晶体硅太阳电池最大功率下负载的函数表达

摘要

从实际的晶体硅太阳电池电路基本方程出发，推导出晶体硅太阳电池最大功率下负载的函数表达。与传统的电工电路不同，太阳电池电路最大功率点下的负载大于太阳电池内阻，并随着温度的升高，其比值逐渐降低。实验结果与理论吻合。

正文

《1 引言》

1 引言

对晶体硅太阳电池的应用来说, 最关心的问题莫过于在不同的太阳光照和电池工作温度等外部条件下, 怎样通过调节电路负载取得最大功率。

目前的方法是通过最大功率跟踪 (MPPT) ^[1]来取得太阳电池的最大功率输出。显然, 这种方法属于实验层面, 并且在确定最大功率的过程中, 需要对采集信号进行多次比较, 来回振荡, 以最终确定最大功率工作点。

作者从晶体硅太阳电池电路基本方程出发, 推导出电池电路最大功率条件下负载的数学表述, 并结合某晶体硅太阳电池的实验数据, 求得最大功率下的电路负载和太阳电池内阻 ^[2]的数值, 实验验证了理论推导的正确性和有效性。

《2 晶体硅太阳电池基本方程》

2 晶体硅太阳电池基本方程

晶体硅太阳电池电路电流方程 ^[3]为

$Ι = m ϕ - Ι_{0} (e^{x} - 1) (1)$ $Ι = m ϕ - Ι_{0} (e^{x} - 1) (1)$

其中x为晶体硅太阳电池参数, 其数学表述为

$x = \frac{q Ι (R_{L} + R_{S})}{A k Τ} (2)$ $x = \frac{q Ι (R_{L} + R_{S})}{A k Τ} (2)$

定义

$x_{0} = \frac{q Ι_{0} (R_{L} + R_{S})}{A k Τ} (3)$ $x_{0} = \frac{q Ι_{0} (R_{L} + R_{S})}{A k Τ} (3)$

上述定义在后面的叙述中将被引用。

于是, 晶体硅太阳电池电路中的负载功率为

$Ρ = Ι^{2} R_{L} (4)$ $Ρ = Ι^{2} R_{L} (4)$

分别写出式 (1) , 式 (2) , 式 (4) 的全微分:

$\begin{array}{l} d Ι = m d ϕ - Ι_{0} e^{x} d x (5) \\ \frac{d x}{x} = \frac{d Ι}{Ι} + \frac{d R_{L} + d R_{S}}{R_{L} + R_{S}} - \frac{d Τ}{Τ} (6) \\ d Ρ = Ι^{2} d R_{L} + 2 Ι R_{L} d Ι (7) \end{array}$ $\begin{array}{l} d Ι = m d ϕ - Ι_{0} e^{x} d x (5) \\ \frac{d x}{x} = \frac{d Ι}{Ι} + \frac{d R_{L} + d R_{S}}{R_{L} + R_{S}} - \frac{d Τ}{Τ} (6) \\ d Ρ = Ι^{2} d R_{L} + 2 Ι R_{L} d Ι (7) \end{array}$

将式 (5) , 式 (6) 代入式 (7) , 得到以晶体硅太阳电池电路三个基本元素——光照强度ϕ, 电路负载电阻R_L和电池工作温度T——所表示的关于晶体硅太阳电池功率P的全微分 ^[2]方程式:

$\begin{array}{l} d Ρ = \frac{2 m Ι L_{L}}{x_{0} e^{x} + 1} d ϕ + Ι^{1} (1 - \frac{2 R_{L}}{R_{L} + R_{s}} \ 5 \frac{x_{0} e^{x}}{x_{0} e^{x} + 1}) \\ d R_{L} + \frac{2 Ι R_{L}}{x_{0} e^{x} + 1} [\frac{Ι x_{0} e^{x}}{Τ} - (e^{x} - 1) \ 5 \\ \frac{d Ι_{0}}{d Τ} - \frac{Ι x_{0} e^{x}}{R_{L} + R_{s}} \ 5 \frac{d R_{s}}{d Τ}] d Τ (8) \end{array}$ $\begin{array}{l} d Ρ = \frac{2 m Ι L_{L}}{x_{0} e^{x} + 1} d ϕ + Ι^{1} (1 - \frac{2 R_{L}}{R_{L} + R_{s}} \ 5 \frac{x_{0} e^{x}}{x_{0} e^{x} + 1}) \\ d R_{L} + \frac{2 Ι R_{L}}{x_{0} e^{x} + 1} [\frac{Ι x_{0} e^{x}}{Τ} - (e^{x} - 1) \ 5 \\ \frac{d Ι_{0}}{d Τ} - \frac{Ι x_{0} e^{x}}{R_{L} + R_{s}} \ 5 \frac{d R_{s}}{d Τ}] d Τ (8) \end{array}$

