弧齿锥齿轮主曲率计算的幺正活动标架法

摘要

曲面上点的主曲率计算是确定轮齿啮合压痕平面投影形状的关键。文章摈弃通常运用啮合原理和坐标变换计算的思路，从曲面本身的性质出发，把幺正活动标架和外微分引入主曲率计算，得到简明、有效的主曲率计算的新算法，并结合压痕公式给出了一个应用实例。该算法可以推广到任意曲面的主曲率计算。

正文

《1 序言》

1 序言

对于弧齿锥齿轮, 接触区良莠是衡量其传动质量好坏的一个重要标志。依据赫兹理论, 载荷作用下轮齿 (视作弹性体) 接触区域在接触点齿面的切平面内投影为椭圆, 而椭圆的长短轴以及方向与接触点处主曲率有关。因此, 方便、简洁地确定齿面上点的主曲率是解决接触区问题的基本问题之一。通常计算主曲率的方法是利用啮合原理的相关知识通过一系列的坐标变换获得的^[1,2], 计算复杂且工作量大, 这种方法没有深刻挖掘曲面的自身性质。笔者在充分考虑曲面自身性质的基础上, 引入数学中的幺正活动标架和外微分, 得到曲面主曲率的新算法。

《2 幺正活动标架法计算主曲率》

2 幺正活动标架法计算主曲率

《2.1 幺正活动标架法[3]》

2.1 幺正活动标架法[3]

对于曲面S⊂R³, 在S上选取右手幺正标架场{P;e₁, e₂, e₃}。e₁, e₂, e₃是向量, 满足:

$〈 e_{i}, e_{j} 〉 = {\begin{cases} 1, i = j \\ 0 i \neq j \end{cases}$ $〈 e_{i}, e_{j} 〉 = {\begin{cases} 1, i = j \\ 0 i \neq j \end{cases}$

对任意x∈S⊂R³, {P (x) ;e₁ (x) , e₂ (x) , e₃ (x) }是R³中的一个右手幺正标架, 其满足下列条件:

$Ρ (x) = x, e_{3} (x) = n (x) 。$ $Ρ (x) = x, e_{3} (x) = n (x) 。$

《2.2 外微分式》

2.2 外微分式

在上述活动标架法对标架场进行微商时, 要在曲面上选定参数, 可以想象此时微商是很麻烦的。因为, 此时曲面上既有标架又有参数, 而且两者之间没有什么关系。联系到微分几何运算可以脱离参数的选取, 因此自然引入用微分运算代替对标架场的微商运算。这里的所谓微分运算是指分析学中对函数左微分, 也即外微分算子。

引入两个符号“∧”和“d”, 分别称作外积和外微分算子。记∧^k (s) 为k阶外微分式。

《2.3 主曲率的计算》

2.3 主曲率的计算

依照外微分的相关性质, 仿照Frenet计算结果的形式有:

$\begin{array}{l} d p = ω_{1} e_{1} + ω_{2} e_{2} ‚ \\ d (\begin{array}{l} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{array}) = (\begin{matrix} 0 & ω_{12} & ω_{13} \\ - ω_{12} & 0 & ω_{23} \\ - ω_{13} & - ω_{23} & 0 \end{matrix}) (\begin{array}{l} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{array}) ‚ \end{array}$ $\begin{array}{l} d p = ω_{1} e_{1} + ω_{2} e_{2} ‚ \\ d (\begin{array}{l} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{array}) = (\begin{matrix} 0 & ω_{12} & ω_{13} \\ - ω_{12} & 0 & ω_{23} \\ - ω_{13} & - ω_{23} & 0 \end{matrix}) (\begin{array}{l} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{array}) ‚ \end{array}$

其中ω_j, ω_ij为外微分式。

在曲面一定的情况下, 其第一、第二基本形式一定。本节的算法就是从弧齿锥齿轮齿面的第一基本形式入手计算出总曲率, 求出主曲率。总曲率为曲面上某点两个主曲率的乘积。

总曲率的算法表现为:

1) 用配方法将第一基本形式Ⅰ写成

$Ⅰ = ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} ‚$ $Ⅰ = ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} ‚$

其中ω₁, ω₂为外微分式;

2) 由方程组

《图1》

解出

\bar{ω}

$\bar{ω}$ ₁₂;

3) 由方程 $d \bar{ω}_{12} = - Κ \bar{ω}_{1} \land \bar{ω}_{2}$ $d \bar{ω}_{12} = - Κ \bar{ω}_{1} \land \bar{ω}_{2}$ 定出总曲率K。

任何曲面的第一、第二基本形式可以表示为:

$\begin{array}{l} Ⅰ = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2} ‚ \\ Ⅱ = L d u^{2} + 2 Μ d u d v + Ν d v^{2} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Ⅰ = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2} ‚ \\ Ⅱ = L d u^{2} + 2 Μ d u d v + Ν d v^{2} 。 \end{array}$

式中:E, F, G为第一类基本量;L, M, N为第二类基本量。

按照上述的算法过程, 设:

${\begin{cases} \bar{ω}_{1} = \sqrt{E} (d u + \frac{F}{E} d v) ‚ \\ \bar{ω}_{2} = \sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}} d v 。 \end{cases}$ ${\begin{cases} \bar{ω}_{1} = \sqrt{E} (d u + \frac{F}{E} d v) ‚ \\ \bar{ω}_{2} = \sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}} d v 。 \end{cases}$

