所谓逆序，就是当使用某个决策方法时，对 n 个方案 x1 ， x2 ，…， xn 决策结果是方案 xi 优于方案 xj （i ≠ j），但若增加（或减少）若干个方案后，该方法得出的结果却出现方案 xj 优于方案 xi 的结论[1] 。对逆序问题的探讨可以追溯到 R. D. Luce 和 H. Raifa 等 [2] ，他们首次发现 AHP（层次分析）方法决策结果可能产生逆序，引起了学者们对 AHP 方法中逆序问题的深入研究[3 ~ 8] 。逆序问题并不仅存在于 AHP 方法中，TOPSIS（逼近于理想点的排序）方法[9 ,10] 、最小隶属度偏差法、改进最短距离法[1] 、ELECTRE 方法 [11]以及加权平均方法[12] 的决策结果均可能产生逆序。为了消除逆序，学者们提出了各种改进的决策分析方法使其决策结果满足保序或者严格保序 [1 ,3 ,5 ,7 ~ 10] 。本文指出线性分配方法的决策结果同样可能产生逆序，分析其逆序产生的原因，并在传统线性分配方法的基础上构建顺序线性分配方法，以消除方案集的变动对原有方案排序结果的影响。

《1 线性分配方法的原理》

1 线性分配方法的原理 　 　

线性分配方法是一种依据协调规则进行决策分析的决策方法，是针对客观事物的复杂性和可比较性提出的[13] 。该方法所需的基本信息是一组指标权重和各方案在单个指标下的优先顺序。其基本思想是，如果某方案按几个重要指标都排在前面，从总体来看，它当然地排在前面的可能性就很大[13] 。线性分配方法无需决策者确定方案在各评价指标下的具体取值。因此，与其他评价方法相比，线性分配方法具有参数少、使用简便、应用面广等优点。

方案的增加和减少均会引起线性分配方法的决策结果产生逆序。笔者仅以方案的增加为例说明线性分配方法的逆序问题，方案减少是方案增加的逆过程，逆序产生过程与方案增加时的类似，首先引用文献[14]中的案例说明线性分配方法的决策结果可能产生逆序。

《2 线性分配方法的逆序实例》

2 线性分配方法的逆序实例 　 　

文献[13]中给出的决策问题指标集为 ，方案集为，假设指标的权重向量为（0.3 ，0.3 ，0.4）。各方案在各指标下的排序结果见表 1 。

《表 1》

表 1 方案 在各指标下的排序

Table 1 The rank of the alternatives in the case of all indexes

运用线性分配方法（线性分配方法的算法和步骤详见文献[13]）解上述决策问题，得到方案的排序为 b c 。假设在该决策问题的基础上增加方案 d ，则方案 －d 在各指标下的排序结果见表 2 。

《表 2》

表 2 方案 －d 在各指标下的排序

Table 2 The rank of the alternatives －d in the case of all indexes

运用线性分配方法对 4 个方案进行排序，得 b d c 。可见方案 d 的引入使得方案 和 b 发生逆序：方案 d 引入前 b 成立；方案 d 引入后 b 成立。笔者仍然以该决策问题为例分析线性分配方法产生逆序的原因。

《3 线性分配方法中逆序产生的原因》

3 线性分配方法中逆序产生的原因 　 　

不失一般性，假设上述决策问题中指标 的权重分别为 和 。方案 d 引入前，各方案在各指标下的排序结果见表 1 。依据表 1 和指标的权重向量得到该决策问题对应的序权矩阵为 H ，

假设不等式 + > 和 + > 成立，则方案 的排序结果为 b c 。方案 d 引入后，各方案在各指标下的排序结果见表 2 。依据表 2 和指标的权重向量得到方案 d 对应的序权矩阵为 H′，

假设不等式 + > ， + ＞ ， > 以及 > 成立，则方案 d 的排序结果为 b d c 。方案 d 的引入导致方案 和 b 间发生逆序。

分析线性分配方法的决策结果产生逆序的原因之前，首先定义排序向量和相对分配比两个概念。其中排序向量是指方案在序权矩阵中对应的向量。例如，矩阵 H 中方案 的排序向量为（ + ，， 0），矩阵 H′中方案 的排序向量为（， + ， 0 ，0）。相对分配比是指方案排序向量中非零元素之比。例如，矩阵 H 中方案 排在前一位与排在下一位的相对分配比为（ + ）/ 。

线性分配方法中方案的变动不会改变单个指标下原有方案的排序。例如上述决策问题中方案 d 引入前后，在指标 下有 b c 成立，在指标 下有 c b 成立，在指标 下有 b c 成立。

线性分配方法中方案的变动会改变原有方案的排序向量维数。例如上述决策问题中方案 d 引入前，方案 的排序向量均为三维；而方案 d 引入后，方案 的排序向量均为四维。这是因为方案集的变化使得序权矩阵的维数发生改变，必然导致原有方案排序向量的维数发生变化。例如，上述决策问题中方案 d 引入前序权矩阵为 3 × 3 矩阵，每个方案的排序向量均包含 3 个元素；而方案 d 引入后序权矩阵为 4 × 4 矩阵，每个方案的排序向量均包含 4 个元素。

线性分配方法中方案的变动会改变原有方案的相对分配比。例如上述决策问题中方案 d 引入前，方案 相对分配比为（ + ）/ ；方案 d 引入后，方案 a 相对分配比为 /（ + ）。方案集的变化导致方案相对分配比发生变化，并且方案的排序向量元素之和始终为 1 ，这使得方案排在相应位置上的可能性大小发生了改变，从而产生了逆序。