式 (8) 是晶体硅太阳电池电路功率基本问题的讨论式。

《3 最大功率的数学表述》

3 最大功率的数学表述

《3.1 电工电路中最大功率数学表述》

3.1 电工电路中最大功率数学表述

理想电工电路由一个恒压源E和一个负载R_L组成, 如图1所示。实际电工电路中由于电源内阻R_S不为零, 其电路如图2所示。理想电工电路中不存在最大功率问题, 实际电工电路达到最大功率输出所满足的数学表述为: $\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = 0 ‚ \frac{\partial^{2} Ρ}{\partial R_{L}^{2}} < 0$ $\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = 0 ‚ \frac{\partial^{2} Ρ}{\partial R_{L}^{2}} < 0$ ;物理条件为:R_L=R_S。

《图1》

图1 理想的电工电路

Fig.1 Ideal electronic circuit

《图2》

图2 实际的电工电路

Fig.2 Actual electronic circuit

《3.2 晶体硅太阳电池最大功率的数学表述》

3.2 晶体硅太阳电池最大功率的数学表述

晶体硅太阳电池输出功率P对电路负载电阻R_L的偏微分为,

$\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = Ι^{2} (1 - \frac{2 R_{L}}{R_{L} + R_{S}} \times \frac{x_{0} e^{x}}{x_{0} e^{x} + 1}) (9)$ $\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = Ι^{2} (1 - \frac{2 R_{L}}{R_{L} + R_{S}} \times \frac{x_{0} e^{x}}{x_{0} e^{x} + 1}) (9)$

为获得输出功率P随电路负载电阻R_L变化出现的极值, 令,

$\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = 0 (10)$ $\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = 0 (10)$

将式 (10) 代入式 (9) , 得到极值功率下的负载电阻R_L应满足的物理条件为,

${\begin{cases} \frac{R_{L}}{R_{S}} = \frac{x_{0} e^{x_{m}} + 1}{x_{0} e^{x_{m}} - 1} \\ x_{m} = \frac{q Ι_{m} (R_{L} + R_{S})}{A k Τ} \end{cases} (11)$ ${\begin{cases} \frac{R_{L}}{R_{S}} = \frac{x_{0} e^{x_{m}} + 1}{x_{0} e^{x_{m}} - 1} \\ x_{m} = \frac{q Ι_{m} (R_{L} + R_{S})}{A k Τ} \end{cases} (11)$

为了确定式 (11) 是否为极大值条件, 还必须求得功率P对负载R_L的二阶导数:

$\begin{array}{l} \frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}^{2}} = \frac{- 2 Ι^{2} x_{0} e^{x}}{(R_{L} + R_{S})^{2} (x_{0} e^{x} + 1)^{3}} \times \\ {(x + 1) R_{L} + (x_{0} e^{x} + 1) \times \\ [2 x_{0} e^{x} + R_{L} + R_{S} + 1]} (12) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}^{2}} = \frac{- 2 Ι^{2} x_{0} e^{x}}{(R_{L} + R_{S})^{2} (x_{0} e^{x} + 1)^{3}} \times \\ {(x + 1) R_{L} + (x_{0} e^{x} + 1) \times \\ [2 x_{0} e^{x} + R_{L} + R_{S} + 1]} (12) \end{array}$

显然,

$\frac{\partial^{2} Ρ}{\partial R_{L}^{2}} < 0 (13)$ $\frac{\partial^{2} Ρ}{\partial R_{L}^{2}} < 0 (13)$

因此当 $\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = 0$ $\frac{\partial Ρ}{\partial R_{L}} = 0$ 时, 输出功率为最大值, 式 (11) 为最大功率下负载条件的数学表述。

