a=2 000时, 圆柱的附加质量和辐射阻尼与开敞水域中单个圆柱振荡时的对比 (图中横坐标波数k₀通过乘以半径a而使其无因次化, 下图均同) 。从图中可以看出, 两种情况下计算结果趋于一致。这是由于直墙与圆柱距离很远, 直墙的影响可以忽略, 从侧面证明了本文中模型的正确性。

《图3》

图3 b/a=c/a=2 000时附加质量随波数的分布 Fig.3 Added mass of the cylinder at b/a=c/a=2 000

《图4》

图4 b/a=c/a=2 000时辐射阻尼随波数的分布 Fig.4 Radiation damping of the cylinder at b/a=c/a=2 000

图5和图6是圆柱与纵向墙间隙率b/a= 1.0, 横向墙间隙率c/a=0.5时, 由本文方法计算的圆柱x方向上的附加质量和辐射阻尼与将Teng和Eatock^[7]的边界元方法修改后得到的计算结果的对比。从中可以看到两种方法得到结果吻合良好, 证明本文的理论和算法的准确性。

《图5》

图5 b/a= 1.0, c/a=0.5时x方向附加质量随波数的分布 Fig.5 Added mass of a cylinder in x-direction at b/a= 1.0, c/a=0.5

《图6》

图6 b/a= 1.0, c/a=0.5时x方向辐射阻尼随波数的分布 Fig.6 Radiation damping of a cylinder in x-direction at b/a= 1.0, c/a=0.5

《5.2计算结果分析》

5.2计算结果分析

图7、图8是圆柱与横向墙的间隙率c/a=0.5, 与纵向墙间隙率b/a=0.2, 1.0, 5.0时圆柱在

《图7》

图7 c/a=0.5时x方向上附加质量随波数的分布 Fig.7 Added masses of cylinders in x-direction with different b/a at c/a=0.5

x方向上的附加质量和辐射阻尼随波数的分布情况, 以及与开敞水域中单个圆柱振荡时的对比。从图中可以看出, 正交直墙前圆柱的附加质量和辐射阻尼明显不同于开敞水域中单柱振荡时的情况, 当b/a=0.2时圆柱的最大无因次附加质量a^*₁₁增大了2.93倍, 最大无因次辐射阻尼b^*₁₁增大了2.85倍。随着圆柱与纵向墙间距离的增大, 圆柱的附加质量和辐射阻尼更接近于开敞水域中的振荡情况, 并且还发生愈加明显的振荡现象。造成这一振荡的原因是辐射波遇到纵向墙后, 反射回来的波浪与辐射波共同作用于圆柱, 当圆柱与纵向墙距离较远时, 由于辐射波频率的微小变化, 反射波与辐射波间的相位会发生快速的变化。

《图8》

图8 c/a=0.5时x方向上辐射阻尼随波数的分布 Fig.8 Radiation damping of cylinders in x-direction with different b/a at c/a=0.5

图9、图10是上述圆柱在间隙率b/a=0.5, c/a=0.2, 1.0, 5.0时圆柱在x方向上的附加质量和辐射阻尼随波数的分布情况, 以及与开敞水域中单个圆柱振荡时的对比。从图中可以看出, 圆柱与横向墙间距较小时, 附加质量和辐射阻尼的变化规律特性与图7、图8基本相同, 不同的是当圆柱与横向墙间距很大时, 圆柱的附加质量和辐射阻尼并没有像图7、图8那样发生明显的振荡现象。

《图9》

图9 b/a=0.5时x方向上附加质量随波数的分布 Fig.9 Added masses of cylinders in x-direction with different c/a at b/a=0.5

《图10》

图10 b/a=0.5时x方向上辐射阻尼随波数的分布 Fig.10 Radiation damping of cylinders in x-direction with different c/a at b/a=0.5

