《1 引 言》
1 引 言
Bezdek J.C. 发表了著名的模糊决策论文
在一般工程模糊决策中的决策因素域X是由两部分因素域X+, X-构成, X=X+∪X-, X+∩X-≠>。X+上的因素对决策的实现起着“积极”作用 (正向作用) , X-上的因素对决策的实现起着“消极”作用 (反向作用) 。X+, X-中的因素对决策的实现分别以决策度u+j∈[0, 1], uj-∈[-1, 0]表现。X+, X-在决策中表现出“单向特性”。X+与X-的公共因素域X*=X+∩X-上的因素在决策中表现出“双向特性”, 同时具有uj+∈[0, 1]和uj-∈[-1, 0]。一般情形下, ∀xk∈X*, |uj+ (xk) |≠|uj- (xk) |。符合工程实际的模糊决策结论应是uj+与uj-的叠加合成:uj+⊕uj-。X+, X-同时存在于X之中, 在决策分析中, X+, X-不可以从X中单独分离出来, 更不可以将X+, X-之一丢掉, 它们构成决策结论的矛盾统一体。只有在一类特殊的工程问题中仅存在X+ (或X-) , 即决策只与X+ (或X-) 有关系。在Zadeh L.A.模糊集理论中, 决策度uj-∈[-1, 0]无定义。为了研究上面提出的问题, 1998年作者提出双枝模糊集的一般概念和它的基本理论, 为双枝模糊决策的提出作了基础性准备
在双枝模糊决策中, 如果X-=>, 本文结果将退化成依赖于Zadeh L.A.模糊集理论的单枝模糊决策, 从这个意义上说, 单枝模糊决策是双枝模糊决策的特例。双枝模糊决策具有普遍的意义。
本文讨论是以X上的下-非对称双枝模糊集
《2 具有X*的X上的双枝模糊决策》
2 具有X*的X上的双枝模糊决策
定义2.1 称
是双枝模糊决策因素域X的上域, 映射
称X+上的上-双枝模糊决策, 对于给定的x0∈X+, u+ (x0) 称上枝模糊决策度, X+⊂X。
定义2.2 称
是双枝模糊决策因素域X的下域, 映射
称X-上的下-双枝模糊决策, 对于给定的x0′∈X-, u- (x0′) 称下枝模糊决策度, X-⊂X。
定义2.3 称X*是决策因素域X的中性域, 如果X*满足:
1) X*=X+∩X-⊂X且X*≠{x} (2.5)
2) X*={xk|0≤u+ (xk) ≤1∧-1≤u- (xk) ≤ 0, k =1, 2, …, γ;γ<α, β} (2.6)
3) 对于任意的xt∈X*, t∈ (1, 2, …, γ)
4) 对于所有的xk∈X*, k=1, 2, …, γ
定义2.4 映射
若满足:
1) X+上的正则特性
2) X-上的正则特性
3) X*上的中和特性
所有的xk∈X*
4) u+, u-的单点叠加非零特性
X*上任意一个元素xk, k∈ (1, 2, …, r)
称式 (2.9) 确定一个具有中性域X*的X上的双枝模糊决策。其中:上域X+={x1, x2, …, xα}, 下域X-={x1, x2, …, xβ}, |X-|<|X+|, 中性域X*=X+∩X-={x1, x2, …, xr}, X+, X-, X*⊂X。
定义2.5 设
称式 (2.9) 确定一个X上的上-双枝模糊决策;若
称式 (2.9) 确定一个X上的下-双枝模糊决策。
由定义2.1~2.5容易得到:
命题2.1 具有中性域X*, X上的上-非对称双枝模糊集
命题2.2 具有中性域X*, X上的下-非对称双枝模糊集
事实上, 具有中性域X*, X上的对称双枝模糊集中, |X-|=|X+|, 则有,
得不到决策结论。
命题2.4 任何一个具有中性域X*, X上的对称双枝模糊集生成X上的双枝模糊决策都是无效的, 无论X*= (X+∩X-) =X还是X*={x}。
命题2.5 具有X*, X上的双枝模糊决策如果是有效的, 则这个决策是上-双枝模糊决策或者是下-双枝模糊决策, 二者必居其一。
命题2.6 单枝模糊集 (Zadeh L.A.模糊集) 生成的单枝模糊决策是双枝模糊集生成的双枝模糊决策的特例, 双枝模糊决策是单枝模糊决策的一般形式。
《3 双枝模糊决策判定定理与识别定理》
3 双枝模糊决策判定定理与识别定理
定义3.1 设djg+, djb+分别是X+⊂X上的上-双枝模糊决策的距优距离和距劣距离
称djg+/djb+是上-双枝模糊决策的优-劣比。g+, b+分别称作X+⊂X上的优等决策向量和劣等决策向量