哈佛的心理学家 Arthur 在其著作中将判断分为两种类型：一是相对比较判断，即将事物与人们观察到的事物进行对比；二是绝对比较判断，即将事物与人们思维中存储的已有参照物或已有经验进行对比 [14] 。 Satty 将前者称之为相对测度，将后者称之为绝对测度[4] 。显然，线性分配方法用相对测度进行决策分析，方案集变动之前各指标下的最优方案与方案集变动之后各指标下的最优方案往往不一致，例如上述决策问题中方案 d 引入后，指标 下的最优方案由方案 改变为 d 。正是这些变动引起了原有方案相对分配比发生变化，从而导致逆序的产生。

以上分析过程可以推广到任意数量方案和任意数量指标的决策问题，即不管决策问题的指标集和方案集的数量是多少，利用线性分配方法求解决策问题均可能产生逆序。

为了消除逆序，笔者在传统线性分配方法的基础上构建顺序线性分配方法。

《4 顺序线性分配方法 》

4 顺序线性分配方法 　 　

假设运用传统线性分配方法对原有 n 个方案进行排序，得到方案集由优到劣序列为（k（1），…， k（n）），即：k（1）…k（n）。顺序线性分配方法的基本思想是新方案 knew 加入后，不再构建新的序权矩阵对所有的方案进行重新排序，而是首先将新方案 knew 与 k（1）利用线性分配方法进行排序：若 knew k（1），则得新方案集的优劣次序为（knew，k（1），…，k（n））；否则将其与k（2）进行比较，以此类推，直到找到k（i），（1 i n）满足 knew k（1）为止，得到新方案集的优劣次序为（k（1），…，knew，k（i），k（i ＋1），…， k（n））。若不存在 i ，（1 i n）使knew k（i）成立，则新方案集的优劣次序为（k（1），…， k（n），knew）。顺序线性分配方法的思想可用以下程序代码实现：

可见，将方案 knew 插入原有方案序中最多进行 n 次比较，最少进行１次比较，平均进行（n＋1）/2 次比较。若有多个新方案加入，则按照上述思想，逐个将新方案排列到原有方案序中。当某个或者若干个方案从原有方案集中删除时，顺序线性分配方法也不再构建新的序权矩阵对删除方案后的方案集进行排序，而是从原有的排序结果中直接删除相应方案。依据顺序线性分配方法的排序过程，不难得出在顺序线性分配方法中，新方案的加入只会引起新方案与已有方案的比较，避开了原有方案之间的比较，从而避免了逆序的产生，使得排序结果保序。以下引用文献[10]的算例验证顺序线性分配方法的保序性。

《5 算例 　》

5 算例 　 　

车间工艺选择是典型的多指标决策问题：某车间需要加工新零件，可供选择的工序方案有 3 种（ x1 - x3 ）。衡量工序优劣的指标为成本、寿命和时效，3 个指标的权重向量为（0.3 ， 0.4 ， 0.3）。经技术人员核定得到方案 x1 - x3 在各指标下的排序是：在成本指标下 x3 x2 x1 成立；在寿命指标下 x1 x2 x3 成立；在时效指标下 x2 x1 x3 成立。利用线性分配方法对方案 x1 - x3 进行排序得到x1 x2 x3 。经过技术人员和管理人员的共同努力，发现另外 3 种工序方案 x4，x5 和 x6 也可用于新零件加工，现在需要对这６种方案按照优劣次序进行排列。

按照顺序线性分配方法的步骤，首先比较方案 x1 与 x4 ，由于在成本指标、寿命指标和时效指标下均有 x1 x4 ，所以 x1 4 成立；然后利用顺序线性分配方法比较方案x2 x4，得到 x2 x4 成立；再利用顺序线性分配方法比较方案x3 x4，得到x3 x4 成立，则 x1 x2 x3 x4 成立。

同样，将方案 x5 排入到已有方案序 x1 x2 x3 x4 中，经过 3 次比较得到 x1 x2 x5 x3 x4 成立。

最后按照顺序线性分配方法将方案 x6 排入已有方案序 x1 x2 x5 x3 x4 中，经过 3 次比较得到 x1 x2 x6 x5 x3 x4 成立。故方案 x1 为最优加工工序。

利用文献[13]的案例同样可以证明顺序线性分配方法是保序的：方案 d 引入之前，方案 －c 的排序结果为 b c 。方案 d 引入之后，首先利用线性分配方法将其与方案 进行比较，得到 d ；然后利用线性分配方法将 d 与方案 b 进行比较，得到 d b ，则得到方案 d 引入之后，4 个方案的排序结果为 d b c 。方案 d 引入前后，并没有引起原有方案排序的变化，达到保序的效果。

《6 结语 》

6 结语 　 　

线性分配方法需要决策者提供的基数信息较少，适合主观评价和决策。线性分配方法的决策结果可能产生逆序。笔者定义了排序向量和相对分配比的概念，分析了线性分配方法逆序产生的原因，最后在传统线性分配方法的基础上构建顺序线性分配方法，以确保决策结果保序。相对分配比等概念的提出以及顺序线性分配方法的构建扩展了多指标决策理论和方法，对消除其他决策方法的逆序问题提供了参考。