由于负载电阻R_L和串联内阻R_S均为正值, 则

$\frac{R_{L}}{R_{S}} > 0 (14)$ $\frac{R_{L}}{R_{S}} > 0 (14)$

即

$\frac{x_{0} e^{x_{m}} + 1}{x_{0} e^{x_{m}} - 1} > 0 (15)$ $\frac{x_{0} e^{x_{m}} + 1}{x_{0} e^{x_{m}} - 1} > 0 (15)$

满足上式的情况只有下列两种:

${\begin{cases} x_{0} e^{x_{m}} + 1 > 0 \\ x_{0} e^{x_{m}} - 1 > 0 \end{cases} (16)$ ${\begin{cases} x_{0} e^{x_{m}} + 1 > 0 \\ x_{0} e^{x_{m}} - 1 > 0 \end{cases} (16)$

或

${\begin{cases} x_{0} e^{x_{m}} + 1 < 0 \\ x_{0} e^{x_{m}} - 1 < 0 \end{cases} (17)$ ${\begin{cases} x_{0} e^{x_{m}} + 1 < 0 \\ x_{0} e^{x_{m}} - 1 < 0 \end{cases} (17)$

而x₀, x均为正值, 显然式 (17) 不成立, 由此可得

$\frac{R_{L}}{R_{S}} = \frac{x_{0} e^{x_{m}} + 1}{x_{0} e^{x_{m}} - 1} > 1 (18)$ $\frac{R_{L}}{R_{S}} = \frac{x_{0} e^{x_{m}} + 1}{x_{0} e^{x_{m}} - 1} > 1 (18)$

可见, 晶体硅太阳电池电路最大功率下负载与电源内阻的数学表述和传统的电工电路是不同的。

《4 实验验证》

4 实验验证

《4.1 参数确定》

4.1 参数确定

为了验证式 (18) , 需要就实验数据确定如下参数:

1) 最大功率下的负载电阻R_L

$R_{L} = \frac{V_{m}^{2}}{Ρ_{m}} (19)$ $R_{L} = \frac{V_{m}^{2}}{Ρ_{m}} (19)$

2) 太阳电池的内阻R_S ^[2]

$\begin{array}{l} R_{S} = R_{0} \exp (B * Τ) = \\ 0.012 24 * \exp (0.001 22 * Τ) (20) \end{array}$ $\begin{array}{l} R_{S} = R_{0} \exp (B * Τ) = \\ 0.012 24 * \exp (0.001 22 * Τ) (20) \end{array}$

3) 半导体反向饱和电流 I₀ 在多数情况下如式 (21) 所示的近似条件可以得到满足,

$\exp (\frac{q V_{Ο C}}{A k Τ}) ≫ 1 (21)$ $\exp (\frac{q V_{Ο C}}{A k Τ}) ≫ 1 (21)$

对式 (1) 进行变换并近似认为

$Ι_{S C} = m ϕ (22)$ $Ι_{S C} = m ϕ (22)$

半导体反向饱和电流I₀可写为

$Ι_{0} = \frac{Ι_{S C}}{\exp (\frac{q V_{Ο C}}{A k Τ})} = Ι_{S C} \exp (\frac{- q V_{Ο V}}{A k Τ}) (23)$ $Ι_{0} = \frac{Ι_{S C}}{\exp (\frac{q V_{Ο C}}{A k Τ})} = Ι_{S C} \exp (\frac{- q V_{Ο V}}{A k Τ}) (23)$

4) 二极管理想因子A 由半导体理论知道, 反向饱和电流I₀由半导体P-N结自身属性决定, 并且受到电池工作温度T的影响。当太阳电池工作温度T固定的情况下, 半导体反向饱和电流I₀亦保持常数, 不会随日照强度ϕ的改变而变化 ^[4],

$Ι_{0} = Κ \exp (\frac{- E_{g}}{γ k Τ}) (24)$ $Ι_{0} = Κ \exp (\frac{- E_{g}}{γ k Τ}) (24)$

γ介于1～2之间, 代表了反向电流由3部分组成, 顶层和基区的复合扩散电流以及势垒区的复合电流。

太阳电池的工作温度固定为T时, 取2条不同日照强度下的太阳电池I-V特性曲线, 分别为:曲线1, 日照强度ϕ₁下的短路电流为I_SC1, 开路电压为V_OC1;曲线2, 日照强度ϕ₂下的短路电流为I_SC2, 开路电压为V_OC2。对于曲线1和曲线2, 半导体反向饱和电流I₀分别为,