其中:wi是X+上的权重
定义3.2 设djg-, djb-分别是X-⊂X上的下-双枝模糊决策的距优距离和距劣距离。
称djg-/djb-是下-双枝模糊决策的优-劣比。g-, b-分别称作X-⊂X上的优等决策向量和劣等决策向量
其中:wi′是X-上的权重,
定理3.1 (上-双枝模糊决策判定定理) X上的双枝模糊决策是上-双枝模糊决策的充分必要条件是X+⊂X上的上-双枝模糊决策的优-劣比与X-⊂X上的下-双枝模糊决策的优-劣比满足:
证明:由目标函数F (uj) 在X上满足F (uj) =min的准则下, 得到X上的优等模糊决策
利用式 (3.10) 和定义3.1, 3.2就可得到充分必要条件的证明。
定理3.2 (下-双枝模糊决策判定定理) X上的双枝模糊决策是下-双枝模糊决策的充分必要条件是X+⊂X上的上-双枝模糊决策的优-劣比与X-⊂X上的下-双枝模糊决策的优-劣比满足
定理3.2由定理3.1直接得到。
定理3.3 (双枝模糊决策的单枝退化定理) 若X-上的元素在决策中满足
则X上的双枝模糊决策退化成X+上的上-双枝模糊决策。
定理3.4 (双枝模糊决策-单枝模糊决策定理) X+上的上-双枝模糊决策是Zadeh L.A.模糊集理论生成的单枝模糊决策。
定理3.5 (单枝模糊决策的判定定理) X上的双枝模糊决策是Zadeh L.A.模糊集理论生成的单枝模糊决策的充分必要条件是下域X-, 中性域X*分别满足
定理3.3~3.5是直接的数学事实。
利用上面的结果得到:
定理3.6 (双枝模糊决策无效的第一识别定理) 若X+⊂X上的上-双枝模糊决策的优-劣比与X-⊂X上的下-双枝模糊决策的优-劣比满足:
则X上的双枝模糊决策是无效的。
事实上, 若 (djg+/djb+) = (djg-/djb-) , 就有uj+⊕uj-=0, 这说明X+上的上-双枝模糊决策结论与X-上的下- 双枝模糊决策结论相互抵消, X上无决策结论给出, 例如:在经济系统中, 一个经济决策的双枝模糊决策结论是资本投入和所得回报等值, 这个决策结论是无理论与工程意义的。
定理3.7 (双枝模糊决策无效的第二识别定理) 设X是双枝模糊决策的因素域, X+X- , X* 分别是上域, 下域和中性域, 若
则X上的双枝模糊决策是无效的。
定理3.8 (双枝模糊决策存在定理) X上的双枝模糊决策存在的充分必要条件是
《4 双枝模糊决策的去余定理与挖洞原理》
4 双枝模糊决策的去余定理与挖洞原理
定理4.1 (上-双枝模糊决策的去余定理) 如果X上的双枝模糊决策是由具有X*, X上的下-非对称双枝模糊集生成, 而且对于所有的xj∈X*, j=1, 2, …, r满足
则X*上的因素x1, x2, …, xr在决策中是多余的。
定理4.2 (下-双枝模糊决策的去余定理) 如果X上的双枝模糊决策是由具有X*, X上的上-非对称双枝模糊集生成, 而且对于所有的xi∈X*, i=1, 2, …, r满足
则X*上的因素x1, x2, …, xr在决策中是多余的。
由定理4.1, 4.2直接得到双枝模糊决策的因素域上的挖洞原理:
在一个双枝模糊决策中, 决策因素域X上总存在这样一些因素, 它们构成中性域X*={x1, x2, …, xr}, 当这些因素在决策中满足
则X*可以从X中挖去。
由挖洞原理直接得到
定理4.3 (决策结论不变性定理) 在双枝模糊决策中, 如果X上的元素xj, j=1, 2, …, r构成的中性域X*满足 (4.3) , 则X上的双枝模糊决策结论与这些元素存在无关。
《5 双枝模糊决策及其优化模型》
5 双枝模糊决策及其优化模型
《5.1X+上的上-双枝模糊决策优化模型》
5.1X+上的上-双枝模糊决策优化模型
设系统由q个决策构成, 其中有n个决策满足约束条件构成决策集
决策优化在D上进行的, 与D以外的决策无关。
设系统有α个目标组成对决策D的评价目标集
m个目标对n个决策的评价得到目标特征值矩阵
用目标对于优的相对隶属度公式
优等决策的相对优属度
劣等决策的相对优属度
或者:
uj, ujc分别表示决策j对优的相对隶属度和对劣的相对隶属度, ujc =1-uj。
设系统中α个目标具有不同的权重, 而且
决策j的向量:
它与优等决策的差异用权距离djg+表示:
它与劣等决策的差异用权距离djb+表示:
由式 (5.10) , (5.11) 分别得到加权距优距离Djg+, 加权距劣距离Djb+,
目标函数:
令式 (5.14) 满足:
利用式 (5.4) , (5.5) 得到简化模型:
《5.2X-上的下-双枝模糊决策优化模型》
5.2X-上的下-双枝模糊决策优化模型
由5.1节容易得到
其中, wi′是β个目标的权重,
《5.3X上的双枝模糊决策优化模型》
5.3X上的双枝模糊决策优化模型
X上的双枝模糊决策是X+上的上-双枝模糊决策u+j与X-上的下-双枝模糊决策u-j的叠加合成
《5.4X上满足挖洞原理的双枝模糊决策优化模型》
5.4X上满足挖洞原理的双枝模糊决策优化模型
其中:uj+∈[0, 1], uj-∈[-1, 0]
《5.5X上双枝模糊决策模型的讨论》
5.5X上双枝模糊决策模型的讨论
由式 (5.18) 得到:
1) 若uj+⊕uj-<0, X上的双枝模糊决策是下-双枝模糊决策, 决策结论决定于因素集X-。
2) 若uj+⊕uj->0, X上的双枝模糊决策是上-双枝模糊决策, 决策结论决定于因素集X+。
3) 若u+j⊕uj-=0, 双枝模糊决策无效, 下-双枝模糊决策与上-双枝模糊决策相互抵消, 决策没有工程意义。
4) 若X-=>, 且X*={x0},
其中:uj∈[0, 1] 。这是建立在Zadeh L.A.模糊集理论下的单枝模糊决策模型
5) 若X+=>, 且X*={x0},
显然, 给出的决策结论与式 (5.19) 的决策结论性质相反。
《5.6因素权重的集值迭代选择》
5.6因素权重的集值迭代选择
设X+={x1, x2, …, xα}是上-双枝模糊决策因素集, Y={y1, y2, …, yp} 是关于X+上的因素评价集, 选初值q, 1≤q<<t;取yj∈Y, 1≤j≤p完成下列迭代过程:
第1步, 在X+中选取最重要的q个因素, 得到X+的子集
第2步, 在X+中选取最重要的2q个因素, 得到X+的子集
……
第S步, 在X+中选取最重要的Sq个因素, 得到X+的子集
若自然数k满足t=kq+r, 1≤r≤q, 迭代过程终止于第k+1步
计算
由归一化得到
wi是xi∈X+的权重, wi∈ (0, 1) , xFs (j) (ui) 是特征函数
《6 双枝模糊决策算法与应用》
6 双枝模糊决策算法与应用
《6.1双枝模糊决策算法》
6.1双枝模糊决策算法
step 1: 决策因素域的极性分解:
X+, X-, X*。
step 2: 构造目标相对优属度矩阵:R+, R-;
step 3: 计算加权距优距离:Djg+, Djb+; Djg-, Djb-和权重w, w′。
step 4: 计算X+上的上- 双枝模糊决策度uj+, X-上的下-双枝模糊决策度uj-;uj+∈[0, 1], uj-∈[-1, 0]。
step 5:完成满足挖洞原理的uj+与uj-的叠加合成:
step 6: uj的极性识别与输出。
step 7: END。
《6.2双枝模糊决策算法框图》
6.2双枝模糊决策算法框图
双枝模糊决策算法框图见图1, 图中给出决策的算法过程与决策输出的识别与判定。
《6.3应用》
6.3应用
上述研究成果在市场位置选择中的应用见文献
《7 讨论》
7 讨论
在工程的模糊决策中, 如果决策者丢掉X-或者忽视X-存在于X中 (此时uj-=0) , 只考虑X+存在而得到的决策值uj=uj+⊕uj->η, η∈[0, 1];反之, 决策者丢掉X+或者忽视X+存在于X中 (此时uj+=0 ) , 只考虑X-存在而得到的决策值uj=uj+⊕uj-<φ, φ∈[-1, 0];决策结论η或φ是不可信的。如果忽视X-的存在, 决策者得到的决策结论是uj = uj+=0.8 (uj=uj+⊕uj-变成uj=uj+) 而X-上的决策结论是u-j=-0.5, 则真实的决策结论应该是uj=uj+⊕uj-=0.8-0.5=0.3, 这意味着这个决策只有3成希望, 决策者应该放弃这个决策, 否则决策结论只能给决策者带来沮丧。在工程决策中, 人们对于每一项决策的制定都要进行“正”, “反”两个方面的考察, 这个思维过程是提出双枝模糊决策的研究思想和研究目的。
《图1》
Fig.1 Algorithm graph of both-branch fuzzy decision on X with neutral-universe X*