对上式微分, 并写成矩阵形式:

$[\begin{array}{l} d \bar{ω}_{1} \\ d \bar{ω}_{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} (\frac{F}{E})_{u} d u \land d v - (\sqrt{E})_{v} d u \land d v \\ (\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}})_{u} d u \land d v \end{array}] 。$ $[\begin{array}{l} d \bar{ω}_{1} \\ d \bar{ω}_{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} (\frac{F}{E})_{u} d u \land d v - (\sqrt{E})_{v} d u \land d v \\ (\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}})_{u} d u \land d v \end{array}] 。$

略去具体的数学计算, 直接给出 $\bar{ω}$ $\bar{ω}$ ₁₂:

$\begin{array}{l} \bar{ω}_{12} = a = [\frac{(\frac{F}{E})_{u} - (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}}] d u + \\ [\frac{\frac{F}{E} (\frac{F}{E})_{u} - \frac{F}{E} (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}} + \frac{(\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}})_{u}}{\sqrt{E}}) d v 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} \bar{ω}_{12} = a = [\frac{(\frac{F}{E})_{u} - (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}}] d u + \\ [\frac{\frac{F}{E} (\frac{F}{E})_{u} - \frac{F}{E} (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}} + \frac{(\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}})_{u}}{\sqrt{E}}) d v 。 \end{array}$

对 $\bar{ω}$ $\bar{ω}$ ₁₂进行微分, 并由方程 $d \bar{ω}_{12} = - Κ \bar{ω}_{1} \land \bar{ω}_{2}$ $d \bar{ω}_{12} = - Κ \bar{ω}_{1} \land \bar{ω}_{2}$ 有

$\begin{array}{l} Κ = - \frac{1}{\sqrt{E G - F^{2}}} {[\frac{(\frac{F}{E})_{u} - (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}}]_{v} - \\ [\frac{\frac{F}{E} (\frac{F}{E})_{u} - \frac{F}{E} (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}} + \frac{(\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}})_{u}}{\sqrt{E}}]_{u}} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} Κ = - \frac{1}{\sqrt{E G - F^{2}}} {[\frac{(\frac{F}{E})_{u} - (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}}]_{v} - \\ [\frac{\frac{F}{E} (\frac{F}{E})_{u} - \frac{F}{E} (\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}}} + \frac{(\sqrt{\frac{E G - F^{2}}{E}})_{u}}{\sqrt{E}}]_{u}} 。 \end{array}$

特别是当u, v两参数正交时, 上式可简化为

$Κ = - \frac{1}{\sqrt{E G}} {[\frac{(\sqrt{G})_{u}}{\sqrt{E}}]_{u} + [\frac{(\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{G}}]_{v}} 。$ $Κ = - \frac{1}{\sqrt{E G}} {[\frac{(\sqrt{G})_{u}}{\sqrt{E}}]_{u} + [\frac{(\sqrt{E})_{v}}{\sqrt{G}}]_{v}} 。$

这样, 由第一基本形式, 总曲率就确定了。按照同样的思路, 平均曲率可以表示为

$Η = \frac{E Ν + G L - 2 F Μ}{E G - F^{2}} 。$ $Η = \frac{E Ν + G L - 2 F Μ}{E G - F^{2}} 。$

联立总曲率和平均曲率就可以得到两个主曲率。

《3 应用实例》

3 应用实例

以CA-10B汽车后桥主、被动弧齿锥齿轮为例。其数据为:模数9, 小轮齿数11, 大轮齿数25, 轴交角90°, 螺旋角35°, 压力角20°。将由上述算法得到的主曲率代入文献[4]中推导的椭圆长短轴a、b的计算公式:

$\begin{array}{l} a = \sqrt{1 - e^{2}} [\frac{3 E (e)}{2 (1 - e^{2})} \cdot \frac{k_{1} + k_{2}}{A + B} \cdot p]^{\frac{1}{3}} ‚ \\ b = [\frac{3 E (e)}{2 (1 - e^{2})} \cdot \frac{k_{1} + k_{2}}{A + B} \cdot p]^{\frac{1}{3}} 。 \end{array}$ $\begin{array}{l} a = \sqrt{1 - e^{2}} [\frac{3 E (e)}{2 (1 - e^{2})} \cdot \frac{k_{1} + k_{2}}{A + B} \cdot p]^{\frac{1}{3}} ‚ \\ b = [\frac{3 E (e)}{2 (1 - e^{2})} \cdot \frac{k_{1} + k_{2}}{A + B} \cdot p]^{\frac{1}{3}} 。 \end{array}$

式中k₁, k₂为计算点的主曲率^[4], 二者的乘积为总曲率, 即K=k₁k₂。

经编制的程序仿真得到的接触线和接触区, 见图1和图2。试切对滚检验后的接触区形状与动态仿真得到的接触区图形基本一致。

《图2》

图1 接触线

Fig.1 Contacted line

《图3》

图2 接触区

Fig.2 Contacted area

《4 结论》

4 结论

1) 首次提出的弧齿锥齿轮曲面主曲率幺正活动标架算法具有理论意义和工程应用价值, 并可以推广到任意曲面的主曲率计算。

2) 新算法在计算总曲率时不依赖第二基本形式和法向量场n, 是一种内在算法, 充分利用了曲面本身的性质。

3) 在实际编程实现过程中, 新算法没有过多的空间变换, 程序代码易实现、易维护。

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