图11、图12是圆柱与横向墙间隙率c/a= 0.5, 纵向墙间隙率b/a=0.2, 1.0, 5.0时圆柱在y方向上的附加质量和辐射阻尼随波数的分布情况。圆柱在开敞水域中沿x方向振荡时, 由于辐射波在y方向上的对称关系而使其相应的附加质量和辐射阻尼都为零, 而此时由于正交直墙的存在, y向的附加质量和辐射阻尼都有了较大的幅值, 并且随着离开直墙距离的增大而衰减, 随着波数的变化而发生显著的振荡, 在高频区两者都趋于零。此外, 当圆柱与纵向墙间隙率b/a=0.5, 与横向墙间隙率c/a=0.2, 1.0, 5.0时可以得到与图11、图12完全相同的结果, 因为当把图2中x和y坐标轴调换位置后, 圆柱轴心在点 (b, c) 沿x方向的振荡就可以转换为轴心在点 (c, b) 沿y方向的振荡, 而这两点在同一坐标系中恰好又是关于直线y=x的对称点, 根据水动力系数的对称性a₁₂=a₂₁, b₁₂=b₂₁就可得出上述结论。

《图11》

图11 c/a=0.5时y方向上附加质量随波数的分布 Fig.11 Added masses of cylinders in y-direction with different b/a at c/a=0.5

《图12》

图12 c/a=0.5时y方向上辐射阻尼随波数的分布 Fig.12 Radiation damping of cylinders in y-direction with different b/a at c/a=0.5

图13、14是间隙率b/a=c/a=0.5时, 水深d/a=1.0, 3.0, 5.0情况下圆柱在x方向上的无因次附加质量和无因次辐射阻尼随波数的分布情况。从图中可以看出, 不同水深的无因次附加质量和辐射阻尼具有相似的形状, 在低频区不同水深的无因次附加质量十分接近, 而在高频区随水深的减小而减小, 无因次辐射阻尼随水深的减小而增加。

《图13》

图13 b/a =c/a=0.5时x方向上附加质量随波数的分布 Fig.13 Added masses of cylinders in x-direction with different d/a at b/a =c/a=0.5

《图14》

图14 b/a =c/a=0.5时x方向上辐射阻尼随波数的分布 Fig.14 Radiation damping of cylinders in x-direction with different d/a at b/a =c/a=0.5

图15、图16是间隙率b/a=c/a=0.5时, 水深d/a=1.0, 3.0, 5.0情况下圆柱在y方向上的无因次附加质量和无因次辐射阻尼随波数的分布情况。从图中可以看出, 其变化规律基本与图13、图14相似, 不同的是, 在高频区y方向上的无因次附加质量和辐射阻尼都趋于零。

《图15》

图15 b/a =c/a=0.5时y方向上附加质量随波数的分布 Fig.15 Added masses of cylinders in y-direction with different d/a at b/a =c/a=0.5

《6 结论》

6 结论

本文基于镜像原理, 并运用速度势特征函数展开法建立了正交直墙前的垂直圆柱振荡问题的解析解, 通过数值试验, 研究了圆柱与正交直墙间距离及水深等因素对附加质量和辐射阻尼的影响。研究发现:

1) 当圆柱与直墙距离较近时, 在低频区附加质量和辐射阻尼明显增长, 与开敞水域中单柱情况相比, 当b/a=0.2, c/a =0.5时, 最大无因次附加质量 a^*₁₁增加了2.93倍, 最大无因次辐射阻尼b^*₁₁增加了2.85倍。

《图16》

图16 b/a =c/a=0.5时y方向上辐射阻尼随波数的分布 Fig.16 Radiation damping of cylinders in y-direction with different d/a at b/a =c/a=0.5

2) 附加质量和辐射阻尼振荡的频率随着波数的增加与圆柱离开纵向墙S_Y距离成正比。

3) 在低频区附加质量和辐射阻尼与水深成线性关系, 而在高频区不同水深中的纵向附加质量a^*₁₂和辐射阻尼b^*₁₂都趋于零。

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