$\begin{array}{l} Ι_{01} = Ι_{S C 1} \exp (- \frac{q V_{Ο C 1}}{A k Τ}) (25) \\ Ι_{02} = Ι_{S C 2} \exp (- \frac{q V_{Ο C 2}}{A k Τ}) (26) \end{array}$ $\begin{array}{l} Ι_{01} = Ι_{S C 1} \exp (- \frac{q V_{Ο C 1}}{A k Τ}) (25) \\ Ι_{02} = Ι_{S C 2} \exp (- \frac{q V_{Ο C 2}}{A k Τ}) (26) \end{array}$

联立式 (25) 和式 (26) , 并且知I₀₁=I₀₂, 可以解得二极管理想因子A为

$A = \frac{q (V_{Ο C 1} - V_{Ο C 2})}{k Τ \ln (\frac{Ι_{S C 1}}{Ι_{S C 2}})} (27)$ $A = \frac{q (V_{Ο C 1} - V_{Ο C 2})}{k Τ \ln (\frac{Ι_{S C 1}}{Ι_{S C 2}})} (27)$

《4.2 电池内部参量的实验测定》

4.2 电池内部参量的实验测定

图3为硅太阳电池在不同照度下的I-V特性曲线。引用峰值照度附近的两条I-V特性曲线, 其相关测量值如表1所示。由式 (26) 计算得到二极管理想因子A=1.49。

《图3》

图3 不同照度太阳电池I-V特性曲线

Fig.3 Solar cell I-V characteristic in different ϕ

表1 硅太阳电池不同照度I-V曲线参数

Table 1 I-V characteristic data in different T

《图4》

引用一组晶体硅太阳能电池数据, 图4和图5为该太阳能电池在不同温度条件下I-V和P-V特性曲线。由图4可以得到短路电流I_CS=2.334A, 由图5读出P_m, V_m值, 并计算I₀, R_S及R_L, 列于表2。

表2 太阳电池实验及计算数据

Table 2 Experimental and calculation data of the Silicon solar cell

《图5》

《图6》

图4 不同温度太阳电池伏安特性曲线

Fig.4 Solar cell I-V characteristic in different T

《4.3 最大功率负载—照度—温度关系表》

4.3 最大功率负载—照度—温度关系表

最大功率条件下电路负载与太阳电池串联内阻之比值的理论计算及实验测量结果列于表3, 其理论计算与实验测量之比较见图6。从表3和图6中可以得出以下结论:a.理论结果和实验数据均指出太阳电池电路中最大功率下的负载大于内阻, 此比值关系明显不同于传统的电工电路;b.实验测量值验证了式 (18) 建立的理论关系, 两者符合得很好;c.理论与实验均表明, 随着温度的升高, 太阳电池最大功率下的电路负载与电池内阻之比值将会逐渐减小。

《图7》

图5 不同温度太阳电池功率特性曲线

Fig.5 Solar cell P-V characteristic in different T

表3 不同温度下最大功率时比值R_L/R_S实验测量及理论计算关系表

Table 3 Theoretic and experimental relation of R_L/R_S at maximum power point in different T

《图8》

《图9》

图6 不同温度下最大功率点R_L/R_S理论计算与实验测量之比较

Fig.6 Compare of theoretic and experimental R_L/R_S at maximum power point in different T

《5 结论》

5 结论

从实际太阳电池电流方程出发, 理论推导出最大输出功率下R_L/R_S比值的函数关系, 并由实验数据对上述函数关系进行了验证, 理论与实验符合得很好。

与传统的电工电路最大功率下电路负载等于电源内阻有所不同, 太阳电池电路最大功率下的负载数值大于电池内阻数值, 这一现象在实验数据中有所反映, 作者则从理论上给出了严格证明。

符号表:

A: 二极管理想因子

I: 电流, A

V: 电压, V

k: 玻尔兹曼常数

m: 光电转换系数, m²/V

P: 功率, W

q: 电子电荷常数

R: 电阻, Ω

T: 温度, K

α: 导体的电阻温度系数, k^-1

ϕ: 光照强度, W·m²

E_g: 禁带宽度, eV

下标:

L: 外部负载电阻标识

S: 晶体硅太阳电池串联内阻标识

m:最大输出功率时电路参量标识

sc:太阳电池短路电流标识

oc:太阳电池开路电压标识

0: p-n结反向饱和电流;某温度下的电阻值

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